Zápočtová písemka z Geometrie 2
Varianta G
Datum: 24. 11. 2016
Jméno:
1 2 3 Σ
1) (3 × 1 b.) Udejte příklad (pokud takový příklad neexistuje, podejte stručné vysvětlení, proč):
(a) dvou mimoběžných rovin v A5, které mají společný směr;
(b) nadrovinu v A3, která odděluje body [3, −4, 2] a [−3, 7, 1];
(c) čtyř různých bodů v A2, které jsou v obecné poloze.
2) (5 b.) V A4 jsou dány podprostory B1 a B2. Určete polohu obou podprostorů, jejich průnik
(pokud existuje) a součet. Součet přitom uveďte v neparametrickém tvaru.
B1 : x1 + 2x2 − 5x3 + 2x4 = 0
3x2 + x4 + 3 = 0
B2 : X = [0, −1, 0, 2] + s(1, −2, 1, 2) + t(2, 1, 0, −1)
3) V A3 je dána rovina : 3x − 2y + 4z − 5 = 0, přímka p : X = [6, 5, −3] + t(5, 6, −3) a bod
M[4, 5, 3].
(a) (1 b.) Dokažte, že bod M neleží na přímce p a že je p různoběžná s rovinou .
(b) (2 b.) Určete přímku q, která je různoběžná s přímkou p, rovnoběžná s rovinou a navíc
prochází bodem M.
(c) (2 b.) Označme X průsečík přímek p a q. Nalezněte bod Y , pro který platí (M; X, Y ) = 4.
Řešení
1. (c) Neexistují, protože by musely generovat afinní prostor dimenze tři.
2. B1 : X = [2, −1, 0, 0] + s(5, 0, 1, 0) + t(4, 1, 0, −3)
B1 ∩ B2 : X = [3, −2, 1, 3] + t(5, 0, 1, 0)
B1 + B2 : x1 − x2 − 5x3 + x4 − 3 = 0
3. (b) σ : 3x − 2y + 4z − 14 = 0 (σ , M ∈ σ)
q : X = [4, 5, 3] + t(2, 3, 0)
(c) X[−4, −7, 3], Y [2, 2, 3]