Diferenciální počet M1030 21. a 28.11.2019 Derivace Derivace funkce v bodě Operace s derivacemi Derivace jako funkce Derivace elementárních funkcí Příklady Diferenciál Užití derivací Derivace Derivace funkce v bodě Základní úloha diferenciálního počtu: najít směrnici tečny ke grafu funkce / v bodě (#0?Ž/o) Derivace funkce v bodě Základní úloha diferenciálního počtu: najít směrnici tečny ke grafu funkce / v bodě (#0?/(#o)) Xq X 3/ Derivace funkce v bodě Základní úloha diferenciálního počtu: najít směrnici tečny ke grafu funkce / v bodě (#0?/(#o)) x0 + h x 3/ Derivace funkce v bodě Základní úloha diferenciálního počtu: najít směrnici tečny ke grafu funkce / v bodě (#0?/(#o)) f(x0 + h) Vo = f(x0) Směrnice sečny vedené body (xq, /(#o)) a (xq + h, f(xo + h)): f(x0 + h) - f(x0) h Derivace funkce v bodě Základní úloha diferenciálního počtu: najít směrnici tečny ke grafu funkce / v bodě (#0?/(#o)) f(x0 + h) Vo = f(x0) /Qo + h) - f(x0) h Směrnice sečny vedené body (xo, /(#o)) a (xq + h, f(xo + h)): Pokud se h „přibližuje" k 0, bod (x0 + h,f(x0 + h)) se „přibližuje" k bodu (xoj(xo)). Derivace funkce v bodě Základní úloha diferenciálního počtu: najít směrnici tečny ke grafu funkce / v bodě (#0?/(#o)) /po + h) - JQo) h Směrnice sečny vedené body (xo, /(#o)) a (xo + h, f(xo + h)): Pokud se h „přibližuje" k 0, bod (x0 + h,f(x0 + /i)) se „přibližuje" k bodu (tfo,/(#()))■ Derivace funkce v bodě Základní úloha diferenciálního počtu: najít směrnici tečny ke grafu funkce / v bodě (#0?/(#o)) f(x0 + h) Vo = f(x0) xo x0 + h /Qo + h) - f(x0) h Směrnice sečny vedené body (xo, /(#o)) a (xq + h, f(xo + h)): Pokud se h „přibližuje" k 0, bod (x0 + h,f(x0 + h)) se „přibližuje" k bodu (xoj(xo)). Derivace funkce v bodě Základní úloha diferenciálního počtu: najít směrnici tečny ke grafu funkce / v bodě (#0?/(#o)) f(x0 + h) Vo = f(x0) xo x0 + h /Qo + h) - f(x0) h Směrnice sečny vedené body (xo, /(#o)) a (xq + h, f{xp + h)): Pokud se h „přibližuje" k 0, bod (x0 + h,f(x0 + h)) se „přibližuje" k bodu (xp, f(xo)). Nakonec tyto body splynou a sečna splyne s tečnou. Derivace funkce v bodě Základní úloha diferenciálního počtu: najít směrnici tečny ke grafu funkce / v bodě (#0?/(#o)) f(x0 + h) Vo = f(x0) xo x0 + h Směrnice sečny vedené body (xo, /(#o)) a {xo + h, f(xo + h)): Směrnice tečny je rovna f(x0 + h) - f(x0) f(x0 + h) - JQo) h lim /i-)>0 h Derivace funkce v bodě Derivace funkce f v bodě xq je /'(*„) = lim h^O h Derivace funkce v bodě Derivace funkce f v bodě xq je fiXo) = lim /(*° + hl - /i-)-o h Alternativní označení: x = Xq -\r h f (x0) = lim - x^xq x — Xq Derivace funkce v bodě Derivace funkce f v bodě xq je f,( \ y f(X0+h) ~ f(x0) f (x0) = lim---. h^O h Alternativní označení: x = xq + h / (x0) = lim - x^xq x — Xo Axq = (xq + h) — x{) = h A/(x0) = f(x0 + ft) - /(x0) = Ay0 Í'{xq) = lim —f(XQ) _ ^m ^° Axo^O Ax0 Axo^O Ax0 Derivace funkce v bodě Derivace funkce f v bodě xq je f,( \ y f(X0+h) ~ f(x0) f (x0) = lim---. h^O h Alternativní označení: fl( x r JO) - JQo) / (x0) = lim - x^xq X — Xo ff(xo) = lím —f ^X°^ = lím \ Axq^O AXq Axq^O AXq Derivace funkce v bodě Derivace funkce f v bodě x o je f,( \ y f(X0+h) ~ f(x0) f (x0) = lim---. h^O h Alternativní označení: / (x0) = lim - x^xq X — Xq ff(xo) = lim —f ^X°^ = lim \ Ax0^0 AXo Ax0^0 AXo Příklad: Napište rovnici tečny k parabole dané rovnicí y = x2 v bodě (1,1) Derivace funkce v bodě Derivace funkce f v bodě x o je f,( \ y f(X0+h) ~ f(x0) f (x0) = lim---. h^O h Alternativní označení: / (x0) = lim - x^xq x — Xo ff(xo) = lim —f ^X°^ = lim \ Ax0^0 AXo Ax0^0 AXo Příklad: Napište rovnici tečny k parabole dané rovnicí y = x2 v bodě (1,1) f(x) x2, Derivace funkce v bodě Derivace funkce f v bodě x o je f(xo) = lim /(*° +h) - /(*<>) . h^O h Alternativní označení: ť{xo) = lim IM^IM x^x0 X — Xq ff(xo) = lim —f ^X°^ = lim \ Ax0^0 AXo Ax0^0 AXo Příklad: Napište rovnici tečny k parabole dané rovnicí y = x2 v bodě (1,1). = Um h(-h + 2) = lim(ft + 2) Derivace funkce v bodě Derivace funkce f v bodě x o je f(xo) = lim /(*° +h) - /(*<>) . h^O h Alternativní označení: ť{xo) = lim IM^IM x^x0 X — Xq ff(xo) = lim —f ^X°^ = lim \ Ax0^0 AXo Ax0^0 AXo Příklad: Napište rovnici tečny k parabole dané rovnicí y = x2 v bodě (1,1). = Um Hh + 2) = lim(/l + 2) Rovnice tečny: y — 1 = 2(x — 1) Derivace funkce v bodě Derivace funkce f v bodě x o je f(xo) = lim /(*° +h) - /(*<>) . h^O h Alternativní označení: ť{xo) = lim IM^IM x^x0 X — Xq ff(xo) = lim —f(XQ) _ Yim ^° Ax0^0 AXo Ax0^0 AXo Příklad: Napište rovnici tečny k parabole dané rovnicí y = x2 v bodě (1,1). = Um Hh + 2) = lim(/l + 2) Rovnice tečny: y = 2x — 1 Derivace funkce v bodě Derivace funkce f v bodě xq je f,( \ y f(X0+h) ~ f(x0) f (x0) = lim---. h^O h Alternativní označení: / (x0) = lim - x^xq x — Xo /'Po) = lim —JP°) _ Yim ^° Ax0^0 AXo Ax0^0 AXo Poznámky: Derivace funkce v bodě Derivace funkce f v bodě x o je f,( \ y f(X0+h) ~ f(x0) f (x0) = lim---. h^O h Alternativní označení: / (x0) = lim - x^xq X — Xo ff(xo) = lim —f(XQ) _ Yim ^° Ax0^0 AXo Ax0^0 AXo Poznámky: • Funkce má v bodě nejvýše jednu derivaci. Derivace funkce v bodě Derivace funkce f v bodě x p je f'(x0) = lim f(x0 + h) - f(x0) h Alternativní označení: f (xp) = lim - x^x0 X — Xp f'(xo) r A/(ar0) Ayp lim —-- = lim Ax0^0 Axp Ax0^0 Axp Poznámky: • Funkce má v bodě nejvýše jednu derivaci. • Derivace může být nevlastní. /'(xi) = oo y ■ y = f (x) f'{x2) = -oo X\ X2 x 3/14 Derivace funkce v bodě Derivace funkce f v bodě x o je f,( \ y f(X0+h) ~ f(x0) f (x0) = lim---. h^O h Alternativní označení: / (x0) = lim - x^xq x — Xo ff(xo) = lim —f(XQ) _ Yim ^° Ax0^0 AXo Ax0^0 AXo Poznámky: • Funkce má v bodě nejvýše jednu derivaci. • Derivace může být nevlastní. • Funkce je spojitá bodě, v němž má vlastní derivaci. Derivace funkce v bodě Derivace funkce f v bodě xq je f (x0) = lim---. h^O h Alternativní označení: f,( x r JO) - JQo) / (x0) = lim - x^xq x — Xo ff(xo) = lím —f ^X°^ = lím \ Ax0^0 AXo Ax0^0 AXo Poznámky: • Funkce má v bodě nejvýše jednu derivaci. • Derivace může být nevlastní. • Funkce je spojitá bodě, v němž má vlastní derivaci. • Funkce nemusí mít vlastní derivaci v bodě, v němž je spojitá Operace s derivacemi Nechť existují derivace ff(xo), gf(xo), (pf(xo), /'(<£>(#o)) Operace s derivacemi Nechť existují derivace ff(xo), gf(xo), (pf(xo), /'(<£>(#o)) . (c/)'(x0) = lim Cf(X0 + h)~ Cf(Xo) = c lim f(x° + k) ~ Operace s derivacemi Nechť existují derivace ff(xo), gf(xo), (pf(xo), /'(<£>(#o)) • (c/)'(x0) = cf(x0) Operace s derivacemi Nechť existují derivace ff(xo), gf(xo), (pf(xo), /'(<£>(#o)) • (c/)'(x0) = cf(x0) (/ + *)'(*„) = lim (/W+^))-(/(^)+^o)) = x^xq X — Xq = lim (/O) ~ f(xo) + ffpo + fa) -ffQo)\ = x^x0 \ X - Xq h J = lim /O) ~ /(^o) + lim 9{x) - g(x0) x^xq X — Xq x^xq X — Xq Operace s derivacemi Nechť existují derivace ff(xo), gf(xo), (pf(xo), /'(<£>(#o)) • (c/)'(x0) = cf(x0) (/-*)'(*„) = lim {Í{X) ~ 9{X)) ~ {f{X0) ~ 9{X0)) = x^xq X — Xq = lim (/O) ~ f(xo) _ 9(xo + h) -g(xo)\ = x^x0 \ x - x0 h J = lim /O) - /Po) _ lim g(x) - g(xo) x^xq X — Xq x^xq X — Xq Operace s derivacemi Nechť existují derivace f'{xo), g'(xo), ip'(xo), f'((p(xo)) • (c/)'(z0) = cf(x0) • {f±g)'{x0) = f(x0)±g'(xQ) Operace s derivacemi Nechť existují derivace ff(xo), gf(xo), (pf(xo), /'(<£>(#o)) • (c/)'(x0) = cf(x0) • (f±g)'(xo) =f'(x0)±g'(xo) (fg)'(x0) = lim X^řXQ f(x)g(x) - f(x0)g(x0) = lim X^-Xq X — Xq f(x)g(x) - f(x0)g(x) + f(x0)g(x) - f(x0)g(x0) X — Xq f(x) - f(x0) lim ( — """'gW + fixo)9^ ^X0)) x^x0 \ X — Xq = lim ~ /(xo) x^xq X — Xq x^xq lim g(x) + /(#o) lim x — / #0) -#Oo) íe^íeo X — Xq = ff(x0)g(x0) + f(x0)g'(x0) 4/14 Operace s derivacemi Nechť existují derivace f(xo), gf(xo), cpř(xo), fř((p(xo)) . (cf)'(x0) = cf(x0) . (f±g)'(x0) = f'(x0)±g'(x0) • (fg)'(xo) = f'(x0)g(x0) + f(x0)g'(x0) 4/14 Operace s derivacemi Nechť existují derivace f'(xo), g'(xo), (pf(xo), f'(ip(xo)) • (c/)'(x0) = cf(x0) • (f±g)'(xo) =f'(x0)±g'(xo) • (.fg)'(.xo) = f'(xo)g(xo) + f(x0)g'(x0) l)' {xo) = lim oU »(«o) = lim 9{xo)~ 9(x) gj x^xq x — xo x^x0 (x — xo)g{x)g{xo) g(x)-g(x0) 1 = lim — x^x0 y x — xo g(x)g(xo) Operace s derivacemi Nechť existují derivace f'(xo), g'(xo), (p'(xo), f'{(p(xo)) . (cf)'(xo) = cf(x0) • (f±gy(xo) = f'(xo)±g'(x0) • {fg)'(xo) = f'(xo)g(xo) + f(x0)g'(x0) i)<*»> = -^ 4/14 Operace s derivacemi Nechť existují derivace f'(xo), g'(xo), (p'(xo), f'((p(xo)) . (cfY(xo) = cf(x0) . (f±g)'(x0) = f'(x0)±g'(x0) • (fg)'(xo) = f'{x0)g{x0) + f(xo)g'(x0) 1Vw = -^l 9/ g(xo)' Lg) {xo) f-\ (x0) = f(x0) (j) (x0) + f(x0) Q = f(xo) ,g'(x0) f'(x0)g(x0) - f(x0)g'(x0) Operace s derivacemi Nechť existují derivace ff(xo), gf(xo), (pf(xo), /'(<£>(#o)) • (c/)'(x0) = cf(x0) • (f±g)'(xo) =f'(x0)±g'(xo) • (fgY(xo) = f'(xo)g(xo) + f(x0)g'(x0) Operace s derivacemi Nechť existují derivace ff(xo), gf(xo), (pf(xo), /'(<£>(#o)) • (cfY(xo) = cf(x0) •(f±gy(x0)=f(x0)±g'(x0) • Cf#)'Oo) = f(x0)g(x0) + f(x0)g'(x0) /V / \ = f(xo)g(xo) - f(x0)gf(x0) g) 0 #Oo)2 (/ o (p)f(x0) = lim f((#o)) • (cfy(x0) = cf(x0) •(f±gy(x0)=f(x0)±g'(x0) • Cf#)'Oo) = f(x0)g(x0) + f(x0)g'(x0) L\' (Xq) = f'(xo)9(xo) - f(x0)g'(x0) gj g(xo) 2 (fo lim- h^O h ve všech bodech definičního oboru funkce /, ve kterých existuje uvedená limita. Tato /' funkce je odvozena - derivována - z funkce /, nazývá se (první) derivace funkce f. Derivace jako funkce Buď / funkce. Definujeme funkci f(x + h)-f(x) t : x H> lim- h^O h ve všech bodech definičního oboru funkce /, ve kterých existuje uvedená limita. Tato /' funkce je odvozena - derivována - z funkce /, nazývá se (první) derivace funkce f. Analogicky lze z funkce /' odvodit funkci f". Nazveme ji druhá derivace funkce f. Derivace jako funkce Buď / funkce. Definujeme funkci f(x + h)-f(x) t : x H> lim- h^O h ve všech bodech definičního oboru funkce /, ve kterých existuje uvedená limita. Tato /' funkce je odvozena - derivována - z funkce /, nazývá se (první) derivace funkce f. Analogicky lze z funkce /' odvodit funkci f". Nazveme ji druhá derivace funkce f. Stejně tvoříme derivaci třetí, čtvrtou, pátou ..., f", f(4\ f(5\ .. Derivace elementárních funkcí 6/ Derivace elementárních funkcí Derivace elementárních funkcí • fix) — c: fix) — lim , — O Derivace elementárních funkcí • f(x)=G f'(x)=0 Derivace elementárních funkcí • f(x)=c: f'(x) = 0 • f{x) = xn: Derivace elementárních funkcí n f(x)=c: f'(x)=0 f(x)=xn: f'íx) = Um (x + hT~x xn + nx^h + ^^xn-2h2 + • • • + nxhn - xn lim -2---- h^O h n — li , n(n — l) n — 2i2 , , in nx h H—Lr>—-x h + • • • + nxh — lim--- — h^O h T / ri-1 , — 1) n-2, . . 7 n-1 \ n-1 — lim nx H--x h + • • • + nx/i — nx h^o V 2 6/14 Derivace elementárních funkcí • f(x) = c: f'(x)=0 • f(x) — xn: f'{x) — nx Derivace elementárních funkcí • f(x) = c: f'(x) = 0 • f(x) — xn: ff{x) — nx • f(x) =ex: Derivace elementárních funkcí f{x) = ci f(x)=0 f(x) = xn: f'(x) =nxn~1 ^x-\-h _ ^x f(x) = ex: f'(x) = lim--=— h^O ti .h — e x lim h^O h — e X Derivace elementárních funkcí • f(x) = c: f'(x)=0 • f(x) — xn: f'{x) — nx • f(x)=ex: f'(x)=e* Derivace elementárních funkcí • f(x) = c: f'(x)=0 • f(x) — xn: f'{x) — nx • f(x)=ex: f'(x)=e* • f(x) — lnx: Derivace elementárních funkcí • f(x) = c: f'(x)=0 • f(x)=x": f'(x) = nx"-1 • f(x)=ex: f'{x)=ď • f(x) — lnx: f(x) = ln x enx)f'(x) = l xf'(x) = l X Derivace elementárních funkcí • f(x) = c: f'(x)=0 • f(x) — xn: f'{x) — nx • f(x)=ex: f'{x)=ď • f(x) — lnx: f'(x) — — Derivace elementárních funkcí • f(x) = c: f'(x) = 0 • f(x) — xn: f'(x) — nx • f(x)=e*: f'{x) = ď • f(x) — \nx: f'{x) — — x • f(x) = ax\ Derivace elementárních funkcí •f(x)=G f'(x) = O • f(x) = xn: f'(x) = nx"-1 • f(x)=e*: f'(x)=ex • f(x) — \nx: f'{x) — — x • f(x) = ax: í x\f ( x ln a\ x \n a / -i \f x -i (a ) = le ) = e [x in a) — a lna Derivace elementárních funkcí • f(x) = c: f'(x)=0 • f(x)=x": f'(x) = nx"-1 • f(x)=ex: f'(x)=e* • f(x) — lnx: f'(x) — — X • f(x)=ax: f'{x)—axhia Derivace elementárních funkcí • f(x) = c: f'(x)=0 • f(x)=x": f'(x) = nx"-1 • f(x)=ex: f'(x)=e* • f(x) — lnx: f'{x) — — X mf(x)—ax\ f'{x)—axhia • f(x) = loga x: Derivace elementárních funkcí • f(x) = c: f'(x)=0 • f(x)=x": f'(x) = nx"-1 • f(x)=ex: f'{x)=ď • f(x) — lnx: f'(x) — — X • f(x)=ax: f'{x)—axhia • f(x) = loga x: Derivace elementárních funkcí f(x)=c: f'(x) = O f(x)=xn: f'(x)=nx"-1 f(x)=ex: f(x)=ď f(x) — lnx: f'(x) — — x f(x)—ax\ f'{x)—axhia i f(x) \ogax: f'(x) x ln a Derivace elementárních funkcí • f(x)=G f'(x)=0 • f(x)=x": f'(x) = nx"-1 • f(x)=ex: f'{x)=ď • f(x) — lnx: f'(x) — — X • f(x)=ax: f'{x)—axhia • f(x) \oga x: f'(x) x in a • /(#) = xa: Derivace elementárních funkcí • f(x) = c: f'(x)=0 • f(x)=x": f'(x) = nx"-1 • f(x)=ex: f'{x)=ď • f(x) — lnx: f'(x) — — X • f(x)=ax: f'{x)—axhia • f(x) = logax: f'(x) = —13 • /(#) = xa: Derivace elementárních funkcí f(x)=c: f'(x) = O f(x)=xn: f'(x)=nx"-1 f(x)=ex: f(x)=ď f(x) — lnx: f'(x) — — x f(x)—ax\ f'{x)—axhia f(x) \oga x: f'(x) x in a f(x) =xa: f'(x) =axa-x Derivace elementárních funkcí • f(x) = c: f'(x)=0 • f(x)=x": f'(x) = nx"-1 • f(x)=ex: f'{x)=ď • f(x) — lnx: f'(x) — — X • f(x)=ax: f'{x)—axhia • f(x) = \oga x: f'(x) = — • f(x) =xa: f'(x) =axa-x • f(x) — sinx: Derivace elementárních funkcí c: f'(x)=0 xn\ f(x)=nxn-1 e : / (x) = e lnx: f'(x) — — x ax: /'(#) — ax lna logax: f'(x) = —- x lna sinx: .. sin(x + h) — sinx sin x cos /i + cos x sin h — sin x lim--- — lim - h h smh , . cos/i—1 . —2 (sin — cos x lim —---h sin x lim--- — cos x + sin x lim--— h^O h h^O h h^O h sin \ h — cos x — sin x lim —— lim sin Derivace elementárních funkcí • f(x) = c: f'(x)=0 • f(x)=x": f'(x) = nx"-1 • f(x)=ex: f'{x)=ď • f(x) — lnx: f'{x) — — X mf(x)—ax\ f'{x)—axhia • f(x) = \oga x: f'(x) = — • f(x) =xa: f'(x) =axa-x • f(x) — sinx: f'{x) — cosx Derivace elementárních funkcí = c: f'(x)=0 = xn: f(x)=nxn-1 = e : / (x) = e — In x\ f'{x) — — x — ax: /'(#) — ax lna = logax: f'(x)= 1 x ln a — sinx: /'(#) = cosx — cosx: 6/1 Derivace elementárních funkcí = c: f'(x)=0 = xn: f(x)=nxn-1 = e : / (x) = e — In x\ f'{x) — — x — ax: /'(#) — ax lna = logax: f'(x)= 1 x ln a — sinx: /'(#) = cosx — cosx: /'(#) — (cosx)' — (sin(f — x))' — (sm(f — x))/(f — x)' — — cos(f — x) — — sinx Derivace elementárních funkcí = c: f'(x)=0 = xn: f(x)=nxn-1 = e : / (x) = e — In x\ f'{x) — — x — ax: /'(#) — ax lna = logax: f'(x)= 1 x ln a sinx: /'(#) = cosx cosx: f'{x) — — sinx 6/1 Derivace elementárních funkcí = c: f'(x)=0 = xn: f(x)=nxn-1 = e : / (x) = e — In x: f'{x) — — x — ax: /'(#) — ax lna = logax: f'(x) = —— x lna — sinx: /'(#) = cosx = cosx: f'{x) — — sinx — tgx: 6/ Derivace elementárních funkcí fix fix fix fix fix fix fix fix fix fix f'(x) = c: f'(x) = O = xn: f'(x)=nx"-1 = e : / (x) = e — In x\ f'{x) — — x — ax: /'(#) — ax lna = logax: f'(x) = x ln a OC ■ ^00^ — CXiOC sinx: f'{x) — cosx cosx: f'{x) — — sinx — tgx: sinx V (sinx)'cosx — sinx(cosx)' (cosx)2 + (sinx)' cosx (cosx): (cosx): (cosx): 6/14 Derivace elementárních funkcí = c: f'(x)=0 = xn: f(x)=nxn-1 = e : / (x) = e — In x\ f'{x) — — x — ax: /'(#) — ax lna = logax: f'(x) = x ln a — sinx: /'(#) = cosx = cosx: f'{x) — — sinx 1 = tgx: f'(x) = (cosx)2 6 / Derivace elementárních funkcí c: f'(x)=0 xn\ f(x)=nxn-1 e : / (x) = e lnx: f'(x) — — x ax: /'(#) — ax lna logax: f'(x)= 1 x ln a sinx: /'(#) = cosx cosx: f'{x) — — sinx tgx: f'(x) = -f—^_ (cosx)^ cotgx: 6/1 Derivace elementárních funkcí fix fix fix fix fix fix fix fix fix fix fix fix) = c: f'(x) = O = xn: f'(x)=nx"-1 = e : / (x) = e — In x\ f'{x) — — x — ax: /'(#) — ax lna = logax: f'(x) = x ln a sinx: f'{x) — cosx cosx: f'{x) - tg xi f'(x) = — smx 1 (cosx)2 — cotgx: (cotgx)' ( r^—) \tgxj (cos cc)2 (tgx)2 COS X (cosx)2 V sinx (sinx): 6/14 Derivace elementárních funkcí = c: f'(x)=0 = xn: f(x)=nxn-1 = e : / (x) = e — In x\ f'{x) — — x — ax: /'(#) — ax lna = logax: f'(x) = x ln a — *Z/ ■ ^* ^*Z/^ — CXitJC — sinx: /'(#) = cosx = cosx: f'{x) — — sinx 1 = tgx: f'(x) = (cosx)2 — cotgx: /'(#) — — (sinx)2 6/1 Derivace elementárních funkcí • /(#) = arcsinx: Derivace elementárních funkcí f(x) = arcsinx: f(x) — arcsinx sin/(x) = x f'(x)cosf(x) = 1 1_ _ _1_ _ 1 _ _ 2 cos/(x) ^1 - (sin/(x))2 VT^ X' 6/14 6/14 Derivace elementárních funkcí f{x) — arcsinx: f'(x) — \Jl — x 2 1 fix) — arccosx: fix) —--,_ f(x) — arctgx: Derivace elementárních funkcí • f(x) — arcsinx: f'{x) • f(x) — arccosx: f'{x) • f(x) — arctgx: f(x) tg/O) f'(xh-J7T^ (cos/(x)j fix) 1 Vl -x2 1 ~Vl~x2 — arctg x — x | 1 — (cos f(x))2 — ( . ) — -— Derivace elementárních funkcí fix) — arcsinx: f'{x) — y/l — x'- fix) — arccosx: f'{x) — vT x' f{x) — arctgx: fix) — 1 + x: 6/14 Derivace elementárních funkcí arcsinx: f'{x) — y/1 — X- arccosx: f'(x) = y/l — X: arctgx: f'(x) = y- + x' arccotgx: f'(x) — 1 + x' 6/1 Derivace elementárních funkcí arcsinx: f'{x) — arccosx: f'{x) — arctgx: f\x) — \/l — x: 1 + x: arccotgx: f (x) — — — + x- ln (x ± y/l + x2): 6/1 Derivace elementárních funkcí f(x) = arcsinx: f'{x) — y/1 — x f(x) — arccosx: f'{x) — f(x) — arctgx: f'{x) — 2 1 yjl — x: 1 1 +x2 1 1 +x: f(x) = arccotgx: f'{x) — f(x) = ln (x ± y/1 + x2): , 1 A ± 2x \ Vl + x2 ± x ± 1 x ± Vi + x2 V 2V1 + x2 y (x ± Vi + x2) Vi + x2 V/TT^ Derivace elementárních funkcí arcsinx: f'(x) — y/l — x arccosx: f {x) — — 2 1 y/l — X' 1 + x2 1 arctgx: f'(x) — — arccotgx: fix) — & y J 1+x2 ln (x± y/l + x2)\ f(x)=±-= v 1 + X' 6/1 Derivace elementárních funkcí arcsinx: f'(x) — y/l — x arccosx: f (x) — — 2 1 y/l — X' 1 + x2 1 arctgx: f'(x) — — arccotgx: fix) — & y J 1+x2 ln (x± y/l + x2)\ f(x)=±-= v 1 1 — X + X' 6/1 Derivace elementárních funkcí f(x) = arcsinx: f'{x) — y/1 — x f(x) — arccosx: ff(x) — — 2 1 X' f(x) arctgx: f'(x) j 2 + i f(x) — arccotgx: f'{x) — + X' f(x) = ]n(x± VI + x2): f'(x) = ± VT+x 2 /(x) = ln y|±|: /'(*) = (i(ln(l + x) - ln(l - x)))' = x / 1 -1 \ x 1 — x + l + x 2ll + x 1-xJ 2(l + x)(l-x) 1-x2 Derivace elementárních funkcí arcsinx: f'(x) = \/l — x arccosx: f'(x) — arctgx: f'(x) — 2 1 y/l — x' 1 1 +x2 1 arccotgx: f {x) — — - ln (x ± y/T+x*): f'(x)=±-= v 1 lnA/±±^: f'(x)= 1 + x' 1 — x 1 — x' 6/1 Derivace elementárních funkcí fix) fix) fix) fix) c X x \nx a X siní COSI 0 nx n — l x 1 X ax lna x lna cos x smi tgx cotgx arcsm x arccos x arctg x arccotg x ln 1 +x 1 — X (cosi)2 1 (siní)2 1 y/1 -x2 y/1 — ar 1 1 +x2 1 ln (1 ± VI +x2) ± l+x2 1 y/TTx< 1 — ar 6/14 Příklady + 3x-5)/ 7/1- Příklady 2 + 3x - 5)' = 6 • 3x2 - 2 • 2x + 3x° - O = 18x2 - 4x + 3 7/ Příklady (6x3 - 2x2 + 3x - 5)' = 6 • 3x2 - 2 • 2x + 3x° - O = 18x2 - 4x + 3 (3(x2 -2x + l) -51nx + 2V^)/ Příklady (6x3 - 2x2 + 3x - 5)' = 6 • 3x2 - 2 • 2x + 3x° - O = 18x2 - 4x + 3 (3(x2 - 2x + 1) - 51nx + 2y/x)' = 3(2x - 2) - 5- + 2\x~^ = 6x-6-- + ^ Příklady (6x3 - 2x2 + 3x - 5)' = 6 • 3x2 - 2 • 2x + 3x° - O = 18x2 - 4x + 3 (3(x2 - 2x + 1) - 51nx + 2y/x)' = 3(2x - 2) - 5- + 2\x~^ = 6x - 6 - - + (3x5-6(l-3x)4)' Příklady (6x3 - 2x2 + 3x - 5)' = 6 • 3x2 - 2 • 2x + 3x° - O = 18x2 - 4x + 3 (3(x2 - 2x + 1) - 51nx + 2y/x)' = 3(2x - 2) - 5- + 2\x~^ = 6x-6-- + ^ (3x5 - 6(1 - 3x)4)' = 15x4 - 24(1 - 3x)3(-3) = 15x4 + 72(1 - - 3x): 7/14 Příklady 2x2 + 3x - 5)' = 6 • 3x2 - 2 • 2x + 3x° - O = 18x2 - 4x + 3 - 2x + 1) - 51nx + 2V^)' 3(2x - 2) - 5- + 2\x~^ = 6x - 6 6(1 - 3x)4)' = 15x4 - 24(1 - 3x)3(-3) = 15x4 + 72(1 - 3x)3 Příklady 2x2 + 3x - 5)' = 6 • 3x2 - 2 • 2x + 3x° - O = 18x2 - - 4x + 3 - 2x + 1) - 51nx + 2 V^)' = 3(2x - 2) - 5- + 2\x~^ = 6x-6-- + ^ 6(1 - 3x)4)' = 15x4 - 24(1 - 3x)3(-3) = 15x4 + 72(1 - 3x)3 2 V _ 3(x3 - 8) - (3x - 2)3x2 _ 3x3 - 24 - 9x3 + 6x2 _ -6x3 + 6x2 - 24 8J ~ (x3 - 8)2 (x3 - 8)2 x6 - 16x3 + 64 Příklady (6x3 - 2x2 + 3x - 5)' = 6 • 3x2 - 2 • 2x + 3x° - O = 18x2 - - 4x + 3 (3(x2 - 2x + 1) - 51nx + 2y/x)' = 3(2x - 2) - 5- + 2\x~^ = 6x-6-- + ^ (3x5 - 6(1 - 3x)4)' = 15x4 - 24(1 - 3x)3(-3) = 15x4 + 72(1 - 3x)3 3x-2\' _ 3(x3 - 8) - (3x - 2)3x2 _ 3x3 - 24 - 9x3 + 6x2 _ -6x3 + 6x2 - 24 x3 - 8y ~ (x3 - 8)2 ~ (x3 - 8)2 ~ x6 - 16x3 + 64 ln x2-l^' x2 + 1 Příklady (6x3 - 2x2 + 3x - 5)' = 6 • 3x2 - 2 • 2x + 3x° - O = 18x2 - - 4x + 3 (3(x2 - 2x + 1) - 51nx + 2y/x)' = 3(2x - 2) - 5- + 2\x~^ = 6x-6-- + ^ (3x5 - 6(1 - 3x)4)' = 15x4 - 24(1 - 3x)3(-3) = 15x4 + 72(1 - 3x)3 3x-2\' _ 3(x3 - 8) - (3x - 2)3x2 _ 3x3 - 24 - 9x3 + 6x2 _ -6x3 + 6x2 - 24 x3 - 8y ~ (x3 - 8)2 ~ (x3 - 8)2 ~ x6 - 16x3 + 64 1V x2 + 1 2x(x2 + 1) - (x2 - l)2x 4x 4x In x2 + iy x2-l (x2 + l)2 (x2-l)(x2 + l) x4 -1 Příklady (6x3 - 2x2 + 3x - 5)' = 6 • 3x2 - 2 • 2x + 3x° - O = 18x2 - - 4x + 3 (3(x2 - 2x + 1) - 51nx + 2y/x)' = 3(2x - 2) - 5- + 2\x~^ = 6x-6-- + ^ (3x5 - 6(1 - 3x)4)' = 15x4 - 24(1 - 3x)3(-3) = 15x4 + 72(1 - 3x)3 3x-2\' _ 3(x3 - 8) - (3x - 2)3x2 _ 3x3 - 24 - 9x3 + 6x2 _ -6x3 + 6x2 - 24 x3 - 8y ~ (x3 - 8)2 ~ (x3 - 8)2 ~ x6 - 16x3 + 64 1V x2 + 1 2x(x2 + 1) - (x2 - l)2x 4x 4x In x2 + iy x2-l (x2 + l)2 (x2-l)(x2 + l) x4 -1 Příklady (6x3 - 2x2 + 3x - 5)' = 6 • 3x2 - 2 • 2x + 3x° - O = 18x2 - - 4x + 3 (3(x2 - 2x + 1) - 51nx + 2y/x)' = 3(2x - 2) - 5- + 2\x~^ = 6x-6-- + ^ (3x5 - 6(1 - 3x)4)' = 15x4 - 24(1 - 3x)3(-3) = 15x4 + 72(1 - 3x)3 3x-2\' _ 3(x3 - 8) - (3x - 2)3x2 _ 3x3 - 24 - 9x3 + 6x2 _ -6x3 + 6x2 - 24 x3 - 8y ~ (x3 - 8)2 ~ (x3 - 8)2 ~ x6 - 16x3 + 64 1V x2 + 1 2x(x2 + 1) - (x2 - l)2x 4x 4x ln x2 + iy x2-l (x2 + l)2 (x2-l)(x2 + l) x4 -1 Příklady (6x3 - 2x2 + 3x - 5)' = 6 • 3x2 - 2 • 2x + 3x° - O = 18x2 - - 4x + 3 (3(x2 - 2x + 1) - 51nx + 2y/x)' = 3(2x - 2) - 5- + 2\x~^ = 6x-6-- + ^ (3x5 - 6(1 - 3x)4)' = 15x4 - 24(1 - 3x)3(-3) = 15x4 + 72(1 - 3x)3 3x-2\' _ 3(x3 - 8) - (3x - 2)3x2 _ 3x3 - 24 - 9x3 + 6x2 _ -6x3 + 6x2 - 24 x3 - 8y ~ (x3 - 8)2 ~ (x3 - 8)2 ~ x6 - 16x3 + 64 1V x2 + 1 2x(x2 + 1) - (x2 - l)2x 4x 4x In x2 + iy x2-l (x2 + l)2 (x2-l)(x2 + l) x4 -1 ((sinx)x) Příklady (6x3 - 2x2 + 3x - 5)' = 6 • 3x2 - 2 • 2x + 3x° - O = 18x2 - - 4x + 3 (3(x2 - 2x + 1) - 51nx + 2y/x)' = 3(2x - 2) - 5- + 2\x~^ = 6x-6-- + ^ (3x5 - 6(1 - 3x)4)' = 15x4 - 24(1 - 3x)3(-3) = 15x4 + 72(1 - 3x)3 3x-2\' _ 3(x3 - 8) - (3x - 2)3x2 _ 3x3 - 24 - 9x3 + 6x2 _ -6x3 + 6x2 - 24 x3 - 8J ~ (x3 - 8)2 ~ (x3 - 8)2 ~ x6 - 16x3 + 64 1V x2 + 1 2x(x2 + 1) - (x2 - l)2x 4x 4x In x2 + iy x2-l (x2 + l)2 (x2-l)(x2 + l) x4 -1 ((sinx)*)' = (e^lnsinxy =exlnsinx A ^ ^ + ^ COSX \ = (gin (ln gin ^ + ^ cotg x) v smx ' Derivace Diferenciál Pojem diferenciálu Užití diferenciálu Užití derivací Diferenciál Pojem diferenciálu Diferenciál funkce f v bodě xq, df(xo): přírůstek funkce naměřený na tečně. xq+Ax x Pojem diferenciálu Diferenciál funkce f v bodě xq, df(xo): přírůstek funkce naměřený na tečně. Pojem diferenciálu Diferenciál funkce f v bodě xq, df(xo): přírůstek funkce naměřený na tečně. Diferenciál funkce f v obecném bodě x\ dy = df(x) = f'(x)Ax Pojem diferenciálu Diferenciál funkce f v bodě xq, df(xo): přírůstek funkce naměřený na tečně. Diferenciál funkce f v obecném bodě x\ dy = df(x) = f'(x)Ax Pro funkci g danou předpisem g (x) = x platí dx = dg{x) = g'(x)Ax = Ax. Pojem diferenciálu Diferenciál funkce f v bodě xq, df(xo): přírůstek funkce naměřený na tečně. Diferenciál funkce f v obecném bodě x\ dy = df(x) = f'(x)Ax Pro funkci g danou předpisem g (x) = x platí dx = dg(x) = gf(x)Ax = Ax. Proto lze psát dy = f'(x)dx, neboli f (x) = -p. 9/14 Užití diferenciálu f (x) « f(x0) + df(x0) = f(x0) + f(x0)Ax = /(aľ0) + f (x o) (x - x0) 10 / 14 Užití diferenciálu f (x) « f(x0) + df p0) = /Po) + f'(x0)Ax = /po) + //po)P - x0) Približný výpočet funkčních hodnot Užití diferenciálu f (x) « f(x0) + d/(x0) = /(x0) + f(x0)Ax = f(x0) + /'(zo)(a - x0) Přibližný výpočet funkčních hodnot Príklady: Přibližně vypočítejte \/2. Užití diferenciálu f {x) « f(x0) + df(x0) = f{x0) + f'(x0)Ax = f(x0) + f (x0)(x - x0) Približný výpočet funkčních hodnot Príklady: Približne vypočítejte y/2. f (x) = xi, f'(x) = \x~l = I (-Lj , ^2 = f (2), Užití diferenciálu f (x) « f(x0) + d/(x0) = /(aľ0) + f(x0)Ax = f(x0) + f'(x0)(x - x0) Približný výpočet funkčních hodnot Príklady: Približne vypočítejte \/2. f {x) = xi, f (x) = íx-i = § (±) , ^2 = f (2), *o = (I)3 = W. /(*») = f. /'(*0) = I (I)' = Í. A* = 2 - If = i, Užití diferenciálu f (x) « f(x0) + df(x0) = f(x0) + //(x0)Ax = /(a:0) + f(x0)(x - x0) Přibližný výpočet funkčních hodnot Príklady: Přibližně vypočítejte \/2. f (x) = xi, f (x) = \x~Í = i ű=\ , ^2 = /(2), *o = (f)3 = W. /(*o) = I f'(x0) = § (|)2 = #, Aa; = 2 - ±f = Užití diferenciálu f (x) « f(x0) + df(x0) = f(x0) + //(x0)Ax = /(a:0) + /'(^o)^ - ^o) Přibližný výpočet funkčních hodnot Príklady: Přibližně vypočítejte \/2. f (x) = xi. f (x) = \x-Í = i (±=\ , ^2 = f (2), *o = (f)3 = W- f(*o) = l f'(xo) = | (I)' = Í, A* = 2 - If = A ^2 = /(2)«f + l|A=ii = 1,26 Přesná hodnota: š/2 = 1,25992. Užití diferenciálu f(x) « f(x0) + df(x0) = f(x0) + /' (x0)Ax = /(x0) + f(x0)(x - x0) Přibližný výpočet funkčních hodnot Příklady: Přibližně vypočítejte log10 9- Užití diferenciálu f(x) * f(x0) + d/(x0) = /(a?o) + f'(x0)Ax = f(x0) + /'(*o)(s - ar0) Přibližný výpočet funkčních hodnot Příklady: Přibližně vypočítejte log10 9. f{x) = log10x, /'(z) = ln 10 = 2,3026, Užití diferenciálu f(x) « f(x0) + d/(*o) = /(s0) + f'(x0)Ax = f(x0) + /'(xo)(* - s0) Přibližný výpočet funkčních hodnot Příklady: Přibližně vypočítejte log10 9. f(x) = logwx, f'(x) = —ln 10 = 2,3026, x0 = 10, f(x0) = log10 10 = 1, Ax = -1, Užití diferenciálu f (x) « f(x0) + d/(x0) = /(x0) + f(x0)Ax = f(x0) + f(x0)(x - x0) Približný výpočet funkčních hodnot Príklady: Približne vypočítejte log10 9- f (x) = log10x, f (x) = —^—, ln 10 = 2,3026, x In 10 x0 = 10, /(aľ0) = log10 10 = 1, Ax = -1, logio 9 = /(9) « 1 - 23^26 = °>957 Užití diferenciálu f(x) « f(x0) + d/(*o) = /(s0) + f'(x0)Ax = f(x0) + /'(so)(s - s0) Přibližný výpočet funkčních hodnot Příklady: Přibližně vypočítejte log10 9. f(x) = log10x, f'{x) = —!—, lnlO = 2,3026, = 10, /(x0) = log10 10 = 1, Ax = -1, lOgl0 9 = /(9) « 1 - ^26 = °>957 Přesná hodnota: log10 9 = 0,9542. Derivace Diferenciál Užití derivací Aproximace funkcí Limity neurčitých výrazů Průběh funkce Užití derivací Aproximace funkcí Funkci y = f(x) aproximujeme v okolí bodu xq lineární funkcí y = qx + p. 12 / 14 Aproximace funkcí Funkci y = f (x) aproximujeme v okolí bodu xq lineární funkcí y = qx + p. Graf funkce / nahradíme jeho tečnou v bodě (xo,yo) = (#o?/(#o)) 12 / 14 Aproximace funkcí Funkci y = f(x) aproximujeme v okolí bodu xq lineární funkcí y = qx + p. Graf funkce / nahradíme jeho tečnou v bodě (xo,yo) = (xo,f(xo)) Platí: y-yo X — Xq rovnice tečny tedy je y = yo + f'(xo)(x - xo). y yo Aproximace funkcí Funkci y = f {x) aproximujeme v okolí bodu xq lineární funkcí y = qx+p = f(x0) + f'(x0)(x - x0). Graf funkce / nahradíme jeho tečnou v bodě (xo,yo) = (xo,f(xo)) Platí: /'(so) = y-yo X — Xq rovnice tečny tedy je y = yo + f'(xo)(x - xo). y yo Aproximace funkcí Funkci y = f {x) aproximujeme v okolí bodu xq lineární funkcí y = qx+p = f(x0) + f'(x0)(x - x0). Graf funkce / nahradíme jeho tečnou v bodě (xo,yo) = (#o?/(#o)) Platí: f(Xo) =y-^, X — Xq rovnice tečny tedy je y = yo + f'(x0)(x - x0). Příklady: Aproximace funkcí Funkci y = f {x) aproximujeme v okolí bodu xq lineární funkcí y = qx+p = f(x0) + f'(x0)(x - x0). Graf funkce / nahradíme jeho tečnou v bodě (xo,yo) = (#o?/(#o)) Platí: f(Xo) =y-^, X — Xq rovnice tečny tedy je y = yo + f'(x0)(x - x0). Příklady: Najděte tečnu k parabole dané rovnicí y = 1 — (x — l)2 v bodě (|, |) Aproximace funkcí Funkci y = f {x) aproximujeme v okolí bodu xq lineární funkcí y = qx+p = f(x0) + f'(x0)(x - x0). Graf funkce / nahradíme jeho tečnou v bodě (xo,yo) = (#o?/(#o)) Platí: f(Xo) =y-^, X — Xq rovnice tečny tedy je y = yo + f'(x0)(x - x0). Příklady: Najděte tečnu k parabole dané rovnicí y = 1 — (x — l)2 v bodě (|, |) f(x) = l-(x- l)2, x0 = |, y0 = §, f'(x) = 0 - 2(x - 1) = 2 - 2x, /'(§) = 2 - 3 = -1 t/ . ya, 2 y , x Aproximace funkcí Funkci y = f {x) aproximujeme v okolí bodu xq lineární funkcí y = qx+p = f(x0) + f'(x0)(x - x0). Graf funkce / nahradíme jeho tečnou v bodě (xo,yo) = (#o?/(#o)) Platí: f(Xo) =y-^, x — Xq rovnice tečny tedy je y = yo + f'(x0)(x - x0). Příklady: Napište rovnici tečny ke kružnici dané rovnicí x2 +y2 = r2 v bodě (#o?Ž/o) Aproximace funkcí Funkci y = f {x) aproximujeme v okolí bodu xq lineární funkcí y = qx+p = f(x0) + f'(x0)(x - x0). Graf funkce / nahradíme jeho tečnou v bodě (xo,yo) = (#o?/(#o)) Platí: f(Xo) =y-^, x — Xq rovnice tečny tedy je y = yo + f'(x0)(x - x0). Příklady: Napište rovnici tečny ke kružnici dané rovnicí x2 +y2 = r2 v bodě (#o?ž/o) y — f (x) — ±y/r2 — x2 Aproximace funkcí Funkci y = f {x) aproximujeme v okolí bodu xq lineární funkcí y = qx+p = f(x0) + f'(x0)(x - x0). Graf funkce / nahradíme jeho tečnou v bodě (xo,yo) = (xo,f(xo)) Platí: x — Xq rovnice tečny tedy je y = yo + f'(x0)(x-x0). Příklady: Napište rovnici tečny ke kružnici dané rovnicí x2 + y2 = r2 v bodě (#0,2/0) y = /(x) = ±\/r2 — x2; derivujeme obě strany této rovnosti. f(x) ±\ , 1 (-2x) =F / \Jr2—x2 \Jr2—x2 Aproximace funkcí Funkci y = f {x) aproximujeme v okolí bodu xq lineární funkcí y = qx+p = f(x0) + f'(x0)(x - x0). Graf funkce / nahradíme jeho tečnou v bodě (xo,yo) = (#o?/(#o)) Platí: f(Xo) =y-^, x — Xq rovnice tečny tedy je y = yo + f'(xo)(x - x0). Příklady: Napište rovnici tečny ke kružnici dané rovnicí x2 +y2 = r2 v bodě (#o?ž/o) y = f (x) = ±y/r2 — x2; derivujeme obě strany této rovnosti. f'{x) = ±±—L={-2x) = T^=, f(Xo) = T—^==T.x° 2 \Jr2 — x2 \Jr2 — x2' yjr2 — x\ V^o ^° Aproximace funkcí Funkci y = f (x) aproximujeme v okolí bodu xo lineární funkcí y = qx+p = f(x0) + f'(x0)(x - x0). Graf funkce / nahradíme jeho tečnou v bodě (xo,yo) = (#o?/(#o)) Platí: /'(Xo) = X — Xq rovnice tečny tedy je V = Vo + f'(x0)(x ~ xo). Příklady: Napište rovnici tečny ke kružnici dané rovnicí x2 + y2 = r2 v bodě (#0,2/0) i/ = /(x) = ±V^2 — £2; derivujeme obě strany této rovnosti. / 0*0 = ±1 / o o(~2a0 T / o / (*o) T > 0 T 2 ^/r2 — x2 y/r2 — x2 y'r2 — x\ yVo V° y -yo =--(x - x0) ž/o Aproximace funkcí Funkci y = f {x) aproximujeme v okolí bodu xq lineární funkcí y = qx+p = f(x0) + f'(x0)(x - x0). Graf funkce / nahradíme jeho tečnou v bodě (xo,yo) = (#o?/(#o)) Platí: /'(so) = y-yo X — Xq rovnice tečny tedy je y = yo + f'(xo)(x - x0). Příklady: Napište rovnici tečny ke kružnici dané rovnicí x2 +y2 = r2 v bodě (#o?ž/o) y = f (x) = ±\/r2 — x2; derivujeme obě strany této rovnosti. \Jr2 — x- (-2a;) = T V^2 — x2 f\x0) = T Xq Xq \Jr2 -x\ =F Xq Xo_ yo y - yo =--{X- Xq) yo XqX + y0y = xl + ^ 12 / 14 Aproximace funkcí Funkci y = f {x) aproximujeme v okolí bodu xq lineární funkcí y = qx+p = f(x0) + f'(x0)(x - x0). Graf funkce / nahradíme jeho tečnou v bodě (xo,2/o) = (#o?/(#o)) Platí: /'(so) = y-yo X — Xq rovnice tečny tedy je 2/ = 2/0 + f'(x0)(x - x0). Příklady: Napište rovnici tečny ke kružnici dané rovnicí x2 +y2 = r2 v bodě (^0,2/0) y = f (x) = ±y/r2 — x2; derivujeme obě strany této rovnosti. \lr2 — x- (-2a;) = T V^2 — x2 f\x0) = T Xq Xq \Jr2 -x\ =F Xq Xo 2/o y -yo =--(x - x0) yo xqx + 2/o2/ = 12 / 14 Aproximace funkcí Funkci y = f {x) aproximujeme v okolí bodu xq kvadratickou funkcí y = T2 (x) = ax2 + bx + c Aproximace funkcí Funkci y = f {x) aproximujeme v okolí bodu xq kvadratickou funkcí y = T2 (x) = ax2 + bx + c Pritom požadujeme /(ar0) = T2(x0), /'(*o) = T^0), /"(*o) = T^0) axg + b xq +c = f(xo) 2clxq + 6 = f'(xo) 2a =f"(x0) To je soustava tří lineárních rovnic pro tři neznámé parametry a, 6, c. Aproximace funkcí Funkci y = f(x) aproximujeme v okolí bodu xq kvadratickou funkcí y = T2 (x) = ax2 + bx + c Přitom požadujeme /(x0) = T2(x0), Oo) = ^Oo), Z"0o) = ^'(^o). tj. ax\ -\-bxo -\-c = /(xo) 2axo + 6 = f'(xo) 2a =/"M To je soustava tří lineárních rovnic pro tři neznámé parametry a, 6, c. Řešení a = (x0), 6 = O0) - x0f"(x0), c = f(x0) - x0f'(x0) + 7^0/" O0) Aproximace funkcí Funkci y = f(x) aproximujeme v okolí bodu xq kvadratickou funkcí y = T2 (x) = ax2 + bx + c Přitom požadujeme /(x0) = T2(x0), Oo) = ^Oo), Z"0o) = ^'(^o). tj. ax\ -\-bxo -\-c = /(xo) 2clxq + 6 = f'(xo) 2a =/"M To je soustava tří lineárních rovnic pro tři neznámé parametry a, 6, c. Řešení a = (x0), 6 = O0) - x0f"(x0), c = f(x0) - x0f'(x0) + 7^0/" O0) Tedy ?2(» = f(x0) + f'(x0)(x - x0) + ^/"(aoXa - x0)2 Aproximace funkcí Funkci y = f (x) aproximujeme v okolí bodu xq kvadratickou funkcí y = T2(x) = f(x0) + f'(x0)(x - x0) + hf"(x0)(x - x0)2 Aproximace funkcí Funkci y = f {x) aproximujeme v okolí bodu xq kvadratickou funkcí y = T2(x) = f(x0) + f'(x0)(x - x0) + \ f"(xo)(x - x0)2 Příklad: Funkci y = cotg x aproximujte v okolí bodu xq = W funkcí kvadratickou 12 / 14 Aproximace funkcí Funkci y = f {x) aproximujeme v okolí bodu xq kvadratickou funkcí y = T2(x) = f(x0) + f'(x0)(x - x0) + \ f"(xo)(x - x0)2 Příklad: Funkci y = cotg x aproximujte v okolí bodu xq = W funkcí kvadratickou COs(j7r) cotg x cotg(i7r) = . n = 1 sm(i7r) 1 (cotgx)' = - —-— - = -y/2 (smxy (sm^7r)2 i 4 (sinx)3 "(sinW)3 n// cosx COS-t7T (cotgx)" = 27—— 27—^=4 12 / 14 Aproximace funkcí Funkci y = f (x) aproximujeme v okolí bodu xq kvadratickou funkcí y = T2p) = f(x0) + /'po)P - x0) + 2///po)P - x0)2 Příklad: Funkci y = cotgx aproximujte v okolí bodu xq = W funkcí kvadratickou cotgx (cotgx)' = (sin ./•) COs(j7r) cotg(^Tr) ~- . n (sin t7t)2 sin^Tr) = -V2 Tedy , . // COS x (cotg z) =2—-— (smx)0 COS ^7T (sin |7r)3 = 4 cotg x « 1 - v2(x - W) + 2(x - jTt)2 12 / 14 Aproximace funkcí Funkci y = f {x) aproximujeme v okolí bodu xq kvadratickou funkcí y = T2(x) = f(x0) + f(x0)(x - x0) + \ f"(xo)(x - x0)2 Zobecnění: Funkci y = f(x) aproximujeme v okolí bodu xq Taylorovým polynomem stupně n se středem xq 1 1 f(x) = Tn(x) = f(xo)+f(xo)(x-xo) + -f"(xo)(x-x0)2^-----h — fM(xo)(x-x0)' 2 n\ 12 / 14 Aproximace funkcí Funkci y = f (x) aproximujeme v okolí bodu xq kvadratickou funkcí y = T2(x) = f(x0) + f(x0)(x - Xq) + \f"(x0)(x - Xq)2 Zobecnění: Funkci y = f(x) aproximujeme v okolí bodu x0 Taylorovým polynomem stupně n se středem xq f(x) = Tn(x) = f(xo)+f(x0)(x-x0) + }-f"(xo)(x-xo)2 + - • - + -}f(n\xo)(x-x0) Příklad: Taylorův polynom funkce y = f(x) = ex se středem x0 = 0. /(O) = e° = 1, f&(x) = ex, /W(o) = 1 pro i = 1, 2, 3,... « 1 + x + ^a;2 + 7X3 + • • • + 2 6 n\ Limity neurčitých výrazů Je-li f(xo) — O = g(xo) a f(x) ^ O 7^ g(x) na ryzím okolí bodu xq, pak f(x) = f(x) - JQo) = f(x) - /po) X-Xp g(x) g(x)-g(x0) x-x0 g(x) - g(x0)' , , /O) , f(x) tedy lim —— = lim . x->x0 g[x) x^xq g'(x) Limity neurčitých výrazů De l'Hôpitalovo pravidlo: Nechť x0 E M*, a G M*. Pak lim f (x) = 0 = lim g (x) & lim ^ jf^ = a =^> lim = a íe^íeo x^xo x^txo g'(x) x^x0 g [x) lim f (x) = 00= lim & lim ^77—7 = a =^> lim ^7—7 = a x^xq x^xq x^xq g [x) x^xq g (x) Limity neurčitých výrazů De l'Hôpitalovo pravidlo: Nechť x0 E M*, a G M*. Pak lim f (x) = 0 = lim g (x) & lim ^ jf^ = a =^> lim = a íe^íeo x^xo x^txo g [x) x^x0 g [x) lim f (x) = 00= lim & lim ^77—7 = a =^> lim ^7—7 = a x^xq x^xq x^xq g [x) x^xq g (x) Príklady: . x — sin x hm--- x^O Xó Limity neurčitých výrazů De l'Hôpitalovo pravidlo: Nechť x0 E M*, a G M*. Pak lim f (x) = 0 = lim g (x) & lim ^ jf^ = a =^> lim = a íe^íeo x^xo x^txo g [x) x^x0 g [x) lim f (x) = 00= lim & lim ^77—7 = a ^> lim = a x^xq x^xq x^xq g [x) x^xq g (x) Príklady: . x — sin x 1 — cos x sin x 1 hm--- = nm--— = nm-= j. x^O x6 x->o 3x2 x^o 6x Limity neurčitých výrazů De THópitalovo pravidlo: Nechť x0 eW, ae M*. Pak lim f(x) = 0 = lim g(x) & lim ^jf^ = a =^> lim = a x^x0 x^x0 x^x0 g'(x) x^x0 g(x) lim }'{x) = 00= lim g{x) & lim ^77—7 = a =^> lim ^7—7 = a x^xq x^xq x^xq g'(x) x^xq g(x) Příklady: Inx lim —= x^oo x X Limity neurčitých výrazů De l'Hôpitalovo pravidlo: Nechť x0 G R*, a G R*. Pak lim f (x) = 0 = lim g (x) & lim ^-J—7 = a lim ^7—7 = a x^x0 x^xq x^x0 g [x) x^x0 gyx) lim f (x) = 00 = lim g (x) & lim ^77—7 = a =^> lim ^ = a x^x0 x^xq x^xq g'(x) x^x0 gyx) Příklady: lim —— = lim -, x, = lim —= = 0 x^oo y/x x^řOO — —!p= x^řOO y/x v 2 J x v Limity neurčitých výrazů De THópitalovo pravidlo: Nechť x0 eW, ae M*. Pak lim f(x) = 0 = lim g(x) & lim ^jf^ = a =^> lim = a x^x0 x^x0 x^x0 g'(x) x^x0 g(x) lim }'{x) = 00= lim g{x) & lim ^77—7 = a =^> lim ^7—7 = a x^xq x^xq x^xq g'(x) x^xq g(x) Příklady: lim {x — ln x) x^-oo Limity neurčitých výrazů De THópitalovo pravidlo: Nechť x0 Gf,aG R*. Pak f'(x) f(x) lim f(x) = 0 = lim g(x) & lim ——— = a ^ lim = a x-^x0 x^x0 x^x0 g'[X) x^xq g[x) lim fix) = 00= lim ^(.t) & lim ^}, } = a ^ lim ^7—7 = a x^xq x^xq x^xq g'(x) x^xq g(x) Příklady: lim (x — ln x) = lim ( -,--ln x ) = lim . )-00 íe—)-00 \ — / íe—)-00 — 1 — - ln x Limity neurčitých výrazů De l'Hôpitalovo pravidlo: Nechť x0 E M*, a G M*. Pak f (x) lim /(x) = 0 = lim g (x) & lim —77^- = a x^xq x^xq x^xq g [x) y /(*) hm -—- x->x0 g{x) f (x) lim f (x) = 00 = lim & lim —--^ = a X^Xq X^Xq X^Xq g [x) y /(*) hm -—- x->x0 g{x) Příklady: lim (x — ln x) = lim í --Inx ) = lim -In x x x^-oc x^-oo \ — x x^-oo 1 x lim \nx 1 x^oo x lim — = lim — = 0 x^-oo 1 x^-oo x Limity neurčitých výrazů De l'Hôpitalovo pravidlo: Nechť x0 E M*, a G M*. Pak f (x) lim /(x) = 0 = lim g (x) & lim —77^- = a x^xq x^xq x^xq g [x) y /(*) hm -—- x->x0 g{x) f (x) lim f (x) = 00 = lim & lim —--^ = a X^Xq X^Xq X^Xq g [x) y /(*) hm -—- x->x0 g{x) Příklady: lim (x — ln x) = lim í --Inx ) = lim -In x x x^-oc x^-oo \ — x x^-oo 1 x = 00 lim \nx 1 x^oo x lim — = lim — = 0 x^-oo 1 x^-oo x Limity neurčitých výrazů De THópitalovo pravidlo: Nechť x0 eW, ae M*. Pak lim f(x) = 0 = lim g(x) & lim ^jf^ = a =^> lim = a x^x0 x^x0 x^x0 g'(x) x^x0 g(x) lim }'{x) = 00= lim g{x) & lim ^77—7 = a =^> lim ^7—7 = a x^xq x^xq x^xq g'(x) x^xq g(x) Příklady: / V x lim 1 + - x^oo V x Limity neurčitých výrazů De THópitalovo pravidlo: Nechť x0 eW, ae M*. Pak lim f(x) = 0 = lim g(x) & lim ^jf^ = a =^> lim = a x^x0 x^x0 x^x0 g'(x) x^x0 g(x) lim }'{x) = 00= lim g{x) & lim ^77—7 = a =^> lim ^7—7 = a x^xq x^xq x^xq g'(x) x^xq g(x) Příklady: 1 lim ( 1 H— ) = lim e X Limity neurčitých výrazů De THópitalovo pravidlo: Nechť x0 eW, ae M*. Pak lim f(x) = 0 = lim g(x) & lim ^jf^ = a =^> lim = a x^x0 x^x0 x^x0 g'(x) x^x0 g(x) lim }'{x) = 00= lim g{x) & lim ^77—7 = a =^> lim ^7—7 = a x^xq x^xq x^xq g'(x) x^xq g(x) Příklady: 1 lim ( 1 H— ) = lim e X lim x In- x^oo X Limity neurčitých výrazů De l'Hôpitalovo pravidlo: Nechť x0 G M*, a e M*. Pak f (x) lim f (x) = 0 = lim g (x) & lim —77^- = a x^xq x^xq x^xq g [x) y f (X) lim —= a x^-x o g (x) f (x) lim f (x) = 00 = lim & lim —77^- = a X^Xq X^Xq X^Xq g [x) lim , , = c x—»-x o #(x) Príklady: x—)-oc 1 CC lim ( 1 H— ) = lim exln ^ X—)-00 lim x ln x + l x—)-oo x lim X—)-00 ln(x + 1) — ln x 1 x lim x+l 1 x x—)-oo -- x' lim x—)-oo x' x + l + x lim x—)-oo -x2 + x2 + X lim — x^oo x Limity neurčitých výrazů De l'Hôpitalovo pravidlo: Nechť x0 G M*, a e M*. Pak f'(x) lim f (x) = 0 = lim g (x) & lim —77^- = a x^xq x^xq x^xq g [x) y f (X) lim —= a x^-x o g (x) f (x) lim f (x) = 00 = lim g(x) & lim —77^- = a X^Xq X^Xq X^Xq g [x) y í(X) lim , , = c x—»-x o #0) Príklady: x—)-oc 1 CC lim ( 1 H— ) = lim exln ^í1 = e X—)-00 lim x ln x + 1 x—)-oo x lim x—)-oo ln(x + 1) — ln X 1 x lim x+1 1 x x—)-oo -- x' lim X—)-00 x' x + 1 + x lim x—)-oo -x2 + x2 + x X + l lim — x^oo x Průběh funkce Funkce f v bodě x roste: existuje okolí bodu x, na kterém je funkce / rostoucí. Funkce f v bodě x klesá: existuje okolí bodu x, na kterém je funkce / klesající. Průběh funkce Funkce f v bodě x roste: existuje okolí bodu x, na kterém je funkce / rostoucí. Funkce f v bodě x klesá: existuje okolí bodu x, na kterém je funkce / klesající. Tedy: /'(#) > 0 / v bodě x roste f'(x) < 0 ^> / v bodě x klesá Průběh funkce Funkce f v bodě x roste: existuje okolí bodu x, na kterém je funkce / rostoucí. Funkce f v bodě x klesá: existuje okolí bodu x, na kterém je funkce / klesající. Tedy: > 0 / v bodě x roste f'(x) < 0 f v bodě x klesá Je-li 5 „malé", pak pro x G (xq — e,x0 + e) platí f (x) = f(x0) + f'(x0)(x - x0) + |/"(>o)0r - x0)2 + Ä, kde i? je „zanedbatelně malé". Hodnoty /(#o) + f'(xo)(x — x o) leží na tečně ke grafu funkce / v bodě (xo, f (x o)). Pokud f"(xo) > 0, tak hodnoty /(x) leží nad touto tečnou, pokud /"(#o) < 0» tak pod ní. Průběh funkce Funkce f v bodě x roste: existuje okolí bodu x, na kterém je funkce / rostoucí. Funkce f v bodě x klesá: existuje okolí bodu x, na kterém je funkce / klesající. Tedy: ff(x)>0^fv bodě x roste f'{x) < 0 f v bodě x klesá Je-li e „malé", pak pro x G (xo — s,xq + e) platí f (x) = f(x0) + f'(x0)(x - x0) + |/"(>o)(> - x0)2 + Ä, kde i? je „zanedbatelně malé". Hodnoty f (x o) + f'(xo)(x — x o) leží na tečně ke grafu funkce / v bodě (#o,/(#o)). P°kud /"(#o) > 0» tak hodnoty /(x) leží nad touto tečnou, pokud /"(#o) < 0» tak pod ní. Tedy: /"p) > 0 f je v bodě x konvexní („graf leží nad tečnou") /"(x) < 0 f je v bodě x konkávni („graf leží pod tečnou") Průběh funkce Funkce f v bodě x roste: existuje okolí bodu x, na kterém je funkce / rostoucí. Funkce f v bodě x klesá: existuje okolí bodu x, na kterém je funkce / klesající. Tedy: ff(x)>0^fv bodě x roste f'{x) < 0 f v bodě x klesá Je-li e „malé", pak pro x G (xo — s,xq + e) platí f (x) = f(x0) + f'(x0)(x - Xq) + |/"(>o)(> - Xq)2 + Ä, kde i? je „zanedbatelně malé". Hodnoty f (x o) + f'{xo){x — x o) leží na tečně ke grafu funkce / v bodě (#o,/(#o)). P°kud í"{xq) > 0, tak hodnoty f (x) leží nad touto tečnou, pokud f"{xo) < 0, tak pod ní. Tedy: f" {x) > 0 f je v bodě x konvexní („graf leží nad tečnou") /"(x) < 0 f je v bodě x konkávni („graf leží pod tečnou") Bod xq se nazývá inflexní bod, pokud v jeho levém okolí je funkce / konvexní (resp. konkávni) a v pravém okolí je konkávni (resp. konvexní); „graf funkce přechází v bodě (xq, f (x o)) z jedné strany tečny na druhou". 14 / 14 Průběh funkce Vyšetřování průběhu funkce /: 1. Určíme D(f), sudost/lichost, periodičnost, hodnotu /(O) (průsečík grafu s osou y). 2. Najdeme nulové body funkce / a intervaly, na nichž je funkce kladná a záporná. 3. Najdeme nulové body první derivace f' a body, v nichž f' není definována. Najdeme intervaly, na kterých je funkce / rostoucí a na kterých je klesající. 4. Najdeme body lokálních extrémů, tj. body, v nichž se funkce mění z rostoucí na klesající (lokální maxima), a body, v nichž se mění z klesající na rostoucí (lokální minima). 5. Najdeme nulové body druhé derivace f" a body, vnichž f" není definována. Najdeme intervaly, na kterých je funkce / konvexní a na kterých je konkávni. 6. Najdeme inflexní body s příslušnými funkčními hodnotami a hodnotou derivace (směrnici tečny v inflexním bodě). 7. Určíme limity v nevlastních bodech. 8. Určíme chování funkce v okolí bodů, které „leží na kraji" D(f). 9. Nakreslíme graf funkce / 14 / 14 Průběh funkce Příklady: Vyšetřete průběh funkce f(x) Průběh funkce Příklady: Vyšetřete průběh funkce f(x) =--^ ■ J. | x 1. D(f) = R, lichá - stačí vyšetřovat na (0, oo), Průběh funkce Příklady: Vyšetřete průběh funkce f(x) = x 1 + x 2 " 1. D(f) = R, lichá - stačí vyšetřovat na (0, oo), 0 Průběh funkce Příklady: Vyšetřete průběh funkce f(x) 1. D(f) = R, lichá - stačí vyšetřovat na (0, /(O) = 0 Průběh funkce Příklady: Vyšetřete průběh funkce f(x) = 1. D(f) = M, lichá - stačí vyšetřovat na (0, oo), /(O) = o 2. f(x) > O pro x € (0, oo) Průběh funkce Příklady: Vyšetřete průběh funkce f(x) = 1. D(f) = M, lichá - stačí vyšetřovat na (0, oo), /(O) = o 2. f(x) > O pro x € (0, oo) Průběh funkce X Příklady: Vyšetřete průběh funkce f(x) =---. í. I x 1. D(f) = M, lichá - stačí vyšetřovat na (0, oo), /(O) = 0 2. f(x) > 0 pro x G (0, oo) 1 + x2 — x • 2x 1 — x2 3. f'(x) = (1 + x2)2 (1 + x2)2' 0 + y t H-H H-H a; 14 / 14 Průběh funkce Příklady: Vyšetřete průběh funkce f(x) = 1. D(f) = M, lichá - stačí vyšetřovat na (0, oo /(O) = 0 2. f(x) > 0 pro x E (0, oo) 1 + x2 — x • 2x 1 — x2 3' / = (1 + x2)2 = (1 + x2)2' f'(x) > 0 pro x < 1, /'(as) < 0 pro x > 1 Průběh funkce Příklady: Vyšetřete průběh funkce f(x) x 1 + X' 1. D(f) = M, lichá - stačí vyšetřovat na (0, oo), /(O) = 0 2. f(x) > 0 pro x E (0, oo) 1 + a;2 — x • 2x 1 — x2 3' / = (1 + x2)2 = (1 + x2)2' f'(x) > 0 pro x < 1, /'(as) < 0 pro x > 1 0 /(*) + + 2/1 H-H H-1-► Průběh funkce Příklady: Vyšetřete průběh funkce f(x) x 1 + X' 1. D(f) = M, lichá - stačí vyšetřovat na (0, oo), /(O) = 0 2. f(x) > 0 pro x E (0, oo) 1 + a;2 — x • 2x 1 — x2 3' / = (1 + x2)2 = (1 + x2)2' f'(x) > 0 pro x < 1, /'(as) < 0 pro x > 1 0 /(*) + + 2/1 H-H H-H .i' 14 / 14 Průběh funkce Příklady: Vyšetřete průběh funkce f(x) = 1. D(f) = R, lichá - stačí vyšetřovat na (0, oo /(O) = 0 2. f(x) > 0 pro x E (0, oo) J V ; (1 + ^)2 (1 + x2)2' /'(as) > 0 pro x < 1, f'(x) < 0 pro x > 1 4- /(I) = | Průběh funkce X Příklady: Vyšetřete průběh funkce f(x) = J- I x 2. 3. 4. 5. D(f) = R, lichá - stačí vyšetřovat na (0, oo), /(O) = 0 f(x) > 0 pro x G (0, oo) 1 + — x • 2x 1 — x2 f (X) = (1 + z2)2 = (1 + x2)2' /'(a?) > 0 pro x < 1, f(x) < 0 pro cc > 1 /(l) = I -2x(l + íc2)2 - 2(1 - x2)(l + x2) • 2x (1 + x2)4 2x(x2 - 3) (l + x2)3 0 /(*) 4 Průběh funkce Příklady: Vyšetřete průběh funkce f(x) = — x + X' 1. £)(/) = M, lichá - stačí vyšetřovat na (0, oo), /(O) = 0 2. /(x) > 0 pro x G (0, oo) 1 + x2 — x • 2a; 1 — x2 3' /W= (1 + x2)2 =(1 + *2)2' /'(x) > 0 pro x < 1, f'(x) < 0 pro x > 1 1 2 -2x(l + x2)2 - 2(1 - cc2)(l + x'z) ■ 2x 5. /"(*) = (1 + x2)4 /"(x) > 0 pro x > y/3, f"(x) <0pro0 0 pro x G (0, oo) 1 + x2 — x • 2a; 1 — x2 3' /W= (1 + x2)2 =(1 + *2)2' /'(x) > 0 pro x < 1, f'(x) < 0 pro x > 1 1 2 -2x(l + x2)2 - 2(1 - cc2)(l + x'z) ■ 2x 5. /"(*) = (1 + x2)4 /"(x) > 0 pro x > y/3, f"(x) <0pro0 0 pro x G (0, oo) 1 + x2 — x • 2a; 1 — x2 3' /W = (1 + x2)2 =(1 + *2)2' /'(x) > 0 pro x < 1, f'{x) < 0 pro x > 1 1 2 -2x(l + x2)2 - 2(1 - x2)(l + xz) ■ 2x 5. /"(*) = (1 + x2)4 /"(x) > 0 pro x > y/3, f"(x) <0pro0 0 pro x £ (0, cx)) ..... 1 + • 2x 1 — x 3' / ^ = (1 + X2)2 = (l + £2)2' /'(a;) > 0 pro x < 1, /'(z) < 0 pro x > 1 4- /(I) = | „„, , -2x(l + x2)2 - 2(1 - x2)(l + x2) ■ 2x 5- /"W=—- + -— _ 2x(x2 - 3) ~ (1 + x2)3 f"(x) > 0 pro x > \/Š, f"(x) <0pro0<£<\/3 = 1,7321 6. f(VŠ) = ^= 0,4330 Průběh funkce X Příklady: Vyšetřete průběh funkce f(x) =--^ 1. D(f) = R, lichá - stačí vyšetřovat na (0, oo), /(O) = 0 2. f(x) > 0 pro x e (0, oo) 1 + x2 — x • 2x 1 — x2 3' (1 + x2)2 = (1 + x2)2' f'(x) > 0 pro x < 1, /'(x) < 0 pro x > 1 4- /(I) = | _ -2x(l + x2)2 - 2(1 - x2)(l + x2) • 2x b- ; W" (1 + x2)4 _ 2x(x2 - 3) (1 +x2)3 /"(x) > 0 pro x > x/3, /"(x) <0pro0 0 pro x E (0, oo) 1 + x2 — íc • 2x 1 — x2 3' / W = (l + x2)2 = (1 + x2)2' f'(x) > 0 pro x < 1, /'(z) < 0 pro x > 1 4- /(I) = | _ -2s(l + x2)2 - 2(1 - x2)(l + x2) • 2X ; W" (1 + x2)4 _ 2cc(x2 - 3) ~ (1 + x2)3 /"(x) > 0 pro x > y/Š, f"\x) <0pro0-00 ^ -j- #H Průběh funkce Příklady: Vyšetřete průběh funkce f(x) x 2. 3. 4. 5. 6. 7. 1 + X' D(f) = M, lichá - stačí vyšetřovat na (0, oo), /(O) = 0 f(x) > 0 pro x G (0, oo) 1 + x2 — x • 2x 1 — x2 f (X) = (1 + x2)2 = (l + x2)2' /'(x) > 0 pro x < 1, f'(x) < 0 pro x > 1 1 2 -2x(l + x2)2 - 2(1 - x2)(l + x2) • 2x (1 + x2)4 2x(x2 - 3) (1 + x2)3 /"(x) > 0 pro x > y/3, f"\x) <0pro0-oo 1 -|- ar 0 0 Průběh funkce Příklady: Vyšetřete průběh funkce f(x) =--^ J. | x 1. D(f) = M, lichá - stačí vyšetřovat na (0, oo), /(O) = 0 2. /(x) > 0 pro x G (0, oo) 1 + x2 — x • 2x 1 — x2 3' / W = (1 + x2)2 = (1 + x2)2' f'(x) > 0 pro x < 1, f(x) < 0 pro x > 1 4- /(I) = | _ -2x(l + x2)2 - 2(1 - x2)(l + x2) • 2x ; W" (1 + x2)4 _ 2x(x2 - 3) ~ (1 + x2)3 /"(x) > 0 pro x > y/Š, f"\x) <0pro0-00 ^ -j- #H Průběh funkce 1 Příklady: Vyšetřete průběh funkce f(x) = 6x2(l — x) 1. D(/)=R\{0,1} 2. f(x) > O pro x £ (-oo, 0) a x G (0,1), / (x) < 0 pro x > 1 x / 2x(l- x) -x2\ _ 3x-2 6 v x4(i -x2) y 6x3(i -x)2 f'(x) > 0 pro x < 0, x G (§, 1) a x > 1, /'(z) < 0 pro x G (0, f) 4- /(§) = li = M25 3x3(l-x)2-(3x-2)(3x2(l-x)2-2x3(l-x)} 3- / V^J — fi 6 x6(l-x)4 (a; 3) + 9 x4(l -x)3 f"(x) > 0 pro x < 0 a x G (0,1), /"(x) < 0 pro x > 1 7. lim ——--- = 0 cc—>-±oo 6xz{l — X) 8. lim —-- = 00, f(x) > 0 nalevo od 1 a f(x) < 0 napravo od 1 x^-o 6x2(l — x) Průběh funkce 1 Příklady: Vyšetřete průběh funkce f(x) = 6x2(l — x) 1. D(/)=R\{0,1} 2. f(x) > O pro x £ (-oo, 0) a x G (0,1), / (x) < 0 pro x > 1 x / 2x(l-x) -x2\ _ 3x-2 6 V x4(l -x2) ) 6x3(l -x)2 /'(x) > 0 pro x < 0, x G (§, 1) a x > 1, /'(x) < 0 pro x G (0, f) 4- /(§) = li = M25 3x3(l-x)2-(3x-2)(3x2(l-x)2-2x3(l-x)} 3- / V^J — « 6 x6(l-x)4 (x 3) + 9 x4(l -x)3 f"(x) > 0 pro x < 0 a x G (0,1), /"(x) < 0 pro x > 1 7. lim ——--- = 0 cc—>-±oo 6x2(l — Xj 8. lim —-- = 00, f(x) > 0 nalevo od 1 a f(x) < 0 napravo od 1 x^-o 6x2(l — x) Průběh funkce „Aplikace": Máme směs O2 a NO. Probíhá oxidace 2NO + 02 -> 2N02 Reakční rychlost je dána vztahem v = /c[NO]2[02], kde k je kladná konstanta označuje koncentraci látky X, tj. podíl objemu látky X v celkovém objemu. Při jaké koncentraci O2 je oxidace nej rychlejší? Průběh funkce „Aplikace": Máme směs O2 a NO. Probíhá oxidace 2NO + 02 -> 2N02 Reakční rychlost je dána vztahem v = /c[NO]2[02], kde k je kladná konstanta označuje koncentraci látky X, tj. podíl objemu látky X v celkovém objemu. Při jaké koncentraci O2 je oxidace nej rychlejší? Označení: x = [02]- Průběh funkce „Aplikace": Máme směs O2 a NO. Probíhá oxidace 2NO + 02 -> 2N02 Reakční rychlost je dána vztahem v = /c[NO]2[02], kde k je kladná konstanta označuje koncentraci látky X, tj. podíl objemu látky X v celkovém objemu. Při jaké koncentraci O2 je oxidace nej rychlejší? Označení: x = [02]. Pak [NO] = 1 - x. Průběh funkce „Aplikace": Máme směs O2 a NO. Probíhá oxidace 2NO + 02 -> 2N02 Reakční rychlost je dána vztahem v = /c[NO]2[02], kde k je kladná konstanta a [X] označuje koncentraci látky X, tj. podíl objemu látky X v celkovém objemu. Při jaké koncentraci O2 je oxidace nej rychlejší? Označení: x = [02]. Pak [NO] = 1 - x. v = v(x) = k(l - x)2x, D{v) = (0,1) Průběh funkce „Aplikace": Máme směs O2 a NO. Probíhá oxidace 2NO + 02 -> 2N02 Reakční rychlost je dána vztahem v = /c[NO]2[02], kde k je kladná konstanta a [X] označuje koncentraci látky X, tj. podíl objemu látky X v celkovém objemu. Při jaké koncentraci O2 je oxidace nej rychlejší? Označení: x = [02]. Pak [NO] = 1 - x. v = v(x) = k(l - x)2x, D{v) = (0,1) = /c(-2(l-x)x + (l-x)2) = /c(l-x)(l-3x), Průběh funkce „Aplikace": Máme směs O2 a NO. Probíhá oxidace 2NO + 02 -> 2N02 Reakční rychlost je dána vztahem v = /c[NO]2[02], kde k je kladná konstanta a [X] označuje koncentraci látky X, tj. podíl objemu látky X v celkovém objemu. Při jaké koncentraci O2 je oxidace nej rychlejší? Označení: x = [02]. Pak [NO] = 1 - x. v = v(x) = k(l - x)2x, D{v) = (0,1) dx dv k( - 2(1 - x)x + (1 - x)2) = k(l -x)(l- 3x) Průběh funkce „Aplikace": Máme směs O2 a NO. Probíhá oxidace 2NO + 02 -> 2N02 Reakční rychlost je dána vztahem v = /c[NO]2[02], kde k je kladná konstanta a [X] označuje koncentraci látky X, tj. podíl objemu látky X v celkovém objemu. Při jaké koncentraci O2 je oxidace nej rychlejší? Označení: x = [02]. Pak [NO] = 1 - x. v = v(x) = k(l - x)2x, D{v) = (0,1) dx dv 14 / 14 Průběh funkce „Aplikace": Máme směs O2 a NO. Probíhá oxidace 2NO + 02 -> 2N02 Reakční rychlost je dána vztahem v = /c[NO]2[02], kde k je kladná konstanta a [X] označuje koncentraci látky X, tj. podíl objemu látky X v celkovém objemu. Při jaké koncentraci O2 je oxidace nej rychlejší? Označení: x = [02]. Pak [NO] = 1 - x. v = v(x) = k(l - x)2x, D{v) = (0,1) dx dv k( - 2(1 - x)x + (1 - x)2) = k(l -x)(l- 3x) y k Průběh funkce „Aplikace": Máme směs O2 a NO. Probíhá oxidace 2NO + 02 -> 2N02 Reakční rychlost je dána vztahem v = /c[NO]2[02], kde k je kladná konstanta a [X] označuje koncentraci látky X, tj. podíl objemu látky X v celkovém objemu. Při jaké koncentraci O2 je oxidace nej rychlejší? Označení: x = [02]. Pak [NO] = 1 - x. v = v(x) = k(l - x)2x, D{v) = (0,1) dx dv k( - 2(1 - x)x + (1 - x)2) = k(l -x)(l- 3x) Závěr: Funkce v(x) má maximum v bodě x = |, hodnota maxima je = k(l — \)2\-Tj. největší rychlost oxidace Vmax je při koncentraci [O2] = |, ^max = = ^k.