Diferenciální počet funkcí více proměnných
Definice a věty
Petr Liška
Masarykova univerzita
18.9.2019 - 9.10.2019
Petr Liška  (Masarykova univerzita) Diferenciální počet funkcí více proměnných
18.9.2019 - 9.10.2019       1 / 38
Pojem funkce
Petr Liška  (Masarykova univerzita) Diferenciální počet funkcí více proměnných
18.9.2019 - 9.10.2019
2/38
Wind-chil index
T/v	5	10	15	20	25	30	40	50	60	70	80
5	4	3	2	1	1	0	-1	-1	-2	-2	-3
0	-2	-3	-4	-5	-6	-6	-7	-8	-9	-9	-10
-5	-7	-9	-11	-12	-12	-13	-14	-15	-16	-16	-17
-10	-13	-15	-17	-18	-19	-20	-21	-22	-23	-23	-24
-15	-19	-21	-23	-24	-25	-26	-27	-29	-30	-30	-31
-20	-24	-27	-29	-30	-32	-33	-34	-35	-36	-37	-38
-25	-30	-33	-35	-37	-38	-39	-41	-42	-43	-44	-45
-30	-36	-39	-41	-43	-44	-46	-48	-49	-50	-51	-52
1/1/ = 13,12 + 0,62157 - 11,37v0'16 + 0,3965TV0'16
Petr Liška  (Masarykova univerzita) Diferenciální počet funkcí více proměnných
18.9.2019 - 9.10.2019
3/38
Petr Liška  (Masarykova univerzita)
Diferenciální počet funkcí více proměnných
18.9.2019 - 9.10.2019
Funkce
Definice
Nechť M C Rn, n e N, M ^ 0. Zobrazení f: M     IR se nazývá (reálná) funkce n (reálných) proměnných. Množina M se nazývá definiční obor funkce f.
Definice (Speciálně)
Nechť D C IR2, D 7^ 0. Předpis ŕ, který každému bodu roviny [x,y] G D přiřazuje právě jedno z G IR, nazýváme funkcí dvou proměnných. Tuto funkci označujeme
* = r(x,y)-
Množina D se nazývá definiční obor funkce ŕ.
Petr Liška  (Masarykova univerzita) Diferenciální počet funkcí více proměnných
18.9.2019 - 9.10.2019       5 / 38
Graf funkce
Definice Nechť M C IR", f; M —>R. Pak
G(0 =       • • • 5xn,y]; [xi,... ,x„] Gln;y= f(xi,... ,x„)} se nazývá graf funkce f.
Definice
Nechť M C M2, ŕ: M    R, c G R. Množinu
fc = {[x,y] e M: ŕ(x,y) = c} nazývame vrstevnice funkce f na úrovni c.
Petr Liška  (Masarykova univerzita) Diferenciální počet funkcí více proměnných
18.9.2019 - 9.10.2019       6 / 38
Důležité pojmy z metrických prostorů
Petr Liška  (Masarykova univerzita)
Diferenciální počet funkcí více proměnných
18.9.2019 - 9.10.2019
Metrický prostor
Definice
Množinu P / 0 a zobrazení g: P x P —> M+ splňující pro všechna x, y,
ze P
1. £>(x,y) = 0       x = y
2. p(x,y) = p(y,x)
3. g(x,y) + g(y,z) > g(x,z)
se nazývá metrický prostor. Zobrazení g se nazývá metrika, £>(x, y) je pak vzdálenost bodů x, y v prostoru (P,g).
Petr Liška  (Masarykova univerzita)	Diferenciální počet funkcí více proměnných		18.9.2019 - 9.10.2019       8 / 38
Necht (P, g) je metrický prostor. Pro A, B G P, A, B ^ 0 definujeme vzdálenost množin A a B
e{A,B) = \nf{e{x,y),xeA,yeB} a průměr množiny A
d (A) = sup {g(x, y), x, y e A} Jestliže množina d{A) není shora ohraničená, klademe d{A) — oo.
Je-1i d{A) < oo množina se nazýva ohraničená (omezená).
Petr Liška  (Masarykova univerzita)
Diferenciální počet funkcí více proměnných
18.9.2019 - 9.10.2019       9 / 38
Definice
Nechť a G P, e > 0. Množinu Oe (epsilonovým) okolím bodu a.
— {xGP: Éf(x,a) < s} nazýváme
hraniční bod - libovolné okolí obsahuje bod, který patří do množiny, i bod, který do množiny nepatří
hranice - množina všech hraničních bodů
uzavřená množina - obsahuje svoji hranici
otevřená množina - s každým bodem obsahuje i nějaké jeho okolí hromadný bod - každé jeho okolí obsahuje nekonečně mnoho bodů
Petr Liška  (Masarykova univerzita)
Diferenciální počet funkcí více proměnných
Nechť {xn}^° je posloupnost bodů v (P, £>). Řekneme, že posloupnost konverguje k bodu xq (xn —> xq), jestliže
É>(xn, xq) —0   pro   n —> oc.
Řekneme, že posloupost je cauchyovská, jestliže
£>(xm, xn) —)► 0   pro   min{rn. n} —>► oc.
Definice
Necht qi, q2 jsou metriky na P. Řekneme, že metriky jsou ekvivalentní, jestliže
Q1K
xn —>► x0
Q2K
xn —>► x0
Petr Liška  (Masarykova univerzita)
Diferenciální počet funkcí více proměnných
Definice
Metrický prostor se nazývá úplný, jestliže v něm každá cauychovská posloupnost má limitu.
Definice
Prostor (množina) se nazývá kompaktní, jestliže z každé posloupnosti lze vybrat konvergentní podposloupnost.
Petr Liška  (Masarykova univerzita)
Diferenciální počet funkcí více proměnných
Limita a spojitost
Petr Liška  (Masarykova univerzita)
Diferenciální počet funkcí více proměnných
Limita
Definice
Necht f: I" ^ la a G (M*)n je hromadný bod definičního oboru f. Řekneme, že ŕ má v bodě a limitu L, L G M*, jestliže ke každému O(Ľ) existuje ryzí okolí O(a) takové, že pro každý bod x G O(a) n D(f) platí f (x) G O(Ľ). Píšeme
lim ŕ(x) = L
Definice
Necht ŕ:K2^Ka [x0,y0] G D(ŕ) je hromadný bod D(f). Řekneme, že funkce ŕ má v bodě [xo,yo] limitu L, jestliže \/e > 036 > 0 tak, že
V(x,y) G D{f): 0 < y/(x - x0)2 + (y - y0)2 < 5   platí   |ŕ(x,y)-L| < e.
Píšeme
lim      f (x, y) = L .
(*>y)-K*ô>yo)
Petr Liška  (Masarykova univerzita) Diferenciální počet funkcí více proměnných
18.9.2019 - 9.10.2019       14 / 38
Funkce f má v každém bodě nejvýše jednu limitu.
Věta
Nechi lim(x,y)-^(x0,yo) ^(x> y) = 0^1/ nějakém ryzím okolí bodu [xo,yo] platí, že \g{x,y)\ < K. Pak lim(x,yH(x0,yo) f{x,y)g(x,y) = 0.
Věta
Nechi h(x,y) < f(x,y) < g(x, y) v nějakém ryzím okolí bodu [xo,yo] a platí\\m{Xíy)^{x0íyo)h(x,y) = lim(X)y)^(XOiyo) g(x,y) = L. Pak
lim(x,yH(x0,yo) f(*,y) = L
Věta
Má-li funkce f v bodě [xo,yo] £ (IR*) vlastní limitu, pak existuje ryzí okolí bodu [xo,yo] v němž je funkce f ohraničená.
Petr Liška  (Masarykova univerzita) Diferenciální počet funkcí více proměnných
18.9.2019 - 9.10.2019       15 / 38
Necht lim(x?y)^(xo?yo) f (x, y) = Llr lim(x?y)^(xo?yo) g(x,y) = L2 a Lľl L2 G IR. Pa/c pro /cažc/é ci, c2 G K. p/aŕ/'
lim      (cif(x,y) + c2g"(x,y)) = ciLi + c2L2
(*,y)^(*o,yo)
lim      f(x,y)ár(x,y) = Lľ L2
(*,y)^(*o,yo)
a je-li L2 ± Q
f {x, y) = U
(x,y)^(x0,y0) ár(x,y) L2
lim
Věta
Funkce f má v bodě [xo,yo] limitu rovnu L, jestliže existuje nějaká funkce g: [0,oc) —>> [0, oc) splňující limr^0+ s{r) — 0 ta ková, že \f(xo + rcos(p,yo + rsin^) — L\ < g{r) pro libovolné (p G [0,27ľ) a r > 0 dostatečně malé.
Petr Liška  (Masarykova univerzita)
Diferenciální počet funkcí více proměnných
16 / 38
Spojitost
Definice
Řekneme, že funkce ŕ je spojitá na množině M C IR , jestliže pro každý bod [xo,yo] £ M, který je jejím hromadným bodem, platí
lim      f(x,y) = f(xd,yo).
(*,y)^(*o,yo)
(x,y)€M
Věta (Weierstrass)
Necht funkce f je spojitá na kompaktní množině M C IR2. Pa/c nabývá na
M své nejmenší a největší hodnoty.
^^^^^^^^^^^^^^^^^
Věta (Bolzano)
Necht funkce f je spojitá na otevřené souvislé množině M C IR2. Nechť pro A, B E M platí f (A) ^ f (B). Pak ke každému číslu c ležícímu mezi f (A) a f(B) existuje C e M tak, že f (C) = c.
Petr Liška  (Masarykova univerzita)
Diferenciální počet funkcí více proměnných
18.9.2019 - 9.10.2019
17 / 38
Parciální derivace
Petr Liška  (Masarykova univerzita)
Diferenciální počet funkcí více proměnných
Parciální derivace
Definice
Nechť f:R2^Ka [*o>yo] Je bod. Existuje-li limita
h^O h
x^xq
x - x0
řekneme, že funkce ŕ má v bodě [x0,yo] parciální derivaci podle x s hodnotou této limity. Tuto derivaci značíme
r ŕ \ df(x0,yo) df . fx(x0,y0) = —-= ^(xo>W = fx(xo,yo)
Petr Liška  (Masarykova univerzita) Diferenciální počet funkcí více proměnných
18.9.2019 - 9.10.2019       19 / 38
Necht funkce f, g: M? —>> K. mají parciální derivaci podle proměnné Xj, i e {1,2}, r?a otevřené množině M. Pak jejich součet, rozdíl, součin a podíl má na M parciální derivaci podle x\ a platí
9 [f(x)±g(x)] = 4-f(x)±4-g(x),
dxj dxj dxj
9 [f{x)g(x)] = -jLf{x)g(x) + g(x)4-f(x),
&X; &X; &X;
je-li navíc g(x) ^ O, pak
d_ / f(x) \ = |f(x)g(x)-f(x)|-g(x) dxi \g(x)J g2(x)
Petr Liška  (Masarykova univerzita)
Diferenciální počet funkcí více proměnných
Derivace vyšších řádů
Nechť [xo,yo] G D(fx). Existuje-li parciální derivace funkce /*(x,y) podle proměnné x v bodě [xo,yo], nazýváme tuto derivaci parciální derivací funkce 2. řádu podle x funkce f v bodě [xo,yo] a značíme ji /xX(xo,yo)
nebo 0(xo,yo)
dx2
Existuje-li parciální derivace funkce /x(x,y) podle proměnné y v bodě [xo>yoL nazýváme tuto derivaci smíšenou parciální derivací2. řádu funkce f v bodě [x0,y0] a značíme ji rxy(x0,y0) nebo také ^^(xo,yo)-
Věta (Schwarz, Clairaut)
Necht funkce f má v okolí bodu [xo,yo] parciální derivace fXl fy a smíšenou parciální derivaci fxy, která je v bodě [xo,yo] spojitá. Pak existuje také smíšená parciální derivace /ýx(xo,yo) a platí
fxy(x0,y0) = /ýx(x0,yo).
Petr Liška  (Masarykova univerzita) Diferenciální počet funkcí více proměnných
18.9.2019 - 9.10.2019       21 / 38
Definice
Řekneme, že funkce ŕ: K ^ R má v bodě [xo,yo] směrovou derivaci ve směru jednotkového vektoru Ú — (ui, u2), jestliže existuje limita
Duf(*6,yo) = lim
h->0
f(xo + uih,y0 + u2h) - r(x0,yo)
Definice
Nechť f \ IR2 —>> IR, pak gradientem funkce f rozumíme vektor Vf (grad f)
Vf(x,y) = (fx(x,y), /ý(x,y)).
Věta
Má-// funkce f(x,y) spojité parciální derivace prvního řádu, pak má funkce směrovou derivaci ve směru libovolného vektoru Ú — (l/i, 1/2) a p/at/'
£V(x,y) = £(x,y)ui + fy(x,y)u2 = W(x,y) • J.
Petr Liška  (Masarykova univerzita)
Diferenciální počet funkcí více proměnných
Diferenciál a kmenová funkce
Petr Liška  (Masarykova univerzita)
Diferenciální počet funkcí více proměnných
Diferenciál funkce
Definice
Řekneme, že funkce f: M2 —> IR definovaná v okolí bodu [xo,yo] je v tomto bodě diferencovatelná, jestliže existují reálná čísla A, B taková, že platí
v        f(xo + h,y0 + k)- f(xa,y0) - (Ah + Bk) _
(/7,/cH(o,o)
Vh2 + k2
Lineární funkce Ah + Bk proměnných h, k se nazývá diferenciál funkce v bodě [xo,yo] a značí se df(xo,yo)(h, k), případně d/r(xo,yo). Ekvivalentně: existují A, B e R a funkce r: M2 —>• R tak, že platí
ŕ(x0 + /?,y0 + /c) - ŕ(xo,y0) = Ah + Bk + r(/?, /c),
kde
r(M) (/i,fcH(o,o) V /j2 + k2
lim
= 0.
Petr Liška  (Masarykova univerzita) Diferenciální počet funkcí více proměnných
18.9.2019 - 9.10.2019       24 / 38
Je-li funkce f diferencovatelná v bodě [xo,yo], pak je v tomto bodě spojitá.
Je-li funkce f diferencovatelná v bodě [xo,yo], pak má v tomto bodě parciální derivace a platí
df(x0,y0) = fx(x0,y0)h + /ý(x0,y0)/c.
Věta
Má-li funkce f v bodě [xo,yo] spojité parciální derivace 1. rádu, pak má v tomto bodě také diferenciál.
Petr Liška  (Masarykova univerzita)
Diferenciální počet funkcí více proměnných
25 / 38
Má-li funkce f (x, y) v bodě [xo,yo] totální diferenciál, má graf funkce v tomto bodě tečnou rovinu o rovnici
z = f(xo,y0) + /x(x0,y0)(x-x0) + ŕy(*o,yo)(y - yo)-
Věta
Nechi P, Q jsou spojité funkce proměnných x, y definované na otevřené jednoduše souvislé množině fi C IR2, které mají na této množině spojité parciální derivace Py, Qx. Pak výraz P(x,y)dx + Q(x,y)dy je diferenciálem nějaké funkce, právě když platí
Py(x,y) = Qx(x,y)      pro každé      [x,y] e fi.
Funkci z předchozí věty se říká kmenová funkce funkcí P a Q
Petr Liška  (Masarykova univerzita) Diferenciální počet funkcí více proměnných
18.9.2019 - 9.10.2019       26 / 38
Lokální a absolutní extrémy
Petr Liška  (Masarykova univerzita) Diferenciální počet funkcí více proměnných
18.9.2019 - 9.10.2019       27 / 38
Lokální extrémy
Definice
Řekneme, že funkce f \ K. —)► K. nabývá v bodě [xo,yo] lokálního maxima (minima), jestliže existuje okolí tohoto bodu takové, že pro všechny body z tohoto okolí platí ŕ(x,y) < f(xo,yo), resp. ŕ(x,y) > f(xo,yo). Jsou-li nerovnosti v těchto vztazích pro [x,y] 7^ [xo,yo] ostré, mluvíme o ostrých lokálních maximech a minimech.
(Ostrá) lokální maxima a minima nazýváme souhrne (ostré) lokální extrémy.
Definice
Necht f \ K.—)► IR. Řekneme, že bod [xo,yo] je stacionární bod funkce f, jestliže v bodě [xo,yo] existují obě parciální derivace prvního řádu funkce f a platí
fx(x0,yo) = /ý(x0,yo) = 0.
Petr Liška  (Masarykova univerzita) Diferenciální počet funkcí více proměnných
18.9.2019 - 9.10.2019       28 / 38
Věta (Fermat)
Nechť funkce f \ IR2 —>> R rna v bodě [xo,yo] lokální extrém. Pak všechny parciální derivace funkce f, které v tomto bodě existují, jsou rovny nule.
Věta
Necht funkce f\ R2     R má v bodě [xo,yo] a nějakém jeho okolí spojité parciální derivace druhého řádu a necht [xo,yo] je její stacionární bod. Jestliže
D(x0,y0) = /xX(x0,yo)ŕyy(x0,yo) ~ [M^yo)] > °'
pak má funkce f v [xo,yo] ostrý lokální extrém. Je-li fXx(><o,yo) > O, jde o
minimum, je-li /xX(xo,yo) < O, jde o minimum.
Jestliže D(xo,yo) < O, pak v bodě [xo,yo] lokální extrém nenastává.
Petr Liška  (Masarykova univerzita)
Diferenciální počet funkcí více proměnných
Absolutní extrémy
Definice Nechť f\
R2 -> R, M C D(f). Řekneme, že bod [x0,y0] G M je bo-
dem absolutního minima (maxima) funkce f na M, jestliže f(xo,yo) < f(x,y) (^(xo^yo) > f(x,y)) pro každé [x,y] 6 M. Jsou-li nerovnosti pro [xo>yo]    [x?y] ostré, mluvíme o ostrých absolutních extrémech.
Věta
Necht M C M2 je kompaktní množina a funkce f \ M —>> R je spojitá na M. Pak f nabývá svých absolutních extrémů buď v bodech lokálního extrému ležících uvnitř M, nebo v některém hraničním bodě.
Petr Liška  (Masarykova univerzita) Diferenciální počet funkcí více proměnných
18.9.2019 - 9.10.2019       30 / 38
Derivace složené funkce
Petr Liška  (Masarykova univerzita) Diferenciální počet funkcí více proměnných
18.9.2019 - 9.10.2019       31 / 38
Nechť funkce x = g(ť) a y — h{ť) jsou diferencovatelné v bodě to-Označme x$ — g(to) a yo = h(to). Je-li funkce z = f(x,y) diferencovatelná v bodě [xo,yo], pak z je diferencovatelná funkce proměnné t a platí
ó.z df dx df dy
(řo) = — (*o,yo)-rr(to) + tt(*o,yo)-77(to) •
dt
<9x
dt
<9y
dt
Věta
Nechť funkce u(x,y) a v(x,y) mají parciální derivace prvního řádu v bodě [xo,yo\- Označme uo = u(xo,yo),     = v(xo,yo). Je-// funkce z = f(u, v) diferencovatelná v bodě [l/o, vo], pa/c složená funkce z — F(x,y) = f (u(x,y), v(x,y)) má parciální derivace 1. řádu v bodě [xo,yo] 3 platí:
dF df ,        du,      x    df,       .dv, x
(*o,yo) = — ("o, v0) — (x0,y0) + — ("o, ^o)Tr(xo.yo),
<9x
<9x
<9\/
<9x
dF.      .    c?ŕ,      .9i/.      .    dŕ, .dv,
(*o,yo) = —(^0, vo) — (x0,y0) + — ("o, ^o) — (*o,yo).
dy
du
dy
dv
dy
Petr Liška  (Masarykova univerzita) Diferenciální počet funkcí více proměnných
18.9.2019 - 9.10.2019       32 / 38
Tayl ořova věta
Petr Liška  (Masarykova univerzita) Diferenciální počet funkcí více proměnných
18.9.2019 - 9.10.2019       33 / 38
Necht funkce ŕ: IR2 —> IR má v bodě [xo,yo] spojité parciální derivace až do řádu m včetně. Diferenciálem m-tého řádu funkce f v bodě [xo,yo] rozumíme funkci
m     /    \ 0/77 r
Věta
Nechi funkce f: R2 —> R má v bodě [xo,yo] a nějakém jeho okolí spojité parciální derivace až do řádu n + 1 včetně, pak pro každý bod [x,y] z tohoto okolí platí
f{x,y) = T„(x,y) + Rn(x,y),
kde
Tn(x,y) = f(x0,y0) + df(x0,y0)(h, k) + -d2f(x0,y0)(h, k) + • • • + "V"/^,w)^, /<)
2! n!
Rn{x,y)
cT+^xq +      y0 + ^/c)(/7, /c),       z/ G (0,1), /? = x - x0, /c = y - y0
Petr Liška (Masarykova univerzita)
Diferenciální počet funkcí více proměnných
Funkce daná implicitně
Petr Liška  (Masarykova univerzita) Diferenciální počet funkcí více proměnných
18.9.2019 - 9.10.2019       35 / 38
Necht F je funkce dvou proměnných F(xo,yo) = 0. Předpokládejme, že existuje obdélníkové okolí O — (xq — S,xq + ô) x (yo — e,yo + s), ô > 0, £ > 0, s následující vlastností:
K libovolnému x G (xq — (5, xq + (5) existuje v intervalu (yo — e, yo + e) právě jedno y takové, že F(x,y) = 0. Označme tuto hodnotu y = f (x).
Pak o takto definované funkci f (x), x G (xq — 5, xo + 5), říkáme, že je zadána implicitně rovnicí F(x,y) = 0 v okolí bodu [xo,yo].
Petr Liška  (Masarykova univerzita) Diferenciální počet funkcí více proměnných
18.9.2019 - 9.10.2019       36 / 38
Necht je funkce F spojitá na čtverci
R = {[x>y] ^ D(F): \x-xq\ < a,\y-y0\ < a}
a necht F(xo,yo) = 0. Dále předpokládejme, že funkce F má spojitou
parciální derivaci J^F(x,y) v bodě [x0,yo] a platí ^F(x0, yo) ^ 0.
Pak existuje okolí bodu [xo,yo], v němž je rovností F"(x, y) = 0 implicitně
definována právě jedna funkce y = f (x), která je spojitá.
Má-li navíc funkce F na R spojité parciální derivace 1. řádu, pak má
funkce f derivaci v bodě xq a platí
ff,   x fx(x0,yo)
Fy{xo,yo)
Petr Liška  (Masarykova univerzita)
Diferenciální počet funkcí více proměnných
18.9.2019 - 9.10.2019
37 / 38
Věta
Nechť funkce F: Rn+1 -)■ M,
M={[x,y] = [xi,...,xn,y] Gl"+1,F(x,y) = 0}, bod [x*,y*] £ M a funkce F je spojitá na množině
r = {[xiY] = lxii • • • 5xn,y]: |x; - x*| < a, /' = 1,..., n, |y - y*| < a} .
Dá/e předpokládejme, že F má spojitou parciální derivaci Fy v bodě [x*,y*] a §^-(x*'y*) 7^ 0. Pa/c existuje okolí bodu [x*,y*], v r?ěmž je rov-nicí F(x,y) = F(xi,... ,xn,y) = 0 implicitně určena právě jedna spojitá funkce y = f (x) = f (xi,..., xn).
Má-li navíc funkce F v bodě [x*, y*] spojité parciálni derivace ~^.F, má implicitně určená funkce f v bodě x* = [x£,..., x*] parciální derivace a platí
aF-(x*,y*)
0ŕ
(x*) = -
dxj
f (**,y*)
Petr Liška  (Masarykova univerzita) Diferenciální počet funkcí více proměnných
18.9.2019 - 9.10.2019       38 / 38