Odsud až do nekonečna Nevlastní integrál Petr Liška Masarykova univerzita 19.11.2019 Petr Liška (Masarykova univerzita) Odsud až do nekonečna 19.11.2019 1 / 9 Nevlastní integrál prvního typu Definice Nechť funkce f je spojitá na intervalu [a, ∞). Jestliže existuje vlastní limita lim b→∞ b a f(x) dx, říkáme, že nevlastní integrál ∞ a f(x) dx konverguje. Jeho hodnota je ∞ a f(x) dx = lim b→∞ b a f(x) dx. V opačném případě, kdy je limita nevlastní nebo neexistuje, říkáme, že nevlastní integrál diverguje. Petr Liška (Masarykova univerzita) Odsud až do nekonečna 19.11.2019 2 / 9 Příklad Rozhodněte, zda-li následující integrály konvergují nebo divergují a) ∞ 1 1 x dx; b) ∞ 1 xe−x dx; c) ∞ 0 sin x dx; d) ∞ −∞ 1 x2+1 dx. Příklad Pro které hodnoty parametru p je integrál ∞ 1 1 xp dx konvergentní? Petr Liška (Masarykova univerzita) Odsud až do nekonečna 19.11.2019 3 / 9 Nevlastní integrál druhého typu Definice Nechť funkce f je spojitá na intervalu (a, b] a funkce f není ohraničená na [a, b]. Pak bod a nazýváme singulárním bodem a definujeme nevlastní integrál b a f(x) dx = lim c→a+ b c f(x) dx. Jestliže je tato limita vlastní, říkáme, že integrál konverguje. V opačném případě, kdy je limita nevlastní nebo neexistuje, říkáme, že nevlastní integrál diverguje. Petr Liška (Masarykova univerzita) Odsud až do nekonečna 19.11.2019 4 / 9 Příklad Rozhodněte, zda-li následující integrály konvergují nebo divergují a) 2 0 1√ 1−x dx; b) 3 0 1 x−1 dx; c) 1 0 1√ 1−x2 dx. d) 1 −1 ln |x| dx; Příklad Pro které hodnoty parametru p je integrál 1 0 1 xp dx konvergentní? Petr Liška (Masarykova univerzita) Odsud až do nekonečna 19.11.2019 5 / 9 Srovnávací věta Věta Nechť f a g jsou spojité funkce takové, že f(x) ≥ g(x) ≥ 0 pro x ≥ a. a) Konverguje-li integrál ∞ a f(x) dx, pak konverguje i integrál ∞ a g(x) dx. b) Diverguje-li integrál ∞ a g(x) dx, pak diverguje i integrál ∞ a f(x) dx. Příklad Ukažte, že integrál ∞ 0 e−x2 dx konverguje a integrál ∞ 1 1 + e−x x dx diverguje. Petr Liška (Masarykova univerzita) Odsud až do nekonečna 19.11.2019 6 / 9 Příklad Užitím vztahu ∞ 0 e−x2 dx = √ π 2 vypočtěte a) ∞ 0 e−ax2 dx, kde a > 0, b) ∞ 0 e−x √ x dx. Příklad Určete obsah oblasti ohraničené grafem funkce y = 1 x a osou x na intervalu [1, ∞). Dále určete objem a povrch pláště tělesa, které vznikne rotací této oblasti kolem osy x. Petr Liška (Masarykova univerzita) Odsud až do nekonečna 19.11.2019 7 / 9 Příklad Průměrná rychlost molekul ideálního plynu je ¯v = 4 √ π M 2RT 3/2 ∞ 0 v3 e−Mv2/(2RT) dv, kde M molekulární hmotnost, R je konstanta, T je teplota a v rychlost molekul. Ukažte, že ¯v = 8RT πM . Příklad Pro množství látky při radioaktivním rozpadu platí m(t) = m(0)e−kt, kde k je kladná konstanta. Střední doba života je M = k ∞ 0 tekt dt. Určete M pro 14C, pro který platí k = 0,000121. Petr Liška (Masarykova univerzita) Odsud až do nekonečna 19.11.2019 8 / 9 Laplaceova transformace Je-li f spojitá funkce pro t ≥ 0, pak Laplaceovou transformací funkce f rozumíme funkci F definovanou F(s) = ∞ 0 f(t)e−st dt. Určete Laplaceovu transformaci následujících funkcí a) f(t) = 1; b) f(t) = et; c) f(t) = t. Petr Liška (Masarykova univerzita) Odsud až do nekonečna 19.11.2019 9 / 9