Integrální počet
M1030 28.11. a 5.12.2019
Úvod
Základní úloha integrálního počtu
Neurčitý integrál_
Určitý integrál a jeho užití
Úvod
Základní úloha integrálního počtu
3/
Základní úloha integrálního počtu
Určit obsah S obrazce pod grafem spojité funkce na intervalu (a, b)
3/14
Základní úloha integrálního počtu
Určit obsah S obrazce pod grafem spojité funkce na intervalu (a, b)
3/14
Základní úloha integrálního počtu
Určit obsah S obrazce pod grafem spojité funkce na intervalu (a, b) Označení: F (x) obsah obrazce pod grafem funkce / na intervalu od a do x
3/14
Základní úloha integrálního počtu
Určit obsah S obrazce pod grafem spojité funkce na intervalu (a, b)
Označení: F (x) obsah obrazce pod grafem funkce / na intervalu od a do x Ax přírůstek nezávisle proměnné
/* (x, Ax) = max {f (s) : x < s < x + Ax} /* (x, Ax) = min {/(s) : x < s < x + Ax}
3/14
Základní úloha integrálního počtu
Určit obsah S obrazce pod grafem spojité funkce na intervalu (a, b)
Označení: F (x) obsah obrazce pod grafem funkce / na intervalu od a do x Ax přírůstek nezávisle proměnné
/* (x, Ax) = max {f (s) : x < s < x + Ax} /* (x, Ax) = min {/(s) : x < s < x + Ax}
Platí: lim f*(x,Ax) = lim L(x,Ax) = f (x)
3/14
Základní úloha integrálního počtu
Určit obsah S obrazce pod grafem spojité funkce na intervalu (a, b)
Označení: F (x) obsah obrazce pod grafem funkce / na intervalu od a do x Ax přírůstek nezávisle proměnné
/* (x, Ax) = max {f (s) : x < s < x + Ax} /* (x, Ax) = min {/(s) : x < s < x + Ax}
Platí: lim f*(x,Ax) = lim L(x,Ax) = f (x)
Dále:   i^) + /^(^ Ax)Ax <       + Ax) < F (x) + Ax)Ax
,f*(x, Ax)
x x + Ax 6 x
3/14
Základní úloha integrálního počtu
Určit obsah S obrazce pod grafem spojité funkce na intervalu (a, b)
Označení: F (x) obsah obrazce pod grafem funkce / na intervalu od a do x Ax přírůstek nezávisle proměnné
/* (x, Ax) = max {f (s) : x < s < x + Ax} /* (x, Ax) = min {/(s) : x < s < x + Ax}
Platí: lim f*(x,Ax) = lim L(x,Ax) = f (x)
Dále:   i^) + /^(^ Ax)Ax < F(x + Ax) < F (x) + /*(x, Ax)Ax
,/    .  s     F(x + Ax) - F(x) A ,
/* (x, Ax) <--^ < /* (x, Ax)
Ax
f*(x,Ax) f*(x,Ax)
x x +       6 x
3/14
Základní úloha integrálního počtu
Určit obsah S obrazce pod grafem spojité funkce na intervalu (a, b)
Označení: F (x) obsah obrazce pod grafem funkce / na intervalu od a do x Ax přírůstek nezávisle proměnné
/* (x, Ax) = max {f (s) : x < s < x + Ax} /* (x, Ax) = min {/(s) : x < s < x + Ax}
Platí: lim f*(x,Ax) = lim L(x,Ax) = f (x)
Dále:   i^) + /^(^ Ax)Ax <       + Ax) < F (x) + Ax)Ax
^   a \ ^ F (x + Ax) — -F(x) .
fJx.Ax) < —--1-— < f*(x,Ax) hm
Ax Ax-^O
Základní úloha integrálního počtu
Určit obsah S obrazce pod grafem spojité funkce na intervalu (a, b)
Označení: F (x) obsah obrazce pod grafem funkce / na intervalu od a do x Ax přírůstek nezávisle proměnné
/* (x, Ax) = max {f (s) : x < s < x + Ax} /* (x, Ax) = min {/(s) : x < s < x + Ax}
Platí: lim f*(x,Ax) = lim L(x,Ax) = f (x)
Dále:   i^) + /^(^ Ax)Ax <       + Ax) < F (x) + Ax)Ax
^   a \ ^ F (x + Ax) — -F(x) .
fJx.Ax) < —--1-— < f*(x,Ax) hm
Ax Ax-^O
/(x) < F'(x) < f (x)
Základní úloha integrálního počtu
Určit obsah S obrazce pod grafem spojité funkce na intervalu (a, b)
Označení: F (x) obsah obrazce pod grafem funkce / na intervalu od a do x Ax přírůstek nezávisle proměnné
/* (x, Ax) = max {f (s) : x < s < x + Ax} /* (x, Ax) = min {/(s) : x < s < x + Ax}
Platí: lim f*(x,Ax) = lim L(x,Ax) = f (x)
Dále:   i^) + /^(^ Ax)Ax < F(x + Ax) < F (x) + /*(x, Ax)Ax
,/    .  s     F(x + Ax) - F(x) A ,
Ax
f (x) < F'(x) < f (x)
lim
Ax^O
Odtud: F'{x) = f (x)
3/14
Základní úloha integrálního počtu
Určit obsah S obrazce pod grafem spojité funkce na intervalu (a, b)
Označení: F (x) obsah obrazce pod grafem funkce / na intervalu od a do x Ax přírůstek nezávisle proměnné
/* (x, Ax) = max {f (s) : x < s < x + Ax} /* (x, Ax) = min {/(s) : x < s < x + Ax}
Platí: lim f*(x,Ax) = lim L(x,Ax) = f (x)
Dále:   i^) + /^(^ Ax)Ax < F(x + Ax) < F (x) + /*(x, Ax)Ax
,/    .  s     F(x + Ax) - F(x) A ,
/* (a:, Ax <--^ < /* x, Ax
Ax
f (x) < F'(x) < f (x)
lim
Ax^O
Odtud: F'{x) = f (x) Přitom: F (a) = 0, S = F (b)
3/14
Úvod
tý integrál
Primitivní funkce a její vlastnosti „Tabulkové integrály" Substituční metoda Integrace „per partes" Příklady
Určitý integrál a jeho užití
Neurčitý integrál
Primitivní funkce a její vlastnosti
Funkce F je primitivník funkci f na intervalu (a, b), je-li na tomto intervalu spojitá a pro každé x G (a, 6) platí
ř» = f(x).
Primitivní funkce a její vlastnosti
Funkce F je primitivní k funkci f na intervalu (a, b), je-li na tomto intervalu spojitá a pro každé x G (a, b) platí
F'(x) = f(x).
Označení:
F = f f(x)dx.
Primitivní funkce a její vlastnosti
Funkce F je primitivní k funkci f na intervalu (a, b), je-li na tomto intervalu spojitá a pro každé x G (a, b) platí
F'Or) = /(x).
Označení:
F = J f(x)dx.
Alternativní názvy: Funkce F je neurčitý integrál z funkce f.
Funkce F je antiderivace k funkci f.
Primitivní funkce a její vlastnosti
Funkce F je primitivní k funkci f na intervalu (a, b), je-li na tomto intervalu spojitá a pro každé x G (a, b) platí
Vlastnosti primitivní funkce:
Primitivní funkce a její vlastnosti
Funkce F je primitivní k funkci f na intervalu (a, b), je-li na tomto intervalu spojitá pro každé x G (a, b) platí
F'(x) = f(x).
Vlastnosti primitivní funkce:
•   Ke každé funkci spojité na intervalu (a, b) existuje na tomto intervalu funkce primitivní.
Primitivní funkce a její vlastnosti
Funkce F je primitivní k funkci f na intervalu (a, b), je-li na tomto intervalu spojitá a pro každé x G (a, b) platí
F'Or) = /(x).
Vlastnosti primitivní funkce:
• Ke každé funkci spojité na intervalu (a, b) existuje na tomto intervalu funkce primitivní.
• Primitivní funkce k dané funkci, pokud existuje, není určena jednoznačně.
Je-li F primitivní k /, pak také F + c je primitivní k / pro libovolnou konstantu c.
Primitivní funkce a její vlastnosti
Funkce F je primitivní k funkci f na intervalu (a, b), je-li na tomto intervalu spojitá a pro každé x G (a, b) platí
F'Or) = /(x).
Vlastnosti primitivní funkce:
• Ke každé funkci spojité na intervalu (a, b) existuje na tomto intervalu funkce primitivní.
• Primitivní funkce k dané funkci, pokud existuje, není určena jednoznačně.
Je-li F primitivní k /, pak také F + c je primitivní k / pro libovolnou konstantu c.
• Primitivní funkce je aditivní:
J (f(x)-\-g(x))dx = J f(x)dx-\- J g(x)dx.
Primitivní funkce a její vlastnosti
Funkce F je primitivní k funkci f na intervalu (a, b), je-li na tomto intervalu spojitá a pro každé x G (a, b) platí
F'Or) = /(x).
Vlastnosti primitivní funkce:
• Ke každé funkci spojité na intervalu (a, b) existuje na tomto intervalu funkce primitivní.
• Primitivní funkce k dané funkci, pokud existuje, není určena jednoznačně.
Je-li F primitivní k /, pak také F + c je primitivní k / pro libovolnou konstantu c.
• Primitivní funkce je homogenní.
(cf(x))dx = c I f(x)dx.
Primitivní funkce a její vlastnosti
Funkce F je primitivní k funkci f na intervalu (a, b), je-li na tomto intervalu spojitá a pro každé x G (a, b) platí
F'Or) = /(x).
Vlastnosti primitivní funkce:
• Ke každé funkci spojité na intervalu (a, b) existuje na tomto intervalu funkce primitivní.
• Primitivní funkce k dané funkci, pokud existuje, není určena jednoznačně.
Je-li F primitivní k /, pak také F + c je primitivní k / pro libovolnou konstantu c.
Primitivní funkce je lineární:
(af{x)Jrbg{x))áx = a J f(x)dx-\-b J g(x)dx.
„Tabulkové integrály"
6/
„Tabulkové integrály"
Tabulkové integrály
x
a+1
a+ 1
pro a / -1
— dx — ln Ixl
6/1.
Tabulkové integrály
x
a+1
a+ 1
pro a / -1
— dx — ln Ixl
e dx = e
CC
6/1.
Tabulkové integrály
X
a+1
x áx — - pro a / -1
a+1
— áx — ln Ixl
x
e áx = e
CC
x 1
a áx —
a
X
lna
6/1.
Tabulkové integrály
X
a+1
x áx — - pro a / -1
a+1
— áx — ln Ixl
x
e áx = e
CC
x 1
a áx —
a
X
lna
lnxdx — x(lnx — 1)
6/1.
„Tabulkové integrály"
X
a+1
x áx — - pro a / -1
a+1
— áx — ln Ixl
x
e áx = e
CC
x 1
a áx —
a
X
lna
lnxdx — x(lnx — 1)
sin xdx — — cos x
6/1.
„Tabulkové integrály"
X
a+1
x áx — - pro a / -1
a+1
— áx — ln Ixl
x
e áx = e
CC
x 1
a áx —
a
X
lna
lnxdx — x(lnx — 1)
sin xdx — — cos x
cos xdx = sin x
6/1.
„Tabulkové integrály"
X
a+1
x áx — - pro a / -1
a+1
(cosx):
áx — tg x
— áx — ln Ixl
x
e áx = e
CC
x 1
a áx —
a
X
lna
lnxdx — x(lnx — 1)
sin xdx — — cos x
cos xdx = sin x
„Tabulkové integrály"
X
a+1
x áx — - pro a / -1
a+1
— áx — ln Ixl
x
e áx = e
CC
x 1
a áx —
a
X
lna
lnxdx — x(lnx — 1)
sin xdx — — cos x
cos xdx = sin x
(cos x)2
1
(sin x)2
dx = tg x
áx — — cotg x
„Tabulkové integrály"
x
a+1
x áx — - pro a / -1
a+1
— áx — ln Ixl
x
e áx = e
CC
x 1
a ax —
a
X
lna
lnxdx — x(lnx — 1)
sin xdx — — cos x
cos xdx = sin x
(cos x)2
1
(sin x)2 1
áx — tg x
dx = — cotg x
1 + X'
áx — arctg x — — arccotg x
„Tabulkové integrály"
X
a+1
x áx — - pro a / -1
a+1
— áx — ln \x
x
e áx — e
.r
a áx —
a
X
lna
ln xdx = x(lnx — 1)
sin xdx = — cos x
cos xdx = sin x
/
(cos x)2
1
(sin x)2 1
dx = tg x
dx = — cotg x
1 + x:
dx — arctg x = — arccotg x
: dx — arcsin x — — arccos x
6/1.
„Tabulkové integrály"
x° áx —
x i
e áx = e
x
a+1
a + 1
pro a ^ — 1
— dx — ln \x\
x
x
X 1
a áx —
a
X
lna
lnxdx — x(lnx — 1)
sin xáx — — cos x
(cos x)2
1
(sin x)2 1
dx = tg x
áx — — cotg x
1 + x:
y/l — x2
dx — arctg x — — arccotg x
dx — arcsin x — — arccos x
1 + x 1 — x
cos xdx = sin x
„Tabulkové integrály"
X
a+1
x áx = - pro a / -1
a + 1
— áx — ln Ixl
x
e dx = e
X
X 1
a áx —
a
X
lna
lnxdx — x(lnx — 1)
sin xáx — — cos x
(cos x)2
1
(sin x)2 1
dx = tg x
áx — — cotg x
1 + x2
y/l — x2
áx — arctg x — — arccotg x
áx — arcsin x — — arccos x
1+x 1 — X
Vx2 ± 1
dx — ln
x
+ \/x2 ± 1
= - ln
x
- \/x2 ± 1
cos xdx = sin x
Tabulkové integrály
xadx — —-       pro a / -1
a+1
axdx —
a+1
— áx — ln \x\
x
e áx — e
X
a
X
lna
lnxdx — x(lnx — 1)
sin xáx — — cos x
cos xáx = sin x
(cos x)2
1
(sin x)2 1
áx = tg x
dx = — cotg x
1 + X'
Vl -x2
dx — arctg x = — arccotg x
dx — arcsin x = — arccos x
dx — ~ ln
1 — x
Vx2 ± 1
1 +x 1 — x
dx — ln
x
+ \/x2 ± 1
= - ln
x
- \/x2 ± 1
yr^d,= i(,yr^_arccosx)
„Tabulkové integrály"
Příklady:
„Tabulkové integrály"
Příklady:
J (3x5 - 2x3 + x2 - 2) áx
Tabulkové integrály
Příklady:
/x0 (3x5 - 2x3 + x2 - 2) áx = 3— - 2
6 XA
4
Tabulkové integrály
Příklady:
/x0 (3x5 - 2x3 + x2 - 2) áx = 3— - 2
6 XA
4
2xz — x + 2xJx — Jx
-=-c1.t
x + l
Tabulkové integrály
Příklady:
CC CC CC
V 7 6 4 3 2 2 3
2x2 — x + 2x\/x
x + 1
dx
2xv/X (y^X + 1) — v7^ (-y^ + 1)
X + 1
dx
5
3 1\ X2
2x2 — x 2   dx = 2
5 2
3
X2
2
(i
3X
Tabulkové integrály
Příklady:
Tabulkové integrály
Příklady:
Substituční metoda
F' = f,    F = ff
Substituční metoda
Fř = f,    F = Jf
d
Derivace složené funkce: [F(cp(t))]' = —F(cp(t)) = f(cp(t))cp'(t)
Substituční metoda
F' = f,    F = Jf
d
Derivace složené funkce: [F(cp(t))]' = —F(cp(t)) = f(cp(t))cp'(t)
Odtud:    f(<p(t))<f/(t)át = F(<p(t))
Substituční metoda
F' = f,    F = Jf
d
Derivace složené funkce: [F(cp(t))]' = —F(cp(t)) = f(cp(t))cp'(t)
KÁ L
Odtud:    f(<p(t))<f/(t)át = F(<p(t))
Použití vzorce:
Substituční metoda
F' = f,    F = ff d
Derivace složené funkce: [F(<p(t))]' = —F(ip(t)) = f((p(t))cp'(t)
KÁ L
Odtud: ff(<p(t))<S(t)ät = F(<p(t))
Použití vzorce:     1.   Výpočet integrálu f f((p(x))(p'(x)dx
Substituční metoda
F' = f,    F = Jf
d
Derivace složené funkce: [F(<p(t))]' = —F(<p(t)) = f(<p(t))cp'(t)
(A. v
Odtud:    f(<p(t))(f/(t)át = F(<p(t))
Použití vzorce:     1.   Výpočet integrálu J f((p(x))(pf(x)dx
substituce: tp(x) = s, dcp(x) = ip'(x)dx = ds
Substituční metoda
F' = f,    F = ff d
Derivace složené funkce: [F(<p(t))]' = —F(cp(t)) = f(ip(t))ip'(t)
Odtud:    f(<p(t))<p'(t)dt = F(<p(t))
Použití vzorce:     1.   Výpočet integrálu f f((p(x))(p'(x)dx
substituce: cp(x) = s, d(p(x) = (p,(x)dx = ds
f(<p(x))<f/(x)áx = í f(s)ds = F(s) = F(<p(x))
Substituční metoda
F' = f,    F = ff
d
Derivace složené funkce: [F(cp(t))]' = —F(cp(t)) = f(ip(t))ip'(t)
Odtud:    f(<p(t))<p'(t)dt = F(<p(t))
Použití vzorce:     1.   Výpočet integrálu f f((p(x))(p'(x)dx
substituce: ip(x) = s, dcp(x) = (p'(x)dx = ds
í f(<p(x))<p'(x)áx = j f(s)ás = F(s) = F(<p(x))
2.   Výpočet integrálu J f(x)dx
Substituční metoda
F' = f>    F = Jf
d
Derivace složené funkce: [F(<p(t))]' = —F((p(t)) = f((p(t))<p'(t)
Odtud:    f(<p(t))<p'(t)dt = F(<p(t))
Použití vzorce:     1.   Výpočet integrálu f f((p(x))(p'(x)dx
substituce: cp(x) = s, d(p(x) = (p,(x)dx = ds
f(ip(x))p'(x)dx = J f(s)ds = F(s)=F(<p(x))
2.   Výpočet integrálu J f(x)dx
substituce: x = ip(s), dx = d(p(s) = cp'(s)ds
7/14
Substituční metoda
F' = f,    F = Jf
d
Derivace složené funkce: [F(cp(t))]' = —F(cp(t)) = f(cp(t))cp'(t)
Odtud:    f(<p(t))<p'(t)dt = F(<p(t))
Použití vzorce:     1.   Výpočet integrálu J f((p(x))(pf(x)dx
substituce: cp(x) = s, dcp(x) = cp'(x)dx = ds
f(<p(x))(p'(x)áx = í f(s)ds = F(s) = F(tp(x))
2.   Výpočet integrálu J f(x)dx
substituce: x = cp(s), dx = dcp(s) = cp'(s)ds
f(x)dx = f f(<p(s))<p'(s)ás = F((p(s)) = F(x)
7/14
Substituční metoda
Příklady:
Substituční metoda
Příklady:
(Inx)2
áx
x
Substituční metoda
Příklady:
(Inx)2
áx
x
substituce: hix = s, — áx = ás
x
Substituční metoda
Příklady:
^nX/l áx = Js2ás = |s3 = |(lnx)3 substituce: lnx = s, — áx = ds
Substituční metoda
Příklady:
^-^—dx = J s2ds = |s3 = |(lnx)3
substituce: lnx = s, — dx = ds
x
Substituční metoda
Příklady:
^nX/l dx = Js2ds = |s3 = |(lnx)3 substituce: lnx = s, — dx = ds
xex dx = -| / 2xex dx
Substituční metoda
Příklady:
^nX/l dx = Js2ds = |s3 = |(lnx)3 substituce: lnx = s, — dx = ds
xex dx = -| / 2xex dx
substituce: x2 = 8, 2xdx = ds
Substituční metoda
Příklady:
^nX/l dx = Js2ds = |s3 = |(lnx)3 substituce: lnx = s, — dx = ds
xex dx = -| / 2xex dx = ^ I esds = ^
substituce: x2 = 8, 2xdx = ds
Substituční metoda
Příklady:
^nX/l áx = Js2ás = |s3 = |(lnx)3 substituce: lnx = s, — áx = ds
xex áx = \ I 2xex áx = \ I esás = ^
substituce: x2 = 8, 2xdx = ás
x3 + x
—:-dx
x4 + 1
Substituční metoda
Příklady:
^nx) áx = Js2ds = |s3 = |(lnx)3
substituce: lnx = s, — áx = ás
x
xex áx = \ I 2xex áx = \ I esás = ^es
substituce: x2 = s, 2xdx = ás
x3 + x        1 í 4x3 1 í 2x
Substituční metoda
Příklady:
^nX/l áx = Js2ás = |s3 = |(lnx)3 substituce: lnx = s, — áx = ds
xex áx = \ I 2xex áx = \ I esás = ^
substituce: x2 = 8, 2xdx = ás
x3 -\- x        x [ 4x3
XA + 1 4 / X4 + 1
substituce 1: x4 + 1 = 8, 4x3dx = ds
Substituční metoda
Příklady:
^nX/l dx = Js2ds = |s3 = |(lnx)3 substituce: lnx = s, — dx = ds
xex dx = -| / 2xex dx = ^ I esds = ^es
substituce: x2 = 8, 2xdx = ds
x3 -\- x        x [ 4x3
X4 + 1 4 / X4 + 1
i In
substituce 1: x4 + 1 = 8, 4x3dx = ds
Substituční metoda
Příklady:
^—-—^-dx = J s2ds = |s3 = |(lnx)3
substituce: lnx = s, — dx = ds
x
xex dx = \ I 2xex dx = \ I esds = -|es
substituce: x2 = 8, 2xdx = ds
x3+x        x í 4x3 1 í 2x
i In
substituce 1: x4 + 1 = s, 4x3dx = ds substituce 2: x2 =    2xdx = dí
Substituční metoda
Příklady:
^nx) dx = Js2ds = |s3 = |(lnx)3
substituce: lnx = s, — dx = ds
x
xex dx = \ I 2xex dx = \ I esds = -|es
substituce: x2 = s, 2xcLr = ds
x3+x        1 í 4x3 1 í 2x
i In
substituce 1: x4 + 1 = s, 4x3dx = ds substituce 2: x2 =    2xdx = dt
Substituční metoda
Příklady:
^—-—^-dx = J s2ds = |s3 = |(lnx)3
substituce: lnx = s, — dx = ds
x
^d, = l/2^d,= l/eMS=K=^ substituce: x2 = 8, 2xdx = ds
x3 + x n       , í 4x3   l      , f   2x    1      , fl 1      i /*   1 n
—:-dx = t / —:-dx + £ / —:-dx = 4 / -ds + £ / —-dt =
x4 + l 47x4 + l        27x4 + l        47 s        2J t2 + l
= | ln |s| + \ arctgt = \ ln(x4 + 1) + \ arctgx2
substituce 1: x4 + 1 = s, 4x3dx = ds substituce 2: x2 =    2xdx = dt
7/
Substituční metoda
Příklady:
f 1 — hx \ -dx
J 3 — bx
Substituční metoda
Příklady:
f 1-bx 1       f 3 - bx - 2 l       t l     n f    1     l            J   -5 1 / -áx = / -áx = / láx — 21 -áx = x + f / -d.x
J 3 — bx        J     3 — bx J J 3 — bx 0 J 3 — bx
Substituční metoda
Příklady:
f 1-bx 1       f 3 - bx - 2 l       /\ l     n f    1     l            J   -5 1 / -áx = / -áx = / láx — 21 -áx = x + f / -d.x
J 3 — bx        J     3 — bx J J 3 — bx 0 J 3 — bx
substituce: 3 — bx = s, —5dx = ds
Substituční metoda
Příklady:
1 — bx 3 — bx
áx
3 - hx - 2 3 — bx
áx
láx - 2
1 f —5
-áx = x + | / -dx=
3 — 5x 0 / 3 — 5x
= x + | / -ds = x+ |ln 8 = x + |ln 3 - - 5x
8
substituce: 3 — hx = s, —5dx = ds
Substituční metoda
Příklady:
1 — bx 3 — bx
dx
3 - bx - 2 3 — bx
dx
ldx - 2
1 f —5
-dx = x + I / -dx=
3 — 5x 0 / 3 — 5x
= x + | / -ds = x + | ln s = x + | ln 3 - - 5x
substituce: 3 — bx = 8, —5dx = ds
(sinx)2dx
Substituční metoda
Příklady:
1 — bx 3 — bx
dx
3-bx-2 3 — bx
dx
ldx - 2
1 f —5
-dx = x + \ / -dx-
3 — bx 0 / 3 — bx
= x + | / - cis = x+ |ln s = x + |ln 3--5x
substituce: 3 — bx = 8, — 5cLr = ds
(smx)2dx
1 — cos 2x
dx
-dx 2
I, / cos2xdx
2 3^    2 / cos 2xd.x
Substituční metoda
Příklady:
1 — bx 3 — bx
dx
3 - bx - 2 3 — bx
dx =    ldx — 2
1 f —5
-dx = x + I / -dx=
3 — 5x 0 / 3 — 5x
= x + | / -ds = x+ |ln s = x + |ln 3 - - 5x
substituce: 3 — bx = 8, —5dx = ds
(sinx)2dx
1 — cos 2x
dx
-dx — \ l cos2xdx = 7}X — 7) / cos2xdx
substituce: 2x = s, 2dx = ds, dx = |ds
Substituční metoda
Příklady:
1 - 5x n       f 3 - 5x - 2 l t l     n f    1     l J   -5 1
-dx = / -dx = / ldx — 21 -dx = x + f / -dx=
3 — 5x        /     3 — 5x / / 3 — 5x 0 / 3 — 5x
1
= x + i I -ds = x + | ln s = x + # ln 3 — 5.x
5 I   s 5
2
5
substituce: 3 — 5x = s, —5dx = ds
/* 1 — cos 2x [1 f f
(sinx)2dx = /---dx = / -dx — \ \ cos2xdx = \x — \ \ cos2xdx=
— \x~\ J cos s<^s — \x~\ sin s = \x ~ \ sm 2x= \ (x — sin x cos x) substituce: 2x = s, 2dx = ds, dx = |ds
7/
Substituční metoda
Příklady:
JVr2 — x2 áx
Substituční metoda
Příklady:
r2 — x2 dx
substituce: x = rcoss, dx = —rsinsds
yV2 — (r cos s)2 = ^jr2 (l — (cos s)2) = r sin 8
7/14
Substituční metoda
Příklady:
r2 — x2 áx
r2 J (sins)2ds = \r2 (sin s cos s — s)
substituce: x = rcoss, áx = —rsinsds
yV2 — (r cos s)2 = ^jr2 (l — (cos s)2) = r sin 8
7/14
Substituční metoda
Příklady:
r2 — x2 áx
r2 J (sins)2ds = \r2 (sin s cos s — s)
substituce: x = rcoss, áx = —rsinsds
yV2 — (r cos s)2 = ^/r2 (l — (cos s)2) = r sin 8
s = arccos —, sins = Wl - -
r V       V r J r
Substituční metoda
Příklady:
JVr2 — x2 dx = — r2 J(sins)2ds = \r2(sin s cos s — s)
* / ry* 2 _ ry* 2   /-v* /-v* |
= ---arccos —    = %xyrÁ — xz — ±r arccos —
£ 1 ry* ry* T*    \ T*
substituce: x = rcoss, dx = —rsinsds
yV2 — (r cos s)2 = ^/r2 (l — (cos s)2) = r sin 8
x /      /x\2     \/r* — x
s = arccos —, sin 8 = \ 1 — —
r V       V r / r
7/14
Substituční metoda
Příklady:
rx
l + xfx
dx
Substituční metoda
Příklady:
rx
l + xfx
dx
substituce: x = s2, dx = 2sds
Substituční metoda
Příklady:
1 + \[x
dx
1 + s
2sds
1 + s
■ds
1 + 1
s + 1
ds
2s - 2 + 2
s + 1
ds = s2 - 2s + 2 ln |s + 1| = x - - 2-^/5 + ln (1 + V^)'
substituce: x = s2, dx = 2sds
7/
Substituční metoda
Lineární substituce:
//(ax + 6)dx
Substituční metoda
Lineární substituce:
f(ax + b)dx
1
substituce: ax -\-b = s, adx = ds, dx = —ds
a
Substituční metoda
Lineární substituce:
J f(ax + b)dx = - J f(s)ds
1
substituce: ax -\-b = s, adx = ds, dx = —ds
a
Substituční metoda
Lineární substituce:
/f(ax + b)dx = —F(ax + b) a
Substituční metoda
Lineární substituce:
/f(ax + b)dx = —F(ax + b) a
Logaritmická substituce:
fix)
Substituční metoda
Lineární substituce:
/f(ax + b)dx = —F(ax + b) a
Logaritmická substituce:
áx
substituce: ln|/(#)| = s,
f'(x)dx = ds
Substituční metoda
Lineární substituce:
/f(ax + b)dx = —F(ax + b) a
Logaritmická substituce:
fix)
dx =
J ds = s = In f (x)
substituce: ln|/(#)| = s,
f'{x)dx = ds
Substituční metoda
Lineární substituce:
/f(ax + b)dx = —F(ax + b) a
Logaritmická substituce:
Integrace „per partes"
8/
Integrace „per partes"
Derivace součinu funkcí:
(u(x)v(x))' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x),
Integrace „per partes
li
Derivace součinu funkcí:
odtud
(u(x)v(x))' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) u{x)v'(x) = (u(x)v(x))' — u/(x)v(x)
Integrace „per partes
li
Derivace součinu funkcí:
odtud
tedy
(u(x)v(x))' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x). u(x)vf(x) = (u(x)v(x)y — uf (x)v(x)
u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) — / v!(x)v(x)dx
Integrace „per partes
li
u(x)v' (x)dx = u(x)v(x)
Příklady:
Integrace „per partes
li
u{x)v'\x)dx = u(x)v(x) — / u'(x)v(x)dx
Příklady:
J(2- 3x)e1~xdx
Integrace „per partes"
Ju(xW(x)äx = u(xHx)-Příklady:
J (2- 3x)e1~xdx
u = 2 — 3 x
Integrace „per partes"
Ju{X)Ax)áx = u{xHx)-Příklady:
J (2- 3x)e1~xdx
u = 2 — 3 x   u' = —3
Integrace „per partes
u{x)v'\x)dx = u(x)v(x) — / u'(x)v(x)dx
Příklady:
J(2- 3x)e1~xdx = -(2 - S^e1"* - J3el~xdx = (3x - 2)e
u = 2 — 3x   v! = —3 i/ = e1_x     v = —e1_x
1_a; + 3e1"a; =
= (3x + l)e1-ÍE
Integrace „per partes
li
u{x)v'\x)dx = u(x)v(x) — / u'(x)v(x)dx
Příklady:
J(2- 3x)e1~xdx = -(2 - S^e1"* - J3el~xdx = (3x - 2)e1~x + Ze1^ =
= (3x + l)e1-ÍE
Integrace „per partes
u{x)v'\x)dx = u(x)v(x) — / u'(x)v(x)dx
Příklady:
J(2- 3x)e1~xdx = -(2 - S^e1"* - J3el~xdx = (3x - 2)e
+ 3e1"a; = = (3x + l)e1-ÍE
lnxdx
1
u = lnx    u' = — ?/ = 1      ^ = x
Integrace „per partes
li
u{x)v'\x)dx = u(x)v(x) — / u'(x)v(x)dx
Příklady:
J(2- 3x)e1~xdx = -(2 - S^e1"* - J3el~xdx = (3x - 2)e1~x + Se1"* =
= (3x + l)e1-ÍE
ln xdx = x In x —
u = ln x u' = — ?/ = 1       v = X
/ldx = xln,-,= ,(ln,-l)
Integrace „per partes
li
u{x)v'\x)dx = u(x)v(x) — / u'(x)v(x)dx
Příklady:
J(2- 3x)e1~xdx = -(2 - S^e1"* - J3el~xdx = (3x - 2)e1~x + Ze1^ =
= (3x + l)e1-ÍE
/ln,dx = xln,-/ldx = xln,-,= ,(ln,-l)
x2 cos x dx
Integrace „per partes
li
u{x)v'\x)dx = u(x)v(x) — / u'(x)v(x)dx
Příklady:
J(2- 3x)e1~xdx = -(2 - S^e1"* - J3el~xdx = (3x - 2)e1~x + Se1"* =
= (3x + l)e1-ÍE
/ln,dx = xln,-/ldx = xln,-,= ,(ln,-l)
I
x2 cos x dx
u = x2        u' = 2x v' = cosx   v = sinx
8/14
Integrace „per partes
li
u{x)v'\x)dx = u(x)v(x) — / u'(x)v(x)dx
Příklady:
J(2- 3x)e1~xdx = -(2 - S^e1"* - J3el~xdx = (3x - 2)e1~x + Se1"* =
= (3x + l)e1-ÍE
/ln,dx = xln,-/ldx = xln,-,= ,(ln,-l) x2 cos x dx = x2 sin x — 2 f x sin x dx
u = x2        u' = 2x v' = cosx   v = sinx
8/14
Integrace „per partes
li
u{x)v'\x)dx = u(x)v(x) — / u'(x)v(x)dx
Příklady:
J(2- 3x)e1~xdx = -(2 - S^e1"* - J3el~xdx = (3x - 2)e1~x + Ze1^ =
= (3x + l)e1-ÍE
/ln,dx = xln,-/ldx = xln,-,= ,(ln,-l) x2 cos xdx = x2 sin x — 2 f x sin x dx
2/ = .X
v! = 1
ir = sin x   v = — cos x
8/14
Integrace „per partes
li
u{x)v'\x)dx = u(x)v(x) — / u'(x)v(x)dx
Příklady:
J(2- 3x)e1~xdx = -(2 - S^e1"* - J3el~xdx = (3x - 2)e1~x + Se1"* =
= (3x + l)e1-ÍE
/ln,dx = xln,-/ldx = xln,-,= ,(ln,-l)
x2 cos xdx = x2 sin x — 2 f x sin x dx = x2 sin x — 2 ( —x cos x -\- I cos x dx
2/ = .X
v! = 1
ir = sin x   v = — cos x
8/14
Integrace „per partes
li
u{x)v'\x)dx = u(x)v(x) — / u'(x)v(x)dx
Příklady:
J(2- 3x)e1~xdx = -(2 - S^e1"* - J3el~xdx = (3x - 2)e1~x + Se1"* =
= (3x + l)e1-ÍE
/ln,dx = xln,-/ldx = xln,-,= ,(ln,-l)
x2 cos xdx = x2 sin x — 2 j x sin x dx = x2 sin x — 2 y—x cos x + j cos x dx J =
= x2 sin x + 2x cos x — 2 sin x = {x2 — 2) sin x -\- 2x cos x
8/14
Příklady
9/
Příklady
Příklady
o
Jb   \ Ju
X'
áx =    x2+2 5áx = Ix 2áx
6
x
3 2
3~
2
3 \/~X3
7ex - - 1 cb
Příklady
Příklady
Příklady
o
Jb   \ Ju
X'
dx
6
x
2+^-5
dx
x 2dx
x
7ex--I dx = 7ex - 6 ln
x
x
7ex — ln x
3 2
3~
2
6
3 Vx3
(cotg x)2 dx =
/cosx\2 í 1 — sinx
- dx = / —;-——dx
V sin x J
(sinx):
(sinx):
— 1J dx = = — cotg x — x
Příklady
o
Jb     \ Jb
X'
dx
6
x
2+2 5dx =    x *dx
7ex--I dx = 7ex — 6 ln x = 7ex — ln x
x
_ 3 X 2
3 2
,6
3 \/x~š
(cotg x)2 dx =
/cosx\2 í 1 — sinx
- )   c1.t =   / -;-——dx
V sin x J
(sinx):
(sinx):
— 1J dx = = — cotg x — x
X'
\J\ — X2
dx
Příklady
o
Jb   \ Ju
X'
dx
6
x
2+^-5
dx
x 2dx
x
7ex--I dx = 7ex - 6 ln
x
(cotg x)2 dx =
\/l — x2
dx
x
7ex — ln x
3 2
3~
2
6
3 \/x3
V sin x /
1 — (sinx)' (sinx)2
dx =
(sinx):
— 1J dx = = — cotg x — x
1 + x2 - 1 \/l — x2
dx
\/l — x2
dx
\/l — x2dx
arccosx — \x\f\
x2 + | arccos x
| (arccos x + x\A — ^2)
Příklady
o
Jb   \ Ju
X'
dx
6
x
2+2 5dx =    x *dx
x
3 2
7ex--I dx = 7ex - 6 ln
x
x
3 2
6
3 \/x~š
(cotg x)2 dx =
\/l — x2
dx
V sin x J
7ex — ln x
1 — (sinx)'
(sinx):
dx =
(sinx):
— 1 j dx = = — cotg x — x
1 + x2 - 1 Vl — a?2
dx
\/l — a?2
dx —    \/l — x2dx
arccosx — \x\f\
x2 + | arccos x
| (arccos x + x\A — ^2)
3e xdx
9/14
Příklady
o
Jb   \ Ju
X'
áx
6
x
2+2 5áx =    x *dx
x
3 2
7ex--I áx = 7ex - 6 ln
x
x
7ex — ln x
3 2
6
3
(cotg x)2 dx =
V sin x /
1 — (sinx)' (sinx)2
áx =
(sinx):
— 1 j áx = = — cotg x — x
X'
\J\ — X2
áx
1 + x2 - 1 Vl — x2
áx
\/l — x2
áx — i \/l — x2áx
arccosx — \x\f\
x2 + | arccos x
| (arccos x + x\A — ^2)
3e   áx = —3e
9/14
Příklady
o
Jb   \ Ju
X'
dx
6
x
2+2 5dx =    x *dx
x
3 2
7ex--I dx = 7ex - 6 ln
x
x
7ex — ln x
3 2
6
3
(cotg x)2 dx =
V sin x /
1 — (sinx)' (sinx)2
dx =
(sinx):
— 1J dx = = — cotg x — x
X'
\J\ — X2
dx
1 + x2 - 1 Vl — a?2
dx
Vl — x2
dx — i \/l — x2dx
arccosx — \x\f\
x2 + | arccos x
| (arccos x + x\A — x2)
3e   dx = —3e
X
(3x - 7)14dx
9/14
Příklady
o
Jb   \ Ju
dx
6
x
2+2 5dx =    x *dx
x
3 2
7ex--I dx = 7ex — 6 ln x = 7ex — In x
3 2
,6
3
(cotg x)2 dx =
V sin x /
1 — (sinx)'
(sinx):
dx =
(sinx):
— 1J dx = = — cotg x — x
X'
\/l — X2
dx
1 + x2 - 1 \/l — x2
dx
dx —    \/l — x2dx
arccosx — \x\f\
x2 + | arccos x
| (arccos x + x\A — ^2)
3e   dx = —3e
X
(3x - 7)14dx
1 (3x-7)15 _ (3x- 7)15 3      15      ~ ~45~
9/14
Příklady
9/
Příklady
X
x2 — 1
■dx
1
2
2x
x2 — 1
■dx
Příklady
x f 2x
substituce: x2 — 1 = s, 2xdx = ds
Příklady
x f 2x
substituce: x2 — 1 = s, 2xdx
Příklady
x f 2x
substituce: x2 — 1 = s, 2xdx
tgxáx
Příklady
X 1 /*
x2 — 1 2 J x2 — 1
substituce: x2 — 1 = s, 2xdx
. smx
tgxdx = / -dx
cosx
Příklady
x               f   2x f 1
dx = i / —-dx = i / —ds
x2 — 1 2 J x2 — 1        2J s
substituce: x2 — 1 = s, 2xdx = ds
.        / smx
tgxdx = / -dx
J cosx
.   .       . - sin x 1
substituce: In cosx = s, -dx =
cosx
Příklady
x f   2x f 1
dx = i / —-dx = \ l -ds = 7T ln
x2 — 1 2J x2 — 1        2j s 2
substituce: x2 — 1 = s, 2xdx = ds
sinx l /
tg xdx = / -dx = — / ds = —s = - m
J cos x J
.   .       . - sin x
substituce: ln cosx = s, -dx = ds
cosx
cosx
Příklady
x   ^ _ i
x2 — 1 2 / x2 — 1
'T   dx =    f -ds = | ln
ar
substituce: x2 — 1 = s, 2xdx = ds
tgxdx
sin ./•
d.x = — / ds = —s = - - ln
cosx
cosx
substituce: ln
cosx
— srn x
= s, -dx = ds
cosx
smx
:dx
cosx
9/1
Příklady
x   ^ _ i
x2 — 1 2 / x2 — 1
'T   dx =    f -ds = | ln
ar
substituce: x2 — 1 = s, 2xdx = ds
tgxdx
sin ./•
dx = — / ds = —s = - - ln
cosx
cosx
substituce: ln
cosx
— srn x
= s, -dx = ds
cosx
smx
dx
cosx
substituce: 2 + cosx = s, — sinxdx = ds
Příklady
X
x2 - 1áX 2
2x
X'
—dx = \ J -ds = | In \s\ = ln
x2 — 1
substituce: x2 — 1 = s, 2xdx = ds
tgxdx
smx
dx
cosx
substituce: ln
cosx
ds = —s = - ln
— sin x
s, -dx = ds
cosx
cosx
smx
dx = —
cosx
ds
s 2 ds
1
2
= -2>/š = -2V/2T
cos X
substituce: 2 + cosx = s, — sinxdx = ds
Příklady
x
1
x2-ldX~ 2
2x x2 — 1
■dx
-ds = | ln |s| = ln
ar
substituce: x2 — 1 = s, 2xdx = ds
. smx tgxdx = / -dx
cosx
substituce: ln
cosx
= — J ds = — s = — ln
— sin x
= 5, -dx = ds
cosx
cosx
smx
dx
cosx
ds
s 2 ds
1
S2
2
■2^ = -2V/2T
cosx
substituce: 2 + cosx = s, — sinxdx = ds
3x
dx
Příklady
x
1
x2-ldX~ 2
2x x2 — 1
■áx
—ds = -kin
X'
substituce: x2 — 1 = s, 2xdx = ds
. smx tgxdx = / -dx
cos x
substituce: ln
cos x
= — J ds = — 8 = — ln
— sin x = 8, -dx = ds
cos x
cos x
smx
dx
cosx
ds
s 2ds
1
2
■2^ = -2V/2T
cosx
substituce: 2 + cosx = s, — sinxdx = ds
3x
ÁX
substituce: ex — 1 = s, exdx = ds
9/14
Příklady
x
x2 — 1
dx
1
2
0 —dx = h f -ds = ^ ln x2 — 1 s z
ln/
substituce: x2 — 1 = s, 2xdx = ds
. smx tgxdx = / -dx
cos x
substituce: ln
cos x
= — J ds = —s = — ln
— sin x = 8, -dx = ds
cos x
cos x
smx
dx
cos x
ds
s 2 ds
1
2
■2^ = -2V/2T
cos x
substituce: 2 + cos x = s, — smxdx = ds
3x
dx =
3 + 1
ds =
i      _ i
S2 + 8 2
ds =
3
2
1
S2
+ -r- =
1
2
substituce: ex — 1 = s, exdx = ds
§S*(S + 3) = = l^e^Tíe* + 2)
9/
Příklady
Příklady
u = x3 v! = 3.x2 i/ = ex'    i? = ex'
Příklady
x 6 dx — x 6     3 / x 6 dx
,3 nx
2x
u = x3    v! = 3.x2
i/ = ex'
v = e
x
Příklady
x 6 dx — x 6     3 / x 6 dx
,3 „x
2 x
u = x2    u' = 2x
v' = ex'
v = e
x
Příklady
x3exdx = xúex - 3 / xÁexdx = xúex - 3 ( xÁex - 2 / xexdx
,3 nx
,2x
3 nx
,2x
= x3ex - 3xzex + 6 / xexdx
,2x
u
= x2    v! = 2x
v' = ex    v = ex
Příklady
x3exdx = xúex - 3 / xÁexdx = xúex - 3 ( xÁex - 2 / xexdx
,3 nx
,2x
3 nx
,2x
= x3ex - 3x2ex + 6 / xexdx
u = x
v! = 1
vf = ex    v = ex
Příklady
= x3ex - 3x2ex + 6 ^ xe^dx = x3ex - 3x2ex + 6 (xex - ex) =
u = x
v! = 1
(x3 — 3x2 + 6x — 6)
i/ = ex'    i? = ex'
9/14
Příklady
= x3ex - 3x2ex + 6 ^ xe^dx = x3ex - 3x2ex + 6 (xex - ex) =
[x3 — 3x2 + 6x — 6)
x ln x dx
9/14
Příklady
= x3ex - 3x2ex + 6 J xexdx = x3ex - 3x2ex + 6 (xex - ex) =
= {x3 — 3x2 + 6x
,3 „x
,2 x
3 nx
,2x
x ln x dx
u = ln x    v! = —
/ 2 1 S
i;  = .X        V = ^.T
Příklady
= x3ex - 3x2ex + 6 J xexdx = x3ex - 3x2ex + 6 (xex - ex) =
= {x3 — 3x2 + 6x
,3 „x
,2 x
3 nx
,2x
x2 \nxdx = |x3lnx
| / x2dx = |x3 lnx — |x3 = ^x3 (\nx3 — l)
2/ = ln x    v! = —
/ 2
ir = X
x
i s v = 77.x
Příklady
= x3ex - 3x2ex + 6 ^ xe^dx = x3ex - 3x2ex + 6 (xex - ex) =
[x3 — 3x2 + 6x — 6)
x2 ln x dx = |x3 ln x — | Jx2dx = |x3 ln x — |x3 = |x3 (ln x3 — l)
I =    sin ln x dx
9/14
Příklady
= x3ex - 3x2ex + 6 ^ xe-Mx = x3ex - 3x2ex + 6 (xex - ex) =
= (x3 — 3x2 + 6x
x2 ln x dx = |x3 ln x — | Jx2dx = |x3 ln x — |x3 = |x3 (ln x3 — l)
I =    sin ln x dx
i£ = sin ln x    u' = — cos ln x
x
v7 = 1 V = X
Příklady
xúexdx = x*ex - 3 J xzexdx = x*ex - 3 \^xzex - 2 J xex'dxj =
= x3ex - 3x2ex + 6 j xexdx = x3ex - 3xV + 6 (xex - ex) =
= (x3 — 3x2 + 6x
x2 lnxdx = |x3 \nx - \ Jx2dx = \x3 lnx - \x3 = \x3 (lnx3 - l)
1=1 sin ln x dx = x sin ln x — / cos ln x dx
i£ = sin ln x i/ = l
v! = — cos ln x
x
v = x
Příklady
= x3ex - 3x2ex + 6 J xexdx = x3ex - 3x2ex + 6 (xex - ex) =
= {x3 — 3x2 + 6x
x2 Inxdx = |x3 ln x — | Jx2dx = |x3 ln x — |x3 = |x3 (ln x3 — l)
I =    sin ln x dx = x sin ln x — / cos ln x dx
u = cos ln x    v! =--sin ln x
x
v' = 1 v = x
Příklady
= x3ex - 3x2ex + 6 J xexdx = x3ex - 3x2ex + 6 (xex - ex) =
(x3 — 3x2 + 6x — 6)
x2 ln x dx = |x3 ln x — | Jx2dx = |x3 ln x — |x3 = |x3 (ln x3 — l)
I =    sin ln x dx = x sin ln x — / cos ln x dx
= x sin ln x — (x cos ln x + / sin ln x dx ) = x sin ln x — x cos ln x — I
u = cos ln x    v! =--sin ln x
x
v7 = 1 v = x
9/14
S1
CL
to
u i—i •
P
ET
o o
U
ET
O
Q_
r+
Q_
bO 11-
'u
I—1 •
p Er
o
u
5"
o o
I—1 •
p
Ul I—1 •
p p
O
O
Ul
P
u
h-1 •
P
ET
	
*	II
P	
P	U I—1 •
	p p
o o
u
p
to
p
colt-1 co P
ech
co
P
co
co
P
co
CD
CD
CD
co
CD
00
to
■o
Q.
Příklady
e^dx
9/
Příklady
e^áx
substituce: x = ť2, áx = 2tát
9/1
Příklady
e^dx = 2 tédt
substituce: x = ť2, dx = 2tát
Příklady
e^dx = 2 tédt
Příklady
e^dx = 2 1 tetdt= 2 (té - /e*dt) = 2(t - l)e*
u v'
w
v
1
Příklady
substituce: x = ť2, dx = 2tdt
Příklady
e^dx = 2 1 tetdt= 2 (té - / e*dt) = 2(t - l)eť = 2 (y/x - 1)
substituce: x = ť2, dx = 2tdt
u = t
v' = eř    v =
9/1
Úvod
Neurčitý integráI
Určitý integrál a jeho užití
Definice a základní vlastnosti
Obsah obrazce
Délka rovinné křivky
Objem tělesa (exhaustivní metoda)
Určitý integrál a jeho užití
Definice a základní vlastnosti
Nechť / je spojitá funkce na (a, b) a F je funkce primitivní k /,
F'(x) = f(x) pro všechna x G (a, 6).
Definice a základní vlastnosti
Nechť / je spojitá funkce na (a, b) a F je funkce primitivní k /,
F'(x) = f (x) pro všechna x G (a, 6).
Newtonův určitý integrál z funkce f v mezích od a do b je definován jako
b
J f(x)dx = F (b) - F (a)
a
Definice a základní vlastnosti
Nechť / je spojitá funkce na (a, b) a F je funkce primitivní k /,
F'(x) = f(x) pro všechna x G (a, 6).
Newtonův určitý integrál z funkce f v mezích od a do b je definován jako
o
J f(x)dx = F(b) - F (a)
a
Označení: F(b) - F (a) = \F(x)
x=a
Definice a základní vlastnosti
Nechť / je spojitá funkce na (a, b) a F je funkce primitivní k /,
F'(x) = f(x) pro všechna x G (a, 6).
Newtonův určitý integrál z funkce f v mezích od a do b je definován jako
o
J f(x)dx = F(b) - F (a)
a
Označení: F(b) - F (a) = \F(x)
x=a
F(x)
a
Definice a základní vlastnosti
Nechť / je spojitá funkce na (a, b) a F je funkce primitivní k /,
F'(x) = f(x) pro všechna x G (a, 6).
Newtonův určitý integrál z funkce f v mezích od a do b je definován jako
f(x)dx = F(b) - F (a) = \F(x)
a
a
Označení: F(b) - F (a) = \F(x)
x=a
F(x)
a
Definice a základní vlastnosti
f(x)dx = F(b) - F (a) = \F(x)
a
a
Definice a základní vlastnosti
f(x)dx = F(b) - F (a) = F(x)ib
a
a
a b a
• I f(x)dx = 0, J f(x)dx = — J f(x)dx
a a b
Definice a základní vlastnosti
f(x)dx = F(b) - F (a) = \F(x)
a
a
a
a
J f(x)dx = 0, J f(x)dx = — J f(x)dx
b
a
a
Linearita vzhledem k integrované funkci:
Definice a základní vlastnosti
f(x)dx = F(b) - F (a) = \F(x)
a
a
a
a
J f{x)dx = 0, J f(x)dx = — J f(x)dx
b
a
a
Linearita vzhledem k integrované funkci:
b b b
aditivita: J (f(x)-\-g(x)}dx = J f(x)dx-\- J(x)dx
a
a
a
Definice a základní vlastnosti
f(x)dx = F(b) - F (a) = \F(x)
a
a
a
a
J f(x)dx = 0, J f(x)dx = — J f(x)dx
b
a
a
Linearita vzhledem k integrované funkci:
b b b
aditivita: J (f(x)-\-g(x)}dx = J f(x)dx-\- J(x)dx
a
a
a
b b
homogenita: J cf(x)dx = c J f(x)dx
a a
Definice a základní vlastnosti
f(x)dx = F(b) - F (a) = \F(x)
a
a
a
a
J f(x)dx = 0, J f(x)dx = — J f(x)dx
b
a
a
Linearita vzhledem k integrované funkci:
b b b
aditivita: J (f(x)-\-g(x)}dx = J f(x)dx-\- J(x)dx
a
a
a
b b
homogenita: J cf(x)dx = c J f(x)dx
a a
Aditivita vzhledem k integračnímu oboru:
b c b
c G (a, b) =>- J f(x)dx = J f{x)dxJr J f(x)dx
a a c
Definice a základní vlastnosti
f(x)dx = F(b) - F (a) = \F(x)
a
a
Integrace „per partes" pro určité integrály:
b b
J u(x)v' (x)dx = u (x) v (x)    — J u' (x)v(x)dx
a
a
Definice a základní vlastnosti
f(x)dx = F(b) - F (a) = \F(x)
a
a
Integrace „per partes" pro určité integrály:
b b
J u(x)v' (x)dx = u (x) v (x)    — J u' (x)v(x)dx
a
a
Substituční metoda pro určité integrály:
b <p(b)
f f((p(x))(p'(x)dx = J f(s)ds
(p{a)
substituce: cp(x) = s, cp'(x)dx = ds
a
Definice a základní vlastnosti
f(x)dx = F(b) - F (a) = \F(x)
a
a
Integrace „per partes" pro určité integrály:
b b
J u(x)v' (x)dx = u (x) v (x)    — J u' (x)v(x)dx
a
a
Substituční metoda pro určité integrály:
b <p(b)
f f((p(x))(p'(x)dx = J f(s)ds
(p{a)
substituce: cp(x) = s, cp'(x)dx = ds
a
b f'1 {b)
Jf(x)dx=   J f(<p(s))<p'(s)ds
substituce: x = cp(s), tj. ip~1{x) = s, cp'(x)dx = ds
11 / 14
Obsah obrazce
Obrazec ohraničený osou x, přímkami x = a, x = b (a < b) a grafem spojité funkce / definované na intervalu (a, b).
s
a
b x
12 / 14
Obsah obrazce
Obrazec ohraničený osou x, přímkami x — a, x — b (a < b) a grafem spojité funkce / definované na intervalu (a, b).
b — d
n G N, položíme Ax —- a X{ — a + iAx, i — 1, 2,..., n.
n
I     I     \Ax\     | | a   x\      ■■■     Xi ■■■ xn-i 5 x
12 / 14
Obsah obrazce
Obrazec ohraničený osou x, přímkami x — a, x — b (a < b) a grafem spojité funkce / definované na intervalu (a, b).
b — ci
n G N, položíme Ax —- a X{ — a + iAx, i — 1, 2,..., n. Pak je
n
n
1=1
|     |     [Ax]     | | a   a;i     • • •     xí ■■■ xn-i 5 a;
Obsah obrazce
Obrazec ohraničený osou x, přímkami x = a, x = b (a < b) a grafem spojité funkce / definované na intervalu (a, b).
b - Oj
n G N, položíme Ax =- a X{ — a + iAx, i = 1, 2,..., n. Pak je
n
n n \
S ~?  f(xi)Ax, lim y  f(xi)Ax = / f(x)dx
—J n—)>oo —J J
i=l i=l a
Xi  ■ ■ ■ Xn—i 5 x
12 / 14
Obsah obrazce
Obrazec ohraničený osou x, přímkami x = a, x = b (a < b) a grafem spojité funkce / definované na intervalu (a, b).
b - Oj
n G N, položíme Ax =- a X{ — a + iAx, i = 1, 2,..., n. Pak je
n
S ~/  f(xi)Ax,    lim y  f(xi)Ax = / f(x)dx1       S = / f(x)dx
—J n—)>oo —J J J
i=l i=l
f(Xi)									
						Ax			
a   x\      ■ ■ ■     Xi • • • xn—i i) x
12 / 14
Obsah obrazce
Obrazec ohraničený osou x, přímkami x = a, x = b (a < b) a grafem spojité funkce / definované na intervalu (a, b).
b
S — J f(x)dx
a
Příklady:
Obsah obrazce
Obrazec ohraničený osou x, přímkami x = a, x = b (a < b) a grafem spojité funkce / definované na intervalu (a, b).
b
S — J f(x)dx
a
Příklady: Vypočítejte obsah parabolické úseče, která má výšku v a délku základny a.
12 /
Obsah obrazce
Obrazec ohraničený osou x, přímkami x — a, x — b (a < b) a grafem spojité funkce / definované na intervalu (a, b).
b
S — J f(x)dx
a
Příklady: Vypočítejte obsah parabolické úseče, která má výšku v a délku základny a.
f (x) = v (1 - \x
Obsah obrazce
Obrazec ohraničený osou x, přímkami x — a, x — b (a < b) a grafem spojité funkce / definované na intervalu (a, b).
b
S — J f(x)dx
a
Příklady: Vypočítejte obsah parabolické úseče, která má výšku v a délku základny a.
f (x) = v (1 - -\x
a-
2
S= vil
4x2 ) dx
(ľ
íl
2
Obsah obrazce
Obrazec ohraničený osou x, přímkami x — a, x — b (a < b) a grafem spojité funkce / definované na intervalu (a, b).
b
S — J f(x)dx
a
Příklady: Vypočítejte obsah parabolické úseče, která má výšku v a délku základny a.
f (x) = v (1 - -\x
íl 2
S = vil
2 2
■^rx2 J áx — v í dx —%  í x2dx = v \x] š a--^
a2    J / or / L J ~ 2 or
x
íl
2
íl 2
2
2
(a     a\     Av f a ď
2
-va
Obsah obrazce
Obrazec ohraničený osou x, přímkami x = a, x = b (a < b) a grafem spojité funkce / definované na intervalu (a, b).
b
S — J f(x)dx
a
Příklady: Vypočítejte obsah elipsy s poloosami a a b.
12 /
Obsah obrazce
Obrazec ohraničený osou x, přímkami x = a, x = b (a < b) a grafem spojité funkce / definované na intervalu (a, b).
b
S — J f(x)dx
a
Příklady: Vypočítejte obsah elipsy s poloosami a a b.
2 2
x y
7?       T77 — 1
b2
y ■ b	
	
	Ja x
	
12 / 14
Obsah obrazce
Obrazec ohraničený osou x, přímkami x = a, x = b (a < b) a grafem spojité funkce / definované na intervalu (a, b).
b
S — J f(x)dx
a
Příklady: Vypočítejte obsah elipsy s poloosami a a b.
2 2
x y
7? ~~\~ T77 — 1
b2
-> y
b
a
— —y/a
2 _ 2
y ■ b	
	
	Ja x
	
12 / 14
Obsah obrazce
Obrazec ohraničený osou x, přímkami x = a, x = b (a < b) a grafem spojité funkce / definované na intervalu (a, b).
b
S — J f(x)dx
a
Příklady: Vypočítejte obsah elipsy s poloosami a a b.
2 2
x y
a* b2
a
+ £r = 1 y = -Va2-x2
a
S = 4 / — \Ja2 — x2 dx J a
o
y ■ b	
	
	Ja x
	
12 / 14
Obsah obrazce
Obrazec ohraničený osou x, přímkami x = a, x = b (a < b) a grafem spojité funkce / definované na intervalu (a, b).
b
S — J f(x)dx
a
Příklady: Vypočítejte obsah elipsy s poloosami a a b.
2       „.2 ^
a
x
a
y
2 ■ b2
a
+ f- = 1 y = -Va2-x2
TT
2
7T
2
S = 4 / —\fa2 — x2 dx — — í a(coss)2ds — 4a6 / Ja aj J
1 + cos 2s
ds —
o
o
o
2a6
sin s
_, 7T
2
J s = 0
— 7ra6
substituce: x = a sin s, dx = a cos s ds,   a2 — x2 — a2 (l — (sin s)2) = a2 (cos s)'
12 / 14
Délka rovinné křivky
Křivka je grafem spojité funkce na intervalu (a, b).
y
Délka rovinné křivky
Křivka je grafem spojité funkce na intervalu (a, b).
, 6 — a
n G N, položíme Ax = -, x o = a, xt = a + ^Ax,
n
As/* = f(xi+1) - f(xi), i = 1,2,... ,n.
13 / 14
Délka rovinné křivky
Křivka je grafem spojité funkce na intervalu (a, b)
n G N, položíme Ax
b — a
n
, xq = a, Xi = a + iAx,
Ayi = f(xi+1) - f(xi), i = 1,2,... ,n. Pak je
lim ^ =/'to), tedy ^1 «/'(*ť)
As^O Ax
n— 1
Ax
n— 1
i=0 n —1
i=()
Ax
n — 1
Ax ~ S V1 + (/'(^i))2^
lim V Jl + (f'(Xi))2Ax
i —Vrvn  r V
n—)-oo
1 + (f'(x))2dx,
i=0
a
13 / 14
Délka rovinné křivky
Křivka je grafem spojité funkce na intervalu (a, b)
n G N, položíme Ax
b — a
n
, xq = a, Xi = a + iAx,
Ayi = f(xi+1) - f(xi), i = 1,2,... ,n. Pak je
lim ^ =/'to), tedy ^1 «/'(*ť)
As^O Ax
Ax
n—l n—l    / / *     \ 2 n —1 y-
^^v/(Ax)2 + (Ayi)2 = ^Wl+ MM Ax « £ ^1 + (ffatfAx i=o i=o V       V     / i=0
i=0 n — l
lim ^ ^l + (f'(xi)fAx = í ^l + (f'(x))2dx, tedy
n—)-oo
i=0
a
ť = / y/l + (f'(x))2áx
a
13 / 14
Délka rovinné křivky
Křivka je grafem spojité funkce na intervalu (a, b). Její délka je dána integrálem
b
a
Délka rovinné křivky
Křivka je grafem spojité funkce na intervalu (a, b).
b
a
Příklad:
Délka rovinné křivky
Křivka je grafem spojité funkce na intervalu (a, b).
b
a
Příklad: Vypočítejte délku kružnice o poloměru r.
Délka rovinné křivky
Křivka je grafem spojité funkce na intervalu (a, b).
b
a
Příklad: Vypočítejte délku kružnice o poloměru r.
f(x) = Vr2 — x2
Délka rovinné křivky
Křivka je grafem spojité funkce na intervalu (a, b)
1 =
a
Příklad: Vypočítejte délku kružnice o poloměru r.
f(x) = V^^Š f'(x) = -ř^L=, (f(x)f = X
\/r2 — x2
iy* 2 _ rjQ 2
13 / 14
Délka rovinné křivky
Křivka je grafem spojité funkce na intervalu (a, b).
b
i = I ^l + (f'(x))2dx
a
Příklad: Vypočítejte délku kružnice o poloměru r.
f(x) = V^^, f'(x) = -ř^L=, (f(x)f = ^
J v2 — x2 t
2
r
^ = 4 / Jl +     T 9dx
ty* Zi _ QCi
0
Délka rovinné křivky
Křivka je grafem spojité funkce na intervalu (a, b)
b
Z = / y/l + (f'(x))2dx
a
Příklad: Vypočítejte délku kružnice o poloměru r.
f(X) = V^^, f'(X) =  7===, (f{x)ý = x2
\/r2 - x2 ' r
2
r
0 o
substituce: x = r sin s, dx = rcossds
Délka rovinné křivky
Křivka je grafem spojité funkce na intervalu (a, b)
1 =
a
Příklad: Vypočítejte délku kružnice o poloměru r.
f(x) = V^^,  f'(x) = -ř^L=,   (f(x)f :
\/r2 — x2
r
r
e = 4 / Ji +
r
dx = 4
r
o
o
\/r2 — x2
substituce: x = r sin s, dx = rcossds
X'
ty* 2 _ 2
7T
2
dx = 4 r
cos s
o
r^/l — (sins)2
ds
7T
2
4ry ds = 4r:| o
27rr
13 / 14
Objem tělesa (exhaustivní metoda)
Těleso umístěné v souřadné soustavě.
Objem tělesa (exhaustivní metoda)
Těleso umístěné v souřadné soustavě.
Uvažujeme jeho řezy rovinami kolmými k ose x, které jsou od sebe vzdáleny o Ax.
Objem tělesa (exhaustivní metoda)
Těleso umístěné v souřadné soustavě.
Uvažujeme jeho řezy rovinami kolmými k ose x, které jsou od sebe vzdáleny o
Nechť roviny protínají osu x v bodech xq = a, #1, #2, • • • ? xn = b.
Přitom Xi+i — Xi = Ax, celé těleso se nachází mezi 0-tou a n-tou rovinou.
Objem tělesa (exhaustivní metoda)
Těleso umístěné v souřadné soustavě.
Uvažujeme jeho řezy rovinami kolmými k ose x, které jsou od sebe vzdáleny o
Nechť roviny protínají osu x v bodech xq = a, #1, #2, • • • ? xn = b.
Přitom Xi+i — Xi = Ax, celé těleso se nachází mezi 0-tou a n-tou rovinou.
Obsah řezu (průniku) tělesa i-tou rovinou označíme S(xí).
Objem tělesa (exhaustivní metoda)
Těleso umístěné v souřadné soustavě.
Uvažujeme jeho řezy rovinami kolmými k ose x, které jsou od sebe vzdáleny o
Nechť roviny protínají osu x v bodech xq = a, #1, #2, • • • ? xn = b.
Přitom Xi+i — Xi = Ax, celé těleso se nachází mezi 0-tou a n-tou rovinou.
Obsah řezu (průniku) tělesa i-tou rovinou označíme S(xí).
Objem (tenké) vrstvy tělesa mezi (i — l)-ní a i-tou rovinou je přibližně roven
S(xí)Ax.
Objem tělesa (exhaustivní metoda)
Těleso umístěné v souřadné soustavě.
Uvažujeme jeho řezy rovinami kolmými k ose x, které jsou od sebe vzdáleny o
Nechť roviny protínají osu x v bodech xq = a, #1, #2, • • • ? xn = b.
Přitom Xi+i — Xi = Ax, celé těleso se nachází mezi 0-tou a n-tou rovinou.
Obsah řezu (průniku) tělesa i-tou rovinou označíme S(xí).
Objem (tenké) vrstvy tělesa mezi (i — l)-ní a i-tou rovinou je přibližně roven
S(xí)Ax.
n
Pro objem tělesa tedy platí: V
i=l
Objem tělesa (exhaustivní metoda)
Těleso umístěné v souřadné soustavě.
Uvažujeme jeho řezy rovinami kolmými k ose x, které jsou od sebe vzdáleny o
Nechť roviny protínají osu x v bodech xq = a, #1, #2, • • • ? xn = b.
Přitom Xi+i — Xi = Ax, celé těleso se nachází mezi 0-tou a n-tou rovinou.
Obsah řezu (průniku) tělesa i-tou rovinou označíme S(xí).
Objem (tenké) vrstvy tělesa mezi (i — l)-ní a i-tou rovinou je přibližně roven
S(xí)Ax.
n
Pro objem tělesa tedy platí: V
i=l
Limitním přechodem n    00 dostaneme
b
V
a
Objem tělesa (exhaustivní metoda)
o
V = J S(x)dx
a
Objem tělesa (exhaustivní metoda)
o
V = J S(x)dx
a
Příklad: Vypočítejte objem trojosého elipsoidu s poloosami a.
Objem tělesa (exhaustivní metoda)
o
V = J S(x)dx
a
Příklad: Vypočítejte objem trojosého elipsoidu s poloosami a, 6, c.
x2    y2     z2 ^
a2     b2     c2 ~
Objem tělesa (exhaustivní metoda)
b
V = / S(x)dx
a
Příklad: Vypočítejte objem trojosého elipsoidu s poloosami a, b
x2    y2    z2 ^
a2     62     c2 —
?/2 2^2
Obvodová křivka řezu rovinou kolmou k ose x\ — H—- = 1 —
bA cz
y2   +_zl_= i
Objem tělesa (exhaustivní metoda)
o
V = J S(x)dx
a
Příklad: Vypočítejte objem trojosého elipsoidu s poloosami a, b
x2    y2     z2 ^ ^
a2     b2     c2 ~
y2 z2
Obvodová křivka řezu rovinou kolmou k ose x\ — H—- = 1 —
o cl
y2   +_zl_= i
= 7t&C (1---
Objem tělesa (exhaustivní metoda)
o
V = J S(x)dx
a
Příklad: Vypočítejte objem trojosého elipsoidu s poloosami a,
x2    y2     z2 ^
a2     62     c2 —
y2 z2
Obvodová křivka řezu rovinou kolmou k ose x\ — H—- = 1 -
b2
+
(l-^)b2 (l-fí)c
= 1
S (x) = 7r6c ( 1 —
X'
Cľ
a
V = 2 / irbc   1 -
dx = 27t&C
x1
X —
3a2
= 2nbc í a —
o
Jo
Objem tělesa (exhaustivní metoda)
o
V = J S(x)dx
a
Speciální případ: těleso vzniklé rotací „podgrafu" funkce y = f (x) definované na intervalu (a, b) kolem osy x.
S(x) = 7t(/(»)2, tj.
V = 7T J (f(x))2dx
0
Objem tělesa (exhaustivní metoda)
o
V = 7T J (f(x))2dx
0
Objem tělesa (exhaustivní metoda)
o
V = 7T J (f(x))2dx
0
Příklad: Vypočítejte objem kulové vrstvy tloušťky h s poloměry podstav R a r.
Objem tělesa (exhaustivní metoda)
14 / 14
Objem tělesa (exhaustivní metoda)
o
V = 7T J (f(x))2dx
0
Příklad: Vypočítejte objem kulové vrstvy tloušťky h s poloměry podstav R a r.
a-\-h
■>2      ,v( 2
V = 7i i       — x:
) dx
7t
X1
a
1_ rp 3 3^
a-\-h* a
a
7t (^2/i - \{3a2h + 3a/i2 + h3))
14 / 14
Objem tělesa (exhaustivní metoda)
o
V = 7T J (f(x))2dx
0
Příklad: Vypočítejte objem kulové vrstvy tloušťky h s poloměry podstav R a r.
a-\-h
■>2      ,v( 2
V = 7ľ   i — X"
) dx
7t ^
a
3^
a
a
7t (^2/i - \{3a2h + 3a/i2 + /r3))
a2 = £2 - i?2 (a + h)2 = Q2 - r2
14 / 14
Objem tělesa (exhaustivní metoda)
o
V = 7T J (f(x))2dx
0
Příklad: Vypočítejte objem kulové vrstvy tloušťky h s poloměry podstav R a r.
a-\-h
■>2      ,v( 2
V = 7ľ   i — X"
7t ^
a
— rv> 3
3^
a
a
7t (^2/i - \{3a2h + 3a/i2 + /r3))
a2 = £2 - R2 (a + h)2 = Q2 -r2
-+    2ah + h2=R2-r2
14 / 14
Objem tělesa (exhaustivní metoda)
o
v = 7T J (f(x))2dx
0
Příklad: Vypočítejte objem kulové vrstvy tloušťky h s poloměry podstav R a r.
a-\-h
v = 7ľ j  (q2 — x2) dx = 7t (g:
ar
a-\-h a
3^
a-\-h* a
a
a2 = g2 - R2 (a + h)2 = Q2 -r2
7t (g2h - \(3a2h + 3ah2 + h3)) R2 -r2 - h2
-+    2ah + h2=R2-r2    -+ {
a —
2h
2 (R2-r2-h2)2
Q
4h2
+ R
14 / 1
Objem tělesa (exhaustivní metoda)
o
V = 7T J (f(x))2dx
0
Příklad: Vypočítejte objem kulové vrstvy tloušťky h s poloměry podstav R a r.
a-\-h
v = 7t   /    (q2 — X"
:) dx
7t ^
XK
a-\-h a
3^
a
a
7t (^2/i - \{3a2h + 3a/i2 + /r3))
a2 = £2 - i?2 (a + h)2 = Q2 - r2
2ah + h2 = R2-r2    -+ {
R2 -r2 - h' 2h
a —
.2 (R2-r2-h2)2
Q
4h2
+ R
Celkem: V = \>Kh(3(R2 + r2) + h2)
14 / 1
Objem tělesa (exhaustivní metoda)
o
v = 7T J (f(x))2dx
0
Příklad: Vypočítejte objem kulové vrstvy tloušťky h s poloměry podstav R a r.
a-\-h
v = 7ľ j  (q2 — x2) dx = 7t (g:
ar
a-\-h a
3^
a-\-h* a
a
7t (g2h - \(3a2h + 3a/i2 + h3)) R2 — r2 — h2
a2 = Q2 - R2 (a + h)2 = Q2 -r2
-+    2ah + h2=R2-r2    -+ {
a —
2h
.2 (R2~r2-h2)2
Q
4h2
+ R
Celkem: V = \ith(3(R2 + r2) + h2)
Specielně - Kulová úseč (r = 0): V = \iih(3R2 + h2) Polokoule (r = 0,    = R)\ V = §ttí?3
14 / 1