Téma 13 úkol 1
Zadání:
Určete, jaká část objemu základní buňky kubické plošně centrované mřížky je obsazena
atomy, pokud budou na uzlových bodech umístěny např. atomy mědi.
a) 52 %
b) 68 %
c) 74 %
d) 76 %
Správné řešení: c
____________________________________________________________________
Řešení:
K tomu, abychom mohli určit zaplnění prostoru základní buňky, potřebujeme znát:
objem atomů, které daná základní buňka obsahuje,
objem základní buňky.
1. Objem atomů, které daná základní buňka obsahuje
Nejprve určíme, kolik částic připadá na jednu základní buňku kubické plošně centrované
mřížky. Jelikož v této mřížce jsou částice ve vrcholech krychle a ve středu všech jejích stěn,
pak na jednu základní buňku připadají právě 4 částice:
4
2
1
6
8
1
8 =⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
Atomy mají tvar koule, takže objem jednoho atomu o poloměru r je 3
3
4
rπ . Objem všech čtyř
atomů je tedy 33
3
16
3
4
4 rr ππ =⋅ .
2. Objem základní buňky
Délku hrany krychle a si musíme vyjádřit pomocí poloměru atomů r. Atomy se v základní
buňce kubické plošně centrované mřížky dotýkají podél stěnové úhlopříčky. Jestliže je tedy
délka hrany a, pak délka této stěnové úhlopříčky je podle Pythagorovy věty 2 a, což je
zároveň délka čtyř poloměrů atomů. Tedy ra 42 = .
Z toho vyplývá, že délku hrany krychle můžeme pomocí poměru atomu vyjádřit jako
2
4r
a = .
Objem krychle o délce hrany a je a3
, tedy vyjádřeno pomocí poloměru
22
64
2
4 33
rr
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
.
Nyní již můžeme určit zaplnění prostoru základní buňky:
objem atomů / objem základní buňky = 74,0
22
64
3
16
3
3
=
r
r
π
, tedy po vynásobení stem
v procentech 74 %.