Teorie epidemií
Modelování a teorie sítí Petr Liška
http://networksciencebook.com
11.12.2019
Petr Liška (http://networksciencebook.co
Teorie epidemií
Jednoduchý SIS model
d/(ŕ) = j3(k)S(t)l(t) - fMl(t) = /3</c)/(ŕ)(l - /(ŕ)) - M/(ŕ),      1(0) = l0
dt
/3{k)J l + CeiPW-^' l-/0-^y
Dvě možnosti: • Endemický stav (/j, < /3{k})
/i
/(oo) = 1 -
(3{k)
Nemoc je vyhlazena (/j, > p {k))
/(oo) = 0
Petr Liška (http://networksciencebook.co		Teorie epidemií	11.12.2019 2/14
SUSCEPTIBLE (HEALTHY)
INFECTION -►
RECOVERY <-
Z2
INFECTED (SICK)
Q LU I— O
o <
Oč.
exponential outbreak
If i is small,
endemic state
l ~ 1,0
{ß{k)t-i>)t
i(oo)= 1 -
(4
ß(k)
Petr Liška (http://networksciencebook.co		Teorie epidemií	11.12.2019 3/14
Charakteristický čas a reprodukční číslo
Charakteristický čas /(r) = -
1 1
Nemoc	Ro	
spalničky	12-	-18
černý kašel	12-	-17
záškrt	6-	-7
neštovice	5-	-7
dětská obrna	5-	-7
zarděnky	5-	-7
příušnice	4-	-7
HIV/AIDS	2-	-5
SARS	2-	-5
chřipka	2-	-3
Petr Liška (http://networksciencebook.co		Teorie epidemií	11.12.2019 4/14
Petr Liška (http://networksciencebook.co
Teorie epidemií
11.12.2019 6/14
Náhodná síť - definice podle Gilberta Každý pár z N uzlů je spojen s pravděpodobností p.
Pravděpodobnost, že síť má právě L hran:
PL=Í       2 jp^(l-p)^
Očekávaný počet hran
N(N-l)
L=0
Průměrný stupeň uzlu
(k) = If-= p(N - l)
Distribuce uzlů
N ~ 1\ -krt      _x/V-l-* „-<*><*>*
Pk =    ,    pK(i - p)
Petr Liška (http://networksciencebook.co
Teorie epidemií
11.12.2019 8/14
Svět je malý
(k\d+1
N(d)^l + {k) + {k)2 + --- + {k)d = K i
N{dmax) « N « (k)
In N
d
'max
(d)
ln(/c) In N
'max
In N _ ln(8 • 109) _
(d) ~ Wj ~    In 103    " 3'3
Bezškálová síť, Barabási-Albert model
Růst - v každém kroku přidáme uzel s m novými spojeními Preferential attachment - pravděpodobnost n(^)' že spojení nového uzlu bude navázáno na starý uzel / je dána
IK*')
ki
7
J
Petr Liška (http://networksciencebook.co		Teorie epidemií	11.12.2019 10/14
Jaký je stupeň uzlu?
Petr Liška (http://networksciencebook.co
Teorie epidemií
11.12.2019
Jaká je distribuce stupňů uzlů?
Kolik uzlů má stupeň menší než kl
m[i,y <k=*t!<t(iľ
Dohromady máme N = rriQ + t « t uzlů. Pravděpodobnost, že vybereme uzel stupně menšího než k
Distribuce pak je
dP(k) 2m2
Pk =
dk k3
Petr Liška (http://networksciencebook.co		Teorie epidemií	11.12.2019 12/14
Friendship paradox
k2
kn(ki) = '
(k)
Pro náhodné sítě platí Pro bezškálovou síť platí
7c2} —>> oo   pro   N —> oo
Síť	N	L	(k)	{k2)
Internet	192 244	609 066	6,34	240,1
Vědci	23 133	93439	8,08	178,2
Herci	702 388	29 397 908	83,71	47 353
Petr Liška (http://networksciencebook.co
Teorie epidemií
11.12.2019 13/14
Model epidemie na síti
dt
= p(i-ik)kek-ixik
E k'Pk' Ik'      E k>Pk' lk'
k> k>
k
T —
(k)
p(k2}-v(k)
Petr Liška (http://networksciencebook.co
Teorie epidemií