Množství, obsahy, objemy a taky délky a povrchy
Určitý integrál
Petr Liška
Masarykova univerzita
12.11.2019
Petr Liška (Masarykova univerzita) Množství, obsahy, objemy a taky délky a povrchy 12.11.2019 1 / 12
(Riemannův) určitý integrál
Petr Liška (Masarykova univerzita) Množství, obsahy, objemy a taky délky a povrchy 12.11.2019 2 / 12
Jedna z mnoha definic
Definice
Nechť f je funkce ohraničená na [a, b]. Nechť a = x0, x1, x2, . . . , xn = b
jsou body dělící interval [a, b] na n stejných subintervalů délky ∆x =
b−a
n a nechť ci ∈ [xi−1, xi], i = 1, . . . , n. Určitým integrálem funkce f od
a do b rozumíme
lim
n→∞
n
i=1
f(ci)∆x,
jestliže tato limita existuje a nezávisí na výběru bodů ci. Píšeme
b
a
f(x) dx,
a říkáme, že funkce f je integrovatelná na [a, b].
Číslo a nazýváme dolní mez, číslo b horní mez a funkci f integrand.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Množství, obsahy, objemy a taky délky a povrchy 12.11.2019 3 / 12
Jak určitý integrál spočítat?
Věta (Newton-Leibnitzova formule)
Je-li funkce f spojitá na [a, b], pak platí
b
a
f(x) dx = F(b) − F(a), (1)
kde F je primitivní funkce k funkci f na intervalu [a, b].
Věta (Linearita určitého integrálu)
Jsou-li funkce f a g spojité na intervalu [a, b], pak platí tyto vztahy:
b
a
[f(x) + g(x)] dx =
b
a
f(x) dx +
b
a
g(x) dx,
b
a
cf(x) dx = c
b
a
f(x) dx.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Množství, obsahy, objemy a taky délky a povrchy 12.11.2019 4 / 12
Věta (Vlastnosti určitého integrálu)
Jsou-li funkce f a g spojité na intervalu [a, b], pak platí následující:
b
a f(x) dx =
c
a f(x) dx +
b
c f(x) dx, kde a < c < b;
b
a f(x) dx ≥ 0, jestliže f(x) ≥ 0 na intervalu [a, b];
b
a f(x) dx ≥
b
a g(x) dx, jestliže f(x) ≥ g(x) na intervalu [a, b];
b
a f(x) dx = −
a
b f(x) dx;
a
a f(x) dx = 0.
Věta (Integrál jako funkce horní meze)
Buď f spojitá funkce na intervalu I a a ∈ I. Funkce F(x) definovaná
vztahem
F(x) :=
x
a
f(t) dt
má na intervalu I derivaci a platí F (x) = f(x).
Petr Liška (Masarykova univerzita) Množství, obsahy, objemy a taky délky a povrchy 12.11.2019 5 / 12
Geometrické (a jiné) aplikace
Petr Liška (Masarykova univerzita) Množství, obsahy, objemy a taky délky a povrchy 12.11.2019 6 / 12
Obsah rovinného obrazce
Nechť funkce f je spojitá a nezáporná na intervalu [a, b]. Obsah podgrafu
funkce f je dán vzorcem
P =
b
a
f(x) dx.
Délka křivky
Nechť funkce f je spojitá a má spojitou derivaci f na intervalu [a, b].
Délka grafu této funkce na intervalu [a, b] je dána
l =
b
a
1 + [f (x)]2 dx.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Množství, obsahy, objemy a taky délky a povrchy 12.11.2019 7 / 12
Objem rotačního tělesa
Nechť funkce y = f(x) je spojitá a nezáporná na intervalu [a, b]. Objem
tělesa, které vznikne rotací podgrafu funkce f
P = {(x, y) : a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f(x)}
kolem osy x je
V = π
b
a
f2
(x) dx.
Obsah pláště rotačního tělesa
Nechť f je nezáporná funkce mající spojitou derivaci na intervalu [a, b].
Obsah pláště tělesa, které vznikne rotací podgrafu funkce f kolem osy
x, je dán určitým integrálem
S = 2π
b
a
f(x) 1 + [f (x)]2 dx.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Množství, obsahy, objemy a taky délky a povrchy 12.11.2019 8 / 12
Střední hodnota
Nechť f je funkce definovaná a integrovatelná na uzavřeném intervalu
[a, b]. Číslo µ definované vztahem
µ =
1
b − a
b
a
f(x) dx
se nazývá střední hodnota funkce f na intervalu [a, b].
Můžeme formulovat vorzce pro různé momenty, těžiště, hmotnost, práci
atd.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Množství, obsahy, objemy a taky délky a povrchy 12.11.2019 9 / 12
Metody výpočtu
Petr Liška (Masarykova univerzita) Množství, obsahy, objemy a taky délky a povrchy 12.11.2019 10 / 12
Věta (Metoda per partes pro určitý integrál)
Nechť funkce u(x) a v(x) mají spojité derivace na intervalu [a, b]. Pak
platí
b
a
u(x)v (x) dx = u(x)v(x)
b
a
−
b
a
u (x)v(x) dx.
Věta (Substituce pro určitý integrál)
Nechť funkce f(t) je spojitá na intervalu [a, b]. Nechť funkce ϕ(x) má
spojitou derivaci na intervalu [α, β] a ϕ(x) zobrazuje interval [α, β] do
intervalu [a, b]. Pak platí
β
α
f(ϕ(x))ϕ (x) dx =
ϕ(β)
ϕ(α)
f(t) dt.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Množství, obsahy, objemy a taky délky a povrchy 12.11.2019 11 / 12
Jedna z možností numerické integrace
Věta (Lichoběžníkové pravidlo)
Nechť je funkce f spojitá na intervalu [a, b]. Rozdělme interval na n intervalů
stejné délky h a krajní body těchto intervalů označme po řadě
x0, x1, . . . , xn a jim odpovídající funkční hodnoty funkce f po řadě
y0, y1, . . . , yn. Pak platí
b
a
f(x) dx ≈
h
2
(y0 + 2y1 + 2y2 + · · · + 2yn−1 + yn) .
Petr Liška (Masarykova univerzita) Množství, obsahy, objemy a taky délky a povrchy 12.11.2019 12 / 12