Identifikace píku¶

F. James, kap. 11.5

chceme rozhodnout, zda na pozadí $b(x,\theta)$ existuje nějaká "jemná struktura" (spektrální pík, změna četnosti v čase...) v intervalu AB

Pozadí je fitováno nějakou funkcí (s vyloučením int. AB) s odhadovanými parametry $\hat\theta$ (a kovar. maticí $V$), potom očekávaná hodnota pro nulovou hypotézu je $$\hat{b}_{AB} = \int_A^B b(x,\hat\theta) dx$$ s rozptylem $\sigma^2 _{AB} = D^T V D$, kde $$D_i=\frac{\partial \hat{b}_{AB}}{\partial \theta_i}$$

Testovací statistika

$$T=\frac{(n_{AB}-\hat{b}_{AB})^2}{V(n_{AB}-\hat{b}_{AB})}$$

kde varianci můžeme uvažovat podle nulové hypotézy a Poissonovy statistiky rovnu

$$V(n_{AB})=E(n_{AB})=\hat{b}_{AB}$$

Pokud $n_{AB}$ a $\hat{b}_{AB}$ jsou nekorelovány, platí $V(n_{AB}-\hat{b}_{AB})=\hat{b}_{AB} + \sigma^2 _{AB}$.

Pro velká $n_{AB}$ má $T$ rozdělení $\chi^2(1)$ s následujícími odds (převrácená hodnota pravděpodobnosti, že struktura dosáhne významnosti alespoň daného počtu sigma)

Pokud nevíme přesně, kde pík (událost) hledat, je pravděpodobnost náhodného nalezení signálu v daném intervalu (obsahujícím k možných intervalů) větší než výše uvedená hodnota $p$

$$q=1-(1-p)^k \approx kp $$

Pravděpodobnost 3-sigma události, pokud máme na výběr z 50 (časových, spektrálních atp.) binů, je najednou 13%. Pokud ovšem takových událostí zaregistrujeme více, můžeme se ptát, jaká je pravděpodobnost, že (stále při platnosti nulové hypotézy) překročí např. $l$ binů z $k$ významnost s rizikem $p$:

$${k \choose l} p^l (1-p)^{k-l}$$

a pravděpod., že jich bude alespoň $l$

$$\sum_{i=l}^{k} {k \choose l} p^l (1-p)^{k-l} = 1-\sum_{i=0}^{l-1} {k \choose l} p^l (1-p)^{k-l}$$