logo-IBA
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Hřebíček, J. Kalina
Základní definice
Klasifikace modelů
Základní prvky matematického modelu
Úvod do Maple
2. Klasifikace modelů
Bi3101 Úvod do matematického modelování

logo-IBA logomuni
Základní pojmy
—reálný objekt a jeho model jsou navzájem propojeny dvěma relacemi - abstrakcí a interpretací.

logo-IBA logomuni
—Abstrakce znamená zobecnění (generalizaci) - uvažování  nejdůležitějších složek reálného systému a
ignorování méně důležitých rysů. Důležitost je v tomto případě posuzována podle relativního vlivu
prvků systému na jeho dynamiku (umí zpravidla technici a matematici)‏.
—Interpretace znamená výklad vztahu mezi modelem (s jeho prvky, vlastnostmi a chováním) a reálným
systémem. Pokud nelze parametry modelu interpretovat, pak nelze na reálném systému měřit jejich
vlastnosti (umí zpravidla biologové)‏.
Základní pojmy

logo-IBA logomuni
Základní pojmy
Realizace (implementace) modelu
(většinou počítačem, ale může být i fyzikální, geometrický, ...)‏
na zařízení schopném zpracování dat, resp. signálů, má-li k dispozici vhodně zakódované instrukce
popisující model.

logo-IBA logomuni
Vztah systému a okolního prostředí
—Před formulací modelu je nutné provést (myšlenkové) oddělení modelovaného systému od okolního
prostředí:
¡prostředí může mít vliv na modelovaný systém,
¡systém nemá vliv na okolní prostředí.
—Např. model růstu lesa by měl zahrnout vliv počasí (teploty, srážky), nicméně vliv lesa na počasí
je zanedbatelný.
—Jinak bude situace vypadat v případě modelu růstu všech světových lesů, kde je vliv na počasí
zřejmý – hranice mezi modelovaným systémem a prostředím se posune.
¡

logo-IBA logomuni
Předpoklady modelu
—
—Součástí identifikace modelu (krok 1) je rovněž stanovení neměnných předpokladů, na základě
kterých se konstruují rovnice a algoritmy (krok 2).
—Pokud jsou předpoklady dostatečně konkrétní, lze přímo na jejich základě sestavit matematické
vyjádření modelu.
—Např. v newtonovské mechanice se považuje hmotnost tělesa za konstantní, naproti tomu
einsteinovská teorie relativity považuje hmotnost za funkci rychlosti pohybu tělesa.

logo-IBA logomuni
—Reprezentace nebo abstrakce reality pomocí modelu předpokládá použití vhodných zobrazovacích
prostředků. Podle typu zobrazení reality do modelu rozlišujeme tři základní typy modelů:
1.Modely ikonické. Jedná se o fyzikální repliky reálného systému (předmětu). Jsou přesné, nebo
zjednodušené, ve zmenšeném, nebo zvětšeném měřítku.
Příklady: modely strojů, modely staveb, model atomu.
2.Modely analogické. Jedná se o mechanické a elektronické analogy systémů.
Příklady: plány měst, mapy, plány inženýrských sítí, analogový model Steiner-Weberovy úlohy,
chemické vzorce.
3.Modely matematické. Soustavy funkcí, soustavy rovnic, soustavy funkcionálů. Matice a grafy.
Speciální programy počítačů.
Příklady: Rovnice speciální teorie relativity. Vzorec pro výpočet rychlosti volného pádu tělesa ve
vakuu. Model růstu populace apod.
Klasifikace modelů

logo-IBA logomuni
Klasifikace matematických modelů
1.Modely deskriptivní. Slouží k zobrazení prvků a vztahů v systému a k analýze základních
vlastností systému. Pomocí těchto typů modelů se odvozují další vlastnosti systému, určuje se jeho
rovnovážný stav, stabilní stav, vliv změn uvnitř i ve vnějším okolí systému na jeho chování.
Příklady: Rovnice E = mc2, soustava diferenciálních rovnic modelující procesy narození a úmrtí,
simulační model modelující výskyt škůdců porostu.
1.Modely normativní. Slouží k analýze a řízení systému tak, aby byl splněn nějaký cíl nebo množina
cílů. Zajímá nás cílové chování systému. Normativní model bývá často doplněn tzv. cílovou
(účelovou) funkcí nebo soustavou takových funkcí. Nutnou součástí normativního modelu je extremální
(minimální / maximální) řešení, které dává návod, jak požadovaného cíle (resp. cílů) dosáhnout.
Normativní modely, jejichž cílem je nalezení optimálního řešení, se nazývají optimalizační modely.

logo-IBA logomuni
— Modely deskriptivní i normativní jsou dále děleny podle typu systému, k jehož modelování slouží,
nebo podle typu matematických složek, jež obsahují:
1.Modely statické. Model zobrazuje a analyzuje systém bez zřetele k jeho časovému vývoji. Zobrazení
se týká zpravidla určitého časového intervalu (týden, měsíc, rok, apod.).
2.Modely dynamické. Model zobrazuje a analyzuje systém v průběhu času. Zobrazení může být typu „ex
post” nebo „ex ante” a respektovat krátký či delší časový horizont.
3.Modely dynamizované. Zpravidla se jedná o vyjádření časového prvku ve statickém modelu pomocí
speciálních modelových technik. Dynamizované modely se používají v případě, kdy odpovídající
dynamický model je velmi složitý nebo jej nedovedeme soudobými modelovými technikami spolehlivě
konstruovat.
Klasifikace matematických modelů

logo-IBA logomuni
—Modely deskriptivní i normativní jsou dále děleny podle typu systému, k jehož modelování slouží,
nebo podle typu matematických složek (proměnné, struktury, řešení) jež obsahují:
1.Modely deterministické. Všechny proměnné, konstanty a funkce v modelu jsou deterministické
(nenáhodné) veličiny nebo funkce.
2.Modely stochastické. Alespoň jedna proměnná, konstanta nebo funkce v modelu je náhodná veličina
nebo náhodná funkce.
3.Fuzzy modely. Některé proměnné, konstanty nebo funkce jsou fuzzy veličiny, nebo fuzzy funkce.
Klasifikace matematických modelů

logo-IBA logomuni
—Podle úrovně teoretického zdůvodnění (předpokladů, odvození vztahů mezi proměnnými) jednotlivých
modelovaných procesů lze modely dělit na:
1.Modely mechanistické. Pokouší se vysvětlit procesy na jedné hierarchické úrovni pomocí procesů z
nižší hierarchické úrovně. Obvykle velmi komplexní modely obsahující mnoho proměnných a využívající
obsáhlé teoretické znalosti o systému.
—Příklad: Pohyb planet založený na rovnicích newtonovské mechaniky.
2.Modely empirické. Zanedbávají mechanizmy vzniku dějů, pracují s pozorovaným chováním systému bez
snahy o jeho detailní vysvětlení.
—Příklad: regresní model růstu dobytka v závislosti na spotřebě krmiva.
Klasifikace matematických modelů

logo-IBA logomuni
Příklad stanovení předpokladů


logo-IBA logomuni
Příklad stanovení předpokladů


logo-IBA logomuni
Příklad stanovení předpokladů (DÚ 1)
—V následujícím příkladu ověřte za pomocí Maple korespondenci mezi deterministickým a stochastickým
modelem:
—Využijte předchozí spojitý deterministický model s omezujícími předpoklady a diskrétní
stochastický model s pravděpodobností rozmnožení se a úmrtí pro každého jedince a diskutujte
jak/proč se oba liší pro různé hodnoty a, b, pB, pD a N(0).
—Hint: použijte hodnoty a=0,35; b=0,25; pB=0,35; pD=0,25 a tři různá N(0): 10, 100 a 1000.

logo-IBA logomuni
—V každém matematickém modelu můžeme rozlišit tři základní skupiny objektů, ze kterých se model
skládá.
Jsou to :
I.proměnné a parametry,
II.matematické struktury,
III.řešení.
Základní prvky matematického modelu

logo-IBA logomuni
—Proměnné a parametry identifikované (pojmenované). Identifikovaná proměnná nebo parametr
představuje konkrétní vlastnost reálného objektu, což se projevuje názvem a mírou.
—Příklady: xk je výměra pšenice ozimé v ha, xr produkce pšenice ozimé v katastru “U křížku” v
t, náhodná doba čekání sedmé jednotky v systému hromadné obsluhy v pátém kanálu obsluhy v minutách,
cik vzdálenost dodavatele Di od spotřebitele Sk v km.
—
—Proměnné a parametry neidentifikované (pomocné). Slouží pro formalizaci matematického zápisu, chod
algoritmů apod.
Proměnné a parametry

logo-IBA logomuni
—Rozhodovací proměnné. Představují zpravidla nejdůležitější procesy modelovaného systému, které se
v matematickém modelování nazývají aktivity nebo entity nebo rozhodovací proměnné.
— Příklady:
—V modelu optimalizace portfolia proměnné x1, ..., xn představují počty akcií podniků P1, ..., Pn .
—V modelu I = U/R představují U a R aktivity a odpor v příslušných jednotkách. Těmito dvěma
aktivitami je určen proud.
—V systému hromadné obsluhy např. jednotka tj představuje se svými charakteristikami tjk,
tjn entitu.
Proměnné a parametry

logo-IBA logomuni
—Vstupní proměnné a parametry, výstupní proměnné a konstanty (endogenní a exogenní proměnné a
parametry).
—Heuristické proměnné a parametry. Představují procesy, jejichž míry nelze zjistit.
—Příklady: Velikost míry inflace v chaotických a nestandardních podmínkách nelze popsat ani pomocí
pravděpodobnosti ani pomocí fuzzy míry.
V modelech situací „ad hoc“ jsou charakteristiky počasí nekontrolovatelné konstanty nebo proměnné,
protože nelze využít počtu pravděpodobnosti pro jejich popis.
—Výsledné proměnné a konstanty. Udávají hodnoty řešení, popisují výslednou informaci.
Proměnné a parametry

logo-IBA logomuni
—V matematických modelech se matematické struktury nazývají omezující podmínky. Dělíme je podle
použitého matematického aparátu z některého odvětví matematiky:
—Analytické struktury. Jedná se o objekty z odvětví matematické analýzy, lineární algebry a dalších
odvětví matematiky.
—Příklad: soustavy rovnic (lineární, nelineární, skalární, vektorové, diferenciální, integrální,
maticové, atd.), soustavy nerovnic (lineární, nelineární, se smíšenými omezeními, atd.), funkce
(elementární, složené, holomorfní, stochastické, fuzzy, atd.).
—Geometrické struktury. Model je popsán grafickými prostředky: body, přímkami, rovinami, křivkami.
—Příklad: Geometrická interpretace a řešení úloh v modelech lineárního programování. Grafická
interpretace rovnováhy nabídky a poptávky v ekonometrických modelech, atd.
Matematické struktury

logo-IBA logomuni
—V matematických modelech se matematické struktury nazývají omezující podmínky. Dělíme je podle
použitého matematického aparátu z některého odvětví matematiky:
—Topologické struktury. Modely jsou vytvářeny pomocí objektů matematické teorie grafů.
—Příklad: Modely maximálních toků v sítích, nejspolehlivější cesty v grafu/síti. Dopravní a
distribuční systémy zobrazené grafem. Logistické systémy popsané pomocí grafů a schémat.
Topologické modely lze zpravidla ekvivalentně zobrazovat pomocí tzv. incidenčních matic (tabulek,
matic souslednosti, apod.).
Matematické struktury

logo-IBA logomuni
—Arteficiální struktury. Modely jsou popsány prvky programovacího jazyka.
—Příklad: Model systému zásob popsaný vývojovým diagramem (simulačním jazykem SIMULA 67, objektově
orientovaným jazykem Smalltalk, atd.).
—Kvalitativní struktury. Model je popsán pomocí kvalitativních rovnic, kvalitativních nerovností
nebo vágně.
—Příklad: kvalitativní matice, kvalitativní graf, jazykový operátor „velmi“ v teorii fuzzy množin,
atd.
—
—Některé speciální a především již standardní struktury matematického modelu mají specifické názvy.
—Příklady: Cobb-Douglasova funkce. Účelová funkce. Podmínky nezápornosti. Lagrangeova funkce.
Wolfeho podmínky.
Matematické struktury

logo-IBA logomuni
—Řešení modelu klasifikujeme podle hlediska cílů modelování:
—Přípustné řešení, nepřípustné řešení - řešení vyhovuje, řešení nevyhovuje omezujícím podmínkám.
—Maximální řešení, minimální řešení - řešení splňuje maximalizační nebo minimalizační cílovou
podmínku.
—Optimální řešení - řešení vyhovuje nejlépe požadovanému cíli podle představ a požadavků manažera
(tj. nemusí být nutně maximální či minimální).
—Výchozí řešení - řešení zpravidla zadané odhadem nebo sestrojené vhodným jednoduchým algoritmem.
Není optimální, používá se jako start v algoritmech typu „step by step“, které jsou založeny na
postupném zlepšování výchozího řešení až do jeho optimálního tvaru.
Řešení

logo-IBA logomuni
—Řešení modelu klasifikujeme podle hlediska cílů modelování:
—Výsledné řešení - řešení, které může být vybráno jako optimální. Výsledných řešení může být k
disposici konečně nebo i nekonečně mnoho. Z množiny výsledných řešení (alternativ) vybírá manažer
řešení pro praxi nejvhodnější (optimální).
—Alternativní řešení - řešení, které je podle předem zadaných kriterií rovnocené s jiným řešením.
—Příklad: Dvě strategie investic do vybavení podniku předpokládají sice různé technologie, ale
garantují dosažení stejné výše zisku.
—Aproximativní řešení - řešení vyhovuje omezujícím podmínkám přibližně nebo se k cíli pouze
přibližuje (zpravidla se požaduje, aby termín „přibližně“ byl vhodným způsobem determinován, např.
byla známa výše ztráty, když řešení použijeme).
Řešení