STATISTIKA
451102 Veronika Hlaváčková
446928 Radka Vaňušaníková
460533 Tamara Juriňáková
451410 Mária Bugajová
461123 Michaela Pešková
Priemer vs medián
Priemer - súčet všetkých hodnôt vydelený ich počtom
Medián - prostredná pozorovaná hodnota, ktorá delí pozorované hodnoty
na dve polovice (na hodnoty menšie a hodnoty väčšie ako medián)
X
- X
((n+l)/2) pro n liché
X =
j(X
(n/2) + X
(n/2+\))
pro n sudé
Rozptyl dát
• vyjadruje variabilitu
• aritmetický priemer štvorcov (druhých mocnín) odchýlok od
aritmetického priemeru
• veľmi ovplyvniteľný odľahlými hodnotami
• odmocnina z rozptyhx= smerodajná odchýlka (SMODCH)
• uvádza sa v rovnakých jednotkách ako pozorované dáta
- pren<10 sR = k^.R
- pre n>10 s = í ^ - £(*ŕ - x)*
Stredná (štandardná) chyba priemeru
• meria rozptýlenosť vypočítaného aritmetického priemeru v rôznych
výberových súboroch z jedného veľkého základného súboru
• je mierou presnosti s akou aritmetický priemer odhaduje skutočnú strednú
hodnotu základného súboru
Modelové rozloženia dát
Rozloženie Parametre Stručný popis
Studentovo
-stupne voľnosti- uvažuje veľkosť
vzorky
-priemer
-rozptyl
-simuluje normálne rozloženie pre menšie
vzorky čísel
-pre väčšie súbory (n>100) sa limitné blíži k
normálnemu rozloženiu
Pearsonovo (Chi-kvadrát) -stupne voľnosti- uvažuje veľkosť
vzorky
-slúži predovšetkým k porovnaniu početnosti
javov v dvoch a viac kategóriách
-používa sa k modelovaniu rozloženia
odhadu rozptylu normálne rozložených dát
Fisher-Snedecorovo
-dvojité stupne voľnosti- uvažuje
veľkosť dvoch vzoriek
-používa sa k testovaniu hodnôt priemerovF
test pre porovnanie dvoch výberových
rozptylov; F test, ANOVA atď.
Modelové rozloženie dát
Chĺ-kvadrát rozděleni Studentovo / rozdelení
•O
O
2 4
fr= l
ŕ = 2
ŕ = 10
•d
S
—
0 2 4
Ukážky hustôt náhodných veličín s chi-kvadrát rozdelením a studentovým t rozdelením.
Q-hodnota
Graphical Interpretation
štatistická metóda na vylúčenie
falošne pozitívnych výsledkov
(FDR= False Discovery Rate)
FDR
— stanovuje upravené P - hodnoty
prejednotlivé testy
— kontroluje počet falošne
pozitívnych výsledkov v týchto
testoch
m -
0
o
0.0
FDR(t) =
area under Jtl
total area
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
E - očakávaná hodnota, t - prahová hodnota, n0 - podiel
prvkov, ktoré sú skutočne nulové, n0 nezávisí na t
z-skóre
• Převod hrubého skóre na standardizovanou stupnici
• z-transformace: lineární transformace, která posunuje a rovnoměrně mění
měřítko, zatímco nedeformuje vzdálenost mezi hodnotami
• z-skóre je rovno 0, SMODCH je rovna 1
(x — li)
z =
o
x - naměřená hodnota, JI - průměr,
a - SMODCH
Správný výběr statistického testu na základě:
typu dat
homogenity rozptylu porovnávaných skupin
normality dat
typu hypotézy
parametrické testy (symetrická data: tělesná výška, krevní tlak)
neparametrické testy (asymetrická data: relativní exprese biomolekul)
jednovýběrové testy (porovnání množiny dat s referenční hodnotou, která platí pro
celou populaci - počet leukocytu u pacientu a průměrný počet leukocytu)
dvouvýběrové testy (srovnání dvou nezávislých skupin - pacienti a kontrola, sledování
určitého znaku u mužů, žen)
párové testy (srovnání dvou skupin na sobě závislých dat)
T-test
• Testovanie statistických hypotéz
• Sú rozdiely medzi skupinami len náhodné?
• Inferenčná štatistika
— generalizácia
— oddelenie náhody od zákonitostí
Predpoklady
• Normálna distribúcia dát
• Reprezentačná vzorka z populácie
• Primeraný počet vzoriek (20-30 vzoriek)
• Homogenita rozptylu
T-hodnota
Á B D
1 Skupina 1 Skupina 2
2 15,2 15,9
ä 15,3 15,9
4 16 15,2
5 15,8 16,6
6 15,6 15,2
7 14,9 15,8
8 15 15,8
9 15,4 16,2
10 15,6 15,6
11 15,7 15,6
12 15,5 15,8
13 15,2 15,5
14 15,5 15,5
15 15,1 15,5
16 15,3 14,9
17 15 15,9
18 priemer 15,38125 15,68125
19 sm.odchýlka 0,31245 0,406971
20 odchýlka 0,097625 0,165625
21 počet 16 16
22
23
sionÁl
t = = odchýlka medzi skupinami/odchýlka v rámci skupín
odchýlka
priemer
t=2,3
počet vzoriek
- T-test = (B2:B17;C2:C17;2;2) = 0,026198
T - test
df (stupne voľnosti)
= ( n r l ) + (n2 -l) = 30
Degrees Significance level
of 20% 10% 5% 2% 1% 0.1%
freedom (0.20) (0.10) (0.05) (0.02) (0.01) (0.001)
1 3.078 6.314 12.706 31.821 63.657 636.619
2 1.886 2.920 4.303 6.965 9.925 31.598
3 1.638 2.353 3.182 4.541 5.841 12.941
4 1.533 2.132 2.776 3.747 4.604 8.610
5 1.476 2.015 2.571 3.365 4.032 6.859
6 1.440 1.943 2.447 3.143 3.707 5.959
7 1.415 1.895 2.365 2.998 3.499 5.405
8 1.397 1.860 2.306 2.896 3.355 5.041
9 1.383 1.833 2.262 2.821 3.250 4.781
10 1.372 1.812 2.228 2.764 3.169 4.587
11 1.363 1.796 2.201 2.718 3.106 4.437
12 1.356 1.782 2.179 2.681 3.055 4.318
13 1.350 1.771 2.160 2.650 3.012 4.221
14 1.345 1.761 2.145 2.624 2.977 4.140
15 1.341 1.753 2.131 2.602 2.947 4.073
16 1.337 1.746 2.120 2.583 2.921 4.015
17 1.333 1.740 2.110 2.567 2.898 3.965
18 1.330 1.734 2.101 2.552 2.878 3.922
19 1.328 1.729 2.093 2.539 2.861 3.883
20 1.325 1.725 2.086 2.528 2.845 3.850
21 1.323 1.721 2.080 2.518 2.831 3.819
22 1.321 1.717 2.074 2.508 2.819 3.792
23 1.319 1.714 2.069 2.500 2.807 3.767
24 1.318 1.711 2.064 2.492 2.797 3.745
25 1.316 1.708 2.060 2.485 2.787 3.725
26 1.315 1.706 2.056 2.479 2.779 3.707
27 1.314 1.703 2.052 2.473 2.771 3.690
28 1.313 1.701 2.048 2.467 2.763 3.674
29 1.311 1.699 2.043 2.462 2.756 3.659
1 30 1.310 1.697 2.042 2.457 2.750 3.646 1
40 1.303 1.684 2.021 2.423 2.704 3.551
60 1.296 1.671 2.000 2.390 2.660 3.460
120 1.289 1.658 1.980 2.158 2.617 3.373
oc 1.282 1.645 1.960 2.326 2.576 3.291
t-hodnota > kritická hodnota
p-hodnota
P - hodnota
Každá t-hodnota má p-hodnotu
Pravdepodobnosť, že vzor údajov by mohol byť vytvorený náhodnými
údajmi
p < 0,05 < 5% pravdepodobnosť, že dáta sú len náhodné
p > 0,05 > 5% pravdepodobnosť, že dáta sú len náhodné
Typy t-testov
Normal Probability Normal Probability
Jednovýberový
sú chlapci výrazne vyšší ako dievčatá?
Dvojvýberový
je výrazný rozdiel medzi výškou
dievčat a výškov chlapcov?
Typy t-testov
Výška
Chlapci Dievčatá
72 71
68 70
74 68
69 68
63 67
68 65
71 65
69 64
62 62
75 62
priemer 69,1 66,2
sm. odchylka 4,011234 2,95973
Nepárový
žiadne spojenie
Výška chlapcov
Vek 5 Vek 15
54 73
55 65
56 71
48 65
39 63
45 70
48 65
43 63
51 63
54 71
priemer 49,3 67,4
sm.odchylka 5,404628 3,46987
Párový
rovnaká skupina je opakovane meraná
TESTOVÁNÍ
ODLEHLÝCH HODNOT
Dean Dixonův Q-test
• Vyloučení hrubých chyb
• Vhodný pro soubor s malým počtem paralelních
stanovení (pro n < 7)
• Místo směrodatné odchylky používá rozpětí
m T?= v vy v
m a x m i n
• když Qn < Q k pak výsledek není odlehlý a zůstane
součástí souboru dat
• když Qn > Q k pak výsledek je odlehlý a výsledek se
vyloučí ze souboru dat
Příklad Q-test
Obsah kremičitanu ve vzorku [%]
1 50,10
2 52,44
3 52,91
4 53,82
5 53,89
6 54,03
Q _ V^n %n-l )
R
Výpočty
rozptyl
Q i
Q r
3,93
0,59542
0,03562
Grubsův test T-test X— x
J 2
s
í
s=
• pron >7
V
• Parametrický test n
$
• Používáme parametry souboru: průměr a směrodatnou odchylku
• o kolik směrodatných odchylek se liší extrémní hodnota od průměru
• když Tn < Tk pak výsledek není odlehlý a zůstane součástí souboru dat
• když Tn > Tk pak výsledek je odlehlý a výsledek se vyloučí ze souboru
dat
Příklad t-test
Titrační stanovení manganu [%]
3
4
5
6
8
9
10
11
12
37.41
37,76
37,84
37,88
37,90
37,92
38,01
38,23
38,33
38.42
38,59
39,90
Výpočty
průměr 38,18
sm.odch 0,60
t-test
test odlehlosti výsledků - tabelované hodnoty Qk
Ti Q,
n a=0.05 0=0.01 o=0.05 o=0.01
3 1,412 1,416 0,941 0,988
4 1,689 1,723 0,765 0,889
5 1,869 1,955 0,642 0,760
e 1,996 2,130 0,560 0,698
7 2,093 2,265 0,507 0,637
8 2,172 2,374 0,468 0,590
9 2 237 2,464 0,437 0,555
10 2,294 2,540 0,412 0 527
11 2,343 2,606
12 2,387 2,663
ANOVA
• Porovnávání průměrů v k>2 diskrétních skupinách
Vzorek 2
• Proměnná, která kategorizuje jednotlivé pozorované skupiny se nazývá
KATEGORIÁLNÍ FAKTOR
Kontrola Vzorek 1
ANOVA
Vizualizace dat Odlehlé hodnoty
Bodový graf Krabicový graf
20 —I
15 —
X
Hrubé chyby, překlepy, prokazatelné
selhání lidí či techniky
Důsledky poruch, chybného měření,
technologických chyb
Vyloučení odlehlých hodnot
- ANOVA
Zachování odlehlých hodnot
— Kruskalův-Wallisův test
ANOVA
Předpoklady analýzy
• Normalita rozložení dat
• Nezávislost výběru
• Shodnost rozptylu
(homoskedosticita)
Nulová hypotéza ANO Vy
• H 0 - všechny střední hodnoty jsou si
rovny
• H A - alespoň jedna dvojice středních
hodnot se liší
— Platí-li HAje pro potřeba využít
Post hoc analýzu
ANOVA
Rozklad celkové variability dat
• Systematická část
— Kategorizace skupin,
tzv vysvětlitelná variabilita
• Náhodná část
— Chyby neovlivnitelné, přítomné
ve všech měřeních
Post hoc analýza
• Porovnání středních hodnot všech
dvojic populací
— Fischerovo LSD
— Bonferroniho metoda
— Scheffého metoda
— Tukeyho metoda
— TukeyHSD
Kruskalův-Wallisův test
• Neparametrická ANO VA
• Porovnávání mediánů v k>2 nezávislých skupinách
• Výběry nesplňují požadavky pro použití parametrické ANOVy
Kruskalův-Wallisův test
Nulová hypotéza
• H 0 - mediány všech
porovnávaných skupin jsou si
rovny
• H A - alespoň jedna dvojice
mediánů porovnávaných
skupin se liší
Kruskalovo-Wallisova Post hoc
analýza
• Porovnání mediánů všech dvojic
populací
— Dunnova metoda
— Neméniova metoda
Neparametrické testy
• srovnání souboru statistických dat, u kterých není předpoklad
normálního rozdělení pravděpodobností sledovaného znaku
• použitelné i pro symetrická data a při výskytu odlehlých hodnot
• menší síla testu (místo původních hodnot využívají jejich pořadí)
• nižší citlivost a přesnost
• testují nulovou hypotézu
Neparametrické testy - rozdělení
• jednovýběrové statistické testy
— jednovýběrový t-test
— jednovýběrový test rozptylu
• dvouvýběrové statistické testy
— nepárový Mann-Whitneyho test
— párový Wilcoxon a znaménkový test
Mann-Whitney test
• Neparametrický ekvivalent t-testu nezávislých vzorků
• Ověření významnosti rozdílu mezi dvěma nezávislými vzorky
• Distribuce (rozložení) vzorku není normální, není možná jejich
transformace na normální distribuci pomocí logaritmické transformace
• Počítá s pořadím dat v souborech, ne s originálními daty
Mann-Whitney test
měřená koncentrace protilátek u 42
pacientů s G-B a 21 pacientů s jiným
onemocněním SZ
• nulová hypotéza je, že není rozdíl
mezi skupinami pacientů s G-B a
pacienty s jiným onemocněním SZ
Mann-Whitney test
pořadí sloučených hodnot
pořadí hodnot v jednotlivých
skupinách dat je sečteno a menší ze
součtuje použit pro srovnání s
kritickou hodnotou testu
výsledkem testuje P <0,05, nulovou
hypotézu tedy zamítáme a výsledek
testu potvrzuje statisticky signifikatní
rozdíl mezi porovnávanými
skupinami pacientů
G B iné ochorenia
štítnej žľazy
bez AITx
Počet vzoriek 42 21
Najnižšia
hodnota TRAK
0,4000 0,3000
Najvyššia
hodnota TRAK
74,0000 0,9000
Medián 4,8000 0,3000
95% interval
spoľahlivosti
pre medián
2,5728-9,2540 0,3000-0,4000
Hladina
významnosti
P<0,0001
Wilcoxonův test
• neparametrická obdoba párového t-testu a jednovýbérového t-testu
• neparametrický test pro párové hodnoty dvou závislých souborů, u
kterých není jistota normálního rozložení dat
• porovnání stejné skupiny respondentů ve dvou podmínkách (před
experimentální manipulací a po ní, hladina analytu před a po podání
léku...)
Wilcoxonův test
vytvoření rozdílu párových dat v rámci
každého vzorku a následné seřazení
rozdílu podle pořadí nezávisle na
znaménku
pořadí záporných a kladných rozdílu je
poté zvlášť sečteno a menší z těchto
hodnot je srovnána s kritickou
hodnotou testu
Pacient Glc před
lekmi
(mmol/1)
Glc po lecích
(mmol/1)
1 9,7 3,6
2 10,3 3,9
3 11,3 4,2
4 9,7 4,8
5 8,8 3,5
6 9,9 3,7
7 8,7 4
8 7,9 4,5
9 8,8 3,7
10 9 4,1
Wilcoxonův test
^ Project2:Wilcoxon test of Data 1 - GraphPad Prism S.Z.I (441]
File Edit View Insert Change Arrange Family Window Help
S-haat Undo Clipboard AnalysisPrism Fila
I-1---
X New T (j=)Analyze ^
statistický software GraphPad Prism 8
nulová hypotéza: není předpoklad statisticky
signifikantního rozdílu mezi hladinou glukózy
před a po podání léku
Wilcoxon testWilcoxon test
A
1 Table Analyzed Data 1
2
3 Column B Data Set-B
4 vs. vs.
5 Column A Data Set-A
6
7 Wilcoxon matched-pairs signed rank test
P value 0.0020
Exact or approximate P value? Exact
10 P value summary
j 11 Significantly different [P < 0.05)? Yes
12 One- or two-tailed P value? Two-tailed
13 Sum of positive, negative ranks 0.000 . -55.00
14 Sum of signed ranks (W) -55.00
15 Number of pairs 10
16 Number of ties (ignored) 0
17
Použitá literatura
• SANA, Jiří a Ondřej SLABÝ. Uvod do molekulárni medicíny: cvičení
(biomarkerové studie). Brno: Masarykova univerzita, 2017. ISBN 978-80-
210-8538-1.
• Neparametrické testy, Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita,
J. Jarkovský, L. Dušek
• Encyklopedie laboratorní medicíny pro klinickou praxi 2015 [online].
Dostupné z: http://www.demo4.smitka.eu/encyklopedie/A/PIABE.htm
• https://statistikapspp.sk/wilcoxonov-test/
• https://portal.matematickabiologie.cz
DĚKUJEME ZA
POZORNOST!!
i•