MVOll Statistika I 4. Náhodné vektory
Jan Koláček (kolacek@math.muni.cz)
Ústav matematiky a statistiky, Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita, Brno
Jan Koláček (PřF MU)
MVOll Statistika I
Motivační příklad
Příklad 1
V pytlíku jsou 3 zelené a 2 červené kuličky. Náhodně vybereme jednu kuličku, nevracíme ji a vybereme druhou kuličku. Popište rozdělení pravděpodobnosti tohoto pokusu. Jak se toto rozdělení změní v případě, že před druhým výběrem první kuličku vrátíme do pytlíku?
X ...počet #, Xg {0,1,2} Y ...počet • , Yg {0,1,2}
a) 1. kuličku nevracíme
x\	0	1	2
0	0	0	3 2 5 ' 4
1	0	o   3 2 Z' 5 ' 4	0
2	2 1 5 ' 4	0	0
p(x,y)
Jan Koláček (PřF MU)
MV011 Statistika I
2/29
Motivační příklad
b) 1. kuličku vracíme
x\	0	1	2
0	0	0	3 3 5 ' 5
1	0	o   3 2 2' 5 ' 5	0
2	2 2 5 ' 5	0	0
p(x,y)
p(x,y)
(Ir   pro (x,y) G {0,1,2}2, x + y 0 jinak
= 2
(X,Y)~Mn(2,y)
viz Příklad 4
Jan Koláček (PřF MU)
MV011 Statistika I
3/29
Náhodné vektory
Definice 1
Nechť [Cí,A,P) je pravděpodobnostní prostor, X = (Xi,...,Xn)r : O —» Rn je takové zobrazení, že pro VxG Rn platí
{co G O : X(o;) < x} G A.
Pak X nazýváme n-rozměrným náhodným vektorem (random vector).
i
Definice 2
Nechť X = (Xi,...,Xn)f je n-rozměrný náhodný vektor definovaný na pravděpodobnostním prostoru [Cí,A,P). Potom reálnou funkci
F{x\,.. .,xn)    P(Xi <xi,...,Xn < xn)    P(X < x) definovanou pro každý vektor x = (x\,... ,xn)f G Rn nazveme distribuční funkcí náhodného vektoru X.
= f] {o; G í) : Xi((v) G Bz-}, i=l
kde B = B! x • • • x Bn G Bn.
Značení: X G B = Xx G Blf...,Xn G B
Jan Koláček (PřF MU)
MV011 Statistika I
4/29
Distribuční funkce
Věta 3 (Vlastnosti vícerozměrné distribuční funkce)
Pro distribuční funkci náhodného vektoru X platí
F{x\,... ,xn) je neklesající v každé z proměnných X\,... ,xn, při pevně daných hodnotách ostatních proměnných.
F{x\,... ,xn) je zprava spojitá v každé z proměnných X\,... ,xn, při pevně daných hodnotách ostatních proměnných.
Pro V i = 1,... ,n je  lim F(x\,... ,xn) = 0, tj. vícerozměrná distribuční
funkce je nulová, jestliže alespoň jedna z proměnných jde k co. lim F(xi,... ,xn) = 1, ti. vícerozměrná distribuční funkce je rovna jedné,
Xn^oo
jestliže všechny proměnné jdou k co.
Jan Koláček (PřF MU)
MV011 Statistika I
5/29
Diskrétní náhodné vektory
Definice 4
Řekneme, že náhodný vektor X = (Xi,... ,Xn)' je diskrétního typu, jestliže existuje nejvýše spočetná množina M C Rn taková, že P\(M) = 1. Funkci p{x\,... ,xn) = P(Xi = Xi,... ,Xn = xn) nazýváme pravděpodobnostní funkcí náhodného vektoru X = (Xi,...,Xn)f a M nazýváme oborem hodnot náhodného vektoru X = (Xi,... ,Xn)f.
Značení: Fakt, že jde o diskrétní náhodný vektor budeme značit X ~ (M,p).
Jan Koláček (PřF MU)
MV011 Statistika I
6/29
Příklady
Příklad 2 (Rovnoměrné diskrétní rozdělení)
Necht G = {ai,..., an} je konečná množina, az- g R ,
Pravděpodobnost je pro všechny body stejná, (X, Y) značí souřadnice bodů v
P(*/2/)
i pro (*,y) g G 0 jinak
Náhodný vektor (X, Y) má rovnoměrné diskrétní rozdělení na množině G.
Značíme (X,Y) ~ Rť/2(G) •
Jan Koláček (PřF MU)
MV011 Statistika I
7/29
Příklady
Jan Koláček (PřF MU)
MV011 Statistika I
8/
Příklady
Příklad 4 (Multinomické rozdělení)
Uvažujme pokus, který může mít n disjunktních výsledků A\,..., An. Necht
n
9 j = P (Aj) pro i = 1,... ,n, přičemž ^ 9 j = 1. Tento pokus budeme k-krát
i=l
nezávisle opakovat.
Xj ... počet nastoupení jevu Aj v provedených k pokusech.
Nalezněte rozdělení pravděpodobností náhodného vektoru X = (Xi,... ,Xn)7
Xj £ {0,1,... ,k} pro i = 1,... ,n a pravděpodobnostní funkce je rovna
/    (k\(k—xl\ fk—Xi-----Xn-1^ QxlQx2 . . . Qxn
0(*f )■••('
p(x) = <
kl
Xi\--Xn
r\X\ pX2 p
J • • • (7
xn n
n
pro xz- G {0,1,...,fc}, E *z
z=l
= k
{ 0
jinak
Značíme X ~ Mn(k,9\,...,9n
Jan Koláček (PřF MU)
MV011 Statistika I
9/29
Příklad
Příklad 5
Hodím kostkou. Poté házím mincí tolikrát, kolik bylo ok na kostce. Náhodná veličina X popisuje počet ok na kostce, náhodná veličina Y popisuje, kolikrát padl „orel". Určete rozdělení pravděpodobnosti náhodného vektoru (X, Y).
i
X ... počet ok, X G {1,2,...,6}, Y ... počet „orlů", Y G {0,1,...,6}
Jan Koláček (PřF MU)
MV011 Statistika I
10 / 29
Spojité náhodné vektory
Definice 5
Řekneme, že náhodný vektor X = (Xi,... ,Xn)f definovaný na {Cí,A,P) je absolutně spojitého typu, jestliže existuje nezáporná integrovatelná funkce/
taková, že rozdělení pravděpodobností
P(X G B) = J f (x) dx = J • • • J f{x\,... ,xn) dx\... dxn
B
Bi
B
n
pro každé
B = Bi x • • • xB„ G Bn.
n
Funkci / nazýváme hustotou rozdělení pravděpodobností náhodného vektoru X = (Xi,...,Xny absolutně spojitého typu, stručněji/je hustotou X.
Značení: Fakt, že jde o spojitý náhodný vektor budeme značit X ~/.
Jan Koláček (PřF MU)
MV011 Statistika I
11 / 29
Spojité náhodné vektory
Věta 6 (Vlastnosti hustoty)
Nechi X = (Xi,..., Xn)' je náhodný vektor absolutně spojitého typu, f jeho hustota a F jeho distribuční funkce. Pak
► /(x) > 0 pro každé x G R"
► J7(x)áx = l
n
► Protože P (X <G B) = J f (x) dx, pak pro B = (—oo,xi) x • • • x (—oo,xn),
B
x
n
F{XlXn)- /■••//(ŕlř»)áři-ř»
-00
-00
Hustotu lze pomoci distribuční funkce vyjádřit takto
P(KX\/ • • • / Xfi^
... c)Xfi
přičemž uvedená derivace existuje skoro všude vzhledem k Lebesgueově míře.
Jan Koláček (PřF MU)
MV011 Statistika I
12 / 29
Příklad
Příklad 6 (Vícerozměrné rovnoměrné rozdělení)
Řekneme, že náhodný vektor X = (Xi,... ,Xn)' má vícerozměrné rovnoměrné
rozdělení s parametry a\, b\,... ,an, bn G R (cij <bj, i = 1,..., n), pokud její hustota má tvar
n
II jt^t   pro Xj G {aifbi)f a{ < bif i = l,...,n,
j \X\,. . ., Xn) — < i=\  1 1
0 jinak.
Náhodný vektor budeme značit
Rsn(a1,b1,...,an,bn)
Jan Koláček (PřF MU)
MV011 Statistika I
13 / 29
Příklad
Příklad 7 (Squash)
Předpokládáme, že squash hrají dva začátečníci, kterým míček padá zcela náhodně do hřiště. Popište rozdělení pravděpodobnosti náhodného vektoru (X, Y), který označuje souřadnice dopadu míčku. Rozměr squashového kurtu je 640 x 975 cm.
1000
Míček padá „náhodně" noměrné rozdělení
rov-
f(x,y) =
c pro (x,y) G (0;640) x (0;975 0 jinak
c = (
00 00
Musí platit J J f{x,y)dxdy = 1,
00 —00
tj. objem kvádru = 1
640 • 975 • c = 1     c -
640-975
(X, Y) ~Rs2 (0,640,0,975)
Jan Koláček (PřF MU)
MV011 Statistika I
14 / 29
Příklad
Příklad 8 (Vícerozměrné normální rozdělení)
Řekneme, že náhodný vektor X = (Xi,... ,Xn)' má //-rozměrné normální (Gaussovo) rozdělení s parametry }i .. ,\in)í í En a E > 0, pokud její
hustota má tvar
f(x) = (2n)-? |E|-2e"2(x-/'),=-1(x-/').
Píšeme
X~Nn(fi,Z)
E > 0 ... matice je pozitivně definitní a tedy i regulární Symbol E ... determinant matice.
Jan Koláček (PřF MU)
MV011 Statistika I
15 / 29
Příklad
Pro n = 2 :
r     \n) \po-i<r2     oj J     r    x 1
__i
=2?;^^ 2(1_
Píšeme
x = (xlfx2y ~N2(m,m,oi,02,p)
V en y    ^ cn    ^    \ ^ )
Jan Koláček (PřF MU)
MV011 Statistika I
16/
Příklad
Ukázky hustot f{x\,X2) ~ ^2(^1,}i2,cr\,cr\,p)
Hi = 3, H2 = 3, cr\ = 1, u\ = 1, p = 0
= 3,^2 = 3,     = 1,     = 0-65, p = 0.75        \i\ = 3, \ii = 3, u\ = \, u\ = \, p = —0.5
Vrstevnicový graf hustoty
osa y " osa x
Vrstevnicový graf hustoty
Vrstevnicový graf hustoty
Jan Koláček (PřF MU)
MV011 Statistika I
17
Motivační příklad
Příklad 9 (Chodec a semafor)
Roztržitý profesor přechází silnici aniž by se díval na semafor pro chodce. Pravděpodobnost, že bude zasažen autem je 0,01, pokud svítí červená, 0,1 pokud svítí oranžová a 0,8 pokud svítí zelená. Zelená na semaforu svítí20% času, oranžová 10% a červená 70%. Určete pravděpodobnostní rozdělení náhodné veličiny, která značí zasažení chodce autem.
S .. . barva na semaforu, S G {0,1,2}, 0 =0, 1 =0, 2 =0
Z .. . zasažení chodce autem, Z G {0,1}, 0 = „ne", 1 = „ano"
P(Z\S)
\ s z\		•	•	•
„ano"		0,01	0,1	0,8
„ne		0,99	0,9	0,2
P(Z,S) =P(Z|S)P(S)
Jan Koláček (PřF MU)
P(S)
S	•		•
P(S)	0,7	0,1	0,2
\ S	•	•	•	P(Z)
„ano"	0,007	0,01	0,16	0,177
„ne	0,693	0,09	0,04	0,823
P(S)	0,7	0,1	0,2	1
MV011 Statistika I
18 / 29
Marginální náhodné vektory
Věta 7 (n=2)
► Necht (X, Y) ~ (M, p). Pa/c marginální náhodné veličiny X a Y mají marginální pravděpodobnostní funkce
Vxipc) = £ p(x,y),     py(y) = £ p(*,y),
kdeM = Mx x My.
► Necht (X, Y) ~f(x,y). Pak marginální náhodné veličiny X a Y mají marginální hustoty tvaru
00
00
fx(x) = J f(x,y) dy,     fY(y) = j f {x, y) dx.
-00
-00
Jan Koláček (PřF MU)
MV011 Statistika I
19 / 29
Marginální náhodné vektory
Věta 8 (obecně)
Pro přirozené k < n mějme indexy      ..., i^} C {1,..., n} a {/l,...,jn-k\ = {!/• • -rn} \ {hr- • - 'h}-
► Necht X    (M,p). Pa/c marginální náhodný vektor X* rni marginální pravděpodobnostní funkci rovnu
P*(x*) =p*(xil,...,Xik) =P(X* =X*) =     ^    •••       ^ p(^l,...,^n),
/cc/e M = Mi x • • • x Mn, přičemž M j je obor hodnot náhodné veličiny Xj,
► Necht X je náhodný vektor absolutně spojitého typu s hustotou f (x). Pak marginální náhodný vektor X* má marginální hustotu tvaru
00 00
/ (x ) = f (xiľ - - - 'Xik) = J ''' J f(xi' - - - rxn) dxj1... dxjn_k.
— 00 —00
■ í
Jan Koláček (PřF MU)
MV011 Statistika I
20 / 29
Marginální náhodné vektory
Věta 9 (n=2)
Všechna marginální rozdělení náhodného vektoru (X, Y) jsou jednoznačně určena a pro marginální distribuční funkce Fx(x) a Fy(y) platí
F x M     lim F(X/V)/      -Fy (v)     lim F(x,y).
Věta 10 (obecně)
Všechna marginální rozdělení náhodného vektoru X = (Xi,... ,Xn)f jsou jednoznačně určena rozdělením náhodného vektoru X, přitom pro marginální distribuční funkci F* (x*) marginálního náhodného vektoru X* = (Xz- ,.../Xz- )
F*(x*) = F*(xz- ) =   lim F(xlf...,xn),
Xj -^oo
kde
m—k
{/!,. . .,jn-k} — {!/• • \ {/'i,. • - ,^}
Jan Koláček (PřF MU)
MV011 Statistika I
21 / 29
Příklad
Sdružená distribuční funkce
f{x,y)
Sdružená hustota
'Hf + D x G (0,2), y G (0,3), 0 jinak.
Marginální distribuční funkce
0 x<0 (0
Fx{x
fx(x)
Marginální hustoty
\(x + l)   a; G (0,2), 0 jinak.
My)
I (M + 1
6 13^-"-
ye (0,3),
jinak.
Jan Koláček (PřF MU)
MV011 Statistika I
22 /
Motivační příklad
Příklad 10 (Piráti silnic)
Na daném úseku měříme rychlost aut. Zaznamenáváme barvu auta a překročení povolené rychlosti. Pozorovali jsme 100 aut, z nichž 30 bylo modrých, 20 zelených a 50 červených. Tabulka uvádí relativní četnosti aut, která překročila povolenou rychlost. Zjistěte, zda překročení rychlosti závisí na barvě auta.
	modrá	zelená	červená
nepřekročí	0,18	0,12	0,3
překročí	0,12	0,08	0,2
X .. . překročení rychlosti, Y X nezávisí na Y, pak
barva auta
p(X|Y)lp(X)«»^p=p(X)
^p(xnr) =p(x)p(y)
4» p(x,y) =px(x)pr(y)
Jan Koláček (PřF MU)
MV011 Statistika I
23 / 29
Příklad
y x	modrá	zelená	červená	Px(x)
nepřekročí překročí	0,12	0,12 0,08	0,3 0,2	0,6 0,4
My)	0,3	0,2	0,5	1
Je třeba ověřit p{x,y) = Px(*)PyO/)> tj-
0,18 = 0,3-0,6 0,12 = 0,2-0,6
Jan Koláček (PřF MU)
MV011 Statistika I
24
Nezávislé náhodné veličiny
Definice 11
Řekneme, že náhodné veličiny X\,... ,Xn jsou (stochasticky) nezávislé (independent), jestliže jsou nezávislé náhodné jevy {Xi < Xi},...,{Xn < xn} pro libovolné x = {x\,... ,xn)r G Rn.
Věta 12
Mějme diskrétní náhodný vektor X = (Xi,... ,Xn)f ~ (M,p). Pak X\,... ,Xn jsou nezávislé, právě když
n
p(x1/.../xn)    Hpi(xj)    pro   Vx = (x1/.../xn)/ G Rn,
i=i
kde pro i = 1,..., n je pi(xj) marginální pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny Xj.
► Necht X = (Xi,... ,Xn)r je absolutně spojitý náhodný vektor se sdruženou hustotou f (xi,..., xn). Pak X\,..., Xn jsou nezávislé, právě když
n
f(xi,...,xn) = Ylfi(xi)    Pro   s-v- x = {x\,... ,xn)f G Rn,
i=l
kde pro i = 1,... ,n jefj(xj) marginální hustota náhodné veličiny Xj.
Jan Koláček (PřF MU)
MV011 Statistika I
25 / 29
Nezávislé náhodné veličiny
Věta 13
Necht náhodný vektor X = (Xi,... ,Xn)f má sdruženou distribuční funkci F (x) = F{x\,... ,xn) a necht pro i = 1,... ,n je F {{x) marginálni distribuční funkce náhodné veličiny Xj. Pak náhodné veličiny X\,...,Xn jsou (stochasticky) nezávislé, právě když
n
F (x)    F(x\,.. .,xn)    Y\Fi(xi)    Pro   V x = {x\,... ,xn)r G Rn.
i=l
Jan Koláček (PřF MU)
MV011 Statistika I
26 / 29
Příklad
Příklad 11
Náhodný vektor (X, Y) má rovnoměrné diskrétní rozdělení na množině G = {[0,0]; [1,0]; [0,1]}. Jsou náhodné veličiny X a Y nezávislé?
0 jinak
"X. r x ^\	0	1	Px(x)
0 1	1/3 1/3	1/3 ■	2/3 |l/3|
Pr(y)	2/3	1/3	1
Jan Koláček (PřF MU)
MV011 Statistika I
27 / 29
Náhodný vektor (X, Y) má rovnoměrné spojité rozdělení na množině G = (0;2) x (0;2). Jsou náhodné veličiny X a Y nezávislé?
0.5-v. 0.45 0 4
0.35^
0.3 0.25
0.2
1
4
/(x, y) =
5     pro (x, y) G G
0 jinak
00
/xM = / f(x,y)dy = J \dy
-oo 0 oo 2
/y (y) = / f(*,y)dx = ]\dx
o
-oo
1
2
/(*/y) =/xW/r(y)
Příklad 13
Náhodný vektor (X, Y) má rovnoměrné spojité rozdělení na množině G — {(x,y) G R2;x2 +y2 < 1}. Jsou náhodné veličiny X a Y nezávislé
i
TI
f(x,y) =
\ pro (x, y) G G 0 jinak
fx(x)=    T \dy = ±VT^xž
fY(y)=    J ldx=^^f
f {x,y) ŕfx(x)fY(y)