Derivace a integrál aneb cesta tam a zase zpátky
Od rychlosti k množství
Petr Liška
Masarykova univerzita
29.10.2019 – 5.11.2019
Petr Liška (Masarykova univerzita) Cesta zpět 29.10.2019 – 5.11.2019 1 / 10
Neurčitý integrál
Petr Liška (Masarykova univerzita) Cesta zpět 29.10.2019 – 5.11.2019 2 / 10
Primitivní funkce
Definice
Nechť funkce f a F jsou definované na intervalu I. Jestliže platí
F (x) = f(x) pro všechna x ∈ I,
pak říkáme, že funkce F je primitivní funkcí k funkci f na intervalu I.
Množinu všech primitivních funkcí k funkci f nazýváme neurčitý integrál
funkce f a označujeme
f(x) dx.
Věta
Je-li funkce F(x) primitivní k funkci f(x) na intervalu I, pak každá
jiná primitivní funkce k funkci f má tvar F(x) + c, kde c ∈ R.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Cesta zpět 29.10.2019 – 5.11.2019 3 / 10
Věta
Je-li funkce f spojitá na intervalu I, pak k ní na tomto intervalu existuje
primitivní funkce.
Věta
Nechť na intervalu I existují neurčité integrály f(x) dx a g(x) dx
a nechť α je libovolná konstanta. Pak na I existuje neurčitý integrál
funkce f + g a neurčitý integrál funkce αf a platí
(f(x) ± g(x)) dx = f(x) dx ± g(x) dx, (1)
αf(x) dx = α f(x)dx. (2)
Petr Liška (Masarykova univerzita) Cesta zpět 29.10.2019 – 5.11.2019 4 / 10
(1) 1 dx = x + c,
(2) xn dx = xn+1
n+1 + c, n = −1,
(3) 1
x dx = ln |x| + c,
(4) ex dx = ex + c,
(5) ax dx = ax
ln a + c, a > 0, a = 1,
(6) sin x dx = − cos x + c,
(7) cos x dx = sin x + c,
(8) 1
x2+1
dx = arctg x + c,
(9) 1
(x−x0)2+a2 dx = 1
a arctg x−x0
a + c,
(10) 1√
a2−x2
dx = arcsin x
a + c,
(11) 1√
x2+a
dx = ln |x +
√
x2 + a| + c,
(12) 1
cos2 x
dx = tg x + c,
(13) 1
sin2 x
dx = −cotg x + c,
(14) f (x)
f(x) dx = ln |f(x)| + c.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Cesta zpět 29.10.2019 – 5.11.2019 5 / 10
Metoda per partes
Věta
Nechť funkce u(x) a v(x) mají spojité derivace na intervalu I. Pak platí
u(x)v (x) dx = u(x)v(x) − u (x)v(x) dx.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Cesta zpět 29.10.2019 – 5.11.2019 6 / 10
Substituční metoda
Věta
Nechť funkce f má na intervalu J primitivní funkci F, funkce t = ϕ(x)
má spojitou derivaci na intervalu I a ϕ(x) ∈ J pro x ∈ I. Pak má
složená funkce f(ϕ(x))ϕ (x) primitivní funkci na intervalu I a platí
f(ϕ(x))ϕ (x) dx = F(ϕ(x)) + c.
Podobně lze použít substituci opačnou, tj. x = ψ(t). Tuto substituční
metodu můžeme zapsat ve tvaru
f(x) dx =
x = ϕ(t)
dx = ϕ (t) dt
= f ϕ(t) ϕ (t) dt.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Cesta zpět 29.10.2019 – 5.11.2019 7 / 10
Integrace racionální lomené funkce
Kn(x) =
dx
(1 + x2)n
=
x
2(n − 1)(x2 + 1)n−1
+
3 − 2n
2 − 2n
Kn−1(x),
kde
K1(x) = arctg x,
Ax + B
((x − x0)2 + a2)n dx =
=
A
2
1
(1 − n) ((x − x0)2 + a2)n−1 +
B + Ax0
a2n−1
Kn
x − x0
a
.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Cesta zpět 29.10.2019 – 5.11.2019 8 / 10
Integrace funkcí s odmocninami
Integrál z funkce typu
R x, q1
√
xp1 , q2
√
xp2 , . . . , qn
√
xpn ,
kde p1 . . . , pn, q1, . . . , gn ∈ N, můžeme substitucí
x = ts
,
kde s je nejmenší společný násobek čísel q1, . . . , qn, převést na integraci
racionální lomené funkce. Integrály z funkcí tvaru
R x, n ax + b
cx + d
převedeme na integrál z racionální lomené funkce substitucí
tn
=
ax + b
cx + d
.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Cesta zpět 29.10.2019 – 5.11.2019 9 / 10
Integrace funkcí typu R(cos x, sin x) dx
1. Je-li integrovaná funkce lichá vůči cosinu, tj. platí-li
R(sin x, − cos x) = −R(sin x, cos x),
pak volíme substituci t = sin x.
2. Je-li integrovaná funkce lichá vůči sinu, tj. platí-li
R(− sin x, cos x) = −R(sin x, cos x),
pak volíme substituci t = cos x.
3. Platí-li
R(− sin x, − cos x) = R(sin x, cos x),
volíme substituci t = tg x.
Univerzální substituce je
t = tg
x
2
.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Cesta zpět 29.10.2019 – 5.11.2019 10 / 10