Téma 6.: Normální rozložení, kvantity spojitých náhodných veličin
Normální rozložení N(µ, σ2
)
Náhodná veličina X ~ N(µ, σ2
) má hustotu ( ) 2
2
2
)-x(
e
2
1
x σ
µ
−
πσ
=ϕ .
Pro µ = 0, σ2
= 1 se jedná o standardizované normální rozložení, píšeme U ~ N(0, 1).
Hustota pravděpodobnosti má v tomto případě tvar φ(u) = 2
u2
e
2
1 −
π
.
Kreslení grafů funkcí ( )xϕ a ( )xΦ rozložení N(µ, σ2
) v systému STATISTICA pomocí
Pravděpodobnostního kalkulátoru
Statistiky – Pravděpodobnostní kalkulátor – Rozdělení – Z (normální). Vyplníme průměr: µ,
SmOdch: σ, zaškrtneme Vytv. graf – Výpočet.
Příklad 1.: Životnost baterie v hodinách je náhodná veličina, která má normální rozložení se
střední hodnotou 300 hodin a směrodatnou odchylkou 35 hodin. Jaká je pravděpodobnost, že
náhodně vybraná baterie bude mít životnost
a) aspoň 320 hodin?
b) nejvýše 310 hodin?
Návod na výpočet pomocí systému STATISTICA:
1. možnost: Otevřeme nový datový soubor o dvou proměnných a jednom případu. Do
Dlouhého jména 1. proměnné napíšeme
=1-INormal(320;300;35). Dostaneme výsledek 0,2839. Do Dlouhého jména 2. proměnné
napíšeme =INormal(310;300;35). Dostaneme výsledek 0,6125.
2. možnost: Statistiky – Pravděpodobnostní kalkulátor. Ve volbě Rozdělení vybereme Z
(Normální), do okénka průměr napíšeme 320 a do okénka Sm. Odch. napíšeme 35.
Ad a) Do okénka označeného X napíšeme 320, zaškrtneme 1-kumul. p a po kliknutí na
Výpočet se v okénku p objeví hodnota 0,2839.
Ad b) Do okénka označeného X napíšeme 310, odškrtneme 1-kumul. p a po kliknutí na
Výpočet se v okénku p objeví hodnota 0,6125.
Příklad 2.: Automat na kávu je seřízen tak, že plní šálky po 200 ml kávy se směrodatnou
odchylkou 15 ml. Předpokládáme, že množství kávy v šálku se řídí normálním rozložením.
Kolik procent šálků bude obsahovat méně než 224 ml kávy?
Kolik procent šálků bude obsahovat mezi 191 ml až 209 ml kávy?
Automat používá šálky o objemu 230 ml. Kolik šálků z tisíce naplněných pravděpodobně
přeteče?
Výsledky:
Ad a) Asi 94,5% šálků bude obsahovat méně než 224 ml kávy.
Ad b) Asi 45,1% šálků bude obsahovat mezi 191 ml až 209 ml kávy.
Ad c) Z tisíce šálků jich pravděpodobně přeteče 2,27.
Příklad 3.: Je známo, že rozložení IQ v populaci je normální se střední hodnotou 100 bodů a
směrodatnou odchylkou 15 bodů. Jedinec, který má IQ nad 130 bodů, je vysoce inteligentní.
Jaká je pravděpodobnost, že z populace náhodně vybereme vysoce inteligentního jedince?
Výsledek: Hledaná pravděpodobnost je 0,02275
Kreslení grafu hustoty dvourozměrného standardizovaného normálního rozložení
Tato hustota je dána předpisem ( )
( )22
yx
2
1
e
2
1
y,x
+−
π
=ϕ .
Grafy – 3D XYZ – Grafy vlastních funkcí – nastavíme rozsahy os: osa X: -3;3, osa Y: -3;3 –
do pole Funkce Z(x,y) napíšeme: (1/2*pi)*exp(-(x^2+y^2)/2) – OK.
Dostaneme graf:
Graf funkce
Funkce = (1/2*pi)*exp(-(x^2+y^2)/2)
> 1,4
< 1,3
< 1,1
< 0,9
< 0,7
< 0,5
< 0,3
< 0,1
-3
-2
-1
0
1
2
3
X
-3
-2
-1
0
1
2
3
Y
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
Z
Výpočet kvantilů normálního, Pearsonova, Studentova a F-S rozložení
Příklad 4.: Nechť X ~ N(3, 5). Najděte dolní kvartil.
Návod na výpočet pomocí systému STATISTICA:
1. možnost: Otevřeme nový datový soubor o jedné proměnné a jednom případu.
Do dlouhého jména této proměnné napíšeme =VNormal(0,25;3;sqrt(5)). Dostaneme
1,491795.
2. možnost: Statistiky – Pravděpodobnostní kalkulátor. Ve volbě Rozdělení vybereme Z
(Normální), do okénka průměr napíšeme 3, do okénka Sm. Odch. napíšeme 2,236, do okénka
p napíšeme 0,25 a v okénku X se objeví 1,4918.
Příklad 5.: Nechť U ~ N(0, 1). Najděte kvantily u0,90, u0,95, u0,975, u0,99, u0,995
Výsledky: u0,90 = 1,281552, u0,95 = 1,644854, u0,975 = 1,959964, u0,99 = 2,326348,
u0,995 = 2,575829
Příklad 6.: Určete χ2
0,025(25).
Návod na výpočet pomocí systému STATISTICA:
1. možnost: Otevřeme nový datový soubor o jedné proměnné a jednom případu.
Do dlouhého jména této proměnné napíšeme =VChi2(0,025;25). Dostaneme 13,1197.
2. možnost: Statistiky – Pravděpodobnostní kalkulátor. Ve volbě Rozdělení vybereme Chi2.
Do okénka sv. napíšeme 25 a do okénka p napíšeme 0,025. V okénku Chi 2 se objeví
13,11972.
Příklad 7.: Určete t0,99(30) a t0,05(14).
Návod na výpočet pomocí systému STATISTICA:
1. možnost: Otevřeme nový datový soubor o jedné proměnné a jednom případu.
Do dlouhého jména této proměnné napíšeme =VStudent(0,99;30) (resp. VStudent(0,05;14)).
Dostaneme 2,457262 (resp. -1,76131).
2. možnost: Statistiky – Pravděpodobnostní kalkulátor. Ve volbě Rozdělení vybereme t
(Studentovo). Do okénka sv. napíšeme 30 (resp. 14) a do okénka p napíšeme 0,99 (resp. 0,05).
V okénku t se objeví 2,457262 (resp. -1,761310).
Příklad 8.: Určete F0,975(5, 20) a F0,05(2, 10).
Návod na výpočet pomocí systému STATISTICA:
1. možnost: Otevřeme nový datový soubor o jedné proměnné a dvou případech
Do dlouhého jména první proměnné napíšeme =VF(0,975;5;20), do dlouhého jména druhé
proměnné napíšeme =VF(0,05;2;10).Dostaneme 3,2891 (resp. 0,05156).
2. možnost: Statistiky – Pravděpodobnostní kalkulátor. Ve volbě Rozdělení vybereme F
(Fisherovo). Do okénka sv1 napíšeme 5 (resp. 2), do okénka sv2 napíšeme 20 (resp. 10) a do
okénka p napíšeme 0,975 (resp. 0,05). V okénku F se objeví 3,289056 (resp. 0,05156).