Jak popsat změnu
Funkce, limita, derivace
Petr Liška
Masarykova univerzita
1.10.2019 – 29.10.2019
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 1.10.2019 – 29.10.2019 1 / 51
Funkce
Definice
Nechť jsou dány množiny D ⊆ R, H ⊆ R. Předpis f, který každému
x ∈ D přiřazuje právě jedno y ∈ H, nazýváme funkcí jedné proměnné.
Tuto funkci označujeme
y = f(x).
Množina D se nazývá definiční obor funkce f a značí se D(f), množina
H se nazývá obor hodnot funkce f a značí se H(f).
Definice
Grafem funkce f : D(f) → R je množina bodů
G = {(x, f(x)) ∈ R2
: x ∈ D(f)}.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 1.10.2019 – 29.10.2019 2 / 51
Vlastnosti funkcí
Definice
Funkce f se nazývá ohraničená, jestliže existuje K ∈ R, K > 0, takové,
že |f(x)| ≤ K pro každé x ∈ D(f).
Řekneme, že funkce f je sudá, jestliže pro každé x ∈ D(f) platí −x ∈
D(f) a f(−x) = f(x) (graf je souměrný vzhledem k ose y).
Řekneme, že funkce f je lichá, jestliže pro každé x ∈ D(f) platí −x ∈
D(f) a f(−x) = −f(x) (graf je souměrný vzhledem k počátku).
Funkce f se nazývá periodická s periodou p ∈ R, p > 0, jestliže platí, že
pro každé x ∈ D(f) je také x ± p ∈ D(f) a f(x + p) = f(x − p) = f(x).
Nejmenší perioda funkce je nejmenší prvek množiny všech period této
funkce.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 1.10.2019 – 29.10.2019 3 / 51
Definice
Nechť je dána funkce f : D(f) → R a interval I ⊆ D(f). Pak funkci
f nazveme rostoucí na intervalu I, jestliže pro každá dvě x1, x2 ∈ I
taková, že x1 < x2, je f(x1) < f(x2).
Funkci f nazveme klesající na intervalu I, jestliže pro každá dvě
x1, x2 ∈ I taková, že x1 < x2, je f(x1) > f(x2).
Funkce, která je rostoucí nebo klesající, se nazývá ryze monotonní.
Definice
Funkce f se nazývá prostá, právě když pro všechna x1, x2 ∈ D(f) platí:
je-li x1 = x2, pak f(x1) = f(x2).
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 1.10.2019 – 29.10.2019 4 / 51
Nové funkce ze starých
Definice
Nechť u: A → B a f : B → R jsou funkce. Pak funkce F : A → R daná
předpisem y = f(u(x)) se nazývá složená funkce. Funkce u se nazývá
vnitřní složkou, funkce f vnější složkou složené funkce F.
Definice
Inverzní funkcí k prosté funkci f je funkce f−1, pro kterou platí, že
D(f−1) = H(f) a ke každému y ∈ D(f−1) je přiřazeno právě jedno
x ∈ D(f) takové, že f(x) = y.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 1.10.2019 – 29.10.2019 5 / 51
Goniometrické a cyklometrické funkce
Definice
Buď x ∈ R. Nechť P je koncový bod oblouku na jednotkové kružnici,
jehož počáteční bod je [1, 0] a jehož délka je |x|; přitom oblouk je od
bodu [1, 0] k bodu P orientován v protisměru, resp. ve směru chodu
hodinových ručiček podle toho, zda x ≥ 0, resp. x < 0. Pak první
souřadnici bodu P nazýváme cos x a druhou souřadnici sin x. Dále defi-
nujme
tg x =
sin x
cos x
, cotg x =
cos x
sin x
.
Funkce sin x, cos x, tg x a cotg x nazýváme funkce goniometrické.
sin2
x + cos2
x = 1, tg x · cotg x = 1,
sin 2x = 2 sin x cos x, cos 2x = cos2
x − sin2
x,
sin2
x =
1 − cos 2x
2
, cos2
x =
1 + cos 2x
2
.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 1.10.2019 – 29.10.2019 6 / 51
Definice
Inverzní funkce k funkci sin x definované na −π
2 , π
2 se označuje
arcsin x.
Inverzní funkce k funkci cos x definované na [0, π] se označuje arccos x.
Inverzní funkce k funkci tg x definované na −π
2 , π
2 se označuje
arctg x.
Inverzní funkce k funkci cotg x definované na (0, π) se označuje
arccotg x.
Funkce arcsin x, arccos x, arctg x a arccotg x nazýváme cyklometrické
funkce.
Věta
Cyklometrické funkce mají následující vlastnosti.
1. Funkce arcsin x a arctg x jsou rostoucí, funkce arccos x a arccotg x
jsou klesající.
2. Funkce arcsin x a arctg x jsou liché.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 1.10.2019 – 29.10.2019 7 / 51
Polynom
Definice
Funkci P : R → R tvaru
P(x) = anxn
+ an−1xn−1
+ · · · + a0, kde a0, a1, . . . , an ∈ R,
nazýváme polynomem. Čísla ai se nazývají koeficienty polynomu. Je-li
an = 0, pak číslo n nazveme stupněm polynomu.
Číslo α ∈ C se nazývá kořen polynomu P, jestliže
P(α) = 0.
Číslo α je k-násobným kořenem polynomu P, existuje-li polynom Q
takový, že
P(x) = (x − α)k
Q(x),
a α není kořenem polynomu Q, tj. Q(α) = 0. Číslo k ∈ N se pak nazývá
násobnost kořene α polynomu P.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 1.10.2019 – 29.10.2019 8 / 51
Věta
Nechť P(x) = anxn + an−1xn−1 + · · · + a0, kde a0, a1, . . . , an ∈ R je
polynom stupně n ≥ 0.
1. (Základní věta algebry.) Polynom P má nad komplexním oborem
C právě n kořenů, počítáme-li každý kořen tolikrát, kolik je jeho
násobnost.
2. Je-li komplexní číslo α k-násobným kořenem reálného polynomu P,
je číslo komplexně sdružené ¯α též k-násobným kořenem polynomu
P.
3. (Rozklad polynomu v oboru reálných čísel.) Jsou-li α1, . . . , αr
všechny reálné kořeny polynomu P s násobnostmi k1, . . . , kr a
(c1 ±id1), . . . , (cs ±ids) všechny navzájem různé dvojice komplexně
sdružených kořenů s násobnostmi r1, . . . , rs, platí
P(x) = an(x−α1)k1
· · · (x−αr)kr
[(x−c1)2
+d2
1]r1
· · · [(x−cs)2
+d2
s]rs
.
4. Nechť an = 1. Je-li celé číslo α kořenem polynomu P s celočíselnými
koeficienty, pak α je dělitelem čísla a0.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 1.10.2019 – 29.10.2019 9 / 51
Dvě základní úlohy
Příklad
Určete znaménko polynomu
P(x) = x(x − 1)(x − 2)2
.
Příklad
Najděte rozklad polynomu na kořenové činitele
P(x) = x5
− 3x4
− 5x3
+ 15x2
+ 4x − 12
P(x) = x4
− 7x2
− 4x + 20
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 1.10.2019 – 29.10.2019 10 / 51
Racionální lomená funkce a parciální zlomky
Definice
Buďte P, Q nenulové polynomy. Funkce
R(x) =
P(x)
Q(x)
se nazývá racionální lomená funkce. Tuto funkci nazveme ryze lomenou,
platí-li stP < stQ, a neryze lomenou, platí-li stP ≥ stQ.
Příklad
Napište danou funkci jako součet polynomu a ryze lomené racionální
funkce
R(x) =
3x5 − 3x2 + 2x − 5
x3 − x + 1
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 1.10.2019 – 29.10.2019 11 / 51
Rozklad na parciální zlomky
Každou ryze lomenou funkci R(x) = P(x)
Q(x) lze rozložit na součet
parciálních zlomků následujícím způsobem:
a) Je-li číslo α reálný k-násobný kořen polynomu Q, pak rozklad
obsahuje součet k parciálních zlomků tvaru
A1
(x − α)
+
A2
(x − α)2
+ · · · +
Ak
(x − α)k
.
b) Jsou-li čísla α ± iβ komplexně sdružené k-násobné kořeny
polynomu Q, pak rozklad obsahuje parciální zlomky tvaru
A1x + B1
ax2 + bx + c
+
A2x + B2
(ax2 + bx + c)2
+ · · ·
Akx + Bk
(ax2 + bx + c)k
.
kde ax2 + bx + c má kořeny α ± iβ.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 1.10.2019 – 29.10.2019 12 / 51
Příklad
Rozložte racionální funkci na parciální zlomky
a)
6x2 + 26x + 26
(x + 1)(x + 2)(x + 3)
b)
1
x3(x − 1)
c)
2x2
x4 − 1
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 1.10.2019 – 29.10.2019 13 / 51
Limita a spojitost
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 1.10.2019 – 29.10.2019 14 / 51
„Naivní“ definice
Funkce y = f(x) má v bodě x0 limitu L, jestliže se s hodnotami funkce
f(x) můžeme libovolně přiblížit číslu L tak, že vezmeme hodnoty x
dostatečně blízké hodnotě x0, ale různé od x0. Zapisujeme
lim
x→x0
f(x) = L.
Funkce y = f(x) má v bodě x0 limitu rovnu ∞, jestliže hodnoty funkce
f(x) můžeme udělat libovolně velké tak, že vezmeme hodnoty x dostatečně
blízké hodnotě x0, ale různé od x0. Zapisujeme
lim
x→x0
f(x) = ∞.
Funkce y = f(x) má v bodě ∞ limitu L, jestliže se s hodnotami funkce
f(x) můžeme libovolně přiblížit číslu L tak, že vezmeme hodnoty x
dostatečně velké. Zapisujeme
lim
x→∞
f(x) = L.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 1.10.2019 – 29.10.2019 15 / 51
Pro ty, jež vyžadují přesnost
Definice
Nechť x0, δ ∈ R, δ > 0. Pak interval O(x0) = (x0 − δ, x0 + δ) nazveme
okolím bodu x0.
Buď a ∈ R. Pak interval O(∞) = (a, ∞) nazveme okolím bodu ∞ a
interval O(−∞) = (−∞, a) okolím bodu −∞.
Definice
Nechť x0, L ∈ R ∪ {∞, −∞}. Řekneme, že funkce f(x) má v bodě
x0 limitu rovnu číslu L a píšeme limx→x0 f(x) = L, jestliže ke každému
okolí O(L) bodu L existuje okolí O(x0) bodu x0 tak, že pro
x ∈ O(x0) \ {x0} platí f(x) ∈ O(L).
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 1.10.2019 – 29.10.2019 16 / 51
Věta
Funkce f má v libovolném bodě nejvýše jednu limitu.
Řekneme, že funkce f(x) má v bodě x0 limitu zleva rovnu L, píšeme
lim
x→x−
0
f(x) = L,
jestliže se s hodnotami funkce f(x) můžeme libovolně přiblížit číslu L
tak, že vezmeme hodnoty x menší než x0 a dostatečně blízké hodnotě
x0.
Věta
lim
x→x0
f(x) = L ⇐⇒ lim
x→x−
0
f(x) = lim
x→x+
0
f(x) = L .
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 1.10.2019 – 29.10.2019 17 / 51
Věta
Nechť existují obě vlastní limity limx→x0 f(x) = L1 , limx→x0 g(x) = L2.
Pak platí:
a) limx→x0 (f(x) ± g(x)) = L1 ± L2,
b) limx→x0 (f(x) · g(x)) = L1 · L2,
c) Je-li L2 = 0, pak limx→x0
f(x)
g(x)
=
L1
L2
,
d) limx→x0 |f(x)| = | limx→x0 f(x)|.
Platí
∞ + ∞ = ∞, ∞ · ∞ = ∞,
1
±∞
= 0,
1
+0
= +∞,
1
−0
= −∞.
Nevíme
∞ − ∞,
∞
∞
,
0
0
, 0 · ∞, 00
, ∞0
, 1∞
.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 1.10.2019 – 29.10.2019 18 / 51
Spojitost funkce
Definice
Nechť x0 ∈ R. Řekneme, že funkce f je v bodě x0 spojitá, jestliže je
limita funkce v tomto bodě rovna funkční hodnotě v tomto bodě, tj.
lim
x→x0
f(x) = f(x0).
Definice
Nechť f je funkce a I ⊆ D(f) je interval. Řekneme, že funkce f je
spojitá na intervalu I, jestliže je spojitá v každém vnitřním bodě tohoto
intervalu. Patří-li navíc levý (pravý) koncový bod do I, je v něm
funkce spojitá zprava (zleva).
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 1.10.2019 – 29.10.2019 19 / 51
Vlastnosti spojitých funkcí
Věta (Weierstrassova věta)
Nechť f je spojitá na intervalu I = [a, b]. Pak je na tomto intervalu
ohraničená a nabývá zde své největší i nejmenší hodnoty.
Věta (Bolzanova věta)
Nechť f je spojitá na intervalu I = [a, b]. Pak na tomto intervalu nabývá
všech hodnot mezi svou největší a nejmenší hodnotou.
Důsledek
Je-li funkce f spojitá na intervalu I = [a, b] a f(a)f(b) < 0, pak existuje
bod c ∈ (a, b) takový, že f(c) = 0.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 1.10.2019 – 29.10.2019 20 / 51
Derivace funkce
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 1.10.2019 – 29.10.2019 21 / 51
Definice
Buď f funkce a bod x0 ∈ D(f). Existuje-li vlastní limita
lim
x→x0
f(x) − f(x0)
x − x0
,
nazýváme tuto limitu derivací funkce f v bodě x0 a značíme f (x0).
Položíme-li h = x − x0, lze derivaci zapsat ve tvaru
f (x0) = lim
h→0
f(x0 + h) − f(x0)
h
.
Podobně definujeme derivace zprava a derivace zleva:
f+(x0) = lim
x→x+
0
f(x) − f(x0)
x − x0
, f−(x0) = lim
x→x−
0
f(x) − f(x0)
x − x0
.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 1.10.2019 – 29.10.2019 22 / 51
Věta
Pro derivace elementárních funkcí platí:
c = 0, (xa
) = axa−1
,
(sin x) = cos x, (cos x) = − sin x,
(tg x) =
1
cos2 x
, (cotg x) = −
1
sin2
x
,
(arcsin x) =
1
√
1 − x2
, (arccos x) = −
1
√
1 − x2
,
(arctg x) =
1
x2 + 1
, (arccotg x) = −
1
x2 + 1
,
(ex
) = ex
, (ax
) = ax
· ln a,
(ln x) =
1
x
, loga x =
1
x ln a
,
kde a ∈ R a c ∈ R. Tyto vzorce platí všude tam, kde jsou příslušné
funkce definovány.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 1.10.2019 – 29.10.2019 23 / 51
Věta
Nechť mají funkce f, g derivaci na množině M. Pak platí:
a) cf(x) = cf (x), c ∈ R,
b) f(x) + g(x) = f (x) + g (x),
c) f(x) · g(x) = f (x)g(x) + f(x)g (x),
d) je-li g(x) = 0, pak
f(x)
g(x)
=
f (x)g(x) − f(x)g (x)
g2(x)
.
Věta
Nechť funkce u = g(x) má derivaci g (x), funkce y = f(u) má derivaci
f (u) a nechť platí D(f) ⊇ H(g). Pak složená funkce y = F(x) =
f[g(x)] má derivaci a platí:
F (x) = f [g(x)] · g (x).
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 1.10.2019 – 29.10.2019 24 / 51
Příklad
Vypočtěte derivace funkcí
y = 3x3
+ x + 2, y = xarctg x, y =
1 − x2
1 + x2
,
y = 2x2 + x, y = ln2
sin x
Z geometrického významu derivace plyne, že funkce f má v bodě x0
derivaci právě tehdy, když její graf má v bodě (x0, f(x0)) tečnu se
směrnicí f (x0). Rovnice této tečny je
y = f(x0) + f (x0)(x − x0).
Pro rovnici normály, tj. přímky kolmé k tečně a procházející dotykovým
bodem, platí
y = f(x0) −
1
f (x0)
(x − x0), je-li f (x0) = 0,
x = x0, je-li f (x0) = 0 .
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 1.10.2019 – 29.10.2019 25 / 51
Věta
Nechť f má derivaci na otevřeném intervalu I.
a) Je-li f (x) > 0 pro každé x ∈ I, pak je f rostoucí na I.
b) Je-li f (x) < 0 pro každé x ∈ I, pak je f klesající na I.
Věta (Lagrangeova věta)
Nechť funkce f je spojitá na intervalu [a, b] a v každém bodě x ∈ (a, b)
má derivaci f (x). Pak existuje bod c ∈ (a, b), pro který platí
f (c) =
f(b) − f(a)
b − a
.
Důsledek
Nechť funkce f, g mají vlastní derivace v každém bodě otevřeného intervalu
I. Jestliže pro všechna x ∈ I platí f (x) = g (x), pak se funkce f, g
liší o konstantu, tj. existuje c ∈ R takové, že f(x) = g(x) + c.
Zejména jestliže f (x) = 0 na I, pak je f na I konstantní.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 1.10.2019 – 29.10.2019 26 / 51
Derivace a extrémy funkce
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 1.10.2019 – 29.10.2019 27 / 51
Definice
Řekneme, že funkce f má v bodě x0:
a) lokální maximum, existuje-li okolí O(x0) tak, že pro každé x ∈
O(x0) je f(x) ≤ f(x0),
b) lokální minimum, existuje-li okolí O(x0) tak, že pro každé x ∈
O(x0) je f(x) ≥ f(x0),
c) ostré lokální maximum, jestliže existuje okolí O(x0) tak, že pro
každé x ∈ O(x0) {x0} je f(x) < f(x0),
d) ostré lokální minimum, jestliže existuje okolí O(x0) tak, že pro
každé x ∈ O(x0) {x0} je f(x) > f(x0).
Věta (Fermatova)
Nechť má funkce f v bodě x0 lokální extrém a nechť existuje derivace
f (x0). Pak f (x0) = 0.
Bod x0 s vlastností f (x0) = 0 se nazývá stacionární bod funkce.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 1.10.2019 – 29.10.2019 28 / 51
Věta
Mění-li derivace funkce při přechodu přes stacionární bod znaménko,
pak v něm funkce má lokální extrém.
Definice
Druhou derivací funkce f rozumíme funkci f = (f ) a pro libovolné
n ≥ 2 definujeme n-tou derivaci (derivaci n-tého řádu) funkce f vztahem
f(n) = (f(n−1)) .
Věta
Nechť f (x0) = 0, tj. x0 je stacionární bod.
a) Je-li f (x0) > 0, pak má funkce f v bodě x0 ostré lokální mini-
mum.
b) Je-li f (x0) < 0, pak má f v bodě x0 ostré lokální maximum.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 1.10.2019 – 29.10.2019 29 / 51
Příklad
Určete lokální extrémy funkce
y =
x2
4 − x3
Příklad
Určete lokální extrémy funkce
y = ln2
x
Příklad
Ve městě s 10 000 obyvateli je počet N lidí, kteří mají v daném čase t
chřipku, roven
N(t) =
10000
1 + 9999e−t
,
kde t je čas měřený ve dnech a chřipka je rozšířena jedinou osobou,
která ji měla v čase t = 0. Určete, kdy je rychlost šíření nemoci nej-
větší.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 1.10.2019 – 29.10.2019 30 / 51
Definice
Buď funkce f definovaná na množině M. Jestliže x0 ∈ M a platí
f(x) ≤ f(x0)
pro všechna x ∈ M, říkáme, že funkce f má na M absolutní maximum
v bodě x0. Podobně definujeme absolutní minimum.
Postup pro nalezení absolutních extrémů:
1. Najdeme v daném intervalu stacionární body a body, v nichž
neexistuje první derivace.
2. Vypočteme funkční hodnoty v těchto bodech.
3. Vypočteme funkční hodnoty v krajních bodech intervalu (pokud
patří do D(f)).
4. Ze všech takto získaných funkčních hodnot vybereme největší a
nejmenší. To bude absolutní maximum a minimum.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 1.10.2019 – 29.10.2019 31 / 51
Příklad
Najděte absolutní extrémy funkce:
f(x) = x − x2
, x ∈ [0, 1]
f(x) = x2
ln x, x ∈ [1, e]
Příklad
Máme směs kyslíku a oxidu dusnatého. Okysličování oxidu dusnatého
probíhá podle reakce
2NO + O2 −→ 2NO2
a pro její rychlost v platí
v = k[NO]2
[O2],
kde k > 0 je rychlostní konstanta. Určete takovou koncentraci kyslíku
v této směsi, při které se oxid dusnatý nejrychleji okysličí.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 1.10.2019 – 29.10.2019 32 / 51
Užitečný nástroj - L’Hospitalovo
pravidlo
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 1.10.2019 – 29.10.2019 33 / 51
Věta
Buď x0 ∈ R ∪ {−∞, ∞}. Nechť je splněna jedna z podmínek
i) lim
x→x0
f(x) = lim
x→x0
g(x) = 0,
ii) lim
x→x0
|f(x)| = lim
x→x0
|g(x)| = +∞.
Existuje-li (vlastní nebo nevlastní) lim
x→x0
f (x)
g (x) , pak existuje také
lim
x→x0
f(x)
g(x) a platí
lim
x→x0
f(x)
g(x)
= lim
x→x0
f (x)
g (x)
.
Využitím různých triků se na tyto dva případy dají převést i ostatní
tzv. neurčité výrazy
∞ − ∞, 0 · ∞, 00
, ∞0
, 1∞
.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 1.10.2019 – 29.10.2019 34 / 51
Příklad
Vypočtěte náledující limity:
lim
x→0
xex
1 − ex
lim
x→∞
x
ln2
x
lim
x→0
1
sin x
−
1
tg x
lim
x→0+
x ln x
lim
x→0+
(ex
+ x)
1
x
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 1.10.2019 – 29.10.2019 35 / 51
Jak derivace ovlivňuje tvar grafu?
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 1.10.2019 – 29.10.2019 36 / 51
Konvexní a konkávní funkce
Definice
Leží-li graf funkce f nad každou svojí tečnou v libovolném bodě intervalu
I, tj. platí-li
f(x) ≥ f(x0) + f (x0)(x − x0) pro x, x0 ∈ I,
řekneme, že funkce je konvexní na intervalu I.
Leží-li graf funkce f pod každou svojí tečnou v libovolném bodě intervalu
I, tj. platí-li
f(x) ≤ f(x0) + f (x0)(x − x0) pro x, x0 ∈ I,
řekneme, že funkce je konkávní na intervalu I.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 1.10.2019 – 29.10.2019 37 / 51
Věta
Nechť I je otevřený interval a f má druhou derivaci na I.
a) Je-li f (x) > 0 pro každé x ∈ I, pak je f konvexní na I.
b) Je-li f (x) < 0 pro každé x ∈ I, pak je f konkávní na I.
Definice
Řekneme, že x0 je inflexním bodem funkce f, jestliže je f v x0 spojitá a
jestliže je vlevo od bodu x0 konkávní a vpravo od tohoto bodu je konvexní,
anebo naopak.
x
y
0
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 1.10.2019 – 29.10.2019 38 / 51
Věta
a) Nechť x0 je inflexní bod a nechť existuje f (x0). Pak f (x0) = 0.
b) Nechť f (x0) = 0, v levém okolí bodu x0 platí f (x) < 0 a v pravém
okolí bodu x0 platí f (x) > 0, nebo naopak. Pak je x0 inflexním
bodem funkce f.
Příklad
Určete intervaly, ve kterých je funkce
y =
x3
x2 − 1
konvexní/konkávní, případně určete její inflexní body.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 1.10.2019 – 29.10.2019 39 / 51
Asymptoty funkce
Definice
Přímka x = x0 se nazývá asymptotou bez směrnice funkce f, jestliže má
f v x0 alespoň jednu jednostrannou limitu nevlastní, tj.
lim
x→x+
0
f(x) = ±∞
nebo
lim
x→x−
0
f(x) = ±∞.
Přímka y = ax + b, a, b ∈ R, se nazývá asymptotou se směrnicí funkce
f, jestliže platí
lim
x→−∞
(f(x) − (ax + b)) = 0
nebo
lim
x→+∞
(f(x) − (ax + b)) = 0.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 1.10.2019 – 29.10.2019 40 / 51
Věta
Přímka y = ax + b je asymptotou funkce f pro x → +∞, jestliže
a = lim
x→+∞
f(x)
x
, b = lim
x→+∞
(f(x) − ax)
(obě tyto limity jsou vlastní). Analogické tvrzení platí pro x → −∞.
Příklad
Určete asymptoty grafu funkce
y =
x3
x2 − 1
.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 1.10.2019 – 29.10.2019 41 / 51
Vyšetření průběhu funkce
1. Stanovíme definiční obor D(f). Určíme nulové body a intervaly,
kde je funkce kladná a kde záporná. Případně zda je funkce f
sudá, lichá nebo periodická.
2. Vypočítáme f a podle jejího znaménka určíme:
intervaly, kde je f rostoucí (z podmínky f > 0),
intervaly, kde je f klesající (z podmínky f < 0),
lokální extrémy (podle změny znaménka f ).
3. Vypočítáme f a podle jejího znaménka určíme:
intervaly, kde je f konvexní (z podmínky f > 0),
intervaly, kde je f konkávní (z podmínky f < 0),
inflexní body (podle změny znaménka f ).
4. Najdeme asymptoty funkce f.
5. Nakreslíme graf funkce.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 1.10.2019 – 29.10.2019 42 / 51
Příklad
Vyšetřete průběh funkce
y =
4
x2 − 4
víte-li, že
y = −
8x
(x2 − 4)2
, y =
24x2 + 32
(x2 − 4)3
.
Příklad
Vyšetřete průběh funkce
y = xex
víte-li, že
y = (x + 1)ex
, y = (x + 2)ex
.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 1.10.2019 – 29.10.2019 43 / 51
Přibližné vyjádření hodnot funkce -
Aproximace
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 1.10.2019 – 29.10.2019 44 / 51
Tečna a diferenciál
Jak již víme, tečna funkce v bodě [x0, f(x0)] má rovnici
y = f(x0) + f (x0)(x − x0).
Tedy přibližné hodnoty funkce v okolí bodu x0 jsou dány vztahem
f(x) ≈ f(x0) + f (x0)(x − x0).
Diferenciálem funkce f rozumíme přírůstek funkce na tečně ke grafu
funkce v daném bodě s označujeme jej dy nebo df.
Diferenciál můžeme snadno vyjádřit pomocí derivace
dy = f (x0)(x − x0) = f (x0)dx.
Tedy pomocí diferenciálu můžeme psát
f(x0 + dx) ≈ f(x0) + dy.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 1.10.2019 – 29.10.2019 45 / 51
Základní lineární aproximace
Najděte lineární aproximace následujících funkcí v okolí nuly
a) sin x
b) cos x
c) (1 + x)n
Rovnice Michaelise a Mentenové
Pro rychlost chemických reakcí enzymů platí za zjednodušujících před-
pokladů
v0 =
vmax[S]
KM + [S]
.
Jak se dá tato rovnice zjednodušit pro malé hodnoty [S]?
Odhad chyby
Jaké chyby se dopustíme při výpočtu objemu koule, jestliže její poloměr
r = 21 cm byl změřen s chybou maximálně 0,05 cm?
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 1.10.2019 – 29.10.2019 46 / 51
Co když přímka nestačí?
Definice
Nechť má funkce f v bodě x0 všechny derivace až do řádu n, které jsou
vlastní. Polynom
Tn(x) = f(x0) +
f (x0)
1!
(x − x0) +
f (x0)
2!
(x − x0)2
+ · · · +
f(n)
n!
(x − x0)n
nazýváme Taylorův polynom stupně n pro funkci f se středem v bodě
x0.
Věta (Taylorova)
Nechť má funkce f v okolí bodu x0 vlastní derivace až do řádu n + 1 pro
některé n ∈ N ∪ {0}. Pak pro všechna x z tohoto okolí platí:
f(x) = Tn(x) + Rn(x), kde Rn(x) =
f(n+1)(ξ)
(n + 1)!
(x − x0)n+1
,
přičemž ξ je vhodné číslo mezi x0 a x.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 1.10.2019 – 29.10.2019 47 / 51
Příklad
Napište Taylorův polynom n-tého stupně se středem v bodě x0 funkce
f:
a) n = 3, x0 = 1, f = ln x
b) n = k, x0 = 0, f = ex.
Lennard-Jonesův potenciál
Napište Taylorův polynom druhého stupně pro funkci
V (r) =
1
r12
−
2
r6
se středem v bodě r = 1.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 1.10.2019 – 29.10.2019 48 / 51
Interpolace
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 1.10.2019 – 29.10.2019 49 / 51
Lagrangeův interpolační polynom
Věta
Pro každou množinu navzájem různých bodů [x0, y0], . . . , [xn, yn] v rovině
existuje právě jeden polynom P stupně nejvýše n, pro který platí
P(xi) = yi, i = 0, . . . , n.
P(x) = y0l0(x) + y1l1(x) + · · · + ynln(x),
kde
li(x) =
(x − x0)(x − x1) . . . (x − xi−1)(x − xi+1) . . . (x − xn)
(xi − x0)(xi − x1) . . . (xi − xi−1)(xi − xi+1) . . . (xi − xn)
=
j=i(x − xj)
j=i(xi − xj)
.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 1.10.2019 – 29.10.2019 50 / 51
Metoda nejmenších čtverců
0
y
x
f
0
y
x
f
Věta
Nechť [x1, y1], [x2, y2], . . . , [xn, yn] jsou body v rovině, které prokládáme
přímkou y = ax + b metodou nejmenších čtverců, tj. hledáme minimum
funkce S(a, b) = n
k=1(axk + b − yk)2.
Pak pro koeficienty a, b platí:
a n
k=1 x2
k + b n
k=1 xk = n
k=1 xkyk
a n
k=1 xk + bn = n
k=1 yk.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 1.10.2019 – 29.10.2019 51 / 51