Dva výběry .
Dva výběry: Porovnání variancí
Porovnání středních hodnot
Porovnání dvou pravděpodobností
Příklady různých výběrů
Dva výběry: F-test shody variancí [homogeneity of variances]
Předpoklady testu:
• (X1, X2, …, Xk) a (Y1, Y2, …, Ym) všechno nezávislé; 𝑛 𝑋 = 𝑘, 𝑛 𝑌 = 𝑚
• 𝑿𝒊 ~ 𝑵(𝝁 𝑿, 𝝈 𝑿
𝟐
), 𝒀𝒊 ~ 𝑵(𝝁 𝒀, 𝝈 𝒀
𝟐
), parametry neznáme.
Hypotéza: 𝑯 𝟎: 𝝈 𝑿
𝟐
= 𝝈 𝒀
𝟐
ale testujeme
𝝈 𝑿
𝟐
𝝈 𝒀
𝟐 = 1
alternativa 𝑯 𝟏: 𝝈 𝑿
𝟐
≠ 𝝈 𝒀
𝟐
Testová statistika:
𝑭 =
𝑺 𝑿
𝟐
𝑺 𝒀
𝟐 má za platnosti H0 rozdělení 𝑭 𝒏 𝑿−𝟏,𝒏 𝒀−𝟏
Dva výběry: Porovnání variancí
Porovnání středních hodnot
Porovnání dvou pravděpodobností
F–test shody variancí
Leveneův test
Ansari-Bradleyův test
Otázka a předpoklady
Testová statistika
Příklad
Konfidenční interval, síla testu
Příklad fosfor:
Málo Mg hodně Mg
SD(fosforu): 9.4mg/kg 8.6 mg/kg
Doplňkově podrobnější odvození testové statistiky F:
Teoreticky má být
Máme:
𝑆 𝑋
2
𝜎 𝑋
2 =
1
𝜎 𝑋
2 ∙
σ 𝑖=1
𝑘
𝑋 𝑖− ത𝑋 2
𝑘−1
=
1
𝑘−1
∙
σ 𝑖=1
𝑘
𝑋 𝑖− ത𝑋 2
𝜎 𝑋
2 =
1
𝑘−1
∙ σ𝑖=1
𝑘 𝑋 𝑖− ത𝑋
𝜎 𝑋
2
Podobně pro S2
Y .
Dohromady:
𝑭 =
𝑺 𝑿
𝟐
𝝈 𝑿
𝟐
𝑺 𝒀
𝟐
𝝈 𝒀
𝟐
=
𝑆 𝑋
2
𝜎 𝑋
2 ∙
𝜎 𝑌
2
𝑆 𝑌
2 =
𝑆 𝑋
2
𝑆 𝑌
2 ∙
𝜎 𝑌
2
𝜎 𝑋
2 = 𝐻0
𝑺 𝑿
𝟐
𝑺 𝒀
𝟐
~ 𝑯 𝟎
𝑭 𝒏 𝑿−𝟏,𝒏 𝒀−𝟏
𝑉𝑖 ~ 𝑁 0,1 a tedy σ𝒊=𝟏
𝒌
𝑽𝒊
𝟐
~ 𝝌 𝟐
𝒌
𝑭 =
σ𝒊=𝟏
𝒌
𝑽𝒊
𝟐
𝒌
σ𝒋=𝟏
𝒎
𝑾𝒋
𝟐
𝒎
𝑊𝑗 ~ 𝑁 0,1 a tedy σ𝒋=𝟏
𝒎
𝑾𝒋
𝟐
~ 𝝌 𝟐
𝒎
~ 𝑁(0,1)Jeden stupeň volnosti ztrácím odhadem 𝜇 𝑋 = ത𝑋
Dva výběry: Porovnání variancí
Porovnání středních hodnot
Porovnání dvou pravděpodobností
F–test shody variancí:
Leveneův test
Ansari-Bradleyův test
Otázka a předpoklady
Testová statistika
Příklad
Konfidenční interval, síla testu
Za platnosti hypotézy je zlomek roven 1
Dva výběry: F-test shody variancí
Testová statistika: 𝑭 =
𝑺 𝑿
𝟐
𝑺 𝒀
𝟐 ~ 𝑯 𝟎
𝑭 𝒏 𝑿−𝟏,𝒏 𝒀−𝟏
Kritérium: typicky uvažujeme oboustrannou alternativu 𝑯 𝟏: 𝝈 𝟐
𝑿 ≠ 𝝈 𝟐
𝒀,
zajímá nás jen otázka shody či neshody variancí.
Proti nulové hypotéze svědčí dvě situace:
Buď 𝑺 𝑿
𝟐
≫ 𝑺 𝒀
𝟐
a 𝑭 =
𝑺 𝑿
𝟐
𝑺 𝒀
𝟐 leží na pravém chvostu, srovnám s 𝑭 𝒇𝟏,𝒇𝟐 𝟏 −
𝜶
𝟐
nebo 𝑺 𝑿
𝟐
≪ 𝑺 𝒀
𝟐
a 𝑭 =
𝑺 𝑿
𝟐
𝑺 𝒀
𝟐 leží na levém chvostu, srovnám s 𝑭 𝒇𝟏,𝒇𝟐
𝜶
𝟐
Dva výběry: Porovnání variancí
Porovnání středních hodnot
Porovnání dvou pravděpodobností
F–test shody variancí:
Leveneův test
Ansari-Bradleyův test
Otázka a předpoklady
Testová statistika
Příklad
Konfidenční interval, síla testu
Dva výběry: F-test shody variancí
Doplňkově:
F-rozdělení není souměrné, ale platí, že
𝑷 𝑭 ≤ 𝑭 𝒇𝟏,𝒇𝟐
𝜶
𝟐
= 𝑷
𝟏
𝑭
≥ 𝑭 𝒇𝟐,𝒇𝟏 𝟏 −
𝜶
𝟐
=
𝜶
𝟐
Proto někdy kritérium zní: 𝐹 =
𝑣ě𝑡ší 𝑧 𝑜𝑑ℎ𝑎𝑑ů 𝑟𝑜𝑧𝑝𝑡𝑦𝑙𝑢
𝑚𝑒𝑛ší 𝑧 𝑜𝑑ℎ𝑎𝑑ů 𝑟𝑜𝑧𝑝𝑡𝑦𝑙𝑢
≥ 𝑭č𝒊𝒕𝒂𝒕,𝒋𝒎𝒆𝒏𝒐𝒗 1 −
𝛼
2
Dva výběry: Porovnání variancí
Porovnání středních hodnot
Porovnání dvou pravděpodobností
F–test shody variancí:
Leveneův test
Ansari-Bradleyův test
Otázka a předpoklady
Testová statistika
Příklad
Konfidenční interval, síla testu
Dva výběry: F-test shody variancí
Příklad: obsah fosforu v listech pšenice
Rozdělených podle obsahu hořčíku.
H0: 𝜎 𝑚𝑔.𝑚𝑎𝑙𝑜
2
= 𝜎 𝑚𝑔.ℎ𝑜𝑑𝑛𝑒
2
H1: 𝜎 𝑚𝑔.𝑚𝑎𝑙𝑜
2
≠ 𝜎 𝑚𝑔.ℎ𝑜𝑑𝑛𝑒
2
R: var.test(x, y, ratio=1,
alternative=c("two.sided","less",
"greater"), conf.level=0.95, ...)
 F test to compare two variances
data: fosfor$mg.malo and fosfor$mg.hodne
F = 1.1933, num df = 23, denom df = 24, p-value = 0.6696
alternative hypothesis: true ratio of variances is not equal to 1
95 percent confidence interval: 0.5229178 2.7433662
sample estimates ratio of variances = 1.193335
Odhady rozptylů: 𝑆 𝑚𝑔.𝑚á𝑙𝑜
2
= 88.26, 𝑆 𝑚𝑔.ℎ𝑜𝑑𝑛ě
2
= 73.96
Numerator degrees of freedom
Stupně volnosti v čitateli (nahoře)
Denominator degr. of freedom
St. volnosti ve jmenovateli (dole).
Dva výběry: Porovnání variancí
Porovnání středních hodnot
Porovnání dvou pravděpodobností
F–test shody variancí:
Leveneův test
Ansari-Bradleyův test
Předpoklady a testová statistika
Příklad
Konfidenční interval
Síla testu, poznámky
Příklad: F-test shody variancí
Jaký výsledek dostaneme, když zadáme proměnné v opačném pořadí?
> var.test(mg.malo,mg.hodne)
F test to compare two variances
data: mg.malo and mg.hodne
F = 1.1933, num df = 23, denom df = 24,
p-value = 0.6696
95 percent confidence interval:
(0.5229178 ; 2.7433662)
sample estimates: ratio of variances = 1.193335
> var.test(mg.hodne,mg.malo)
F test to compare two variances
data: mg.hodne and mg.malo
F = 0.83799, num df = 24, denom df = 23,
p-value = 0.6696
95 percent confidence interval:
(0.3645157; 1.9123465)
sample estimates: ratio of variances = 0.838
𝐹1 = 1.19
𝐹2 = 0.84
1
1.1933
= 0.8380
𝐹23, 24 0.975 = 2.28
𝐹24, 23 0.025 = 0.44
Dva výběry: Porovnání variancí
Porovnání středních hodnot
Porovnání dvou pravděpodobností
F–test shody variancí:
Leveneův test
Ansari-Bradleyův test
Předpoklady a testová statistika
Příklad
Konfidenční interval
Síla testu, poznámky
Konfidenční interval pro poměr variancí
𝝈 𝑿
𝟐
𝝈 𝒀
𝟐
Je nesouměrný, protože F-rozdělení je nesouměrné:
𝐹𝑛 𝑋−1,𝑛 𝑌−1
𝛼
2
≤
𝑺 𝟐
𝑿
𝑺 𝟐
𝒀
∙
𝝈 𝟐
𝒀
𝝈 𝟐
𝑿
≤ 𝐹𝑛 𝑋−1,𝑛 𝑌−1 1 −
𝛼
2
zapracujeme znalost 𝑷 𝑭 ≤ 𝑭 𝒇𝟏,𝒇𝟐
𝜶
𝟐
= 𝑷
𝟏
𝑭
≥ 𝑭 𝒇𝟐,𝒇𝟏 𝟏 −
𝜶
𝟐
𝐹𝑛 𝑌−1,𝑛 𝑋−1 1 −
𝛼
2
≥
𝑺 𝟐
𝒀
𝑺 𝟐
𝑿
∙
𝝈 𝟐
𝑿
𝝈 𝟐
𝒀
≥ 𝐹𝑛 𝑌−1,𝑛 𝑋−1
𝛼
2
Uspořádáme logicky menší < větší a převedeme poměr odhadů rozptylů:
𝑭 𝒏 𝒀−𝟏,𝒏 𝑿−𝟏
𝜶
𝟐
∙
𝑺 𝟐
𝑿
𝑺 𝟐
𝒀
≤
𝝈 𝟐
𝑿
𝝈 𝟐
𝒀
≤ 𝑭 𝒏 𝒀−𝟏,𝒏 𝑿−𝟏 𝟏 −
𝜶
𝟐
∙
𝑺 𝟐
𝑿
𝑺 𝟐
𝒀
Dva výběry: Porovnání variancí
Porovnání středních hodnot
Porovnání dvou pravděpodobností
F–test shody variancí:
Leveneův test
Ansari-Bradleyův test
Předpoklady a testová statistika
Příklad
Konfidenční interval
Síla testu, poznámky
F-test shody variancí – další poznámky
• Pokud nezamítám H0 (rozptyly jsou shodné), počítám odhad společného
rozptylu [pooled variance] takto:
𝑆2 =
σ𝑖=1
𝑛 𝑋
𝑋𝑖 − ത𝑋 2
+ σ 𝑗=1
𝑛 𝑌
𝑌𝑗 − ത𝑌
2
𝑛 𝑋 + 𝑛 𝑌 − 2
=
𝑛 𝑋 − 1 𝑆 𝑋
2
+ 𝑛 𝑌 − 1 𝑆 𝑌
2
𝑛 𝑋 + 𝑛 𝑌 − 2
• F-test je dost slabý test, zvláště při malých četnostech výběrů. Uvažte, že
pro výběry velikosti 10 (běžné počty v biologii) srovnáváme statistiku F
s kvantilem F9, 9 (0.975) = 4.026, tzn. že musí být SX
2 > 4*SY
2, čtyřikrát
větší, aby test zamítnul H0. Proto je pravděpod. β chyby 2. druhu velká.
Dva výběry: Porovnání variancí
Porovnání středních hodnot
Porovnání dvou pravděpodobností
F–test shody variancí:
Leveneův test
Ansari-Bradleyův test
Předpoklady a testová statistika
Příklad
Konfidenční interval
Síla testu, poznámky
Další testy shody variancí
Leveneův test – bude u analýzy rozptylu; pracuje s odchylkami od průměrů
(nebo lépe mediánů). Předpokládá normální rozdělení dat.
Brown & Forsythe test – modifikace Leveneova testu na mediány, takto je
test robustnější vůči odchylce od normálního rozdělení dat.
R: balík car (Companion to Applied Regression), funkce leveneTest(x, y, …)
Zahrnuje již modifikaci na mediány, je to tedy Brown & Forsythův test.
Ansari-Bradleyův dvouvýběrový test - pořadový test, neparametrický.
Testuje hodnotu s, což je zde poměr směrodatných odchylek (scales).
R: ansari.test(x, y, …)
R obsahuje také Moodyho test, který je ovšem komentován takto:
„existují užitečnější testy pro tento problém“ 
Dva výběry: Porovnání variancí
Porovnání středních hodnot
Porovnání dvou pravděpodobností
F–test shody variancí
Leveneův test
Ansari-Bradleyův test
Dva výběry: t-test shody průměrů
Předpoklady testu:
• (X1, X2, …, Xk) a (Y1, Y2, …, Ym) všechno nezávislé
• 𝑿𝒊 ~ 𝑵(𝝁 𝑿, 𝝈 𝑿
𝟐
), 𝒀𝒊 ~ 𝑵(𝝁 𝒀, 𝝈 𝒀
𝟐
), parametry neznáme.
• výběry mají stejnou varianci, liší se tedy jen posunutím střední hodnoty;
𝝈 𝑿
𝟐 = 𝝈 𝒀
𝟐 ozn. 𝝈 𝟐
• pokud předpoklad stejných rozptylů není splněn, máme Welchův test (dále)
Hypotéza: 𝑯 𝟎: 𝝁 𝑿 = 𝝁 𝒀 testujeme 𝜇 𝑋 − 𝜇 𝑌 = 0
alternativa 𝑯 𝟏: 𝝁 𝑿 ≠ 𝝁 𝒀
t–test shody průměrů
Welchovo přibližné t
Wilcoxonův dvouvýběrový test
Mannův-Whitneyův test
Předpoklady a hypotéza
Testová statistika
Poznámky
Příklady
Histogram of multiple variables
kojeni podle KLUKa.sta 11v*99c
deK = 49*1*Normal(Location=68,8163; Scale=3,751)
delkaD = 50*1*Normal(Location=68,28; Scale=2,7482)
cm CH
cm D62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78
0
2
4
6
8
10
12
Noofobs
deK: SW-W = 0,9658; p = 0,1640
delkaD: SW-W = 0,9609; p = 0,0972
Histogram of multiple variables
kojeni podle KLUKa.sta 11v*99c
hmK = 49*500*Normal(Location=7928,5714; Scale=850,1127)
hmD = 50*500*Normal(Location=7455,26; Scale=779,2897)
gr CH
gr D5000 5500 6000 6500 7000 7500 8000 8500 9000 9500 10000 10500
0
2
4
6
8
10
12
14
Noofobs
hmK: SW-W = 0,9885; p = 0,9107
hmD: SW-W = 0,9843; p = 0,7391
Dva výběry: Porovnání variancí
Porovnání středních hodnot
Porovnání dvou pravděpodobností
Dva výběry: t-test shody průměrů
Hypotéza: 𝑯 𝟎: 𝝁 𝑿 = 𝝁 𝒀 testujeme 𝜇 𝑋 − 𝜇 𝑌 = 0
alternativa 𝑯 𝟏: 𝝁 𝑿 ≠ 𝝁 𝒀
Použijeme odhad pro společný rozptyl [pooled variance]
𝑆2 =
σ𝑖=1
𝑛 𝑋
𝑋𝑖 − ത𝑋 2 + σ 𝑗=1
𝑛 𝑌
𝑌𝑗 − ത𝑌
2
𝑛 𝑋 + 𝑛 𝑌 − 2
=
𝑛 𝑋 − 1 𝑆 𝑋
2
+ 𝑛 𝑌 − 1 𝑆 𝑌
2
𝑛 𝑋 + 𝑛 𝑌 − 2
Testová statistika:
𝑻 =
ഥ𝑿 − ഥ𝒀 − 𝟎
𝑺. 𝑬. (ഥ𝑿 − ഥ𝒀)
=
ഥ𝑿 − ഥ𝒀
𝑺
𝒏 𝑿 𝒏 𝒀
𝒏 𝑿 + 𝒏 𝒀
~ 𝑯 𝟎
𝒕 𝒏 𝑿+𝒏 𝒀−𝟐
Kritéria podle H1: 𝜇 𝑋 ≠ 𝜇 𝑌 → 𝑻 ≥ 𝒕 𝒏 𝑿+𝒏 𝒀−𝟐 𝟏 − Τ𝜶
𝟐
𝜇 𝑋 > 𝜇 𝑌 → 𝑻 ≥ 𝒕 𝒏 𝑿+𝒏 𝒀−𝟐 𝟏 − 𝜶
𝜇 𝑋 < 𝜇 𝑌 → 𝑻 ≤ 𝒕 𝒏 𝑿+𝒏 𝒀−𝟐 𝜶 = −𝒕 𝒏 𝑿+𝒏 𝒀−𝟐 𝟏 − 𝜶
čti: má za platnosti
hypotézy H0 rozdělení …
Dva výběry: Porovnání variancí
Porovnání středních hodnot
Porovnání dvou pravděpodobností
t–test shody průměrů
Welchovo přibližné t
Wilcoxonův dvouvýběrový test
Mannův-Whitneyův test
Předpoklady a hypotéza
Testová statistika
Poznámky
Příklady
Pro zájemce odvození rovnosti
𝑆. 𝐸. ത𝑋 − ത𝑌 = 𝑆 ∙
𝑛 𝑋+𝑛 𝑌
𝑛 𝑋 𝑛 𝑌
, tedy 𝒗𝒂𝒓 ഥ𝑿 − ഥ𝒀 =
𝒏 𝑿+𝒏 𝒀
𝒏 𝑿 𝒏 𝒀
𝑺 𝟐
 𝒗𝒂𝒓 ഥ𝑿 − ഥ𝒀 = 𝐸 ത𝑋 − ത𝑌 − 𝐸 ത𝑋 − ത𝑌 2
= 𝐸 ത𝑋 − 𝐸 ത𝑋 − ത𝑌 + 𝐸 ത𝑌 2
=
𝐸 ( ത𝑋 − 𝐸 ത𝑋) − (ത𝑌 − 𝐸 ത𝑌) 2
= 𝐸ሼ( ത𝑋 − 𝐸 ത𝑋)2
−2 ∙ ത𝑋 − 𝐸 ത𝑋 ത𝑌 − 𝐸 ത𝑌 +
Dva výběry: Porovnání variancí
Porovnání středních hodnot
Porovnání dvou pravděpodobností
t–test shody průměrů
Welchovo přibližné t
Wilcoxonův dvouvýběrový test
Mannův-Whitneyův test
Předpoklady a hypotéza
Testová statistika
Poznámky
Příklady
• Všimněte si rozdílu proti párovému t-testu:
Párový t-test H0: 𝝁 𝑿 = 𝝁 𝒀 a počítám 𝑿𝒊 = 𝑼𝒊 − 𝑽𝒊 … průměr rozdílů,
tj. má smysl počítat rozdíl v páru pozorování
Dvouvýběrový H0: 𝝁 𝑿 = 𝝁 𝒀 (H0 stejná) ഥ𝑿 − ഥ𝒀 … rozdíl průměrů
Zde není žádný vztah mezi 𝑋𝑖 a 𝑌𝑖, navíc počet 𝒏 𝑿 a 𝒏 𝒀 se může lišit.
• t-test je celkem robustní vůči narušení předpokladů, zvlášť pokud máme
dostatek pozorování a výběry jsou zhruba stejně početné (uplatní se CLV).
PŘESTO je-li podezření na nestejnost variancí (normálního rozdělení)
nebo se 𝒏 𝑿 a 𝒏 𝒀 značně liší, použijeme lépe
Welchův přibližný t-test:
𝑻 =
ഥ𝑿 − ഥ𝒀 − 𝟎
𝑺 𝑿
𝟐
𝒏 𝑿
+
𝑺 𝒀
𝟐
𝒏 𝒀
~ 𝑯 𝟎
𝒕 𝒇 , 𝑘𝑑𝑒 𝑓 =
𝑆 𝑋
2
𝑛 𝑋
+
𝑆 𝑌
2
𝑛 𝑌
2
𝑆 𝑋
2
𝑛 𝑋
2
𝑛 𝑋 − 1 +
𝑆 𝑌
2
𝑛 𝑌
2
𝑛 𝑌 − 1
Počet stupňů volnosti f
může být i desetinné číslo!
Rozdělení testové
statistiky známe jen
přibližně, proto také
p-hodnota je jen přibližná.
Dva výběry: Porovnání variancí
Porovnání středních hodnot
Porovnání dvou pravděpodobností
t–test shody průměrů
Welchovo přibližné t
Wilcoxonův dvouvýběrový test
Mannův-Whitneyův test
Předpoklady a hypotéza
Testová statistika
Poznámky
Příklady
T-test - zadání v Rku:
R: t.test(x, y, alternative=c("two.sided","less",
"greater"), mu=0, paired=FALSE, var.equal=FALSE,
conf.level=0.95, ...)
tady každá skupina ve vlastním sloupečku
př. fosfor: mg.malo a mg.hodne
Zadání pomocí formule:
t.test(měření ~ skupiny, data, subset, …)
tady jednom sloupečku kódování příslušnosti ke skupině (faktor skupiny)
a ve druhém sloupečku naměřené hodnoty (měření)
př. fosfor.kody: P ~ skup
datová tabulka musí být „attach“ nebo ji musím zadat jako data = fosfor.kody
Přednastavené nestejné
rozptyly, počítá rovnou
Welchův přibližný test.
Dva výběry: Porovnání variancí
Porovnání středních hodnot
Porovnání dvou pravděpodobností
t–test shody průměrů
Welchovo přibližné t
Wilcoxonův dvouvýběrový test
Mannův-Whitneyův test
Předpoklady a hypotéza
Testová statistika
Poznámky
Příklady
t-test – příklad fosfor:
Obsah fosforu v listech pšenice
Skupiny podle obsahu hořčíku.
H0: μ1 = μ2 H1: μ1 ≠ μ2
H0: průměrný populační obsah
fosforu je v obou skupinách
srovnatelný.
Předpoklady: n1 = 24, n2 = 25
Normalita: histogramy, Q-Q ploty
> shapiro.test(fosfor$mg.malo)
data: fosfor$mg.malo
W = 0.96787, p-value = 0.6147
> shapiro.test(fosfor$mg.hodne)
data: fosfor$mg.hodne
W = 0.97993, p-value = 0.8838
Normalita splněna,
počet pozorování rozumný.
Variance jsou srovnatelné.
Dva výběry: Porovnání variancí
Porovnání středních hodnot
Porovnání dvou pravděpodobností
t–test shody průměrů
Welchovo přibližné t
Wilcoxonův dvouvýběrový test
Mannův-Whitneyův test
Předpoklady a hypotéza
Testová statistika
Poznámky
Příklady
> var.test(fosfor$mg.malo, fosfor$mg.hodne)
F test to compare two variances
F = 1.1933, num df = 23, denom df = 24,
p-value = 0.6696
Nezamítám hypotézu o shodných rozptylech.
t-test – příklad fosfor:
Obsah fosforu v listech pšenice
Skupiny podle obsahu hořčíku.
H0: μ1 = μ2 H1: μ1 ≠ μ2
> t.test(fosfor$mg.malo, fosfor$mg.hodne, var.equal = T)
Two Sample t-test
data: fosfor$mg.malo and fosfor$mg.hodne
t = -2.4352, df = 47, p-value = 0.01873
alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
95 percent confidence interval: ( -11.434431; -1.088902 )
sample estimates: mean of x mean of y
46.45833 52.72000
Zamítám hypotézu o shodných
populačních průměrech na
hladině 5 %.
Dva výběry: Porovnání variancí
Porovnání středních hodnot
Porovnání dvou pravděpodobností
t–test shody průměrů
Welchovo přibližné t
Wilcoxonův dvouvýběrový test
Mannův-Whitneyův test
Předpoklady a hypotéza
Testová statistika
Poznámky
Příklady
t-test – příklad myši:
Jsou hmotnosti myší v základním a „prvním“
chovu srovnatelné?
H0: μX = μY H1: μX ≠ μY
Předpoklady:
Normalita dobrá, víme z DÚ.
> var.test(mysi, mysi1)
F test to compare two variances
F = 2.2339, num df = 19, denom df = 19,
p-value = 0.08788
alternative hypothesis: true ratio of variances is not equal to 1
sample estimates:ratio of variances = 2.233919
> t.test(mysi, mysi1)
Welch Two Sample t-test
data: mysi and mysi1
t = -1.9661, df = 33.171, p-value = 0.0577
alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
95 percent confidence interval: -8.8504732 0.1504732
sample estimates:mean of x mean of y
42.45 46.80
Rozdíl v rozptylech dvojnásobný
=> Welchův přibližný t-test.
Dva výběry: Porovnání variancí
Porovnání středních hodnot
Porovnání dvou pravděpodobností
t–test shody průměrů
Welchovo přibližné t
Wilcoxonův dvouvýběrový test
Mannův-Whitneyův test
Předpoklady a hypotéza
Testová statistika
Poznámky
Příklady
Těsně nezamítám hypotézu o
srovnatelných populačních průměrech.
Neparametrický test rovnosti středních hodnot
Mannův-Whitneyův test alias dvouvýběrový Wilcoxonův test
Předpoklady:
(X1, X2, …, Xk) a (Y1, Y2, …, Ym) všechno nezávislé ze spojitého rozdělení.
Nulová hypotéza: rozdělení pravděpodobností náh. veličin X a Y je stejné
(tedy ani posunutí, ani velký rozdíl ve variabilitě, stejné histogramy)
 Za platnosti nulové hypotézy jsou stejné i populační mediány
Princip Wilcoxonova pořadového testu:
Sesypeme oba výběry dohromady a hodnoty seřadíme (neřešíme +/- jako u
párového testu). Když platí H0, měly by se zhruba pravidelně střídat hodnoty
z X a z Y. Součet pořadí by tedy měl být srovnatelný, zhruba polovina
z
(𝑛 𝑥+𝑛 𝑌)∙(𝑛 𝑥+𝑛 𝑌+1)
2
, tedy
(𝑛 𝑥+𝑛 𝑌)∙(𝑛 𝑥+𝑛 𝑌+1)
4
.
Protože ale velikosti výběrů nX a nY nemusí být stejné, musím spočtený
součet porovnávat s poměrnou částí celého součtu, viz dále:
Dva výběry: Porovnání variancí
Porovnání středních hodnot
Porovnání dvou pravděpodobností
t–test shody průměrů
Welchovo přibližné t
Wilcoxonův dvouvýběrový test
Mannův-Whitneyův test
Předpoklady, hypotéza, princip
Testová statistika
Poznámky
Příklad
Dvouvýběrový Wilcoxonův test
Princip Wilcoxonova pořadového testu:
 𝑾 𝑿 = σ𝒊=𝟏
𝒏 𝑿
𝑹 𝑿𝒊 … součet pořadí hodnot z výběru X
 𝑾 𝒀 = σ𝒋=𝟏
𝒏 𝒀
𝑹 𝒀𝒋 … součet pořadí hodnot z výběru Y
 Součet všech pořadí: 𝑾 𝑿 + 𝑾 𝒀 =
(𝒏 𝒙+𝒏 𝒀)∙(𝒏 𝒙+𝒏 𝒀+𝟏)
𝟐
 Za platnosti H0 je očekávaný součet
𝑬𝑾 𝑿 =
𝒏 𝒙
𝒏 𝒙 + 𝒏 𝒀
(𝒏 𝒙 + 𝒏 𝒀) ∙ (𝒏 𝒙 + 𝒏 𝒀 + 𝟏)
𝟐
=
𝒏 𝒙 ∙ (𝒏 𝒙 + 𝒏 𝒀 + 𝟏)
𝟐
𝒗𝒂𝒓 𝑾 𝑿 =
𝒏 𝒙 ∙ 𝒏 𝒀 ∙ (𝒏 𝒙 + 𝒏 𝒀 + 𝟏)
𝟏𝟐
 Při větším množství shod v pořadí ještě úprava výběrového rozptylu…
 Pro menší rozsahy výběrů nX a nY lze počítat přesné pravděpodobnosti,
pro větší n se používá aproximace normálním rozdělením.
Poměrná část vůči celkovému počtu hodnot
Dva výběry: Porovnání variancí
Porovnání středních hodnot
Porovnání dvou pravděpodobností
t–test shody průměrů
Welchovo přibližné t
Wilcoxonův dvouvýběrový test
Mannův-Whitneyův test
Předpoklady, hypotéza, princip
Testová statistika
Poznámky
Příklad
~ multinomické
rozdělení
Dvouvýběrový Mannův-Whitneyův test
Test je založen na zdánlivě jiné myšlence: porovnává všechny možné dvojice
(Xi, Yj) a počítá, v kolika případech je hodnota X menší než Y.
Jsou-li distribuce veličin srovnatelné (H0), bude to zhruba polovina dvojic.
 Označme 𝑼 𝑿 počet dvojic, kde 𝑿𝒊 < 𝒀𝒋 , 𝑼 𝑿 ~ 𝑯 𝟎
𝑩𝒊(𝒏 𝑿 ∙ 𝒏 𝒀, 𝟎. 𝟓)
 Označme 𝑼 𝒀 počet dvojic, kde 𝑿𝒊 > 𝒀𝒋
 Případy 𝑿𝒊 = 𝒀𝒋 započítáme polovinou k UX a polovinou k UY
 Kritický obor je zpravidla popisován pomocí 𝑈 = min(𝑈 𝑋, 𝑈 𝑌).
 Tyto rovnice ukazují souvislost mezi testovými statistikami:
(Wilcoxon) 𝑾 𝑿 = 𝒏 𝒙 𝒏 𝒀 +
𝒏 𝒙∙(𝒏 𝒙+𝟏)
𝟐
− 𝑼 𝑿 (Mann-Whitney)
(Wilcoxon) 𝑾 𝒀 = 𝒏 𝒙 𝒏 𝒀 +
𝒏 𝒀∙(𝒏 𝒀+𝟏)
𝟐
− 𝑼 𝒀 (Mann-Whitney)
Dva výběry: Porovnání variancí
Porovnání středních hodnot
Porovnání dvou pravděpodobností
t–test shody průměrů
Welchovo přibližné t
Wilcoxonův dvouvýběrový test
Mannův-Whitneyův test
Předpoklady, hypotéza, princip
Testová statistika
Poznámky
Příklad
Poznámky k Mann-Whitneyovu U testu a Wilcoxonovu testu
• Oba testy prověřují nulovou hypotézu o shodě rozdělení, ze kterého
pocházejí porovnávané výběry. Pokud testujeme nulovou hypotézu
o shodě polohy (mediánu), musíme předpokládat, že se distribuce
příliš neliší tvarem.
Dva výběry: Porovnání variancí
Porovnání středních hodnot
Porovnání dvou pravděpodobností
t–test shody průměrů
Welchovo přibližné t
Wilcoxonův dvouvýběrový test
Mannův-Whitneyův test
Předpoklady, hypotéza, princip
Testová statistika
Poznámky
Příklad
Mann-Whitney alias Wilcoxon - příklad:
R: wilcox.test(x, y, alternative=c("two.sided","less","greater"),
mu=0, paired=FALSE, exact=NULL, correct=TRUE, conf.int=FALSE,
conf.level=0.95, ...)
Příklad: stromky
> wilcox.test(Health~Cultivar, data=stromky)
Wilcoxon rank sum test with continuity correction
data: Health by Cultivar
W = 40, p-value = 0.4619
alternative hypothesis: true location shift is not equal to 0
Warning message:
In wilcox.test.default(x = c(2, 2, 1, 2, 3, 4, 2, 3, 1, 5), y = c(4, :
cannot compute exact p-value with ties
Dva výběry: Porovnání variancí
Porovnání středních hodnot
Porovnání dvou pravděpodobností
t–test shody průměrů
Welchovo přibližné t
Wilcoxonův dvouvýběrový test
Mannův-Whitneyův test
Předpoklady, hypotéza, princip
Testová statistika
Poznámky
Příklad
Mediánový test
Existuje, je však velmi slabý.
Dva výběry: Porovnání variancí
Porovnání středních hodnot
Porovnání dvou pravděpodobností
t–test shody průměrů
Welchovo přibližné t
Wilcoxonův dvouvýběrový test
Mannův-Whitneyův test
Porovnání dvou pravděpodobností
tj. mám data o dvou znacích nominální proměnné a ptám se,
zda se dva výběry shodnou v pravděpodobnosti, že nastane znak A.
Toto odpovídá čtyřpolní kontingenční tabulce.
(je-li sledovaných znaků více, testuji obecnou kontingenční tabulku)
Předpoklad: mám dvě série vzájemně nezávislých pokusů, ve kterých zjišťuji,
zda nastal znak (jev) A. Prst. znaku A v jedné sérii je stejný.
• Y1 = počet pokusů, kdy nastal znak A v první sérii (celkem n1)
• Y2 = počet pokusů, kdy nastal znak A ve druhé sérii (celkem n2)
• 𝒀 𝟏~𝑩𝒊 𝒏 𝟏, 𝒑 𝟏 𝒀 𝟐~𝑩𝒊(𝒏 𝟐, 𝒑 𝟐)
Nulová hypotéza: obě pravděpodobnosti jsou shodné, 𝒑 𝟏 = 𝒑 𝟐 = 𝒑
Odhady: ෝ𝒑 𝟏 =
𝒀 𝟏
𝒏 𝟏
ෝ𝒑 𝟐 =
𝒀 𝟐
𝒏 𝟐
𝒗𝒂𝒓 ෝ𝒑 𝟏 − ෝ𝒑 𝟐 =
𝒑 𝟏∙(𝟏−𝒑 𝟏)
𝒏 𝟏
+
𝒑 𝟐∙(𝟏−𝒑 𝟐)
𝒏 𝟐
= 𝑯 𝟎
𝒑 ∙ (𝟏 − 𝒑) ∙
𝟏
𝒏 𝟏
+
𝟏
𝒏 𝟐
Dva výběry: Porovnání variancí
Porovnání středních hodnot
Porovnání dvou pravděpodobností
Dvě pravděpodobnosti binomického
rozdělení
Binomický test
Aproximace normálním rozdělením
Chí-kvadrát test
Porovnání dvou pravděpodobností
𝒀 𝟏~𝑩𝒊 𝒏 𝟏, 𝒑 𝟏 𝒀 𝟐~𝑩𝒊(𝒏 𝟐, 𝒑 𝟐)
Nulová hypotéza: obě pravděpodobnosti jsou shodné, 𝒑 𝟏 = 𝒑 𝟐 = 𝒑
Testovat můžeme trojím způsobem:
1) Přesný binomický test  R: binom.test
2) Přibližný test přes aproximaci normálním rozdělením
𝑍 =
ෝ𝒑 𝟏−ෝ𝒑 𝟐 −𝟎
𝑆.𝐸.(ෝ𝒑 𝟏−ෝ𝒑 𝟐)
=
ෝ𝒑 𝟏−ෝ𝒑 𝟐
ො𝑝(1− ො𝑝)
𝟏
𝒏 𝟏
+
𝟏
𝒏 𝟐
~ 𝑁(0,1)
3) Chí-kvadrát test
R: prop.test
chisq.test
Dva výběry: Porovnání variancí
Porovnání středních hodnot
Porovnání dvou pravděpodobností
Dvě pravděpodobnosti binomického
rozdělení
Binomický test
Aproximace normálním rozdělením
Chí-kvadrát test