Když jedna funkce nestačí
Nekonečné řady funkcí
Petr Liška
Masarykova univerzita
3.12.2019
Petr Liška (Masarykova univerzita) Když jedna funkce nestačí 3.12.2019 1 / 11
Definice
Buď {an}∞
n=0 posloupnost reálných čísel a x0 libovolné reálné číslo.
Mocninnou řadou se středem v bodě x0 a koeficienty an rozumíme řadu
funkcí tvaru
a0 + a1(x − x0) + a2(x − x0)2
+ · · · =
∞
n=0
an(x − x0)n
.
Poloměr konvergence r je číslo
r = lim
n→∞
an
an+1
.
Mohou nastat tři možnosti:
1. Je-li 0 < r < ∞, pak řada konverguje pro x ∈ (−r, r) a diverguje
pro |x| > r. Pro hodnoty x = ±r musíme rozhodnout zvlášť
pomocí některého z kritérií konvergence pro číselné řady.
2. Je-li r = ∞, pak řada konverguje pro všechna x.
3. Je-li r = 0, pak řada diverguje pro všechna x = 0 a říkáme, že řada
vždy diverguje.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Když jedna funkce nestačí 3.12.2019 2 / 11
Příklad
Určete poloměr konvergence pro řadu
∞
n=0
(−1)n
xn
= 1 − x + x2
− x3
+ · · ·
Základní otázky o mocninných řadách (a celkově o funkčních řadách)
jsou:
1. Je součtem řady spojitých funkcí na intervalu I také funkce spojitá
na intervalu I?
2. Pro která x můžeme mocninou řadu derivovat člen po členu?
3. Pro která x můžeme mocninou řadu integrovat člen po členu?
Petr Liška (Masarykova univerzita) Když jedna funkce nestačí 3.12.2019 3 / 11
Věta
Nechť mocninná řada ∞
n=1 anxn má poloměr konvergence r > 0. Pak
součet této řady je spojitá funkce na intervalu (−r, r).
Věta
Nechť mocninná řada ∞
n=1 anxn má poloměr konvergence r > 0. Pak
pro všechna x ∈ (−r, r) platí
∞
n=0
anxn
= (a0 + a1x + a2x2
+ · · · ) = a1 + 2a2x + 3a3x2
+ · · · ,
a
x
0
∞
n=0
antn
dt =
x
0
(a0+a1t+a2t2
+· · · ) dt = a0x+
a1x2
2
+
a2x3
3
+· · ·
Přitom výrazy na pravé straně mají stejný poloměr konvergence.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Když jedna funkce nestačí 3.12.2019 4 / 11
Příklad
Vyjádřete funkci ln(1 + x) mocninnou řadou.
Příklad
Určete poloměr konvergence a součet mocninných řad:
a) ∞
n=0(−1)nx3n = 1 − x3 + x6 − x9 · · ·
b) ∞
n=1(−1)n+1 xn
n = x − x2
2 + x3
3 − x4
4 + · · ·
c) ∞
n=1 nxn−1 = 1 + 2x + 3x2 + 4x3 + · · ·
Petr Liška (Masarykova univerzita) Když jedna funkce nestačí 3.12.2019 5 / 11
Definice
Nechť funkce f má v bodě x0 derivace všech řádů. Mocninnou řadu
∞
n=0
f(n)(x0)
n!
(x − x0)n
nazýváme Taylorovou řadou funkce f v bodě x0. Je-li x0 = 0, mluvíme
o Maclaurinově řadě.
Věta
Nechť funkce f má na otevřeném intervalu I derivace všech řádů a
nechť pro posloupnost f(n) existuje k ∈ R, k > 0 tak, že f(n)(x) ≤ k
pro všechna n ∈ N a všechna x ∈ I. Pak Taylorova řada funkce f v
libovolném bodě x0 ∈ I konverguje na I k f, tj. platí
f(x) =
∞
n=0
f(n)(x0)
n!
(x − x0)n
.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Když jedna funkce nestačí 3.12.2019 6 / 11
Významné Maclaurinovy řady
ex
= 1 +
x
1!
+
x2
2!
+ · · · +
xn
n!
+ · · · =
∞
n=0
xn
n!
, x ∈ R
sin x = x−
x3
3!
+· · ·+(−1)n x2n+1
(2n + 1)!
+· · · =
∞
n=0
(−1)n x2n+1
(2n + 1)!
, x ∈ R
cos x = 1 −
x2
2!
+ · · · + (−1)n x2n
(2n)!
+ · · · =
∞
n=0
(−1)n x2n
(2n)!
, x ∈ R
ln(1+x) = x−
x2
2
+· · ·+(−1)n+1 xn
n
+· · · =
∞
n=1
(−1)n+1 xn
n
, x ∈ (−1, 1)
Příklad
Odvoďte tzv. Eulerův vztah
eix
= cos x + i sin x,
Petr Liška (Masarykova univerzita) Když jedna funkce nestačí 3.12.2019 7 / 11
Fourierovy řady
Definice
Nechť funkce f(x) je integrovatelná na [−π, π]. Nekonečná řada
a0
2
+
∞
n=1
(an cos nx + bn sin nx),
kde pro an a bn platí
an =
1
π
π
−π
f(x) cos nx dx, n ∈ N ∪ {0},
bn =
1
π
π
−π
f(x) sin nx dx, n ∈ N,
se nazývá Fourierova řada funkce f na intervalu [−π, π] a koeficienty
an, bn se nazývají Fourierovy koeficienty funkce f.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Když jedna funkce nestačí 3.12.2019 8 / 11
Je-li f sudá funkce, má její Fourierova řada tvar
a0
2
+
∞
n=1
an cos nx, kde an =
2
π
π
0
f(x) cos nx dx (n ∈ N ∪ {0}).
Je-li f lichá, má její Fourierova řada tvar
∞
n=1
bn sin nx, kde bn =
2
π
π
0
f(x) sin nx dx (n ∈ N).
Petr Liška (Masarykova univerzita) Když jedna funkce nestačí 3.12.2019 9 / 11
Abelova věta
Funkci f nazveme po částech spojitou na intervalu [a, b], jestliže na
tomto intervalu existuje pouze konečný počet bodů x0, ve kterých je
nespojitá a v každém z těchto bodů má obě jednostranné limity a ty
jsou vlastní. Označme f(x−
0 ) = limx→x−
0
f(x) a f(x+
0 ) = limx→x+
0
f(x).
Navíc funkci f nazveme po částech monotonní, jestliže existuje konečný
počet bodů, které dělí interval [a, b] na kratší intervaly takové, že
v každém z nich je daná funkce monotonní.
Věta
Nechť f je po částech spojitá a po částech monotonní na [−π, π]. Pak
její Fourierova řada konverguje na [−π, π] a její součet je roven:
1. f(x0) v každém bodě x0 ∈ (−π, π), v němž je f spojitá,
2. 1
2[f(x−
0 ) + f(x+
0 )] v každém bodě x0 ∈ (−π, π), v němž je f nespo-
jitá,
3. 1
2[f(−π+) + f(π−)] v krajních bodech intervalu [−π, π].
Petr Liška (Masarykova univerzita) Když jedna funkce nestačí 3.12.2019 10 / 11
Příklad
Najděte Fourierovu řadu funkce f(x) = x2 na intervalu [−π, π] a pomocí
získaného výsledku určete součet číselné řady
∞
n=1
1
n2
.
Příklad
Nalezněte Fourierovu řadu funkce f(x) = sgn(x) na intervalu [−π, π]:
sgn(x) =



−1, x ∈ [−π, 0),
0, x = 0,
1, x ∈ (0, π].
Petr Liška (Masarykova univerzita) Když jedna funkce nestačí 3.12.2019 11 / 11