Lineární algebra Vektory, matice, rovnice Petr Liška Masarykova univerzita 17.9.2019 24.9.2019 Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 17.9.2019 24.9.2019 1 / 26 Vektory a počítání s nimi Definice Množinu V uspořádaných n-tic (x1, x2, . . . , xn) spolu s operacemi sčítání a násobení reálným číslem definovanými (x1, x2, . . . , xn) + (y1, y2, . . . , yn) = (x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn) c · (x1, x2, . . . , xn) = (c · x1, c · x2, . . . , c · xn) pro všechna c ∈ R a (x1, x2, . . . , xn), (y1, y2, . . . , yn) ∈ V nazýváme vektorovým prostorem. Prvky tohoto prostoru nazýváme vektory. Prvky x1, . . . , xn nazýváme složky vektoru. Číslo n nazýváme dimenze prostoru V . Je-li množina V tvořena uspořádanými n-ticemi reálných čísel označujeme příslušný vektorový prostor Rn. Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 17.9.2019 24.9.2019 2 / 26 Skalární součin Nechť x, y ∈ Rn potom skalární součin x · y je definován jako x · y = (x1, x2, . . . , xn) · (y1, y2, . . . , yn) = x1y1 + x2y2 + · · · + xnyn . Velikost (norma) vektoru Velikostí vektoru x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn rozumíme nezáporné číslo |x| = √ x · x = x2 1 + x2 2 + · · · + x2 n. Odchylka vektorů Pro odchylku ϕ dvou nenulových vektorů x a y ∈ Rn platí cos ϕ = x · y |x||y| . Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 17.9.2019 24.9.2019 3 / 26 Lineární kombinace, závislost a nezávislost vektorů Lineární kombinace Nechť x1, x2, . . . , xn je konečná posloupnost vektorů z vektorového prostoru V . Vektor x, pro který platí x = t1x1 + t2x2 + · · · + tnxn, kde t1, t2, . . . , tn jsou nějaká reálná čísla, se nazývá lineární kombinace vektorů x1, x2, . . . , xn. LZ a LN Řekneme, že vektory x1, x2, . . . , xn jsou lineárně závislé, jestliže existují reálná čísla t1, t2, . . . , tn, z nichž alespoň jedno je různé od nuly, taková, že platí o = t1x1 + t2x2 + · · · + tnxn. V opačném případě říkáme, že vektory jsou lineárně nezávislé. Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 17.9.2019 24.9.2019 4 / 26 Matice Definice Maticí A rozumíme schéma A = (aij) =      a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n ... ... ... ... am1 am2 . . . amn      kde aij pro i = 1, . . . , m a j = 1, . . . , n jsou reálná čísla nebo funkce. Je-li tato matice (tabulka) sestavená z m řádků a n sloupců, říkáme, že A je matice typu m × n. Je-li m = n nazývá se matice A čtvercová matice, jinak obdélníková matice. Je-li A čtvercová matice, nazýváme prvky tvaru aii, tj. prvky, jejichž řádkový a sloupcový index jsou stejné, prvky hlavní diagonály. Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 17.9.2019 24.9.2019 5 / 26 Operace s maticemi Nechť k = 0 je reálné číslo. Výsledkem násobení matice A číslem k je matice C, jejíž prvky jsou tvaru cij = k · aij. Nechť A, B jsou matice téhož typu m × n. Součtem matic A, B nazýváme matici C, jejíž prvky jsou cij = aij + bij. Nechť A je matice typu m × n a B je matice typu n × p. Součinem matic A a B (v tomto pořadí) nazýváme matici C, jejíž prvky jsou cij = ai1b1j + ai2b2j + . . . ainbnj = n k=1 aikbkj. Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 17.9.2019 24.9.2019 6 / 26 Proč se to dělá zrovna takto? Lineární zobrazení Zobrazení T z Rn do Rm je pravidlo, které každému vektoru z Rn přiřadí právě jeden vektor z Rm. Zobrazení T navíc nazveme lineární, jestliže T(u + v) = T(u) + T(v) a T(cu) = cT(u) pro každé u, v ∈ Rn a c ∈ R. Příklady Zobrazení z R2 do R2, které - zobrazí každý bod v osové souměrnosti s osou x - každý bod kolmo promítne na osu x - každý bod otočí kolem počátku protisměru hodinových ručiček o úhel ϕ Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 17.9.2019 24.9.2019 7 / 26 f x1 x2 = ax1 + bx2 cx1 + dx2 g x1 x2 = Ax1 + Bx2 Cx1 + Dx2 f g x1 x2 = f Ax1 + Bx2 Cx1 + Dx2 = (aA + bC)x1 + (aB + bD)x2 (cA + dC)x1 + (cB + dD)x2 F = a b c d G = A B C D H = aA + bC aB + bD cA + dC cB + dD a b c d · A B C D = aA + bC aB + bD cA + dC cB + dD Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 17.9.2019 24.9.2019 8 / 26 Vedení tepla 20 ◦ C 20 ◦ C 10 ◦ C 10 ◦ C 30 ◦ C 30 ◦ C 40 ◦ C 40 ◦ C x1 x2 x3x4 x1 = 1 4 (30 + x2 + x4) x2 = 1 4 (60 + x1 + x3) x3 = 1 4 (70 + x2 + x4) x4 = 1 4 (40 + x1 + x3) Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 17.9.2019 24.9.2019 9 / 26 Vyvažování chemických rovnic x1 NH3 + x2 O2 −→ x3 N2 + x4 H2O . x1 − 2x3 = 0 3x1 − 2x4 = 0 2x2 − x4 = 0 Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 17.9.2019 24.9.2019 10 / 26 Soustavy lineárních rovnic Definice Systémem k lineárních rovnic o n neznámých x1, x2, . . . , xn rozumíme soustavu rovnic a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ak1x1 + ak2x2 + · · · + aknxn = bk. Je-li b1 = b2 = · · · = bk = 0, nazývá se takovýto systém homogenní. Řešením tohoto systému je každá uspořádaná n-tice (t1, t2, . . . , tn) takových čísel t1, t2,. . . , tn, která dané soustavě vyhovuje. Systém rovnic má právě jedno řešení. Systém rovnic má nekonečně mnoho řešení. Systém rovnic nemá žádné řešení. Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 17.9.2019 24.9.2019 11 / 26 Maticí systému nazýváme matici A =      a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n ... ... ... ak1 ak2 . . . akn      . Rozšířenou maticí systému nazýváme matici ¯A =      a11 a12 . . . a1n b1 a21 a22 . . . a2n b2 ... ... ... ... ak1 ak2 . . . akn bk      . Soustavu pak můžeme zapsat maticově A · x = b , kde x je vektor neznámých a b je vektor koeficientů z pravých stran. Obvykle píšeme také A · X = B . Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 17.9.2019 24.9.2019 12 / 26 Hodnost matice Definice Hodnost matice A je číslo, které je rovno maximálnímu počtu lineárně nezávislých řádků. Označujeme ji h(A). Je-li A čtvercová matice typu n × n, jejíž hodnost je rovna n, nazýváme ji regulární maticí. Je-li h(A) < n, nazývá se taková matice singulární. Definice Řekneme, že A je matice ve schodovitém tvaru, jestliže v matici A každý nenulový řádek začíná větším počtem nul než předchozí řádek. Věta Hodnost matice ve schodovitém tvaru je rovna počtu jejích nenulových řádků. Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 17.9.2019 24.9.2019 13 / 26 Hodnost a soustavy rovnic Věta (Frobeniova věta) Systém lineárních rovnic má řešení, právě když je hodnost matice systému rovna hodnosti rozšířené matice systému. Věta Systém k lineárních rovnic o n neznámých má jediné řešení, jestliže je hodnost h matice systému rovna hodnosti rozšířené matice systému a navíc je rovna počtu neznámých n, tedy h = n. Věta Systém k lineárních rovnic o n neznámých má nekonečně mnoho řešení, jestliže se hodnost h matice systému rovná hodnosti rozšířené matice a navíc je tato hodnost menší než počet neznámých, tj. h < n. V tomto případě lze n − h neznámých volit libovolně. Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 17.9.2019 24.9.2019 14 / 26 Jak soustavu vyřešit? Gaussova eliminační metoda Systém reprezentujeme pomocí matice. Matici převedeme do schodovitého tvaru pomocí tzv. elementárních řádkových úprav: - zaměna pořadí řádků, - vynásobení libovolného řádku nenulovým číslem, - přičtením násobku libovolného řádku k libovolnému řádku, - vypuštění řádku, který je složen ze samých nul, je násobkem jiného řádku nebo lineární kombinací jiných řádků. Zpětným dosazením vypočítáme jednotlivé neznámé. Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 17.9.2019 24.9.2019 15 / 26 Příklad x1 + 2x2 − 5x3 + x4 = −2 3x1 + x2 − 4x3 + 6x4 = −2 −x1 + 2x2 − x3 + x4 = 6 x2 + 3x3 − 4x4 = 1 Příklad x1 + x2 + x3 + x4 = 1 2x1 + 2x2 + 2x3 = 0 x1 + x2 + 5x3 − x4 + 6x5 = 1 x1 + x2 − 3x3 + x4 − 6x5 = −1 Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 17.9.2019 24.9.2019 16 / 26 Inverzní matice a soustavy rovnic Definice Nechť A ∈ Rn×n je čtvercová matice řádu n. Jestliže existuje čtvercová matice A−1 řádu n, splňující vztahy A−1 A = I = AA−1 , nazýváme matici A−1 inverzní matici k matici A. Věta Nechť A ∈ Rn×n je čtvercová matice řádu n taková, že k ní existuje A−1. Potom systém lineárních rovnic Ax = b má právě jedno řešení x = A−1b pro libovolné b ∈ Rn. Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 17.9.2019 24.9.2019 17 / 26 Jak inverzní matici najít? Věta Nechť A je čtvercová matice. Jestli sekvence elementárních řádkových úprav převede matici A na jednotkovu, pak stejná sekvence elementárních řádkových úprav převede jednotkovou matici na A−1. Příklad A =   1 2 −1 2 2 4 1 3 −3   A−1 = ? Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 17.9.2019 24.9.2019 18 / 26 Nejde to snadněji?   3 0 0 0 6 0 0 0 9   ·   1 0 0 0 4 0 0 0 7   =   3 0 0 0 24 0 0 0 63     3 0 0 0 6 0 0 0 9   ·   1 3 0 0 0 1 6 0 0 0 1 9   =   1 0 0 0 1 0 0 0 1   Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 17.9.2019 24.9.2019 19 / 26 Determinant Definice Determinant |A| čtvercové matice A ∈ R1×1 je číslo |A| = |a11| = a11 . Determinant |A| čtvercové matice A ∈ Rn×n, n ≥ 2 je číslo |A| = a11|A11| − a12|A12| + · · · + (−1)n+1 a1n|A1n| = n j=1 (−1)j+1 a1j|A1j|, kde A1j značí matici, která vznikla z matice A odebráním prvního řádku a j-tého sloupce. Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 17.9.2019 24.9.2019 20 / 26 V „realitě“ se na to musí jinak Příklad 1 2 −1 0 5 1 0 0 4 Věta 1. Determinant, který má pod hlavní diagonálou samé nuly, je roven součinu prvků v této diagonále. 2. Vynásobíme-li libovolný řádek (sloupec) matice číslem k, determinant výsledné matice bude k-násobkem determinantu matice pů- vodní. 3. Zaměníme-li pořadí dvou řádků (sloupců) matice, determinant výsledné matice bude mít opačné znaménko než determinant matice původní. 4. Přičtením k-násobku libovolného řádku (sloupce) k jinému řádku (sloupci) se determinant matice nezmění. Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 17.9.2019 24.9.2019 21 / 26 Souvislosti Věta Nechť A ∈ Rn×n, pak následující výroky jsou ekvivalentní: 1. Řádky matice A jsou tvořeny lineárně nezávislými vektory. 2. Sloupce matice A jsou tvořeny lineárně nezávislými vektory. 3. K matici A existuje invezní matice A−1. 4. |A| = 0 5. Soustava lineárních rovnic AX = B má pro libovolnou pravou stranu B jediné řešení. 6. Homogenní soustava rovnic AX = 0 má pouze nulové řešení. 7. Každý vektor z Rn lze vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů tvořených řádky (sloupci) matice A a to jednoznačně (až na pořadí). Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 17.9.2019 24.9.2019 22 / 26 Vlastní vektory a vlastní čísla Definice Nechť A je čtvercová matice, λ je komplexní číslo a x je nenulový vektor, který je řešením rovnice Ax = λx. (1) Pak se komplexní číslo λ nazývá vlastní číslo matice A a vektor x se nazývá vlastní vektor matice A (příslušný vlastnímu číslu λ). Věta Vlastní čísla matice A jsou řešením tzv. charakteristické rovnice s neznámou λ |A − λI| = 0 . Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 17.9.2019 24.9.2019 23 / 26 Zpátky k reakcím E + S kf −−−− kr ES kcat −−→ E + P - Na začátku je 60 % enzymu ve stavu E a 40 % ve stavu ES. - Za každou jednotku času 1. 95 % enzymu zůstane ve stavu E a 5 % se změní na ES 2. 97 % enzymu zůstane ve stavu ES a 3 % se změní na E Věta Je-li P stochastická matice, pak potom 1 je vlastní číslo matice P. Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 17.9.2019 24.9.2019 24 / 26 Leslieho model Příklad Uvažujme například populaci hmyzu rozdělenou na tři kategorie, každou o délce 1 rok: mláďata, mladistvé a dospělé jedince. Pravděpodobnost přežití mláďat je 50 % a nerozmnožují se. Mladiství mají pravděpodobnost přežití 25 % a každý z nich má průměrně čtyři mláďata. Dospělí jedinci mají pravděpodobnost přežití 0 % a každý z nich má průměrně tři mláďata. Předpokládejme, že máme 100 samiček, přičemž 40 jsou mláďata, 40 jsou mladiství a 20 dospělí. Jak se bude tato populace vyvíjet v čase? L · x0 =   0 4 3 0,5 0 0 0 0,25 0   ·   40 40 20   =   220 20 10   = x1 . Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 17.9.2019 24.9.2019 25 / 26 t P 1000 2000 3000 4000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 t P[%] 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 5 10 15 Věta Každá Lesliho matice má právě jedno kladné vlastní číslo. Tomuto číslu odpovídá vlastní vektor, jehož všechny složky jsou kladné. Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 17.9.2019 24.9.2019 26 / 26