Některá DISKRÉTNÍ rozdělení Alternativní rozdělení [alternative distribution] 𝑿~𝑨𝒍𝒕(𝒑) • Příklad: Chytnu zvíře. Je to samec? • Nejjednodušší případ, X nabývá pouze hodnot Ω = {0 , 1}. • Data jako „nastal – nenastal“, „přítomný – nepřítomný“, „úspěch – neúspěch“. • Popis rozdělení: 𝑷 𝑿 = 𝟏 = 𝒑 a 𝑷 𝑿 = 𝟎 = 𝟏 − 𝒑 = 𝒒 • Potom 𝑬 𝑿 = 𝒑 = 𝟏 ∙ 𝒑 + 𝟎 ∙ 𝒒 𝒗𝒂𝒓 𝑿 = 𝒑 ∙ 𝟏 − 𝒑 = 𝒑 ∙ 𝒒 = 𝟎 − 𝒑 𝟐 ∙ 𝒒 + 𝟏 − 𝒑 𝟐 ∙ 𝒑 = = 𝒑 𝟐 ∙ 𝟏 − 𝒑 + 𝟏 − 𝒑 𝟐 ∙ 𝒑 = 𝒑 ∙ (𝟏 − 𝒑) + 𝒑 + 𝟏 − 𝒑 Alternativní rozdělení Binomické rozdělení Poissonovo rozdělení Negativně binomické rozdělení Normální rozdělení Chí – kvadrát rozdělení Studentovo rozdělení Fisherovo rozdělení Některá rozdělení pravděpodobností Binomické rozdělení [binomial distribution] (dbinom) Příklad: Mám 10 pastelek. Kolik z nich je červených? Kolik se narodí chlapců do rodiny se třemi dětmi? 𝒀~𝑩𝒊(𝒏, 𝒑) [čti: náh. vel. Y má binomické rozdělení s parametry n a p] • Zjišťujeme pouze výskyt či nevýskyt jevu B v pokusu • Parametr n udává celkový počet pokusů • Pokusy jsou na sobě nezávislé • Prst p výskytu jevu B je v každém pokusu stejná • Diskrétní rozdělení • Y nabývá jedné z hodnot Ω = {0, 1, 2, 3, …, n} s pravděpodobností 𝑷 𝒀 = 𝒌 = 𝒏 𝒌 𝒑 𝒌(𝟏 − 𝒑) 𝒏−𝒌 = 𝒏 𝒌 𝒑 𝒌 𝒒 𝒏−𝒌 = 𝒏! 𝒌! (𝒏 − 𝒌)! 𝒑 𝒌 𝒒 𝒏−𝒌 Alternativní rozdělení Binomické rozdělení Poissonovo rozdělení Negativně binomické rozdělení Normální rozdělení Chí – kvadrát rozdělení Studentovo rozdělení Fisherovo rozdělení Některá rozdělení pravděpodobností Binomické rozdělení Příklad: holčičky (●) a kluci (□) v rodině se 3 dětmi: (●,●,●); (●,●,□); (●,□,●); (□,●,●); (●,□,□); (□,□,●); (□,●,□); (□,□,□). → P 0 kluků = 1 ∙ 1 2 ∙ 1 2 ∙ 1 2 P 2 kluci = 3 ∙ 1 2 ∙ 1 2 1 2 P 1 kluk = 3 ∙ 1 2 1 2 ∙ 1 2 P 3 kluci = 1 ∙ 1 2 ∙ 1 2 ∙ 1 2  Y nabývá jedné z hodnot 0, 1, 2, 3, …, n s pravděpodobností 𝑷 𝒀 = 𝒌 = 𝒏 𝒌 𝒑 𝒌 𝒒 𝒏−𝒌  Pomůcka: Pascalův trojúhelník Alternativní rozdělení Binomické rozdělení Poissonovo rozdělení Negativně binomické rozdělení Normální rozdělení Chí – kvadrát rozdělení Studentovo rozdělení Fisherovo rozdělení Některá rozdělení pravděpodobností Binomické rozdělení graficky: R: x <- c(1:40) plot(x, dbinom(x, size=40, prob=0.5), pch=16, col="red") points(x, dbinom(x, size=40, prob=0.25, pch=1, col=„blue") Alternativní rozdělení Binomické rozdělení Poissonovo rozdělení Negativně binomické rozdělení Normální rozdělení Chí – kvadrát rozdělení Studentovo rozdělení Fisherovo rozdělení Některá rozdělení pravděpodobností Střední hodnota a rozptyl binomického rozdělení: Y mohu vyjádřit jako součet „úspěchů“ z alternativního rozdělení: 𝒀 = σ𝒊=𝟏 𝒏 𝑿𝒊, kde 𝑿𝒊~𝑨𝒍𝒕(𝒑) a jsou nezávislé. Potom: 𝝁 𝒀 = 𝐸 σ𝑖=1 𝑛 𝑋𝑖 = σ𝑖=1 𝑛 𝐸𝑋𝑖 = σ𝑖=1 𝑛 𝑝 = 𝒏 ∙ 𝒑 𝝈 𝟐 𝒀 = 𝑣𝑎𝑟 σ𝑖=1 𝑛 𝑋𝑖 = σ𝑖=1 𝑛 𝑣𝑎𝑟 𝑋𝑖 = σ𝑖=1 𝑛 𝑝𝑞 = 𝒏𝒑𝒒 Další příklady: Kolik je samic mezi n náhodně chycenými zvířaty? Kolik laboratorních krys přežije naočkování virem? (!?) Úlohy v praxi: 1) odhad parametru (prsti) p a konstrukce intervalu spolehlivosti; 2) odhad a porovnání relativních četností jevů; 3) výpočet potřebného rozsahu výběru n tak, aby odhad parametru p měl požadovanou přesnost. Alternativní rozdělení Binomické rozdělení Poissonovo rozdělení Negativně binomické rozdělení Normální rozdělení Chí – kvadrát rozdělení Studentovo rozdělení Fisherovo rozdělení Některá rozdělení pravděpodobností Aproximace binomického rozdělení (aproximace = přibližný odhad, nahrazení jiným vhodným rozdělením) Pozn.: pokud je 𝒑 = 𝒒 = 𝟎, 𝟓, potom je binom. rozdělení symetrické, jinak je asymetrické. Alternativní rozdělení Binomické rozdělení Poissonovo rozdělení Negativně binomické rozdělení Normální rozdělení Chí – kvadrát rozdělení Studentovo rozdělení Fisherovo rozdělení Některá rozdělení pravděpodobností Aproximace binomického rozdělení (aproximace = přibližný odhad, nahrazení jiným vhodným rozdělením) Pozn.: pokud je 𝒑 = 𝒒 = 𝟎, 𝟓, potom je binom. rozdělení symetrické, jinak je asymetrické.  Pro dostatečně velké n a rozumné 𝒑 ∈ 𝟎. 𝟏, 𝟎. 𝟗 můžeme nahradit normálním rozdělením.  Pro dostatečně velké n a malé 𝒑 < 𝟎. 𝟏 můžeme nahradit Poissonovým rozdělením. Jak velké je „dostatečně velké“ n? Buď tak, aby 𝒏 ∙ 𝒑 ∙ 𝒒 > 𝟗 𝒏 > 𝟗 𝒑∙𝒒 nebo podle tabulky: Alternativní rozdělení Binomické rozdělení Poissonovo rozdělení Negativně binomické rozdělení Normální rozdělení Chí – kvadrát rozdělení Studentovo rozdělení Fisherovo rozdělení p → n 0.5 ≥ 30 0.4 a 0.6 ≥ 50 0.3 a 0.7 ≥ 80 0.2 a 0.8 ≥ 200 0.1 a 0.9 ≥ 600 Některá rozdělení pravděpodobností Galtonova deska či opilcova procházka https://www.youtube.com/watch?v=3m4bxse2JEQ Alternativní rozdělení Binomické rozdělení Poissonovo rozdělení Negativně binomické rozdělení Normální rozdělení Chí – kvadrát rozdělení Studentovo rozdělení Fisherovo rozdělení Některá rozdělení pravděpodobností Poissonovo rozdělení [Poisson distribution] Příklad: Sleduju, kolik trolejbusů projede zastávkou za jednotku času. 𝑿~𝑷𝒐 𝝀 [čti: X má Poasonovo rozdělení s parametrem lambda] X nabývá hodnot Ω = {0, 1, 2, 3, …} (bez omezení shora) s prstí 𝑷 𝑿 = 𝒌 = 𝝀 𝒌 𝒌! 𝒆−𝝀 • Popisuje počet náhodných, vzájemně nezávislých jevů v jednotce času nebo prostoru. • Jevy v čase nastávající zřídka – „zákon vzácných jevů“. • Jevy v prostoru mají být o počtech subjektů v malých objemech nebo v řídké suspenzi. • Užití: pomocí Poissonova rozdělení testujeme otázky o náhodnosti rozmístění jedinců v ploše/času; také zda výskyt jednoho jedince ovlivňuje výskyt dalších jedinců, nebo zda žijí na sobě nezávisle. Alternativní rozdělení Binomické rozdělení Poissonovo rozdělení Negativně binomické rozdělení Normální rozdělení Chí – kvadrát rozdělení Studentovo rozdělení Fisherovo rozdělení 𝝁 𝑿 = 𝝀 … střední hodnota 𝝈 𝑿 𝟐 = 𝝀 … rozptyl 𝝀 > 𝟎 … kladné reálné číslo (0.25; 1.8) Některá rozdělení pravděpodobností Vlastnosti Poissonova rozdělení Typický tvar dostává Poissonovo rozdělení pro malá 𝝀 (< 2): výrazně pozitivně šikmé. (To vadí při regresní analýze i při analýze rozptylu. Řešíme to odmocninovou transformací nebo lépe užitím GLM /zobecněných lineárních modelů/) • Platí, že když nezávislé 𝑿~𝑷𝒐(𝝀 𝟏) a 𝐘~𝑷𝒐(𝝀 𝟐), tak 𝑿 + 𝒀~𝑷𝒐 𝝀 𝟑 . • Pro vyšší hodnoty 𝝀 (> 10) lze data aproximovat normálním rozd. Alternativní rozdělení Binomické rozdělení Poissonovo rozdělení Negativně binomické rozdělení Normální rozdělení Chí – kvadrát rozdělení Studentovo rozdělení Fisherovo rozdělení Některá rozdělení pravděpodobností Další příklady Poissonova rozdělení V čase: • Počet nezávislých kolonizací vzdáleného ostrova za jednotku času; V prostoru: • Počet bakterií v jednotce objemu vodní suspenze, pokud se bakterie nevyskytují ve shlucích (mikrobiologie); • Rozmístění klíšťat v srsti myši (parazitologie); • Počet jedinců kruštíku bahenního ve 100 pokusných čtverců (ekologie); Rozmístění rovnoměrné – náhodné – shlukovité Mám-li data o počtu jedinců na pokusnou plochu, dostávám pro  rovnoměrné rozmístění: 𝝁 𝑿 > 𝝈 𝟐 𝑿 (Binomické rozdělení)  náhodné rozmístění: 𝝁 𝑿 = 𝝈 𝟐 𝑿 (Poissonovo rozdělení)  shlukovité rozmístění: 𝝁 𝑿 < 𝝈 𝟐 𝑿 (negativně–binomické rozd či Neymanovo rozdělení) Alternativní rozdělení Binomické rozdělení Poissonovo rozdělení Negativně binomické rozdělení Normální rozdělení Chí – kvadrát rozdělení Studentovo rozdělení Fisherovo rozdělení Některá rozdělení pravděpodobností Řešené příklady v Lepš & Šmilauer, str. 361 Negativně binomické rozdělení [negative binomial distribution] Příklad: Házím korunou. Kolikrát za sebou padne lev, než mi poprvé padne korunka?  Dělám pokusy s výsledkem 0 / 1 (úspěch/neúspěch), které jsou navzájem nezávislé a pocházejí ze stejného rozdělení (tj. mají stejnou prst úspěchu [iid = independent and identically distributed]  Výsledkem je počet úspěchů k do té doby, než nastane r neúspěchů  Počet neúspěchů r je předem stanoveno  Počet pokusů (n) není omezen 𝑿~𝑵𝑩 𝒓, 𝒑 r = předem daný počet neúspěchů (*) p = prst úspěchu (* čti poznámku dále) X nabývá hodnot k = 0, 1, 2, … (počet úspěchů) s pravděpodobností 𝑷 𝑿 = 𝒌 = 𝒌 + 𝒓 − 𝟏 𝒌 𝒑 𝒌 (𝟏 − 𝒑) 𝒓 = (𝒌 + 𝒓 − 𝟏)! 𝒌! (𝒌 + 𝒓 − 𝟏 − 𝒌)! 𝒑 𝒌 𝒒 𝒓 Alternativní rozdělení Binomické rozdělení Poissonovo rozdělení Negativně binomické rozdělení Normální rozdělení Chí – kvadrát rozdělení Studentovo rozdělení Fisherovo rozdělení Některá rozdělení pravděpodobností Negativně binomické rozdělení – střední hodnota a rozptyl 𝑬𝑿 = 𝒓∙𝒑 𝟏−𝒑 = 𝒓∙𝒑 𝒒 𝒗𝒂𝒓 𝑿 = 𝒓∙𝒑 (𝟏−𝒑) 𝟐 = 𝒓∙𝒑 𝒒 𝟐 (*) POZOR! Toto rozdělení lze zavést i jinými způsoby: a) X = počet úspěchů k, dokud nenastane r neúspěchů (naše zavedení) b) X = počet pokusů n, dokud nenastane r neúspěchů (n = k + r) c) X = počet neúspěchů r, dokud nenastane k úspěchů d) X = počet pokusů n, dokud nenastane k úspěchů e) X = počet úspěchů k, je-li dán počet pokusů => binomické rozdělení Podrobné vzorce na dalším listu. Poznámka: jméno vzniklo přetvarováním binomického koeficientu 𝒌 + 𝒓 − 𝟏 𝒌 = … = (−𝟏) 𝒌 −𝒓 𝒌 Alternativní rozdělení Binomické rozdělení Poissonovo rozdělení Negativně binomické rozdělení Normální rozdělení Chí – kvadrát rozdělení Studentovo rozdělení Fisherovo rozdělení Některá rozdělení pravděpodobností (*) Porovnání alternativních formulací negativně binomického rozdělení: a) X = počet úspěchů k, dokud nenastane r neúspěchů (naše zavedení) ~𝑵𝑩 𝒓, 𝒑 ; 𝑬𝑿 = 𝒓 ∙ 𝒑 𝟏 − 𝒑 ; 𝒌 = 𝟎, 𝟏, 𝟐, … ; 𝒏 = 𝒓, 𝒓 + 𝟏, 𝒓 + 𝟐, … 𝑷 𝑿 = 𝒌 = 𝒌 + 𝒓 − 𝟏 𝒌 𝒑 𝒌 (𝟏 − 𝒑) 𝒓 = 𝒌 + 𝒓 − 𝟏 𝒓 − 𝟏 𝒑 𝒌 (𝟏 − 𝒑) 𝒓 = 𝒏 − 𝟏 𝒌 𝒑 𝒌 (𝟏 − 𝒑) 𝒓 b) X = počet pokusů n, dokud nenastane r neúspěchů ~𝑵𝑩 𝒓, 𝒑 ; 𝑬𝑿 = 𝒓 ∙ 𝒑 𝟏 − 𝒑 + 𝒓; 𝒏 = 𝒓, 𝒓 + 𝟏, 𝒓 + 𝟐, … 𝑷 𝑿 = 𝒏 = 𝒏 − 𝟏 𝒓 − 𝟏 𝒑 𝒏−𝒓 (𝟏 − 𝒑) 𝒓 = 𝒏 − 𝟏 𝒏 − 𝒓 𝒑 𝒏−𝒓 (𝟏 − 𝒑) 𝒓 = 𝒏 − 𝟏 𝒌 𝒑 𝒌 (𝟏 − 𝒑) 𝒓 c) X = počet neúspěchů r, dokud nenastane k úspěchů ~𝑵𝑩 𝒌, 𝒑 ; 𝑬𝑿 = 𝒌 ∙ (𝟏 − 𝒑) 𝒑 ; 𝒓 = 𝟎, 𝟏, 𝟐, … ; 𝒏 = 𝒌, 𝒌 + 𝟏, 𝒌 + 𝟐, … 𝑷 𝑿 = 𝒓 = 𝒌 + 𝒓 − 𝟏 𝒓 𝒑 𝒌 (𝟏 − 𝒑) 𝒓 = 𝒌 + 𝒓 − 𝟏 𝒌 − 𝟏 𝒑 𝒌 (𝟏 − 𝒑) 𝒓 = 𝒏 − 𝟏 𝒓 𝒑 𝒌 (𝟏 − 𝒑) 𝒓 d) X = počet pokusů n, dokud nenastane k úspěchů ~𝑵𝑩 𝒌, 𝒑 ; 𝑬𝑿 = 𝒌 ∙ (𝟏 − 𝒑) 𝒑 + 𝒌; 𝒏 = 𝒌, 𝒌 + 𝟏, 𝒌 + 𝟐, … 𝑷 𝑿 = 𝒏 = 𝒏 − 𝟏 𝒌 − 𝟏 𝒑 𝒌 (𝟏 − 𝒑) 𝒏−𝒌 = 𝒏 − 𝟏 𝒏 − 𝒌 𝒑 𝒌 (𝟏 − 𝒑) 𝒏−𝒌 = 𝒏 − 𝟏 𝒓 𝒑 𝒌 (𝟏 − 𝒑) 𝒓 Alternativní rozdělení Binomické rozdělení Poissonovo rozdělení Negativně binomické rozdělení Normální rozdělení Chí – kvadrát rozdělení Studentovo rozdělení Fisherovo rozdělení Některá rozdělení pravděpodobností Stále to nejsou všechny možné tvary zápisu. SPOJITÁ ROZDĚLENÍ Alternativní rozdělení Binomické rozdělení Poissonovo rozdělení Negativně binomické rozdělení Normální rozdělení Chí – kvadrát rozdělení Studentovo rozdělení Fisherovo rozdělení Některá rozdělení pravděpodobností Normální rozdělení [normal distribution, Gaussian distribution] (dnorm) Příklad: Rozložení výšek studentů ve třídě. 𝑿~𝑵(𝝁, 𝝈 𝟐) 𝒇 𝒙 = 𝟏 𝟐𝝅 𝝈 𝟐 ∙ 𝒆 − 𝒙−𝝁 𝟐 𝟐𝝈 𝟐 = 𝟏 𝝈 𝟐𝝅 ∙ 𝒆𝒙𝒑 − 𝟏 𝟐 𝒙−𝝁 𝟐 𝝈 𝟐  Spojitá data  Symetrické rozdělení  𝝁 … poloha vrcholu  𝛔2 … šířka zvonu  Kladné i záporné hodnoty  Z-rozdělení (STATISTICA) Alternativní rozdělení Binomické rozdělení Poissonovo rozdělení Negativně binomické rozdělení Normální rozdělení Chí – kvadrát rozdělení Studentovo rozdělení Fisherovo rozdělení [čti: X má normální rozdělení se střední hodnotou mí a rozptylem sigma na druhou] Některá rozdělení pravděpodobností Normální rozdělení 𝑿~𝑵(𝝁, 𝝈 𝟐 ) také 𝑵(𝝁, 𝝈) Střední hodnota: 𝑬𝑿 = ‫׬‬−∞ ∞ 𝒙 ∙ 𝒇 𝒙 = ⋯ = 𝝁 Rozptyl: 𝒗𝒂𝒓 𝑿 = ‫׬‬−∞ ∞ (𝒙 − 𝝁) 𝟐 ∙ 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 = ⋯ = 𝝈 𝟐 Šikmost: 𝜸 𝟏 = 𝟎 Špičatost: 𝜸 𝟐 = 𝟎 Některé prsti: 𝑷 𝑿 ∈ 𝝁 − 𝝈, 𝝁 + 𝝈 ≅ 𝟎, 𝟔𝟖 ~ 𝟔𝟖 % 𝑷 𝑿 ∈ 𝝁 − 𝟐𝝈, 𝝁 + 𝟐𝝈 ≅ 𝟎, 𝟗𝟓𝟓 ~ 𝟗𝟓, 𝟓 % Alternativní rozdělení Binomické rozdělení Poissonovo rozdělení Negativně binomické rozdělení Normální rozdělení Chí – kvadrát rozdělení Studentovo rozdělení Fisherovo rozdělení Některá rozdělení pravděpodobností Normální rozdělení 𝑿~𝑵(𝝁, 𝝈 𝟐 ) Alternativní rozdělení Binomické rozdělení Poissonovo rozdělení Negativně binomické rozdělení Normální rozdělení Chí – kvadrát rozdělení Studentovo rozdělení Fisherovo rozdělení Některá rozdělení pravděpodobností Normální rozdělení 𝑿~𝑵(𝝁, 𝝈 𝟐 ) Co modelujeme pomocí normálního rozdělení: • spojitá data na poměrové stupnici • spojitá data na intervalové stupnici, pokud je průměr alespoň o několik směrodatných odchylek větší než nula (arbitrární nula!) • diskrétní data, pokud má X dostatek různých diskrétních hodnot, např. počet semenáčků v rozmezí alespoň 1 – 30 Alternativní rozdělení Binomické rozdělení Poissonovo rozdělení Negativně binomické rozdělení Normální rozdělení Chí – kvadrát rozdělení Studentovo rozdělení Fisherovo rozdělení Některá rozdělení pravděpodobností Standardizované normální rozdělení [standard score, normal deviate] 𝒁 = 𝑿−𝝁 𝝈 ~ 𝑵(𝟎, 𝟏) … v praxi počítám: 𝑍𝑖 = 𝑋 𝑖− ത𝑋 𝑠𝑑(𝑋) 𝑬 𝒁 = 𝟎 𝒗𝒂𝒓 𝒁 = 𝟏 Můžete se setkat s tímto značením: Hustota Z se značí 𝝋 𝒙 = 𝟏 𝟐𝝅 𝒆𝒙𝒑 − 𝒙 𝟐 𝟐 [čti: fí x rovná se …] Distribuční funkce 𝝓 𝒙 = 𝟏 𝟐𝝅 ‫׬‬−∞ 𝒙 𝒆𝒙𝒑 − 𝒕 𝟐 𝟐 𝒅𝒕 [čti: fí …; velké fí] Některé kvantily N(0,1): ൠ 𝝓 −𝟏, 𝟗𝟔 = 𝟎, 𝟎𝟐𝟓 ~ 𝟐, 𝟓 % 𝝓 +𝟏, 𝟗𝟔 = 𝟎, 𝟗𝟕𝟓 ~ 𝟗𝟕, 𝟓 % 𝑷 𝑿 < −𝟏, 𝟗𝟔 ∪ 𝑿 > 𝟏, 𝟗𝟔 = 𝟎, 𝟎𝟓 Dříve hodnoty kvantilů v tabulkách, dnes počítají počítače. Alternativní rozdělení Binomické rozdělení Poissonovo rozdělení Negativně binomické rozdělení Normální rozdělení Chí – kvadrát rozdělení Studentovo rozdělení Fisherovo rozdělení Některá rozdělení pravděpodobností Standardizované normální rozdělení [standard score, normal deviate] 𝒁 = 𝑿−𝝁 𝝈 ~ 𝑵(𝟎, 𝟏) … v praxi počítám: 𝑍𝑖 = 𝑋 𝑖− ത𝑋 𝑠𝑑(𝑋) Některé kvantily N(0,1): ൠ 𝝓 −𝟏, 𝟗𝟔 = 𝟎, 𝟎𝟐𝟓 ~ 𝟐, 𝟓 % 𝝓 +𝟏, 𝟗𝟔 = 𝟎, 𝟗𝟕𝟓 ~ 𝟗𝟕, 𝟓 % 𝑷 𝑿 < −𝟏, 𝟗𝟔 ∪ 𝑿 > 𝟏, 𝟗𝟔 = 𝟎, 𝟎𝟓 Alternativní rozdělení Binomické rozdělení Poissonovo rozdělení Negativně binomické rozdělení Normální rozdělení Chí – kvadrát rozdělení Studentovo rozdělení Fisherovo rozdělení Některá rozdělení pravděpodobností Rozdělení odvozená od normálního rozdělení: Logaritmicko–normální rozdělení [log–normal distribution] když X nabývá jen kladných hodnot a její logaritmus má normální rozdělení 𝑿~𝑳𝑵 𝝁, 𝝈 𝟐 → 𝒍𝒏(𝑿)~𝑵(𝝁, 𝝈 𝟐) , 𝑿 > 𝟎 • příklady: tělesná hmotnost, abundance druhů, koncentrace látek, … • s rostoucí mírou polohy roste také míra variability • když 𝒀 = 𝒍𝒏(𝑿), tak 𝑿 = 𝒆 𝒀 Alternativní rozdělení Binomické rozdělení Poissonovo rozdělení Negativně binomické rozdělení Normální rozdělení Chí – kvadrát rozdělení Studentovo rozdělení Fisherovo rozdělení Některá rozdělení pravděpodobností Rozdělení odvozená od normálního rozdělení: Logaritmicko–normální rozdělení když X nabývá jen kladných hodnot a její logaritmus má normální rozdělení 𝑿~𝑳𝑵 𝝁, 𝝈 𝟐 → 𝒍𝒏(𝑿)~𝑵(𝝁, 𝝈 𝟐) , 𝑿 > 𝟎 𝑬𝑿 = 𝒆 𝝁+ 𝝈 𝟐 𝟐 𝒎𝒆𝒅𝒊𝒂𝒏 𝑿 = 𝒆 𝝁 𝒎𝒐𝒅𝒖𝒔 𝑿 = 𝒆 𝝁−𝝈 𝟐 Alternativní rozdělení Binomické rozdělení Poissonovo rozdělení Negativně binomické rozdělení Normální rozdělení Chí – kvadrát rozdělení Studentovo rozdělení Fisherovo rozdělení Některá rozdělení pravděpodobností Rozdělení odvozená od normálního rozdělení: 𝝌 𝟐, Chí-kvadrát rozdělení [chi-square distrib. [čti: kaj-skvér]] (dchisq) jsou-li 𝒁 𝟏, … , 𝒁 𝒌 ~ 𝑵 𝟎, 𝟏 𝒊𝒊𝒅. (nezávislé, stejně rozdělené), pak platí: 𝑾 = σ𝒊=𝟏 𝒌 𝒁𝒊 𝟐 ~ 𝝌 𝒌 𝟐 • hodnoty 𝑾 ≥ 𝟎 • tvar hustoty i distribuční funkce závisí na počtu stupňů volnosti • středí hodnota 𝑬𝑾 = 𝒌 • rozptyl 𝒗𝒂𝒓𝑾 = 𝟐𝒌 Alternativní rozdělení Binomické rozdělení Poissonovo rozdělení Negativně binomické rozdělení Normální rozdělení Chí – kvadrát rozdělení Studentovo rozdělení Fisherovo rozdělení [čti: W má chí kvadrát rozdělení o k stupních volnosti] [stupně volnosti = degrees of freedom] Některá rozdělení pravděpodobností Chí-kvadrát rozdělení 𝑾~𝝌 𝟐 (𝒌) Používáme například v těchto situacích: • testy o rozdělení výběrového rozptylu • testování nezávislosti faktorů v kontingenčních tabulkách • testy dobré shody četností pozorovaných dat v kategoriích vůči předpokládanému rozdělení (goodness of fit test) • testy poměrem věrohodností pro „nested“ modely (likelyhood-ratio test) • analýza přežívání – „log-rank“ testy Alternativní rozdělení Binomické rozdělení Poissonovo rozdělení Negativně binomické rozdělení Normální rozdělení Chí – kvadrát rozdělení Studentovo rozdělení Fisherovo rozdělení Některá rozdělení pravděpodobností Rozdělení odvozená od normálního rozdělení: t-rozdělení, Studentovo rozdělení [Student’s t-distribution] (dt) jsou-li 𝑾 = σ𝒊=𝟏 𝒌 Ž𝒊 𝟐 ~𝝌 𝟐 (𝒌) a 𝒁~𝑵(𝟎, 𝟏) nezávislé náh. veličiny, pak platí: 𝑻 = 𝒁 𝑾 𝒌 ~ 𝒕 𝒌 • hodnoty 𝑇 ∈ −∞, ∞ • rozdělení symetrické kolem nuly, velmi podobné normálnímu rozdělení • střední hodnota 𝑬𝑻 = 𝟎 pro k > 1, jinak neexistuje • rozptyl 𝒗𝒂𝒓 𝑻 = 𝒌 𝒌−𝟐 pro k > 2, jinak neexistuje; 𝑣𝑎𝑟𝑇 𝑘→∞ 1 • objevuje se v testech, kde neznámý populační rozptyl 𝜎2nahrazujeme výběrovým rozptylem 𝑆2 Alternativní rozdělení Binomické rozdělení Poissonovo rozdělení Negativně binomické rozdělení Normální rozdělení Chí – kvadrát rozdělení Studentovo rozdělení Fisherovo rozdělení [čti: T má té rozdělení s ká stupni volnosti] Některá rozdělení pravděpodobností t-rozdělení 𝑻~ 𝒕 𝒌 Alternativní rozdělení Binomické rozdělení Poissonovo rozdělení Negativně binomické rozdělení Normální rozdělení Chí – kvadrát rozdělení Studentovo rozdělení Fisherovo rozdělení Některá rozdělení pravděpodobností t-rozdělení 𝑻~ 𝒕 𝒌 Odvození tvaru náhodné veličiny užitečné pro testování: (Tentýž snímek také v další přednášce.) 𝒁 = ഥ𝑿 − 𝝁 𝝈 𝒏 , protože ഥ𝑿 ~ 𝑵 𝝁, 𝝈 𝟐 𝒏 𝑺 𝟐 = σ 𝑿𝒊 − ഥ𝑿 𝟐 𝒏 − 𝟏 −→ 𝒏 − 𝟏 ∙ 𝑺 𝟐 = ෍ 𝑿𝒊 − ഥ𝑿 𝟐 𝒏 − 𝟏 ∙ 𝑺 𝟐 𝝈 𝟐 = σ 𝑿𝒊 − ഥ𝑿 𝟐 𝝈 𝟐 = ෍ 𝒊=𝟏 𝒏 𝑿𝒊 − ഥ𝑿 𝝈 𝟐 = ෍ 𝒊=𝟏 𝒏 𝒁𝒊 𝟐 = 𝑾 𝑻 = ഥ𝑿 − 𝝁 𝝈 𝒏 𝒏 − 𝟏 ∙ 𝑺 𝟐 𝝈 𝟐 𝒏 − 𝟏 𝟏 = ഥ𝑿 − 𝝁 𝒏 𝝈 𝑺 𝟐 ∙ (𝒏 − 𝟏) 𝝈 𝟐 ∙ (𝒏 − 𝟏) = ഥ𝑿 − 𝝁 𝒏 𝝈 𝑺 𝝈 = ഥ𝑿 − 𝝁 𝑺 𝒏 ~𝒕(𝒏−𝟏) … Normování ത𝑋 Některá rozdělení pravděpodobností Alternativní rozdělení Binomické rozdělení Poissonovo rozdělení Negativně binomické rozdělení Normální rozdělení Chí – kvadrát rozdělení Studentovo rozdělení Fisherovo rozdělení Normovaná 𝑋𝑖: 𝑋 𝑖−𝜇 𝜎 Chci tam ത𝑋 místo μ, ale ztrácím tím jeden stupeň volnosti. Přidat σ je snadné, ale musím ji přidat na obě strany rovnice! F – rozdělení, Fisherovo rozdělení [Fisher – Snedecor distribution] (df) jsou-li 𝑽~𝝌 𝟐 (𝒌) a 𝑾~𝝌 𝟐 (𝒎) nezávislé náhodné veličiny, potom platí 𝑭 = 𝑽 𝒌 𝑾 𝒎 ~𝑭(𝒌, 𝒎) • hodnoty 𝑭 ≥ 𝟎 • střední hodnota 𝑬𝑭 = 𝒎 𝒎−𝟐 , pro m > 2, jinak neexistuje • rozptyl 𝒗𝒂𝒓𝑭 = 𝟐𝒎 𝟐(𝒌+𝒎−𝟐) 𝒌 𝒎−𝟐 𝟐(𝒎−𝟒) , pro m > 4, jinak neexistuje • tam, kde porovnáváme dva nezávislé odhady stejného rozptylu (ANOVA); ověřování shody populačních rozptylů před dvouvýběrovým t-testem Alternativní rozdělení Binomické rozdělení Poissonovo rozdělení Negativně binomické rozdělení Normální rozdělení Chí – kvadrát rozdělení Studentovo rozdělení Fisherovo rozdělení [čti: F má ef rozdělení s ká a em stupni volnosti] Některá rozdělení pravděpodobností F-rozdělení 𝑭~𝑭(𝒌, 𝒎) Alternativní rozdělení Binomické rozdělení Poissonovo rozdělení Negativně binomické rozdělení Normální rozdělení Chí – kvadrát rozdělení Studentovo rozdělení Fisherovo rozdělení Některá rozdělení pravděpodobností