Achilles želvu dožene Nekonečné řady Petr Liška Masarykova univerzita 26.11.2019 Petr Liška (Masarykova univerzita) Achilles želvu dožene 26.11.2019 1 / 12 Posloupnosti Petr Liška (Masarykova univerzita) Achilles želvu dožene 26.11.2019 2 / 12 Posloupnosti Definice Posloupnost je funkce definovaná na množině M ⊆ N. Posloupnost označujeme {an} nebo {an}∞ n=1, n-tý prvek označujeme nejčastěji an. Definice Řekneme, že posloupnost {an} má limitu L, jestliže ke každému ε > 0 existuje n0 ∈ N takové, že pro každé n > n0 platí |an − L| < ε. Definice Řekneme, že posloupnost {an} má limitu ∞, jestliže ke každému M ∈ R existuje n0 ∈ N takové, že pro každé n > n0 platí an > M. Pokud takováto limita existuje, říkáme, že posloupnost konverguje. Má-li posloupnost limitu ∞ nebo −∞, říkáme, že diverguje. Jestliže posloupnost nekonverguje ani nediverguje, řekneme, že osciluje. Petr Liška (Masarykova univerzita) Achilles želvu dožene 26.11.2019 3 / 12 Číselné řady Petr Liška (Masarykova univerzita) Achilles želvu dožene 26.11.2019 4 / 12 Definice Nechť {an}∞ n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol ∞ n=1 an nebo a1 + a2 + a3 + · · · + an + · · · nazýváme nekonečnou číselnou řadou. Posloupnost {sn}∞ n=1, kde s1 = a1, s2 = a1 + a2, . . . sn = a1 + a2 + · · · + an, . . . , nazýváme posloupnost částečných součtů této řady. Existuje-li vlastní limita limn→∞ sn = s, řekneme, že řada ∞ n=1 an konverguje a má součet s. Neexistuje-li vlastní limita limn→∞ sn, řekneme, že řada ∞ n=1 an diverguje. Věta Nechť ∞ n=1 an konverguje. Pak limn→∞ an = 0. Petr Liška (Masarykova univerzita) Achilles želvu dožene 26.11.2019 5 / 12 Příklad Určete součet řad ∞ n=1 aqn−1 , kde a = 0, q = 0; ∞ n=1 1 n(n + 1) ; ∞ n=1 n 2n . Příklad Ukažte, že tzv. harmonická řada ∞ n=1 1 n diverguje. Petr Liška (Masarykova univerzita) Achilles želvu dožene 26.11.2019 6 / 12 Kritéria konvergence Věta (Limitní podílové kritérium) Nechť n→∞ an je řada s kladnými členy a nechť existuje lim n→∞ an+1 an = q. Je-li q < 1, pak n→∞ an konverguje a je-li q > 1, pak řada n→∞ an diverguje. Příklad Rozhodněte o konvergenci řady: a) ∞ n=1 n2 n! , b) ∞ n=1 nn n! . Petr Liška (Masarykova univerzita) Achilles želvu dožene 26.11.2019 7 / 12 Kritéria konvergence Věta (Limitní odmocninové kritérium) Nechť n→∞ an je řada s nezápornými členy a nechť existuje lim n→∞ n √ an = q, kde q ∈ R . Je-li q < 1, pak n→∞ an konverguje a je-li q > 1, pak řada n→∞ an diverguje. Příklad Rozhodněte o konvergenci řady: a) ∞ n=1 a arctg n n , b) ∞ n=1 n 2 + 1 n n . Petr Liška (Masarykova univerzita) Achilles želvu dožene 26.11.2019 8 / 12 Kritéria konvergence Věta (Integrální kritérium) Nechť funkce f je kladná a klesající na intervalu [1, ∞). Nechť an = f(n). Pak ∞ n=1 an konverguje právě tehdy, když konverguje integrál ∞ 1 f(x) dx. Příklad Rozhodněte o konvergenci řady: a) ∞ n=1 1 n , b) ∞ n=2 1 n · ln n . Petr Liška (Masarykova univerzita) Achilles želvu dožene 26.11.2019 9 / 12 Alternující řady Definice Nekonečná řada ∞ n=1 an se nazývá alternující, právě když platí sgn an+1 = −sgn an pro všechna n ∈ N. Věta (Leibnitzovo kritérium) Nechť an je nerostoucí posloupnost kladných čísel. Pak alternující řada ∞ n=1(−1)n−1an konverguje právě tehdy, když platí limn→∞ an = 0. Definice Řekneme, že řada ∞ n=1 an konverguje absolutně, jestliže konverguje řada ∞ n=1 |an|. Jestliže řada ∞ n=1 an konverguje a ∞ n=1 |an| diverguje, říkáme, že řada ∞ n=1 an konverguje neabsolutně. Petr Liška (Masarykova univerzita) Achilles želvu dožene 26.11.2019 10 / 12 Pravidla pro počítání s nekonečnými řadami Věta Nechť ∞ n=1 an a ∞ n=1 bn jsou konvergentní řady a nechť ∞ n=1 an = u a ∞ n=1 bn = v. Pak je konvergentní i řada ∞ n=1(an + bn) a platí ∞ n=1(an + bn) = u + v. Věta Jestliže řada ∞ n=1 an konverguje, pak pro libovolné k ∈ R konverguje též řada ∞ n=1 k · an a platí ∞ n=1 k · an = k ∞ n=1 an. Naopak konverguje-li řada ∞ n=1 k · an, kde k ∈ R, k = 0, konverguje i řada ∞ n=1 an. Petr Liška (Masarykova univerzita) Achilles želvu dožene 26.11.2019 11 / 12 Věta Nechť ∞ n=1 an je konvergentní řada a nechť {nk} je rostoucí posloupnost přirozených čísel. Položme n0 = 0 a pro k ∈ N označme bk = ank−1+1 + ank−1+2 + ·ank . Pak řada ∞ k=1 bk konverguje a platí ∞ k=1 bk = ∞ n=1 an. Věta Nechť řada ∞ n=1 an konverguje absolutně. Pak konverguje absolutně také každá řada ∞ n=1 akn vzniklá přerovnáním řady ∞ n=1 an a platí ∞ n=1 an = ∞ n=1 akn . Petr Liška (Masarykova univerzita) Achilles želvu dožene 26.11.2019 12 / 12