Diferenciální rovnice
M1030 12. a 19.12.2019
Obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu
Základní pojmy Rovnice typy
V1 = f(x), f(x)dx — dy = 0 Autonomní rovnice
y' = g(y), g(y)dx - dy = o
Rovnice se separovanými proměnnými
y' = f(x)g(y), a(x)dx + b{y)dy = 0 Příklady
Aplikace_
Obyčejné diferenciální rovnice
prvního řádu
Základní pojmy
Obyčejná diferenciální rovnice 1. rádu (ODR) je rovnost, v níž vystupuje funkce (závisle proměnná), její první derivace a příslušná nezávisle proměnná.
Základní pojmy
Obyčejná diferenciální rovnice 1. rádu (ODR) je rovnost, v níž vystupuje funkce (závisle proměnná), její první derivace a příslušná nezávisle proměnná.
Řešit tuto rovnici znamená najít funkci (všechny funkce), která ji splňuje.
Základní pojmy
Obyčejná diferenciální rovnice 1. rádu (ODR) je rovnost, v níž vystupuje funkce (závisle proměnná), její první derivace a příslušná nezávisle proměnná.
Řešit tuto rovnici znamená najít funkci (všechny funkce), která ji splňuje.
Například, je-li závisle proměnná y a nezávisle proměnná x, pak takovou rovnicí
Základní pojmy
Obyčejná diferenciální rovnice 1. rádu (ODR) je rovnost, v níž vystupuje funkce (závisle proměnná), její první derivace a příslušná nezávisle proměnná.
Řešit tuto rovnici znamená najít funkci (všechny funkce), která ji splňuje.
Například, je-li závisle proměnná y a nezávisle proměnná x, pak takovou rovnicí je:
Alternativně: ODRje rovnost, v níž vystupují dvě proměnné a jejich diferenciály. Např
G(#,   dx, dy) = 0
V tomto pojetí není explicitně řečeno, která z proměnných je závislá a která nezávislá
Základní pojmy
Příklad:
x y — y = 0
Řešení: funkce
y = cx,
kde c je libovolná konstanta
xdy — ydx = 0 Řešení: vztah proměnných
ax = by,
kde a, 6 jsou libovolné konstan
Základní pojmy
Příklad:
x y — y = 0
Řešení: funkce
y = cx,
kde c je libovolná konstanta.
Zkouška: ?/ = c,
.ti/7 — y = xc — cx = 0
xdy — ydx = 0 Řešení: vztah proměnných
ax = by,
kde a, 6 jsou libovolné konstan
Zkouška: aáx = báy
by =
abyáx = abxáy
Základní pojmy
Příklad:
x y — y = 0
Řešení: funkce
y = cx,
kde c je libovolná konstanta
xdy — ydx = 0 Řešení: vztah proměnných
ax = by,
kde a, 6 jsou libovolné konstan
Základní pojmy
Příklad:
x y — y = 0
Řešení: funkce
y = cx,
kde c je libovolná konstanta
.xcky — i/d.t = 0 Řešení: vztah proměnných
ax = fa/,
kde a, 6 jsou libovolné konstanty.
Obecné řešení ODR\ řešení vyjádřené pomocí libovolných parametrů, Partikulární řešení ODR\ jedno konkrétní řešení.
y = 2.x
x = 0
tj. c = 2
tj. a = 1,6 = 0
Základní pojmy
ODR vyřešená vzhledem k derivaci (explicitní ODR) y' = f(x, y),    alternativně   ^ = f(x, y),
tj. a(x,y)dx + b(x,y)dy = 0, přitom f(x,y) =
Základní pojmy
ODR vyřešená vzhledem k derivaci [explicitní ODR)
y' = f(x, y),    alternativně   ^ = f(x, y),
tj. a(x,y)dx + b(x,y)dy = 0, přitom f(x,y) =
Cauchyova (počáteční) podmínka: zadání hodnoty hledané funkce v jedné hodnotě nezávisle proměnné (počátečníhodnotě):
y(xo) = yo
Základní pojmy
ODR vyřešená vzhledem k derivaci [explicitní ODR)
y' = f(x, y),    alternativně   ^ = f(x, y),
tj. a(x,y)dx + b(x,y)dy = 0, přitom f(x,y) =
Cauchyova (počáteční) podmínka: zadání hodnoty hledané funkce v jedné hodnotě nezávisle proměnné (počátečníhodnotě):
y(xo) = yo
Cauchyova (počáteční) úloha pro ODR: najít řešení rovnice, které splňuje počáteční podmínku.
Základní pojmy
Cauchyova (počáteční) podmínka: zadání hodnoty hledané funkce v jedné hodnotě nezávisle proměnné (počátečníhodnotě):
Cauchyova (počáteční) úloha pro ODR: najít řešení rovnice, které splňuje počáteční podmínku.
v dy y
Příklad: Řešení rovnice — = — s podmínkou y(2) = 1: y = \x
dx     x z
Základní pojmy
Cauchyova (počáteční) podmínka: zadaní hodnoty hledané funkce v jedné hodnotě nezávisle proměnné (počátečníhodnote):
Cauchyova (počáteční) úloha pro ODR: najít řešení rovnice, které splňuje počáteční podmínku.
v dy y
Příklad: Řešení rovnice — = — s podmínkou y(2) = 1: y = \x Řešení rovnice xy' = y s podmínkou y(0) = 0: y = cx
Základní pojmy
Cauchyova (počáteční) podmínka: zadaní hodnoty hledané funkce v jedné hodnotě nezávisle proměnné (počátečníhodnote):
Cauchyova (počáteční) úloha pro ODR: najít řešení rovnice, které splňuje počáteční podmínku.
v dy y
Příklad: Řešení rovnice — = — s podmínkou y(2) = 1: y = \x Řešení rovnice xy' = y s podmínkou y(0) = 0: y = cx Řešení rovnice xy' = y s podmínkou y(0) = 2 neexistuje
Rovnice typy
y' = f (x), f(x)dx -dy = 0
Řešením této rovnice je primitivní funkce k funkci /. U obecného řešení píšeme integrační konstantu.
Rovnice typy
y' = f (x), f(x)dx -dy = 0
Řešením této rovnice je primitivní funkce k funkci /. U obecného řešení píšeme integrační konstantu.
Příklad: Najděte obecné řešení rovnice — = at.
J dt
Rovnice typy
y' = f (x), f(x)dx -dy = 0
Řešením této rovnice je primitivní funkce k funkci /. U obecného řešení píšeme integrační konstantu.
Ó.S
Příklad: Najděte obecné řešení rovnice — = at.
J dt
s = / atdt = T^at2 +
Rovnice typy
y' = f (x), f(x)dx -dy = 0
Řešením této rovnice je primitivní funkce k funkci /. U obecného řešení píšeme integrační konstantu.
Řešení Cauchyovy úlohy y' = f (x), y (x o) = yo-
1.   • Najdeme obecné řešení rovnice,
• dosadíme do podmínky,
• z ní vypočítame hodnotu konstanty
Rovnice typy
y' = f (x), f(x)dx -dy = 0
Řešením této rovnice je primitivní funkce k funkci /. U obecného řešení píšeme integrační konstantu.
Řešení Cauchyovy úlohy y' = f (x), y (x o) = yo-
1. • Najdeme obecné řešení rovnice,
• dosadíme do podmínky,
• z ní vypočítame hodnotu konstanty
2. Přímá integrace:
Rovnice typy
y' = f (x), f(x)dx -dy = 0
Řešením této rovnice je primitivní funkce k funkci /. U obecného řešení píšeme integrační konstantu.
Řešení Cauchyovy úlohy y' = f (x), y (x o) = yo-
1. • Najdeme obecné řešení rovnice,
• dosadíme do podmínky,
• z ní vypočítame hodnotu konstanty
2. Přímá integrace:
S  - 'M
Rovnice typy
y' = f (x), f(x)dx -dy = 0
Řešením této rovnice je primitivní funkce k funkci /. U obecného řešení píšeme integrační konstantu.
Řešení Cauchyovy úlohy y' = f (x), y (x o) = yo-
1. • Najdeme obecné řešení rovnice,
• dosadíme do podmínky,
• z ní vypočítame hodnotu konstanty
2. Přímá integrace:
S  - 'M
dy   — f(x)dx
Rovnice typy
y' = f (x), f(x)dx -dy = 0
Řešením této rovnice je primitivní funkce k funkci /. U obecného řešení píšeme integrační konstantu.
Řešení Cauchyovy úlohy y' = f (x), y (x o) = yo-
1. • Najdeme obecné řešení rovnice,
• dosadíme do podmínky,
• z ní vypočítame hodnotu konstanty
2. Přímá integrace:
S  - ><*>
dy   — f(x)dx
Rovnice typy
y' = f (x), f(x)dx -dy = 0
Řešením této rovnice je primitivní funkce k funkci /. U obecného řešení píšeme integrační konstantu.
Řešení Cauchyovy úlohy y' = f (x), y (x o) = yo-
1. • Najdeme obecné řešení rovnice,
• dosadíme do podmínky,
• z ní vypočítame hodnotu konstanty
2. Přímá integrace:
S  - ><*>
dy — f(x)dx dv   = /(0d£
fár,   = ff(S)dt
VO X0
Rovnice typy
y' = f (x), f(x)dx -dy = 0
Řešením této rovnice je primitivní funkce k funkci /. U obecného řešení píšeme integrační konstantu.
Řešení Cauchyovy úlohy y' = f (x), y (x o) = yo-
1. • Najdeme obecné řešení rovnice,
• dosadíme do podmínky,
• z ní vypočítame hodnotu konstanty
2. Přímá integrace:
S  - ><*>
áy — f(x)dx dv   = /(0d£
fár,   = ff(S)dt
VO X0
y-yo = //(č)d£
XQ
Rovnice typy
y' = f (x), f(x)dx -dy = 0
Řešením této rovnice je primitivní funkce k funkci /. U obecného řešení píšeme integrační konstantu.
Řešení Cauchyovy úlohy y' = f (x), y (x o) = yo-
1. • Najdeme obecné řešení rovnice,
• dosadíme do podmínky,
• z ní vypočítame hodnotu konstanty
2. Přímá integrace:
S  - ><*>
dy — f(x)dx dv   = /(0d£
fár,   = ff(S)dt
VO X0
y-yo =  //(£)d£   ->•   y = yo + ff(0^
XQ XQ
Rovnice typy
y' = f (x), f(x)dx -dy = 0
Řešením této rovnice je primitivní funkce k funkci /. U obecného řešení píšeme integrační konstantu.
Řešení Cauchyovy úlohy y' = f (x), y (x o) = yo-
Ó.S
Príklad: Najděte řešení úlohy — = at, s(0) = 0.
Rovnice typy
y' = f (x), f(x)dx -dy = 0
Řešením této rovnice je primitivní funkce k funkci /. U obecného řešení píšeme integrační konstantu.
Řešení Cauchyovy úlohy y' = f (x), y (x o) = yo-
Ó.S
Príklad: Najděte řešení úlohy — = at, s(0) = 0. Obecné řešení: s (ť) = \at2 + c
Rovnice typy
y' = f (x), f(x)dx -dy = 0
Řešením této rovnice je primitivní funkce k funkci /. U obecného řešení píšeme integrační konstantu.
Řešení Cauchyovy úlohy y' = f (x), y (x o) = yo-
Ó.S
Príklad: Najděte řešení úlohy — = at, s(0) = 0.
Obecné řešení: s (ť) = \at2 + c
s(0) = 0 = \a • O2 + c, tj. c = 0. Tedy
Rovnice typy
y' = f (x), f(x)dx -dy = 0
Řešením této rovnice je primitivní funkce k funkci /. U obecného řešení píšeme integrační konstantu.
Řešení Cauchyovy úlohy y' = f (x), y (x o) = yo-
ds
Príklad: Najděte řešení úlohy — = at, s(0) = 0.
Obecné řešení: s (ť) = \at2 + c
s(0) = 0 = \a • O2 + c, tj. c = 0. Tedy
Přímá integrace:
ds   = atdt
Rovnice typy
V' = f (x), f(x)dx -dy = 0
Řešením této rovnice je primitivní funkce k funkci /. U obecného řešení píšeme integrační konstantu.
Řešení Cauchyovy úlohy y' = f (x), y (x o) = yo-
ds
Príklad: Najděte řešení úlohy — = at, s(0) = 0.
Obecné řešení: s (i) = \at2 + c
s(0) = 0 = \a • O2 + c, tj. c = 0. Tedy s(t) = \at2,
Přímá integrace:
ds   = atdt
t
f der = J ardr = a \t2 = ^at2 oo r_
Autonomní rovnice
yf = g{y), g(y)d% -dy = o
Nezávisle proměnnou v přírodovědeckých aplikacích bývá čas.
Procesy v přírodě probíhají podle vlastních (avrcx;), tj. přírodních, zákonů (vojích). Tyto zákony nejsou závislé na čase, proto se na pravé straně rovnice neobjevuje nezávisle proměnná.
Autonomní rovnice
yf = g{y), g(y)d% -dy = o
Rovnici přepíšeme
Tx = g{y)
Autonomní rovnice
yf = g{y), g(y)d% -dy = o
Rovnici přepíšeme a upravíme
Autonomní rovnice
yf = g{y), g(y)d% -dy = o
Rovnici přepíšeme a upravíme
9{y)
Integrujeme obě strany rovnice
= I dx
9{y)
Autonomní rovnice
yf = g{y), g(y)d% -dy = o
Rovnici přepíšeme a upravíme
Integrujeme obě strany rovnice
= dx
9(y)
,  v   — QC  I (2-»
9{y)
Autonomní rovnice
yf = g{y), g(y)dx -dy = o
Rovnici přepíšeme a upravíme
_áy_
9{y)
dx
Integrujeme obě strany rovnice
g{y)
= X + c.
Z této rovnosti vyjádříme y.
Autonomní rovnice
yf = g{y), g(y)d% -dy = o
Rovnici přepíšeme a upravíme
dy
9(y)
Integrujeme obě strany rovnice
dy 9{y)
Z této rovnosti vyjádříme y.
= dx
x + c.
Úvaha je korektní pouze pro g(y) ^ 0.
Autonomní rovnice
yf = g{y), g(y)d% -dy = o
Rovnici přepíšeme a upravíme
= dx
9(y)
Integrujeme obě strany rovnice
dy
- x + c.
g(y)
Z této rovnosti vyjádříme y.
Pokud existují hodnoty y* G D(g) takové, že g(y*) =0, pak také konstantní funkce
y = y
jsou řešením dané autonomní rovnice.
Autonomní rovnice
yf = g{y), g(y)d% -dy = o
Rovnici přepíšeme a upravíme
_dy_
9{y)
= dx
Integrujeme obě strany rovnice
dy_
9{y)
x + c.
Z této rovnosti vyjádříme y.
Pokud existují hodnoty y* G D(g) takové, že g(y*) =0, pak také konstantní funkce
y = y
jsou řešením dané autonomní rovnice.
Konstantní řešení nazýváme stacionární nebo rovnovážná.
Je-li nezávisle proměnnou čas, pak vyjadřují nějakou dynamickou rovnováhu
modelovaného děje.
5/9
Autonomní rovnice
y1 = g(y), g(y)dx -dy = o
= x + c,       případně také y = y* kde g(y*) = 0
5/
Autonomní rovnice
yf = g{y), g(y)d% -dy = o
= x + c,       případně také y = y* kde        = 0
Příklad: Reste rovnici y = 2y — 3.
Autonomní rovnice
yf = g{y), g(y)d% -dy = o
= x + c,       případně také y = y* kde        = 0
Příklad: Reste rovnici y = 2y — 3.
Autonomní rovnice
yf = g{y), g(y)d% -dy = o
= x + c,       případně také y = y* kde        = 0
Příklad: Reste rovnici y = 2y — 3.
Autonomní rovnice
yf = g{y), g(y)d% -dy = o
= x + c,       případně také y = y* kde        = 0
Příklad: Reste rovnici y = 2y — 3.
2/= f
dy
2y-3
±\n\2y - 3
dx x + c
Autonomní rovnice
yf = g{y), g(y)d% -dy = o
9{y)
x + c,        případně také y = y* kde = 0
Přiklad: Řešte rovnici y = 2y — 3.
y = I
dy
2y-3
iln |2y — 3|   =   x + c
2^-3
Autonomní rovnice
yf = g{y), g(y)d% -dy = o
9{y)
X + c,
případně také y = y* kde g(y*) = 0
Přiklad: Řešte rovnici y = 2y — 3.
y = I
dy
2y-3
iln \2y — 3|   =   x + c
2y-3
2y — 3   = cie
2x
ci = ±e2c 7^ 0
Autonomní rovnice
yf = g{y), g(y)d% -dy = o
= x + c,       případně také y = y* kde        = 0
Příklad: Reste rovnici y = 2y — 3.
		
J 2í/-3		
±ln|2y - 3	=    X + c	
122/ — 3		
2y-3	1   = cie2x	ci = ±e2c
y    =    !(Cie2* + 3)		
Autonomní rovnice
yf = g{y), g(y)d% -dy = o
= x + c,       případně také y = y* kde        = 0
Příklad: Reste rovnici y = 2y — 3.
		= y^dx	
J 2y-	3		
±\n\2y-	3	=    X + c	
\2y-	3		
	-3	1   = cie2x	ci = ±e2c
	y   =   !(Cle2* + 3)		
	y   =   Ce2x + f		
Autonomní rovnice
yf = g{y), g(y)d% -dy = o
= x + c,       případně také y = y* kde        = 0
Přiklad: Řešte rovnici y = 2y — 3.
y = Ce2* + |,   C e R
Autonomní rovnice
yf = g{y), g(y)dx -dy = o
^   = x + c,       případně také y = y* kde        = 0
Řešení Cauchyovy úlohy y' = f(y), y(x0) = yo-
1. Identifikace konstanty z obecného řešení
2. Přímá integrace v mezích od yo do y (na levé straně) a od x0 do x (na pravé straně)
Autonomní rovnice
y' = g(y), g(y)d% -dy = o
^  = x + c,        případně také y = y* kde = 0
g(y)
Řešení Cauchyovy úlohy y' = f(y), y(xo) = y$\ Příklad: Řešte úlohu y' = 2y — 3,        = —\.
Autonomní rovnice
y' = g(y), g(y)d% -dy = o
^ = x + c,        případně také y = y* kde = 0
g(y)
Řešení Cauchyovy úlohy y' = f(y), y(xo) = 2/o:
Příklad: Řešte úlohu ?/ = 2y — 3,        = — |.
1.   Z obecného řešení: y — Ce2x + |
-± = Ce1 + %    -+    C = -2z~x y=l--2e2x~1
y' = g(y), g(y)^x -dy = o
9(y)
X + c.
případně také y = y* kde g(y*) = O
Řešení Cauchyovy úlohy y' = f(y), y(x0) = yo
Příklad: Řešte úlohu y' = 2y — 3, y(\)
1
2 ■
1.   Z obecného řešení: 2/ = Ce2x + | -I = Ce1 + § C = -2e-1
.r
2.   Přímá integrace:     = — \ 7^ 0, tedy /--- = / d£
_l 2^ — 3 1
y    dr?        n „i» 1,.. |2y-3|     i ,_ 3 - 2»
i 2r?-3
|ln|2í?-3|
-Mn|2y"31 -Mn3 ,=-i-2ln  |_4|   -2ln 4
1
2
í/=f - 2e2^1
ln
3-2y 4
2x
Rovnice se separovanými proměnnými
y' = f(x)g(y), a(x)dx + b(y)dy = 0
Rovnici přepíšeme
dy dx
f(x)g(y)
Rovnice se separovanými proměnnými
y' = f(x)g(y), a(x)dx + b(y)dy = 0
Rovnici přepíšeme, upravíme
_áy_
9{y)
f(x)áx
Rovnice se separovanými proměnnými
y' = f(x)g(y), a(x)dx + b(y)dy = 0
Rovnici přepíšeme, upravíme a integrujeme
Rovnice se separovanými proměnnými
y' = f(x)g(y), a(x)dx + b(y)dy = 0
Rovnici přepíšeme, upravíme a integrujeme
Iw)=Iňx)dx
To je implicitnízápis řešení rovnice, z něho (někdy) vyjádříme řešení y = y (x) explicitně.
Rovnice se separovanými proměnnými
y' = f(x)g(y), a(x)dx + b(y)dy = 0
Rovnici přepíšeme, upravíme a integrujeme
Iw)=Iňx)dx
To je implicitnízápis řešení rovnice, z něho (někdy) vyjádříme řešení y = y (x) explicitně.
Pokud existují hodnoty y* G D (g) takové, že g (y*) =0, pak také konstantní funkce
y = y
jsou řešením dané diferenciální rovnice.
Rovnice se separovanými proměnnými
y' = f(x)g(y), a(x)dx + b(y)dy = 0
áy_
9 (y)
J f(x)dx,    prípadne také y = y* kde g (y*) = 0
6/
Rovnice se separovanými proměnnými
y' = f(x)g(y), a(x)dx + b(y)dy = 0
áy
9 (y)
y2
Příklady: Řešte rovnici y' =
J f(x)dx,    prípadne také y = y* kde g (y*) = 0
x
Rovnice se separovanými proměnnými
y' = f(x)g(y), a(x)dx + b(y)dy = 0
dy
9 (y)
y2
Příklady: Řešte rovnici y' =
J f(x)dx,    prípadne také y = y* kde g (y*) = 0
x
y = 0
Rovnice se separovanými proměnnými
y' = f(x)g(y), a(x)dx + b(y)dy = 0
dy_
9{y)
= J f(x)dx,    prípadne také y = y* kde g (y*) = 0
, y2
Příklady: Reste rovnici y =
x
1 1
y = 0 -^-di/ = — dx
yz x
Rovnice se separovanými proměnnými
y' = f(x)g(y), a(x)dx + b(y)dy = 0
dy
9 (y)
y2
Příklady: Řešte rovnici y' =
J f(x)dx,    prípadne také y = y* kde g (y*) = 0
x
Rovnice se separovanými proměnnými
y' = f(x)g(y), a(x)dx + b(y)dy = 0
9{y)
J f(x)dx,    prípadne také y = y* kde g (y*) = 0
Příklady: Reste rovnici y =
y = o
x
dy
1
y
— dx
x
--= ln x + c
Rovnice se separovanými proměnnými
V' = f(x)g(y), a{x)dx + b(y)dy = 0
_dy_
9 (y)
J f(x)dx,    prípadne také y = y* kde g(y*) = 0
Príklady: Reste rovnici y =
y = 0
x
dy =
-=ln
1
y y
— dx
x
x
+ c
1
c + ln
x
Rovnice se separovanými proměnnými
y' = f(x)g(y), a(x)dx + b(y)dy = 0
dy_
9{y)
J f(x)dx,    prípadne také y = y* kde g (y*) = 0
Příklady: Řešte rovnici y' = ^
x
y =
c + ln
2/ = 0
6/9
Rovnice se separovanými proměnnými
y' = f(x)g(y), a(x)dx + b(y)dy = 0
9{y)
= J f(x)dx,    prípadne také y = y* kde g{y*) = 0
Príklady: Reste rovnici y
x
y =
c + ln
y = 0
C
y =
c
1 -Cln
x
6/9
Rovnice se separovanými proměnnými
V' = f(x)g(y), a(x)dx + b(y)dy = 0
9{y)
= J f(x)dx,    prípadne také y = y* kde = 0
Príklady: Reste rovnici y
1 + x
6/9
Rovnice se separovanými proměnnými
y' = f(x)g(y), a(x)dx + b(y)dy = 0
9{y)
J f(x)dx,    prípadne také y = y* kde g (y*) = 0
Příklady: Řešte rovnici y' =-
\ + x
y = i
dy
1 -
1 + x
dx
ln 11 — y\=x — ln 11 + x I + c
1 — y| = |1 + x
t—x — c
1 -y = C(l + x)e
— x
y = l- C(l + x)e
— x
Rovnice se separovanými proměnnými
y' = f(x)g(y), a(x)dx + b(y)dy = 0
y{y)
J f(x)dx,    prípadne také y = y* kde g (y*)
Řešení Cauchyovy úlohy y' = f (y), y (x o) = yo-
Rovnice se separovanými proměnnými
V' = f(x)g(y), a(x)dx + b(y)dy = 0
_dy_
9 (y)
= J f(x)dx,    případně také y = y* kde g(y*) = 0
Řešení Cauchyovy úlohy y' = f (y), y(xo) = ?/o:
1. Identifikace konstanty z obecného řešení
2. Přímá integrace v mezích od yo do y (na levé straně) a od x$ do x (na pravé straně)
Rovnice se separovanými proměnnými
V' = f(x)g(y), a(x)dx + b(y)dy = 0
9{y)
= J f(x)dx,   prípadne také y — y" kde g (y*) = 0
Řešení Cauchyovy úlohy y' = f (y), y(x0) = yo-
, x(l-y)
Príklad: Reste úlohu y =
1 + x
- 2/(1) = -1-
6/9
Rovnice se separovanými proměnnými
V' = f(x)g(y), a(x)dx + b(y)dy = 0
9 (y)
= J f(x)dx,    prípadne také y = y* kde g(y*)
Rešení Cauchyovy úlohy y' = f (y), y(xo) = yo
, x(l-y)
Príklad: Reste úlohu y =
1 + x
. 2/(1) = -1-
y dv    * ŕ i
ln
1-y	= x — 1 — ln	1 + x
2		2
1 1, 1 , 1 l + x
m-= —x + 1 + m-
2 2
1 — y = e1_ÍE(l + x)
Rovnice se separovanými proměnnými
y' = f(x)g(y), a(x)dx + b(y)dy = 0
9{y)
J f(x)dx,    prípadne také y = y* kde g (y*)
Řešení Cauchyovy úlohy y' = f (y), y (x o) = yo-
, x(l-y)
Príklad: Reste úlohu y
1 + x
-2/(1)
1.
y dv    */ i
\  1—77     M 1
-ln
-i - i 1-2/
ln
1-2/ 2
1-2/
= x — 1 — ln
= —x + 1 + ln
1 + x
1 + x
,1 — x
{1 + x)
1 - (1 + x)e
l — X
Příklady
Do jezera o objemu V [m3] přitéká i odtéká voda rychlostí v [m3s 1]. Do jezera se dostal nějaký polutant o hmotnosti m [g]. Najděte časový průběh koncentrace polutantu v jezeře.
Příklady
Do jezera o objemu V [m3] přitéká i odtéká voda rychlostí v [m3s 1]. Do jezera se dostal nějaký polutant o hmotnosti m [g]. Najděte časový průběh koncentrace polutantu v jezeře.
Předpoklad: proudění v jezeře je dostatečně silné, látka je v něm stále stejnoměrně rozptýlena.
Příklady
Do jezera o objemu V [m3] přitéká i odtéká voda rychlostí v [m3s 1]. Do jezera se dostal nějaký polutant o hmotnosti m [g]. Najděte časový průběh koncentrace polutantu v jezeře.
Předpoklad: proudění v jezeře je dostatečně silné, látka je v něm stále stejnoměrně rozptýlena.
Označení: x(ťj - koncentrace polutantu v čase t [gm~3]
t = 0       - okamžik, v němž se polutant dostal do jezera
Příklady
Do jezera o objemu V [m3] přitéká i odtéká voda rychlostí v [m3s 1]. Do jezera se dostal nějaký polutant o hmotnosti m [g]. Najděte časový průběh koncentrace polutantu v jezeře.
Předpoklad: proudění v jezeře je dostatečně silné, látka je v něm stále stejnoměrně rozptýlena.
Označení: x(ťj - koncentrace polutantu v čase t [gm~3]
t = 0       - okamžik, v němž se polutant dostal do jezera
Til
x(0) — — - počáteční koncentrace polutantu
Příklady
Do jezera o objemu V [m3] přitéká i odtéká voda rychlostí v [m3s 1]. Do jezera se dostal nějaký polutant o hmotnosti m [g]. Najděte časový průběh koncentrace polutantu v jezeře.
Předpoklad: proudění v jezeře je dostatečně silné, látka je v něm stále stejnoměrně rozptýlena.
Označení: x(ťj - koncentrace polutantu v čase t [gm~3]
t = 0       - okamžik, v němž se polutant dostal do jezera
Til
x(0) — — - počáteční koncentrace polutantu Vx(ťj    - množství polutantu v jezeře v čase t [g]
Příklady
Do jezera o objemu V [m3] přitéká i odtéká voda rychlostí v [m3s 1]. Do jezera se dostal nějaký polutant o hmotnosti m [g]. Najděte časový průběh koncentrace polutantu v jezeře.
Předpoklad: proudění v jezeře je dostatečně silné, látka je v něm stále stejnoměrně rozptýlena.
Označení: x(ťj - koncentrace polutantu v čase t [gm~3]
t = 0       - okamžik, v němž se polutant dostal do jezera
Til
x(0) — — - počáteční koncentrace polutantu Vx(ťj    - množství polutantu v jezeře v čase t [g]
vAt      - množství vody, které odteče z jezera za časový interval délky At
Příklady
Do jezera o objemu V [m3] přitéká i odtéká voda rychlostí v [m3s 1]. Do jezera se dostal nějaký polutant o hmotnosti m [g]. Najděte časový průběh koncentrace polutantu v jezeře.
Předpoklad: proudění v jezeře je dostatečně silné, látka je v něm stále stejnoměrně rozptýlena.
Označení: x(ťj - koncentrace polutantu v čase í [gm~3]
t = 0       - okamžik, v němž se polutant dostal do jezera
Til
x(0) — — - počáteční koncentrace polutantu Vx(ťj    - množství polutantu v jezeře v čase t [g]
vAt      - množství vody, které odteče z jezera za časový interval délky At vx(ť)At - množství polutantu, které odteče z jezera za časový interval délky At
Příklady
Do jezera o objemu V [m3] přitéká i odtéká voda rychlostí v [m3s 1]. Do jezera se dostal nějaký polutant o hmotnosti m [g]. Najděte časový průběh koncentrace polutantu v jezeře.
Předpoklad: proudění v jezeře je dostatečně silné, látka je v něm stále stejnoměrně rozptýlena.
Označení: x(ťj - koncentrace polutantu v čase í [gm~3]
t = 0       - okamžik, v němž se polutant dostal do jezera
Til
x(0) — — - počáteční koncentrace polutantu Vx(ťj    - množství polutantu v jezeře v čase t [g]
vAt      - množství vody, které odteče z jezera za časový interval délky At vx(ť)At - množství polutantu, které odteče z jezera za časový interval délky At
Vx (í + At)   =   Vx (í) - vx (í) Aí
Příklady
Do jezera o objemu V [m3] přitéká i odtéká voda rychlostí v [m3s 1]. Do jezera se dostal nějaký polutant o hmotnosti m [g]. Najděte časový průběh koncentrace polutantu v jezeře.
Předpoklad: proudění v jezeře je dostatečně silné, látka je v něm stále stejnoměrně rozptýlena.
Označení: x(ťj - koncentrace polutantu v čase t [gm~3]
t = 0       - okamžik, v němž se polutant dostal do jezera
Til
x(0) — — - počáteční koncentrace polutantu Vx(ťj    - množství polutantu v jezeře v čase t [g]
vAt      - množství vody, které odteče z jezera za časový interval délky Ač vx(ť)At - množství polutantu, které odteče z jezera za časový interval délky At
Vx (í + At)   =   Vx (í) - vx (í) Aí
x(t + Aí) - x(t) V , x
-ir-—    —--xlt)
At v w
7/9
Příklady
Do jezera o objemu V [m3] přitéká i odtéká voda rychlostí v [m3s 1]. Do jezera se dostal nějaký polutant o hmotnosti m [g]. Najděte časový průběh koncentrace polutantu v jezeře.
Předpoklad: proudění v jezeře je dostatečně silné, látka je v něm stále stejnoměrně rozptýlena.
Označení: x(ťj - koncentrace polutantu v čase t [gm~3]
t = 0       - okamžik, v němž se polutant dostal do jezera
Til
x(0) — — - počáteční koncentrace polutantu Vx(ťj    - množství polutantu v jezeře v čase t [g]
vAt      - množství vody, které odteče z jezera za časový interval délky Ač vx(ť)At - množství polutantu, které odteče z jezera za časový interval délky At
Vx (í + At)   =   Vx (í) - vx (í) Aí x(t + Aí) - x(t) V , x -A^-            = -~x{t)
Mt)  _ _v
dt      -      vX[t)
Příklady
Do jezera o objemu V [m3] přitéká i odtéká voda rychlostí v [m3s 1]. Do jezera se dostal nějaký polutant o hmotnosti m [g]. Najděte časový průběh koncentrace polutantu v jezeře.
Předpoklad: proudění v jezeře je dostatečně silné, látka je v něm stále stejnoměrně rozptýlena.
Označení: x(ťj - koncentrace polutantu v čase t [gm~3]
t = 0       - okamžik, v němž se polutant dostal do jezera
Til
x(0) — — - počáteční koncentrace polutantu
dx V
Příklady
Do jezera o objemu V [m3] přitéká i odtéká voda rychlostí v [m3s 1]. Do jezera se dostal nějaký polutant o hmotnosti m [g]. Najděte časový průběh koncentrace polutantu v jezeře.
Předpoklad: proudění v jezeře je dostatečně silné, látka je v něm stále stejnoměrně rozptýlena.
Označení: x(ťj - koncentrace polutantu v čase t [gm~3]
t = 0       - okamžik, v němž se polutant dostal do jezera
Til
x(0) — — - počáteční koncentrace polutantu
dx V —— —--x
át v
dx       V . — —--cit
X v
Příklady
Do jezera o objemu V [m3] přitéká i odtéká voda rychlostí v [m3s 1]. Do jezera se dostal nějaký polutant o hmotnosti m [g]. Najděte časový průběh koncentrace polutantu v jezeře.
Předpoklad: proudění v jezeře je dostatečně silné, látka je v něm stále stejnoměrně rozptýlena.
Označení: x(t) - koncentrace polutantu v čase t [gm~3]
t = 0       - okamžik, v němž se polutant dostal do jezera
Til
x(0) — — - počáteční koncentrace polutantu
dx	V
	--X
dt	v
dx	V ,
	--dt
X	v
X	t
f d^	
J   É "	J v
m/V	0
dr
Příklady
Do jezera o objemu V [m3] přitéká i odtéká voda rychlostí v [m3s 1]. Do jezera se dostal nějaký polutant o hmotnosti m [g]. Najděte časový průběh koncentrace polutantu v jezeře.
Předpoklad: proudění v jezeře je dostatečně silné, látka je v něm stále stejnoměrně rozptýlena.
Označení: x(ťj - koncentrace polutantu v čase t [gm~3]
t = 0       - okamžik, v němž se polutant dostal do jezera
Til
x(0) — — - počáteční koncentrace polutantu
dx       V ri   .,x V v it
dt~ V L-Sj£=m/v
dx V .
— —--dt
X v
x t
í J V
m/V 0
V
0
Příklady
Do jezera o objemu V [m3] přitéká i odtéká voda rychlostí v [m3s 1]. Do jezera se dostal nějaký polutant o hmotnosti m [g]. Najděte časový průběh koncentrace polutantu v jezeře.
Předpoklad: proudění v jezeře je dostatečně silné, látka je v něm stále stejnoměrně rozptýlena.
Označení: x(ťj - koncentrace polutantu v čase í [gm~3]
t = 0       - okamžik, v němž se polutant dostal do jezera
Til
x(0) — — - počáteční koncentrace polutantu
dx       V ri   ^x V r ,t
dt~      V L-Sj^=m/v
V
o
dx       V . .     x V
— —--cit in—777 =--1
x        v m/V v
X t
í J V
m/V 0
Příklady
Do jezera o objemu V [m3] přitéká i odtéká voda rychlostí v [m3s 1]. Do jezera se dostal nějaký polutant o hmotnosti m [g]. Najděte časový průběh koncentrace polutantu v jezeře.
Předpoklad: proudění v jezeře je dostatečně silné, látka je v něm stále stejnoměrně rozptýlena.
Označení: x(ťj - koncentrace polutantu v čase t [gm~3]
t = 0       - okamžik, v němž se polutant dostal do jezera
Til
x(0) — — - počáteční koncentrace polutantu
dx       V r, V
dt~     V L-Sj€=m/V
v
T
dx       V . .     x V
— —--clí in—777 =--1
x        v m/V v
= — I — clr x(ťj = — e"
c,        J   v m
m/V 0
V
v
t
Příklady
Do hrnku s dokonale izolovanými stěnami nalejeme vroucí kávu, hrnek je v místnost s pokojovou teplotou. Popište teplotu kávy v průběhu času.
Příklady
Do hrnku s dokonale izolovanými stěnami nalejeme vroucí kávu, hrnek je v místnost s pokojovou teplotou. Popište teplotu kávy v průběhu času.
Předpoklady: • káva je v hrnku promíchávána konvektivními proudy • změna teploty za krátký časový interval je úměrná
- rozdílu teplot
- velikosti povrchu, přes který k výměně tepla dochází
- času, po který výměna tepla probíhá    (Newtonův zákon chladn
Příklady
Do hrnku s dokonale izolovanými stěnami nalejeme vroucí kávu, hrnek je v místnost s pokojovou teplotou. Popište teplotu kávy v průběhu času.
Předpoklady: • káva je v hrnku promíchávána konvektivními proudy • změna teploty za krátký časový interval je úměrná
- rozdílu teplot
- velikosti povrchu, přes který k výměně tepla dochází
- času, po který výměna tepla probíhá    (Newtonův zákon chladn
Označení: x(ťj - teplota kávy v čase t [°C] T    - pokojová teplota [°C] S    - obsah hladiny [cm2] k    - konstanta úměrnosti [cm_2s_1]
Příklady
Do hrnku s dokonale izolovanými stěnami nalejeme vroucí kávu, hrnek je v místnost s pokojovou teplotou. Popište teplotu kávy v průběhu času.
Předpoklady: • káva je v hrnku promíchávána konvektivními proudy • změna teploty za krátký časový interval je úměrná
- rozdílu teplot
- velikosti povrchu, přes který k výměně tepla dochází
- času, po který výměna tepla probíhá    (Newtonův zákon chladn
Označení: x(t) - teplota kávy v čase t [°C] T    - pokojová teplota [°C] S    - obsah hladiny [cm2] k    - konstanta úměrnosti [cm-2s-1]
x(t + Ať)-x(ť)   =   nS(T -x(ť))At x(t + Aí) - x(t)
At
áx(ť) dt
= k,S(T-x(í)) = k,S(T-x(í))
Příklady
Do hrnku s dokonale izolovanými stěnami nalejeme vroucí kávu, hrnek je v místnost s pokojovou teplotou. Popište teplotu kávy v průběhu času.
Předpoklady: • káva je v hrnku promíchávána konvektivními proudy • změna teploty za krátký časový interval je úměrná
- rozdílu teplot
- velikosti povrchu, přes který k výměně tepla dochází
- času, po který výměna tepla probíhá    (Newtonův zákon chladnutí)
Označení: x(ťj T S
kS J T
100
teplota kávy v čase t [°C] pokojová teplota [°C] obsah hladiny [cm ] konstanta úměrnosti [cm-2 s-1]
dx
dt
t
o
kS(T — x)
x
i r dt
ln
T — x
— —nSt
T - 100
T — x — (T — 100)e"
í
x(t) = T - (T - 100)e"
■hzSt
kS
MT - Olľoo = [-r
7/9
Příklady
Pravděpodobnost, že se radioaktivní atomové jádro rozpadne během jednotkového času, je rovna p > 0. Určete poločas rozpadu.
Příklady
Pravděpodobnost, že se radioaktivní atomové jádro rozpadne během jednotkového času, je rovna p > 0. Určete poločas rozpadu.
Poločas rozpadu - očekávaný čas, za který se rozpadne polovina atomů ze vzorku.
Příklady
Pravděpodobnost, že se radioaktivní atomové jádro rozpadne během jednotkového času, je rovna p > 0. Určete poločas rozpadu.
Poločas rozpadu - očekávaný čas, za který se rozpadne polovina atomů ze vzorku.
Označení:    x(t) - množství atomů ve vzorku v čase t r    - poločas rozpadu
Příklady
Pravděpodobnost, že se radioaktivní atomové jádro rozpadne během jednotkového času, je rovna p > 0. Určete poločas rozpadu.
Poločas rozpadu - očekávaný čas, za který se rozpadne polovina atomů ze vzorku.
Označení:    x(ť) - množství atomů ve vzorku v čase t r    - poločas rozpadu
PQádro se rozpadne během časového intervalu délky Ať) — pAt
Příklady
Pravděpodobnost, že se radioaktivní atomové jádro rozpadne během jednotkového času, je rovna p > 0. Určete poločas rozpadu.
Poločas rozpadu - očekávaný čas, za který se rozpadne polovina atomů ze vzorku.
Označení:    x(ť) - množství atomů ve vzorku v čase t r    - poločas rozpadu
PQádro se rozpadne během časového intervalu délky Ať) = pAt = —X~^
Příklady
Pravděpodobnost, že se radioaktivní atomové jádro rozpadne během jednotkového času, je rovna p > 0. Určete poločas rozpadu.
Poločas rozpadu - očekávaný čas, za který se rozpadne polovina atomů ze vzorku.
Označení:    x(ť) - množství atomů ve vzorku v čase t r    - poločas rozpadu
PQádro se rozpadne během časového intervalu délky Ať) = pAt = —X~^
x(t + At) -x(ť) ÄÍ
dx ~ďt
dx
x
— —px(ť)
— —px
dt
Příklady
Pravděpodobnost, že se radioaktivní atomové jádro rozpadne během jednotkového času, je rovna p > 0. Určete poločas rozpadu.
Poločas rozpadu - očekávaný čas, za který se rozpadne polovina atomů ze vzorku.
Označení:    x(ť) - množství atomů ve vzorku v čase t r    - poločas rozpadu
PQádro se rozpadne během časového intervalu délky Ať) = pAt = —X
x(t + At) -x{ť)
dx
dt dx
x
— —px{ť)
— —px
dt
2 JV	T
ľ dx	ľ
	-P
J x	J
N	0
	
ln2iv =	—pr
T —	-ln2
	p
Obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu
Aplikace
Průběh přímých chemických reakcí
Aplikace
Průběh přímých chemických reakcí
9/
Průběh přímých chemických reakcí
Xi + X2 + • • • + Xn    -> Y
9/
Průběh přímých chemických reakcí
Xi + X2 + • • • + Xn    -> Y
WH helmy h o zákon: okamžitá reakční rychlost je přímo úměrná součinu koncentrací reagujících látek.
Průběh přímých chemických reakcí
Xi + X2 + • • • + Xn Y
Wilhelmyho zákon: okamžitá reakční rychlost je přímo úměrná součinu koncentrací reagujících látek.
Označení: [Z] = [Z](t) Koncentrace látky Z v čase t
TľM = fe[Xl][X2] • • • [Xn]
Průběh přímých chemických reakcí
Xi + X2 + • • • + Xn    -> Y
WH helmy h o zákon: okamžitá reakční rychlost je přímo úměrná součinu koncentrací reagujících látek.
Označení: [Z] = [Z](t) Koncentrace látky Z v čase t
^[Y]=fc[X1][X2]...[Xn]
Příklad: Oxidace 2NO + 02 ->■ 2N02
Průběh přímých chemických reakcí
Xi + X2 + • • • + Xn    -> Y
WH helmy h o zákon: okamžitá reakční rychlost je přímo úměrná součinu koncentrací reagujících látek.
Označení: [Z] = [Z](t) Koncentrace látky Z v čase t
^[Y]=MXi][X2]...[Xn]
Příklad: Oxidace 2NO + 02 2N02
Označení: x{ť) = [N02](ť)
a - počáteční koncentrace NO b - počáteční koncentrace 02
Průběh přímých chemických reakcí
Xi + X2 + • • • + Xn    -> Y
WH helmy h o zákon: okamžitá reakční rychlost je přímo úměrná součinu koncentrací reagujících látek.
Označení: [Z] = [Z](£) Koncentrace látky Z v čase t
-[Y]=MXi][X2]...[Xn]
Příklad: Oxidace 2NO + 02 2N02
Označení: x{ť) = [N02](ť)
a - počáteční koncentrace NO b - počáteční koncentrace 02
dx
— k (a — x)2(b — x) x(0) = 0
9/9
Průběh přímých chemických reakcí
dx
— k (a — x)2(b — x) x(0) = O
X
de
= k / dr
O o
x
kt
de
X
J (a-02(b-0 J o o
1 1
+
b - a (a - O2     O - a)2 \b - £     a - £.
1
1   +      V. (-ln|b-g|+ln|a-g|)
\_b — a a — £     (b — a)'
X
L(a-6)(a-0
+ ln
6-e
CC
£=o     (a —6)(a —x)     a(a — b)
+ ln
a — x b b — x a
1
x        a — x b ---h ln--
(a — x) (a — b) a b — x a
9/9