MVOll Statistika I 3. Náhodná veličina
Jan Koláček (kolacek@math.muni.cz)
Ústav matematiky a statistiky, Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita, Brno
Jan Koláček (PřF MU)
MVOll Statistika I
1/29
Motivační příklad
Příklad 1
Házíme opakovaně mincí. Ze 100 náhodných pokusů: 56 x „hlava" a 44 x „orel". Otázka : je tato mince „spravedlivá"?
prostor elementárních jevů elementární jevy jevová cr— algebra
O = {„hlava";„orel"} (jú\ = „hlava", Cl>2 = „orel"
A   {(Z),cv\, íl>2, n}
Nás však zajímá např. počet hlav ve 100 pokusech
x
{„hlava"} g O A 1 g R
x
{„orel"} g O A 0 g R X je zobrazení, číslo 1 se nazývá jeho realizace
Otázka: Jaké jsou pravděpodobnosti jednotlivých hodnot zobrazení X?
Jan Koláček (PřF MU)
MV011 Statistika I
2/29
Náhodná veličina
Definice 1
Nechť [Cl, A, P) je pravděpodobnostní prostor, X : O —R je takové zobrazení, že pro V x g R platí
{co g O : X(co) <x} = X"1((-oo,x)) g A
Pak X nazývame náhodnou veličinou (random variable) (vzhledem k jevovému poli (Cl, A)).
Pravděpodobnostní chování náhodné veličiny lze popsat pomocí distribuční funkce. Definice 2
Nechť X je náhodná veličina definovaná na pravděpodobnostním prostoru {Cí,A,P). Pak funkci F(x) = P(X < x), kde x g R, nazýváme distribuční funkcí (cumulative distribution function) náhodné veličiny X.
Poznámka 3
Zjednodušené značení: P(X < x) = P({co g O : X(co) < x})
Jan Koláček (PřF MU)
MV011 Statistika I
3/29
Distribuční funkce
Příklad 2 (3 nezávislé hody mincí)
O = {a;! = (H, H, H),cv2 = (H, H, O), a;3 = (H, O, H), a;4 = (O, H, H),co5 = (O, O, H),co6 = (0, H, O),0)7 = (H, O, O), a;8 = (O, O, O)}. Jevovi cr-algebra: A = 2°.
X ... „počet hlav ve třech hodech" => X £ {0,1,2,3}.
Distribuční funkce:
i 1-				F(x) •-		
7 8'			•-	F(x)=P(0)	F(x) = P(X < x) = 0	x < 0
1 2		•-		=P(X = =P(X =	:0vi) = i + | = i	0 < x < 1 1 < x < 2
1,				=P(X =	:0V1V2) = I + | + |=+|	2 < x < 3
8*				=P(X =	:0V1 V2V3) = 1 + 1 + 1 + 1=1	x > 3
		1	2	3		
Jan Koláček (PřF MU)
MV011 Statistika I
Distribuční funkce
Věta 4 (Vlastnosti distribuční funkce)
Necht F (x) je distribuční funkce náhodné veličiny X definované na {Cí,A,P). Pak
► F je neklesající.
► F je zprava spojitá.
lim F(x) = 1 a lim F(x) 0.
► O < F(x) < 1 pro x e R.
► P(X = x) = F(x) - lim F(y).
► F /??i nejvýše spočetně mnoho bodů nespojitosti.
► P(Xi < X < X2) = F(^2) — -F(^l) Pro X\,X2 GR, JCi < *2-
Jan Koláček (PřF MU)
MV011 Statistika I
5/29
Náhodná veličina
Příklad 3
Házíme opakovaně mincí.
Xi ... „počet hlav v 10 pokusech"
X2 .. .„čas, který stráví mince ve vzduchu, než spadne"
Obecně
'diskrétní náhodná veličina - max. spočetně mnoho hodnot např. X g N0
X<^
spojitá náhodná veličina - nespočetně mnoho hodnot např. X <G (0,oo)
Jan Koláček (PřF MU)
MV011 Statistika I
6/29
Diskrétní náhodná veličina
Definice 5
Řekneme, že náhodná veličina X je diskrétního typu (discrete), pokud existuje nejvýše spočetná množina M C R taková, že platí P(X £ M) = 1.
Definice 6
Nechť X je diskrétní náhodná veličina. Pak funkci p(x) = P(X = x), x £ M, nazýváme pravděpodobnostní funkcí (probability distribution function) diskrétní náhodné veličiny X a množinu M oborem hodnot X.
Poznámka 7
Pravděpodobnostní funkci lze definovat pro všechna reálná čísla, když položíme p(x)    0 pro x i M.
Značení: Fakt, že jde o diskrétní náhodnou veličinu budeme značit X ~ (M,p)
Jan Koláček (PřF MU)
MV011 Statistika I
7/29
Diskrétní náhodná veličina
Věta 8 (Vlastnosti pravděpodobnostní funkce)
NechtX~ (M,p). Pak
► p(x) > 0 pro V x g R    a     £        = 1.
► P(X g B) =    E   p(x)   pro libovolné B g 23.
xeMDB
► F(x) =    E   p(t)    pro   M x g R.
► = F(x) — lim F(y)    pro   V x g R.
Jan Koláček (PřF MU)
MV011 Statistika I
8/
Příklady
Příklad 4 (Alternativní rozdělení (Alternative distribution))
Uvažujme náhodný pokus, který může skončit s pravděpodobností 6 £ (0,1) „úspěchem" a s pravděpodobností 1 — 6 „neúspěchem".
Prostor elementárních jevů: O = {coi,0J2} c-algebra náhodných jevů: A = {0, {<^i}, {o^j/H} PST: P(0) = 0, P(co1) = 1-9, P(co2) = 0 a P (Cl) = 1.
Náhodná veličina:    X(coi) = 0 (neúspěch),
X(cú2) = 1 (úspěch).
Jan Koláček (PřF MU)
MVOll Statistika I
9/29
Příklad
1
0.7 0.3 +
0
1 --0.7 --
0.3
Ol
pravděpodobnostní funkce p(x)
6 = 0.7
1
distribuční funkce F(x)
1
Diskrétní náhodná veličina s definičním oborem M= {0,1} a pravděpodobnostní funkcí
6
x = 1
= < 1    0   x = 0 =
0
jinak
ex(i-ey-x x = o,i
0 ;mafc.
Náhodnou veličinu značíme X ~ A(9)
Jan Koláček (PřF MU)
MV011 Statistika I
10 / 29
Příklad
Příklad 5 (Binomické rozdělení (Binomial distribution))
Uvažujme posloupnost n nezávislých alternativních pokusů typu úspěch/neúspěch
s pravděpodobností úspěchu 6 G (0,1) pro každý pokus.
X je náhodná veličina udávající počet úspěchů v n pokusech.
Obor hodnot náhodné veličiny X:
{0,1,..., n)
a pravděpodobnostní funkce
n—x
x = 0,l,...,n, n G N, 9 G (0,1) jinak.
Náhodnou veličinu značíme
Bi(n,0) .
Jan Koláček (PřF MU)
MV011 Statistika I
11 / 29
Příklad
Příklad 6
Basketbalista hází trestný hod (šestku) s pravděpodobností úspěchu 0,9. Určete pravděpodobnost, že z pěti hodů:
a) dá 5 košů
b) dá alespoň dva koše
c) dá nejvýše dva koše
X ... počet vstřelených košů z pěti pokusů, X ~ £>z'(5;0,9)
a) P(X = 5) = (55)0,950,1° = 0,59
b) P(X > 2) = 1 - P(X < 1) = 1 - (P(X = 0) + P(X = 1))
= 1 - ((o)0,900,l5 + g)0, ^Cl4) = 0,99954
c) P(X<2) =P(X = 0)+P(X = 1)+P(X = 2)
= (j>)0,9°0,l5 + (1)0, ^(U4 + (2)0,920,13 = 0,00856
Jan Koláček (PřF MU) MV011 Statistika I 12/29
Příklad
Příklad 7 (Poissonovo rozdělení)
Jestliže M = {0,1,2,...} a pravděpodobnostní funkce je tvaru
p(x) =
A A
, pak značíme X ~ Po (A) .
x = 0,1,2,..., A>0 0 jinak
Poissonovo rozdělení popisuje výskyt řídkých jevů za určitou jednotku času, prostoru a pod. Parametr A značí očekávaný (průměrný) počet výskytů za jednotku. Jako příklad můžeme uvést
► počet organismů v jednotce půdy
► počet listí na stromech
počet havárií za časovou jednotku (den, týden, měsíc, rok, ...)
► počet hovorů v telefonní síti za časovou jednotku
Jan Koláček (PřF MU)
MV011 Statistika I
13 / 29
Příklad
Příklad 8
Na server přijde během hodiny průměrně 120 požadavků.
Jaká je pravděpodobnost, že během 2 minut, po které je server restartován:
a) nepřijde žádný požadavek,
b) přijdou více jak 3 požadavky,
c) přijdou více jak 3 požadavky, ale méně než 7 požadavků.
X ... počet požadavků během 2 minut, 120 požadavků za hodinu => 4 požadavky za 2 minuty     X ~ Po(4)
a) P(X = 0) = e-4^ = 0,0183
b) P(X > 3) = 1-P(X < 3)
= l-e-4(g + 4i + ť +|) = 0/5665
c)    P(3<X<7) =P(X = 4)+P(X = 5)+P(X = 6)
= e-4(£ + É + fi) =0,4558
Jan Koláček (PřF MU)
MV011 Statistika I
14 / 29
Příklad
Příklad 9 (Geometrické rozdělení)
Uvažujme nekonečnou posloupnost nezávislých alternativních pokusů typu úspěch/neúspěch s pravděpodobností úspěchu 6 £ (0,1) pro každý pokus. Náhodná veličina X udává počet neúspěchů před prvním úspěchem. Definiční obor náhodné veličiny: M = {0,1,2,...}. Pravděpodobnostní funkce je tvaru
. .   . (i-eye x = 0,1,2,..., e e (0,1) „
p(x) = ■{ „ .. a značíme X
0
jinak
Ge(9)
Jan Koláček (PřF MU)
MVOll Statistika I
15 / 29
Příklad
Příklad 10
Pravděpodobnost narození dívky je 0,49. Jaká je pravděpodobnost, že dívka se narodí až jako třetí?
X ... počet narozených chlapců před první dívkou, X ~ Ge(0,49)
P(X = 2) = (1 - 0,49)2 • 0,49 = 0,127
Jan Koláček (PřF MU)
MV011 Statistika I
16 / 29
Spojitá náhodná veličina
Definice 9
Řekneme, že náhodná veličina X definovaná na {Ti, A,P) je absolutně spojitého typu (continuous), jestliže existuje nezáporná integrovatelná funkce / taková, že rozdělení pravděpodobností
PX(B) = ff(x)dx       pro každé       B g B.
B
Funkci / nazýváme hustotou rozdělení pravděpodobností (density) náhodné veličiny X absolutně spojitého typu, stručněji/je hustotou X.
Značení: Fakt, že jde o spojitou náhodnou veličinu budeme značit X ~/.
Jan Koláček (PřF MU)
MV011 Statistika I
17 / 29
Spojitá náhodná veličina
Věta 10 (Vlastnosti hustoty)
Nechť X je náhodná veličina absolutně spojitého typu, f její hustota a F její distribuční funkce. Pak
00
► J f(x)dx = 1
00
x
► F (x) = J f(t)dt
00
► F je absolutně spojitá funkce.
Hustota f je určena skoro všude jednoznačně vzhledem k Lebesgueově míře, tj. jsou-li f a g hustoty náhodné veličiny x, pak jí ({x :f(x) ^ g(x)}) 0.
Existuje Ff skoro všude vzhledem k Lebesgueově míre a funkce f (x) = F1\x) je hustotou náhodné veličiny x.
b
► Pro každé a <b platíF(b) — F (a) = J f(x)dx
a
b
a také P(a < x < b) = P(a < x < b) = P(a < x < b) = Jf(x)dx.
a
Jan Koláček (PřF MU)
MV011 Statistika I
18 / 29
Příklady
Příklad 11 (Rovnoměrné rozdělení (Uniform distribution))
= J A xe(a,b)fa<b, 0 jinak.
0
F(x) =
_ ) x—a
b—a 1
x < a,
x g (a,b), a <b x > b
Značíme X ~ Ro(a,b) .
Jan Koláček (PřF MU)
MV011 Statistika I
19 / 29
Příklad
Příklad 12
Tramvaj jezdí v 10 minutových intervalech. Náhodně přijdeme na zastávku a měříme čas čekání na tramvaj. Určete pravděpodobnost, že budu čekat méně než 2 minuty.
X ... čas (v minutách) do příjezdu tramvaje     X ~ Ro(0,10), f(x) = ^ pro x G (0,10)
P(X < 2) = / f(x)dx = / — dx =
10
x
n2
LlOJo
= F(2)-F(0) =0,2
00
0
Příklad 13
Náhodnou veličinou s rovnoměrným rozdělením je napr. chyba při zaokrouhlování. Například zaokrouhlujeme-li na k desetinných míst, pak chyba
X~Ro (-5 • K)-*-1^ • ÍO-*-1
Jan Koláček (PřF MU)
MV011 Statistika I
20 / 29
Příklad
/(x) = -X_e~2V —J x £ R,; /i £ R, c > O značíme X-JV(iw,rr2) <p(M) = -l=e-2w2 u g R značíme    U ~ N(0,1)
Standardizace: Lř =
Příklad 14 (Normální (Gaussovo) rozdělení (Normal, Gaussian distribution))
1
V27Ť'
X-y
Hustota (p(u) je hustotou tzv. standardizovaného normálního rozdělení. Bývá
u
zvykem značit její distribuční funkci jako O(w) = J (p{t)dt.
— 00 X
Distribuční funkci normálního rozděleníF(x) = J f(t)dt nelze vyjádřit pomocí
— 00
elementárních funkcí, lze ji však zapsat pomocí mocninných řad.
Jan Koláček (PřF MU)
MV011 Statistika I
21 / 29
Jan Koláček (PřF MU)
MV011 Statistika I
22 / 29
Příklad
Při prodeji vánočních kaprů má hmotnost kapra v jedné z kádí přibližně normální rozdělení s parametry ji = 2,3 a a = 0,3 . Jaký podíl kaprů přesáhne svou hmotností 2,6 kg?
X ... hmotnost kapra => X ~ N(2,3;0,32)
P(X>2,6) = 1-P(X<2,6) = l-p(^—jí < 2'6q 2>3
= 1 - P(U < 1) = 1 - O(l) = 1 - 0,84 = 0,16
Jan Koláček (PřF MU)
MV011 Statistika I
23 / 29
Příklad
Příklad 16 (Exponenciální rozdělení)
Nechi jev A se vyskytuje v náhodných okamžicích a předpokládáme, že výskyty
tohoto jevu v nepřekrývajících se intervalech jsou nezávislé.
Označme
X ... náhodná veličina udávající čas, kdy poprvé nastane sledovaný jev A.
Distribuční funkce
F(x)
1 - e~Ax,  x > 0,
0,
x < 0.
Hustota
\e~Xx, x > 0, 0,        x < 0.
Řekneme, že X má exponenciální rozdělení s parametrem A a značíme
X - Ex(\) .
Jan Koláček (PřF MU)
MVOll Statistika I
24 / 29
Příklad
V porodnici se narodí v průměru každé 2 hodiny dítě. Určete pravděpodobnost, že se v daném dni nenarodí žádné dítě.
X .. . čas do narození prvního dítěte (jednotka = 1 den), 1 dítě za 2 hodiny => 12 dětí za den      X - Ex(12)
P(X > 1) = 1 - P(X < 1) = 1 - F(l) = 1 - (1 - e~12) = e~lz = 6,14 • 10
■12
-6
nebo
X .. . počet narozených dětí za 1 den => X ~ Po(12)
12°
P(X = 0) = p(0) = č~12 — = č~12 = 6,14 • 10
-6
Jan Koláček (PřF MU)
MV011 Statistika I
25 / 29
Příklad
Příklad 18 (Gamma rozdělení)
Jestliže náhodná veličina^ x má hustotu
■e~v a>0,x>0,
x < 0.
f(x) = { Jflr(«)
i xa~^
značíme
x ~ Gamma (a, jí)
Speciální případy:   a = 1 exponenciální rozdělení
a = n G N   Erlangovo rozdělení
00
Funkce ľ je pro a > 0 definována předpisem ľ (a) = J xa~1e~xdx.
o
Její nejčastěji používané vlastnosti jsou
T (a + 1) = aľ(a), T (1/2) =
r(n) = (n - 1)! pro n G N
Jan Koláček (PřF MU)
MV011 Statistika I
26 / 29
Příklad
Hustoty Distribuční funkce
Gamma rozdělení se používá především v teorii spolehlivosti, kdy například exponenciální rozdělení modeluje dobu do poruchy u komponent, které nejsou trvale namáhány, Erlangovo rozdělení se využívá pro popis doby života do n-té poruchy apod.
Jan Koláček (PřF MU)
MV011 Statistika I
27/
Příklad
Příklad 19 (Beta rozdělení)
Jestliže náhodná veličina X má hustotu
_ , ž^x*-1 (1 -xf-1   a,b>0,xe (0,1)
0 jinak Speciální případy:   a = 1, b = 1   rovnoměrné rozdělení i?o(0,1)
/(*) =
značíme X ~ Beta(a,b)
Funkce B(a,b) je pro a, b > 0 definována předpisem
B(a,&) = f xa-1(l-x)b-1dx. o
Platí vztah mezi beta a gamma funkcí
B(fl,fc)
r(fl + fc)'
Jan Koláček (PřF MU)
MV011 Statistika I
28 / 29
Příklad
Hustoty
Distribuční funkce
3.5 r
V souvislosti s předchozími rozděleními se dají ukázat vztahy
lim nBeta(l,n) = Exp(l), lim nBeta(k,n) = Gamma(k,l).
n^oo
Jan Koláček (PřF MU)
MV011 Statistika I
29