Jednoduchý klimatický model Země jako sněhová koule a její ohnivý konec Petr Liška Masarykova univerzita 4.12.2019 Petr Liška (Masarykova univerzita) Jednoduchý klimatický model 4.12.2019 1/21 Základní predpoklady - platí „zákon zachovaní energie", tj. energie, kterou Země přijme od Slunce, musí být vyrovnána energií, kterou Země vyzáří - musíme vzít v potaz, že část energie je odražena zpátky, tzv. albedo efekt - probíhá transport tepla po planetě Náš model má kořeny v roce 1969 a je založen na práci M. I. Budyka (Státní hydrologický institut v Petrohradu) a W. D. Sellerse (University of Arizona, Tucson). Petr Liška (Masarykova univerzita) Jednoduchý klimatický model 4.12.2019 2/21 Záření přicházející od Slunce Záření na vrcholu atmosféry je dáno jako Q ■ s(y), kde y = sin 9, 9 je zeměpisná šírka a Q = 343 W/m2. Funkce s(y) je normalizována tak, aby platilo Jq s(y) dy = 1. Pro současný sklon zemské osy je funkce s(y) aproximována jako s(y) = 1 - 0,241(3y2 - 1). Viz North (1975). Petr Liška (Masarykova univerzita) Jednoduchý klimatický model 4.12.2019 3/21 Albedo Množství záření absorbované Zemí na jednotku obsahu je Q ■ s(y) • (1 - a(y)), kde a(y) označí odraženou část. Led se zformuje je-li T < Tc — —10°C. Je-li ys hranice mezi zamrzlou a nezamrzlou částí Země, tak vezmeme a(y) = OL2 = 0,62 y > ys, ol\ = 0,32 y < ys T(ys) = rc, Viz Lindzen (1990) Oí(ys) = = 2(^1 + Q2) = 0,47, Petr Liška (Masarykova univerzita) Jednoduchý klimatický model 4.12.2019 Vyzařování planety Země Steffan-Boltzmannův zákon říká, že l(y) = aT\ Pro Zemi je nutné násobit výraz emisním zlomkem e < 1 a dostaneme / (y) = eaT4 « ea 7q Můžeme tedy psát / = 4 + 67. Současné hodnoty jsou A = 202 W a 6 = 1,9 W, viz Graves, Lee, North (1993). Petr Liška (Masarykova univerzita) Jednoduchý klimatický model 4.12.2019 5/21 1 + 4(7- To) T, o T0 = 273 K. Přenos tepla po planetě D(y) = C(Ť-T), kde T je globální průměrná teplota a C = 1,66 (viz Tung (2007)) Petr Liška (Masarykova univerzita) Jednoduchý klimatický model 4.12.2019 Základní modelová rovnice R- T = Qs(y)(l - a(y)) - l(y) + D(y), (1) kde R je tepelná kapacita Země 12 usiwbb HS 51 ESB 4.12.2019 7/21 Globální průměrná teplota Uvážíme symetrii podle rovníku, čili stačí řešit rovnici pro y > 0 s podmínkou ^7=0 pro y = 0. Globální průměrná teplota je pak to samé, co teplota přes polokouli: T= f T(y)dy. 0 Integrováním rovnice (1) dostaneme R^-T=Q(l-ä)-A-BT. at (2) Petr Liška (Masarykova univerzita) Jednoduchý klimatický model 4.12.2019 8/21 rl rys rl ä= s(y)a(y) dy = aľ / s(y) dy + a2 / s(y) dy JO JO Jys oi\ pro Zemi bez ledu ô. — { OL2 pro zcela zmrzlou Zemi Kct2 + {oli — Oí2)ys [l — 0,241(y5 — 1)] hranice ledu na ys V současnosti je ys = 0.95 (72° severní šírky) a a — 0,33 Petr Liška (Masarykova univerzita) Jednoduchý klimatický model 4.12.2019 9/21 Konstantní řešení Tc Q> (g + C)(Tc + g) (1 - ai) (s(l) + §) Q > 330W/m: f*_ Q(l-ai)->A_ B Zcela zmrzlá Země Pro Zemi pokrytou ledem platí a(y) — ol^ — 0,62 všude. Dosazením do stacionárního řešení dostaneme T*(y) = ys Frederiksen (1976) Ti(y) =TC + -^-^ [s(y)(l - a;) - s(ys)(l - a0)], '' = 1,2 Q = 343W/m2 a hranice ledu na šíTce 72 o T = 15°C Petr Liška (Masarykova univerzita) Jednoduchý klimatický model 4.12.2019 14/21 Stabilita stacionárních řešení *£ř=G(ř) Perturbujme mírně teplotu od stacionárního řešení f = f* + u{t) Udělejme lineární aproximaci G(Ť) = G(Ť* + u) « G(Ť*) + ^(^> 5f(r) = -B-(?57(r) Derivací (4) dostaneme Riluw = "7ty(ř) kde 1 = il-a)ďT* Řešení rovnice je u(t) = ty(0)e"Ař. Je-li 7 > 0 perturbace vymizí, naopak je-li 7 < 0 perturbace bude narůstat. Máme tak dQ —— > 0: stabilní dT* dQ —— < 0: nestabilní dT* Budyko (1972), Cahalan a North (1979) Stabilita ledové a bezledové Země Derivováním (2) dostaneme d í? B dT* 1-a; > 0. Obě řešení jsou tedy stabilní. Všimněme si, že tento výsledek nezávisí na C, čili nejslabší části našeho modelu. Petr Liška (Masarykova univerzita) Jednoduchý klimatický model 4.12.2019 18/21 Stabilita Země částečně pokryté ledem Derivováním (2) dostaneme B~rw = {l-a) + Q\- dQ v V dys; dQ Víme, že d ä = -(a2 - ai)[l - 0,482ys - 0,241(ys2 - 1)]. dys Derivováním (5) a úpravou dostaneme 1 dQ l,45ys(l-a0) + fg