Josef Janyška ANALYTICKÁ TEORIE KUŽELOSEČEK A KVADRIK Brno, 2019 Obsah 1 KOMPLEXNÍ ROZŠÍŘENÍ PROSTORU 1 1 Komplexní rozšíření reálneho vektorového prostom .......... 1 2 Komplexní rozšíření reálného afinního prostom............. 6 3 Cvičení................................... 10 2 PROJEKTIVNÍ ROZŠÍŘENÍ AFINNÍHO PROSTORU 13 4 Projektivní prostory ........................... 13 5 Přechod od projektivního prostoru k afinnímu............. 20 6 Projektivní rozšíření afinního prostoru ................. 21 7 Cvičení................................... 23 3 BILINEÁRNÍ A KVADRATICKÉ FORMY 24 8 Bilineární formy.............................. 24 9 Kvadratické formy............................. 30 10 Ortogonální transformace kvadratické formy.............. 38 11 Cvičení................................... 41 4 TEORIE KUŽELOSEČEK 46 12 Kuželosečky v projektivní rovině..................... 46 13 Projektivní klasifikace kuželoseček.................... 54 14 Afinní vlastnosti kuželoseček....................... 59 15 Afinní klasifikace kuželoseček ...................... 64 16 Metrické vlastnosti kuželoseček ..................... 73 17 Metrická klasifikace kuželoseček..................... 79 18 Kuželosečky jako množiny bodů daných vlastností............................. 93 19 Cvičení................................... 98 5 TEORIE KVADRIK 106 20 Kvadriky v projektivním prostoru....................106 21 Projektivní klasifikace kvadrik......................113 22 Tečná rovina................................117 23 Afinní vlastnosti kvadrik.........................120 24 Afinní klasifikace kvadrik.........................124 iv OBSAH v 25 Metrické vlastnosti kvadrik........................137 26 Metrická klasifikace kvadrik.......................142 27 Cvičení...................................154 Seznam použité literatury 165 Rejstřík 166 Předmluva Text pokrývá látku, která je přednášena v učitelském studiu matematiky v předmětu M5510 "Teorie kuželoseček a kvadrik". Přednáška vyžaduje předběžné znalosti lineární analytické geometrie v rozsahu skript Horák, Janyška [6] nebo učebnice Sekanina a kol. [12]. Obsahem textu je analytický přístup ke studiu kuželoseček (respektive kvadrik) v projektivní, afinní a euklidovské rovině (respektive prostoru). K ucelenému výkladu jsou potřebné některé kapitoly z algebry, které nejsou součástí povinného kurzu, proto jsme do textu zařadili tyto kapitoly v nezbytném minimálním rozsahu. Jde o komplexní rozšíření vektorového a afinního prostoru (Kapitola 1), projektivní rozšíření afinního prostoru (Kapitola 2) a konečně o úvod do teorie bilineárních a kvadratických forem (Kapitola 3). Těžiště textu je v Kapitole 4 (analytická teorie kuželoseček) a v Kapitole 5 (analytická teorie kvadrik). I když je náš přístup analytický, snažíme se co nejvíce zdůraznit geometrické vlastnosti definovaných pojmů. K tomu slouží i řada obrázků. Pro přehlednost textu jsou definice vyznačeny rámečkem a konce důkazů (respektive poznámek) jsou označeny symboly □ (respektive <)). Na konci každého paragrafu jsou uvedeny řešené příklady typické pro daný paragraf a v každé kapitole je zařazen paragraf s příklady na procvičení. V Brně, 2019 Kapitola 1 KOMPLEXNÍ ROZŠÍŘENÍ PROSTORU Až dosud jsme v analytické geometrii uvažovali všechny prostory (vektorové, afinní, euklidovské) pouze nad tělesem reálných čísel. Pro potřeby teorie kuželoseček a kvadrik se však reálné prostory jeví jako nedostatečné. Ukážeme si, proč. V lineární geometrii, např. v euklidovské rovině, platilo, že dvě souřadnicové lineární rovnice určují stejný geometrický objekt (nadrovinu) tehdy a jen tehdy, liší-li se o nenulový násobek. Mějme ale dvě rovnice 2. stupně kde [x; y] jsou souřadnice bodu v rovině vzhledem k nějakému ortonormálnímu re-péru. Je zřejmé, že oběma rovnicím vyhovují pouze souřadnice počátku, tj. určují stejnou množinu v euklidovské rovině, a přitom není rovnice (2) násobkem rovnice (1). V této kapitole proto zavedeme takzvané komplexní rozšíření reálného prostoru tak, abychom docílili toho, že i dvě rovnice 2. stupně určují tutéž množinu právě tehdy, liší-li se o nenulový násobek. 1 Komplexní rozšíření reálného vektorového prostoru Předpokládejme, že V je vektorový prostor konečné dimenze n nad tělesem reálných čísel. Podobným způsobem, jako se v teorii čísel sestrojí komplexní rozšíření tělesa reálných čísel v těleso komplexních čísel, sestrojíme i komplexní rozšíření vektorového prostoru V. Uvažujme množinu U x U a definujme na ní operaci sčítání a násobení komplex- x2 + y2 = 0 , 2x2 + 3y2 = 0 (1) (2) 1 1. Komplexní rozšíření reálneho vektorového prostoru 2 ním číslem následujícím způsobem (a, b) + (c, d) = (a + c,b + d), (1.1) (a + z/3)(a,b) = (aa-/3b,ab + /3a). (1.2) Snadno se ověří, že V x V spolu s operacemi sčítání a násobení komplexními čísly definovanými (1.1) a (1.2) je vektorovým prostorem nad tělesem komplexních čísel C. Definice 1.1. Množinu V x V s operacemi sčítání a násobení komplexními čísly definovanými vztahy (1.1) a (1.2) budeme nazývat komplexní rozšírení reálného vektorového prostoru V a označovat Vc. Uvažujme podmnožinu M = {(u, o) G V x V} C Vc. Snadno ověříme, že M je uzavřená vzhledem ke sčítání a násobení reálnými čísly. Uvažujme zobrazení V na M, které přiřadí vektoru u E V vektor (u, o) G M. Toto zobrazení je izomorfizmem vektorového prostoru V na M. Při ztotožnění U a M tedy dostáváme, že U C Vc. Poznámka 1.1. U je podmnožina ve Vc, ale ne vektorový podprostor, protože V je definováno nad IR a Vc nad C. 0 Nyní můžeme každý vektor (u, v) G Vc psát následujícím způsobem (u, v) = (u, o) + (o, v) = (u, o) + ž(v, o) = u + zv . Vektor u G U budeme nazývat reálnou složkou (částí) a vektor v G U imaginární složkou (částí) vektoru w = u +žv G Vc a označovat u = JHe(w), v = Jm(w). Nulovým vektorem Vc je (o, o) = o + io. Formálně tak můžeme komplexní rozšíření reálného vektorového prostoru V chápat jako přímý součet Vc = V © iV . Věta 1.1. Vektory Ui,... , G V jsou lineárně nezávislé v prostoru V tehdy a jen tehdy, jsou-li lineárně nezávislé v prostoru Vc. Důkaz. Je zřejmé, že jsou-li ui,..., G V lineárně závislé ve V, jsou i lineárně závislé ve Vc. Nechť jsou ul5..., ufc lineárně závislé ve Vc. Potom existují komplexní čísla oíj + i(3j, j = 1,..., k, taková, že alespoň jedno z nich je nenulové a platí k X^1' •; v"* = °> tj. k k ^\.;u; ■ ;;u; = o. 1. Komplexní rozšíření reálneho vektorového prostoru 3 Musí tedy platit Ylj=i ajuj = ° a současně Ylj=i ftjuj = °j přičemž alespoň jedno a3 G R nebo f30 G É je nenulové, což znamená, že vektory ul5..., ufc jsou lineárně závislé ve V. Dokázali jsme tedy, že ui,..., jsou lineárně závislé ve V tehdy a jen tehdy, jsou-li lineárně závislé ve Vc, což je tvrzení ekvivalentní tvrzení Věty 1.1. □ Věta 1.2. Každá báze prostoru V je i bází prostoru Vc. Důkaz. Nechť ui,..., u„ je báze vektorového prostoru V. Potom ui,..., u„ jsou lineárně nezávislé ve Vc a musíme dokázat, že ui,..., u„ je systém generátorů Vc. Buď x + iy G Vc libovolný vektor. Potom existují reálná čísla x±,..., xn, yi]... ',yn tak, že x = 5ľľ=ixjuj) y = Sľ=i%'uj- Odtud Definice 1.2. Každá báze prostoru V , která je současně i bází V, se nazývá reálná báze. Věta 1.3. Buď U podprostor vektorového prostoru V. Potom Uc je podprostorem vektorového prostoru Vc. Důkaz. Věta 1.3 je přímým důsledkem definice komplexního rozšíření vektorového prostoru. □ Definice 1.3. Podprostor W vektorového prostoru V , který je komplexním rozšířením podprostoru U Q V, se nazývá reálný podprostor a označujeme ho Uc. Ne každý podprostor ve V je reálný, ale každý podprostor ve V obsahuje nějaký reálný podprostor, minimálně triviální podprostor {o}. Vektory u + zv a u — zv se nazývají vektory komplexně sdružené. Je-li w G Vc, budeme komplexně sdružený vektor označovat w. Je-li W Q Vc vektorový podprostor, je W = {w|w G W} vektorový podprostor nazývaný komplexně sdružený podprostor k podprostoru W. Pro komplexně sdružené vektory ve Vc platí vztahy obdobné vztahům pro komplexně sdružená čísla. Pro w, w' G Vc, k G C, platí n n n což dokazuje naši Větu 1.2. □ w + W w + w' kw k w . kde k je komplexně sdružené číslo k číslu k. Dále platí £He(w) = |(w + w), Jtn(w) f(w-w). 1. Komplexní rozšíření reálneho vektorového prostoru 4 Věta 1.4. Vektorový podprostor W C V je reálny právě tehdy, když W = W. Důkaz. "=>"Nechť W je reálny podprostor ve Vc, tj. W = {w = u + zv, u, v G U} = Uc pro nějaký podprostor U C V. Je zřejmé, že pro každé w G W je i w G W, a tedy W = W. _ "<í=" Nechť W = W. Potom pro Vw G W je i w G W, a tedy i reálné vektory SHe(w) G W. Množina U = {9lc(w)} je uzavřená vzhledem ke sčítání a násobení reálnými čísly, a tedy je podprostorem ve V. Protože Jtn(w) = 9lc(—žw), je {Jm(w)} C U a w = íHc(w) + žJm(w). Potom W = Uc. □ Důsledek 1.1. Nechť W je podprostor ve Vc. Potom maximální reálný podprostor obsažený v W je W H W. o Při určování maximálního reálného podprostoru v podprostoru W C Vc postupujeme podle Důsledku 1.1. Při praktickém výpočtu postupujeme podle způsobu zadání W. Je-li W = L(wi,..., wfc), určíme W = L(wi,..., wfc) a W fl W. Je-li dimW^ = dimW^ Pi W, je W reálný podprostor. Je-li podprostor W vzhledem k nějaké reálné bázi Vc zadán obecnými rovnicemi aiixi + aí2x2 H----+ aínxn = 0 , i (1-3) a(n-k)íxí + a(n-k)2x2 + ' ' ' + a(n-k)nxn = 0 , al3 G C, je obecné vyjádření podprostoru W änxi + äi2x2 H----+ äínxn = 0 , ; (i-4) a(n-k)íxí + a(n-k)2x2 + ' ' ' + a(n-k)nxn = 0 . Potom WílW je společným řešením soustav (1.3) a (1.4). Je-li W reálný podprostor, musí existovat takové jeho obecné vyjádření (1.3), že al3 G R. Věta 1.5. Nechť V a U jsou reálné vektorové prostory a ip : V —» U je lineárni zobrazení. Potom existuje právě jedno lineárni zobrazení ipc : Vc —> Uc takové, že pro každý vektor x G V je <^>c(x) = v?(x). Je-li lineárni zobrazení (p prosté, je i lineárni zobrazení ipc prosté a je-li ip surjektivní, je i ipc surjektivní. Důkaz. Nechť

U je lineárni zobrazení. Definujme zobrazení ipc z Vc do Uc vztahem ^(x + zy) = ^(x) + z^(y) (1.5) pro každé x + iy G Vc. Je zřejmé, že <^>c(x) = v?(x) pro každý vektor x G V. Ověříme, že ipc je lineárni zobrazení. Nechť x^ + iy3 G Vc, x2) = = aiv?(xi) - /3iy?(yi) + a2y?(x2) - /32y?(y2)+ +i{a1(p(y1) + /3iv?(xi) + a2y?(y2) + /32y?(x2)) = = («i + z/3i)(y?(xi) + ^(yi)) + (a2 + ž/32)(v?(x2) + ^(y'2)) = = (ax + */3i)^c(x1 + + (a2 + */32)^C(x2 + iy2). Předpokládejme, že ipc je lineárni zobrazení z Vc do ?7C takové, že -0c(x) = v?(x) pro každý vektor x G V. Potom z linearity dostáváme, že musí platit vztah (1.5), a tedy ipc = ipc. Nechť je lineárni zobrazení ip prosté a y3C(xi + zyi) = <£>c(x2+zy2). Potom z (1.5) je y?(xi) = y?(x2) a (p(yi) = <^(y2), a tedy musí být xi = X2 a yi = y2, což znamená, že i ipc je prosté zobrazení. Nechť lineárni zobrazení p> je surjektivní zobrazení. Necht x' + iy' G Uc je libovolný vektor. Protože ip je surjektivní zobrazení, existují vektory x, y G V takové, že v?(x) = x' a y?(y) = y'. Potom y?c(x + -íy) = x' + zy', a tedy i ipc je surjektivní. □ Definice 1.4. Zobrazení ipc definované ve Větě 1.5 se nazývá komplexní rozšíření lineárního zobrazení ip. Nechť vi,..., v„ je báze vektorového prostoru V a ui,..., um je báze vektorového prostoru U. Nechť vzhledem k těmto bázím má lineární zobrazení ip z V do U matici Av. To znamená, že má-li x G V souřadnicové vyjádření x = X]Vi + • • • + xn~vn a vektor y?(x) G U souřadnicové vyjádření y?(x) = x^ui + • • • + x'mum, potom x[ = anxi + 012X2 + x'2 = a2ixi + a22x2 + al3 G IR, což píšeme maticově, při ztotožnění vektoru se sloupcovou maticí jeho souřadnic, ve tvaru y?(x) = Av~x.. Protože každá báze prostoru V je i bází prostoru Vc a podobně, každá báze prostoru U je i bází prostoru Uc, můžeme vyjádřit i matici Avc vzhledem k bázím vi,..., v„ a ui,..., um. Věta 1.6. Pro libovolné lineární zobrazení ip z V do U jsou matice Av a A^c vzhledem k reálným bázím v Vc a Uc totožné. Důkaz. Nechť v bázích vi,..., v„ ve V a ui,..., um v U je Av matice lineárního zobrazení p> z V do U. Podle (1.5) je y?c(x + iy) = y?(x) + ip>(y) = A^ + iAvy = Av(x + iy). □ 2. Komplexní rozšíření reálného afínního prostoru 6 Poznámka 1.2. Je třeba si uvědomit, jaký je rozdíl mezi souřadnicovým vyjádřením libovolného lineárního zobrazení z Vc do Uc a komplexním rozšířením lineárního zobrazení z V do U. Zatímco matice komplexního rozšíření reálného lineárního zobrazení vzhledem k reálným bázím je definována nad IR, je obecně matice libovolného lineárního zobrazení z Vc do Uc definována nad C. <) Úloha 1.1. Ověřte, zda podprostor W ve V3 určený vektory Ui = (1; 1 + i; 1 — i) a u2 = (1 + i; 0; 2 + 2%) je reálný. V případě, že ano, určete nějakou jeho reálnou bázi. Řešení: Stačí ověřit, jaká je dimenze podprostoru W P W. Protože hodnost matice sestavené ze souřadnic vektorů ul5 u2, Ui a u2 je rovna dvěma a protože dimW^ = 2 = dimW^, je dim(W^ n W) = 2, tedy W = W a W je reálný. Reálnou bázi tvoří např. vektory SHe(ui) = (1; 1; 1) a Jm(ui) = (0; 1; —1). Úloha 1.2. Nechť podprostor W ve V3C je v nějaké reálné bázi zadán obecnou rovnicí W : (1 + 2i)xx + 3ix2 + (2 - 2i)x3 = 0. Určete maximální reálný podprostor ležící v W. Řešení: Obecné rovnice komplexně sdruženého podprostoru W jsou W :il- 2i)x1 - 3ix2 + (2 + 2i)x3 = 0 . Maximální reálný podprostor v W je W Pl W, který je řešením soustavy rovnic (1 + 2i)xx + 3ix2 + (2 - 2i)x3 = 0 , (1 - 2i)x1 - 3ix2 + (2 + 2i)x3 = 0 . Obecné řešení této soustavy je reálný jednodimenzionální podprostor generovaný vektorem (—2; 2; 1). 2 Komplexní rozšíření reálného afinního prostoru V předchozím kurzu analytické geometrie jsme zavedli reálný n-rozměrný afinní prostor jako uspořádanou trojici (A., V, _í>), kde A je neprázdná množina bodů, V je n-dimenzionální reálný vektorový prostor zaměření ěl ^ : A X A —^V^je zobrazení splňující dva axiomy afinního prostoru. Nyní tento prostor rozšíříme v komplexní afinní prostor. Věta 2.1. Bud'Ac = AxV a zobrazení: Ac X Ac —> Vc (komplexnírozšíření prostoru V) definované vztahem (X, u)(Y, = XÝ + i(v - u), (2.1) kde X, Y G A, u, v G V. Potom trojice (Ac, Vc, ~^c) je komplexní afinní prostor. 2. Komplexní rozšíření reálného afínního prostoru 7 Důkaz. Musíme dokázat, že pro zobrazení (2.1) platí axiomy afinního prostoru. Nechť je dán libovolný prvek (X, u) g Ac a libovolný vektor w = wx + iw2 g Vc. Potom existuje jediný prvek (V, v) g Ac takový, že je splněno (2.1). Konkrétně Y = X + wi av = u + w2. Dále pro libovolné tři prvky (X, u), (Y, v), (Z, w) g Ac platí (X, u)(Y, v)C + (F, v)(Z, w)c = XY>i(v-u)+Y\ž+i(w-v) = XZ+i(w-u) = (X, u)(Z, wj, a tedy („4C, Yc,^c) je afinní prostor nad tělesem komplexních čísel C. □ Dále budeme body A g A ztotožňovat s prvky (A, o) g Ac. Při tomto ztotožnění můžeme A považovat za podmnožinu v Ac, která ovšem není afinním podprostorem. Definice 2.1. Komplexní afinní prostor A sestrojený ve Větě 2.1 nazýváme komplexní rozšíření reálného afinního prostoru A. Úmluva. Jsou-li (X, u), (Y, v) g „4c,w g Vc, budeme místo (X, u)(Y, v)c = w psát (Y, v) = (X, u) + w, což je ekvivalentní rovnostem Y" = X + wi, v = u + W2, kde w = wi + ŽW2. Při ztotožnění X g A s (X, o) g Ac a u g V s (u, o) g Vc můžeme každý prvek (X, u) g Ac psát ve tvaru (X, u) = (X, o) + (o, u) = X + iu. Tedy každý bod (X, u) g -4^ můžeme psát, při pevně zvoleném P g An, ve tvaru P + v +m, kde vektor v je jednoznačně určen podmínkou X = P + v. Zvolme nyní v afinním prostoru A afinní souřadnou soustavu afinním repérem (P;!!!,...,^). (2.2) Podle Věty 1.2 určuje repér (2.2) afinní souřadnou soustavou také v Ac a takovou afinní souřadnou soustavu budeme nazývat reálná afinní souřadná soustava. To znamená, že vzhledem k repéru (2.2) můžeme každému bodu X + iu g Ac přiřadit uspořádanou n-tici komplexních čísel [x± + iui,..., xn + iun] takovou, že X + ivl = P + J2t =i(xj + iuj)\iv kde [xi;... ; xn] jsou souřadnice bodu X g A v afinní souřadné soustavě určené repérem (2.2) a (ui; ... ; un) jsou souřadnice vektoru u g Y v bázi Ui,.. ., u„. Bod IgÍ má vzhledem k (2.2) stejné souřadnice v A i v Ac. Navíc X g Ac leží v A právě tehdy, jsou-li jeho souřadnice vzhledem k reálné afinní souřadné soustavě určené repérem (2.2) reálná čísla. Definice 2.2. Buď B afinní podprostor v A a W jeho zaměření. Potom množinu B X W nazýváme komplexní rozšíření podprostoru B a značíme ji Bc. Je zřejmé, že B je afinním podprostorem v A . Obráceně ale neplatí, že každý afinní podprostor v Ac je komplexním rozšířením nějakého afinního podprostoru 2. Komplexní rozšíření reálného afínního prostoru 8 v A. Například bod X + iu G A je afinním podprostorem v A a pro u/o není komplexním rozšířením žádného podprostoru v A. Afinní podprostor v Ac, který vznikl jako komplexní rozšíření afinního podprostoru v A, budeme nazývat reálný afinní podprostor. Ke každému bodu X + iu G Ac můžeme sestrojit bod X — iu G Ac. Tento bod budeme nazývat komplexně sdružený k bodu X + iu. Jsou-li dva body z Ac navzájem komplexně sdruženy pak jejich souřadnice v libovolné reálné afinní souřadné soustavě v Ac jsou uspořádané n-tice navzájem komplexně sdružených čísel. Je-li B afinní podprostor v Ac určený bodem B G Ac a zaměřením W C Vc, je podprostor určený bodem B a zaměřením W afinní podprostor komplexně sdružený k afinnímu podprostoru B a budeme ho označovat B. Podprostor B je reálný právě tehdy je-li B = B.___ Obecně mohou podprostory B = {B, W} a B = {B, W} mít nejrůznější vzájemné polohy Mohou být mimoběžné, rovnoběžné i různoběžné. V případě, že jsou různoběžné, je jejich průnik reálný podprostor. Určování vzájemných poloh, průniku a součtu podprostoru je stejné jako v reálném případě. Věta 2.2. Mějme dány reálné afinní prostory An a Am a afinní zobrazení f : An —> Am. Potom existuje právě jedno afinní zobrazení fc : A^ —> A^ takové, že fc(X) = f(X) pro každý bod X G An. Důkaz. Zvolme libovolný bod P G An a označme P' = f(P) G Am. Potom f(P + u) = P' + ipf(u), kde iff je asociované lineární zobrazení ze zaměření An do zaměření Am. Máme jednoznačně určené zobrazení fc : A% —> Am, které zobrazí bod (P + u, v) z A^ na bod P' + <^>j(u + žv), kde : xi = 1 + t + žs, x2 = ít, X3 = i + s, X4 = (1 + i) + (2 + ž)í. { a) 2x\ — x2 + X3 = 0, 3xi + X2 + 5x4 = 0, b) bod [i;i;-|;-|],c) bod [2; |; |; |] } 3.10. Určete vzájemnou polohu podprostoru v ěl) B & C jsou podprostory z cvičení 3.9, b) B je podprostor z cvičení 3.9 a C : X = [1; 0; 0; 1] + í(0; 1; 1; i). 3. Cvičení 12 { a) podprostory se protínají v přímce, b) podprostory se protínají v bodě [1; ^(l + 21z); -^(l + 21z); j-(-8 + i)] } 3.11. Nechť ip a ifj jsou lineární zobrazení z reálného vektorového prostoru V do reálného vektorového prostoru U. Dokazte, že zobrazení $ z Vc do Uc definované předpisem $(x + íy) = v?(x) — i/>(y) + i((p(y) + V'W) Je lineární. Dále dokažte, že v reálnych bázích je ^4$ = Av + zA^. { Návod: Postupujte jako v důkazech Vět 1.5 a 1.6 } 3.12. Dokažte, že je-li / : An —> Am afinní zobrazení a ifj : Z(An) —> Z (Am) lineárni zobrazení, je p • / _i / zadané předpisem F(P + u + zv) = f (P) + ^(u) - v(v) + z(^(v) + v(u)) afinní zobrazení a v reálnych afinních souřadných soustavách v A„ a A^ je AF = Af + iA^,. Kapitola 2 PROJEKTIVNÍ ROZŠÍŘENÍ AFINNÍHO PROSTORU V teorii kuželoseček a kvadrik hrají důležitou úlohu nevlastní body, které si můžeme intuitivně představit jako body, ve kterých se protínají rovnoběžné přímky. Tyto body ovšem nepatří do afinního prostoru a při použití afinních souřadnic se nedají souřadnicově vyjádřit. Proto v této kapitole zavedeme pojem projektivního rozšíření afinního prostoru, v němž budeme moci pracovat také s nevlastními body, které můžeme vyjádřit rovněž pomocí souřadnic. 4 Projektivní prostory V této kapitole Vn+i je in + l)-rozměrný vektorový prostor nad tělesem T (dále T bude buď těleso reálných nebo komplexních čísel). Definice 4.1. Množinu Vn všech jednorozměrných podprostorů vektorového prostoru Vn+i nazveme n-rozměrným projektivním prostorem nad tělesem T. Jeho prvky nazýváme body. Vn+i nazýváme aritmetickým základem (nosičem) prostoru Vn. Vektor x G V, x ^ o, který generuje bod X = (x) = {ax, a G T} G Vn nazýváme aritmetickým zástupcem bodu X. Poznámka 4.1. Každý bod A G Vn má nekonečně mnoho aritmetických zástupců, protože jednodimenzionální podprostor má nekonečně mnoho bází. Je-li a aritmetickým zástupcem bodu A, tj. A = (a), je i aa, a£T,a/0, aritmetickým zástupcem bodu A. <> Poznámka 4.2. Přesněji by mělo být řečeno, že projektivním prostorem je dvojice (Vn, Vn+i). Pokud nemůže dojít k záměně vektorového prostoru Vn+i, budeme psát jen Vn- <> 13 4. Projektivní prostory 14 Definice 4.2. Body A\ = {ai),...,Ak = (afc) nazveme lineárně nezávislé (závislé), jestliže jsou lineárně nezávislé (závislé) vektory ai,...,afc. Řekneme, že bod A = (a) je lineární kombinací bodů A\,. .. ; Ak, jestliže vektor a je lineární kombinací vektorů ai,..., a^. Je-li a = a\a\ + ... + a^a.^, píšeme formálně A = ol\A\ + ... + akAk._ Poznámka 4.3. Z vlastností vektorových prostorů vyplývá, že v Vn existuje nejvýše in + 1) lineárně nezávislých bodů. <) Poznámka 4.4. Lineárně nezávislé body budeme také nazývat body v obecné poloze. 0 Definice 4.3. Aritmetickou bází projektivního prostoru Vn rozumíme libovolnou bázi Ui, ..., ura+i vektorového prostoru Vn+i. Geometrickou bází (projektivním re-pérem) prostoru Vn rozumíme libovolnou in + 2)-tici bodů {0\,.. . ; On+i, E) takových, že libovolných in + 1) z nich je lineárně nezávislých. Body 0\,... ; On+i nazýváme základní body a bod E jednotkový bod geometrické báze. Věta 4.1. Je-li Ui, ..., ura+i aritmetická báze prostoru Vn, potom ((ui),..., (un+i), (Ui + . . . + Un+i)) je geometrická báze Vn. Důkaz. Stačí ukázat, že pro libovolné i je ul5..., Uj_i, ul+1,..., ura+1, Ui+... +ura+1 soustava nezávislých vektorů. Nechť tedy «iUi + ... + aj.iUj.i + al+iul+i + . .. + an+iun+i + an+2(ui + ... + un+i) = o «i,.. ., an+2 G T. Vektory ui,.. ., ura+i jsou lineárně nezávislé, a tedy musí být «i + an+2 = .. . = oíj-i + an+2 = an+2 = al+1 + an+2 = ... = an+1 + an+2 = 0, odtud oi\ = .. . = oíí-i = ckj+i = . .. = an+\ = —an+2 = 0. □ Věta 4.2. Je-li {0\,. .. ;On+i,E) geometrická báze Vn, pak existuje aritmetická báze ui, ..., un+i taková, že 0\ = (ui), ..., On+1 = (un+i), E = (ui+ ... + un+i). Je-li vi, ..., vra+i jiná aritmetická báze s touto vlastností, pak existuje a £ T, a / 0, takové, že ~vl = aut, i = 1,... , n + 1. Důkaz. Nechť (Oi,... ; On+\, E) je geometrická báze. Uvažujme libovolné aritmetické zástupce wi,... , wn+i, w těchto bodů. Vektory wi, ..., wra+i musí být lineárně nezávislé, a tedy w = ciwi + • • • + cn+iwn+i. Navíc všechny koeficienty q jsou nenulové. Kdyby se totiž q = 0 pro některé i, potom by byly body 0\,.. . ; Ol-\, Ol+\, ..., On+i, E lineárně závislé, což je spor s předpokladem, že {0\,... ; On+i, E) tvoří geometrickou bázi. Položme nyní Uj = c,w„ u = w. Potom je Ol = (uj) a E = (u) = 4. Projektivní prostory 15 (ui + ... + Ujj+i). Je-li vi,..., vra+i jiná aritmetická báze s uvedenou vlastností, je vi = «iUi,... , vn+i = an+iun+i, vi + . .. + vn+i = an+2(ui + ... + un+i). Odtud dostaneme «iUi + . .. + an+1un+1 = an+2(ui + .. . + un+i) a z nezávislosti vektorů ui,..., ura+i je «i - OLn+2 = ... = an+1 - an+2 = 0 , tedy cti = . .. = an+i = an+2 = a. □ Definice 4.4. Nechť X G Vn je bod, (Oi,... ; -B) je geometrická báze Vn taková, že Oi = (ui),..., On+\ = (ura+i), E = (ui + ... + un+i). Nechť X = (x), kde X = XiUi + . . . + Xn+1Un+1 Xj G T. Potom uspořádanou (n+l)-tici (x±, ..., xn+i) prvků z T nazveme projektivními homogenními souřadnicemi bodu X vzhledem ke geometrické bázi (Oj, ■ ■ ■ , On+l, E)._ Věta 4.3. Nechť bod X G Vn má vzhledem k libovolné geometrické bázi (Oi;... ; On+i, projektivní homogenní souřadnice (xi, ... ; xn+i). Potom (i) alespoň jedno z čísel xi;... ; xn+i je nenulové, (ii) (yi, ... ; yn+i) jsou také projektivní homogenní souřadnice bodu X vzhledem ke geometrické bázi (Oi; ... ; On+i, E) tehdy a jenom tehdy, když existuje a £ T, a / 0, takové, že yt = ai„ i = 1, ..., n + 1. Důkaz, (i) Je-li X = (x), je x ^ o, a tedy alespoň jedna souřadnice vektoru x vzhledem k aritmetické bázi ui,..., ura+i generované geometrickou bází (Oi;... ; On+i, E) musí být nenulová. (ii) Je-li X = (x) a současně X = (y), existuje takový nenulový prvek (3 z T, že y = /3x. Dále můžeme uvažovat jinou aritmetickou bázi vi,..., vn+i generovanou geometrickou bází (Oi;... ; On+i, E). Podle Věty 4.2 existuje nenulové 7 G T takové, že Vj = 7Uj. Potom y = yiVi H-----h y„+ivn+i je ekvivalentní x = ^(yiUi H-----h yn+1un+1) a odtud vyplývá yl = axt, kde a = □ Věta 4.4. Body Ai, ... ; Ak jsou lineárně nezávislé tehdy a jenom tehdy, když matice, jejíž řádky či sloupce tvoří souřadnice bodů A±;. .. ; Ak vzhledem k nějaké geometrické bázi, má hodnost k. Důkaz. Převede se na lineární nezávislost aritmetických zástupců. □ Definice 4.5. Nechť (Vn, Vn+i) je projektivní prostor a Wk+i je (k + l)-rozměrný podprostor ve Vn+i, pak množinu všech bodů projektivního prostoru Vn, jejichž aritmetičtí zástupci patří do Wk+i, nazveme k-rozměrným projektivním podpro-storem prostoru Vn. Jednorozměrný podprostor nazýváme přímka^ dvourozměrný rovina a in — l)-rozměrný nadrovina v Vn. 4. Projektivní prostory 16 Věta 4.5. Nechť (Qk, Wk+i) a (IZi, ř7/+i) jsou dva podprostory projektivního prostoru (Vn, Vn+i). Pak platí: (i) množina Qk + Tli = {(u)|o / u£ Wk+i + ř^z+i} je projektivním podprostorem V Vn, (ii) je-li Wk+i H Ui+i {o}, je Pl IZi projektivním podprostorem v Vn, přičemž Qk n Tli = {(u) |o ^ u G Wfe+i n Z7í+i}. Důkaz. Vyplývá okamžitě z definice projektivního podprostoru. □ Poznámka 4.5. Při označení z Věty 4.5 nazýváme podprostor Qk + 7^/ součtem (spojením) a n IZi nazýváme průnikem projektivních podprostoru Qk a IZi. Z vlastností součtu a průniku vektorových podprostoru je zřejmé, že Qk + IZi obsahuje jako podmnožinu množinové sjednocení Qk a Z Věty 4.5 také vyplývá, že dva různé podprostory projektivního prostoru mohou mít neprázdný průnik, říkáme, že jsou různoběžné (v případě, že Wk+ifMJi+i ^ {o}), nebo nemají společné body, říkáme, že jsou mimoběžné (v případě, že Wk+ifMJi+i = {o}). V projektivním prostoru tedy nemůžeme definovat pojem rovnobežnosti. Pro různoběžné podprostory dále platí dim(Qfc + IZi) = k + 1 — dim(Qk Pl IZi). <) Věta 4.6. Nechť Qk je k-rozmčrný podprostor v Vn- Pak (i) v Qk existuje k + 1 lineárně nezávislých bodů, (ii) libovolných l > k + 2 bodů z Qk je lineárně závislých, (iii) jsou-li A\ = (ai),.. ., Ak+i = (afc+i) lineárně nezávislé body z Qk a X = (x) G Vn, pak X e Qk právě tehdy, když x = Aiai +. .. + A^+ia^+i pro nějaká A, £ T a alespoň jedno \ ^ 0. Důkaz. Vlastnosti (i) a (ii) jsou zřejmé z lineární nezávislosti aritmetických zástupců. (iii) Nechť Qk má aritmetický základ Wk+i- Potom al5...,afc+1 je báze Wk+i a tedy, je-li X = (x) G Qk, je x ^ o G Wk+i a existují Aj G T, i = 1,.. ., k + 1 taková, že x = X^=i a alespoň jedno Xl je nenulové. □ Každý bod X e Qk lze napsat formálně jako X = AiAi + • • • + Xk+iAk+i, (4.1) kde Ai;... ; Ak+i jsou libovolné lineárně nezávislé body z Qk- Takovéto zadání k-rozměrného podprostoru pomocí lineárně nezávislých bodů budeme nazývat parametrické zadání podprostoru Qk- Poznámka 4.6. Je-li bod X e Qk vyjádřen jako v (4.1), budeme říkat, že X je projektivní kombinací lineárně nezávislých bodů A±;... ; Ak+\. Všimněme si, že u projektivní kombinace bodů klademe na koeficienty Aj G T, i = 1,..., k + 1, jedinou podmínku, a to, aby alespoň jedno Aj bylo nenulové. To je rozdíl proti afinní kombinaci bodů, kterou známe z afinní lineární geometrie, kde byla podmínka, aby součet 4. Projektivní prostory 17 koeficientů byl roven jedné. Parametrického zápisu projektivního podprostoru budeme často používat v případě jednodimenzionálního podprostoru, tj. přímky. Je-li přímka p určena body A, B e Vn, A ^ B, potom X e p právě tehdy, když X = 01A +/3B a alespoň jedno z čísel a, (3 je různé od nuly. Věta 4.7. NechťVn je projektivní prostor a {0±; báze. 0 ; On+i, E) je jeho geometrická ( (i) Nechť M = aln+l ( X1 \ M \Xn+l) W je matice nad T, h(M) < n. Potom množina \an ... ain+iJ všech bodů X zVn, jejichž projektivní homogenní souřadnice (xi,. .. ;xn+i) vzhledem ke geometrické bázi {0±; ... ; On+i, E) vyhovují homogenní soustavě rovnic M : = : , (4.2) \Xn+l) tvoří in — h(M))-rozměrný podprostor v Vn. (ii) Každý podprostor v Vn lze zadat způsobem popsaným v (i). Důkaz. Ad (i). Nechť 0% = {uí),E = {^2lul). Potom množina vektorů x e Vn+i, jejichž souřadnice vzhledem k bázi ui,..., ura+i vyhovují soustavě (4.2), tvoří ((n + 1) — /i(M))-rozměrný podprostor W C Vn+i, který určuje in — /?.(M))-rozměrný podprostor QcPn. Ad (ii). Tato část byla dokázána v lineární algebře, kde bylo dokázáno, že každý podprostor vektorového prostoru se může v souřadnicích zadat jako řešení homogenní soustavy rovnic. □ Vyjádření podprostoru Q popsané v předchozí větě se nazývá obecným vyjádřením podprostoru. Jako důsledek Věty 4.7 dostáváme, že obecné vyjádření nadroviny, tj. podprostoru dimenze in — 1), je aiXi H-----h an+1xn+1 = 0, (ai,... , an+1) ^ (0,.. ., 0). Poznámka 4.7. Všimněme si, že na rozdíl od obecného vyjádření podprostoru v afinním nebo euklidovském prostoru, je obecné vyjádření podprostoru v projektivním prostoru dáno homogenními rovnicemi. <) Poznámka 4.8. Z předchozího obecného vyjádření nadroviny okamžitě vyplývá, že dvě nadroviny v Vn buď splývají (v tom případě se jejich obecné rovnice liší o nenulový násobek), nebo mají společný podprostor dimenze in—2). V projektivním prostoru tedy není definován pojem rovnobežnosti nadrovin. <) 4. Projektivní prostory 18 Přechod od jednoho typu zadání podprostoru k druhému je následující. Nechť /c-rozměrný podprostor Qk je zadán obecným vyjádřením (4.2). Potom každé řešení soustavy (4.2) je tvaru x = ciUi + ... + Cfc+iUfc+i, kde ui,..., u^+i je fundamentální systém řešení (4.2). Potom X = ci(ui) + ... + cfc+1(ufc+1) je parametrické vyjádření Qk- Opačně, je-li zadáno parametrické vyjádření, musíme k danému fundamentálnímu systému řešení nalézt příslušný homogenní systém rovnic. Z algebry víme, že to lze provést vždy a tento systém rovnic je potom obecným vyjádřením podprostoru Qk. Mějme nyní dvě geometrické báze v Vn (Oi;... ;On+1,E), {0[,...,0>n+1,E>) (4.3) (4.4) takové, že Ol = (et),E = e*), 0\ = (e-), £" = (J2l e-). Potom vektory ei,..., en+i a e'l5..., e'n+1 tvoří dvě báze ve Vn+i, a tedy každý vektor je lineární kombinací vektorů ei,..., en+i. Maticově to můžeme zapsat formálně ve tvaru • <+i) = (ei---e„+i)Q, (4.5) kde matice Q je takzvaná matice přechodu od báze ei,..., era+i k bázi e'l5..., e'n+1 a je tvořena souřadnicemi vektorů vzhledem k druhé bázi ei,... ,en+i uspořádanými do sloupců. Potom vektor x G V, který generuje bod X e Vn, můžeme vzhledem k první bázi vyjádřit maticově jako / x1 \ x = (ei.. .en+ij a vzhledem k druhé jako ( A \ x = e 1 • • • cn+lj \Xn+l J Dosadíme nyní za (e^ ... e'n+1) z (4.5) a dostaneme ( X'X \ x = (ei... en+i) Q : \Xn+lJ Máme tedy dvě vyjádření vektoru x vzhledem k první bázi. Protože souřadnicová vyjádření bodu X vzhledem k téže geometrické bázi se mohou lišit o nenulový násobek, dostaneme (x[ \ = OL Q \xn+iJ \Xn+lJ 4. Projektivní prostory 19 a / O £ T. Matice a Q se nazývá matice přechodu od první geometrické báze k druhé geometrické bázi. V jejich sloupcích jsou souřadnice bodů 0\ vyjádřené vzhledem ke staré geometrické bázi. Matice a Q je určena až na nenulový násobek. Budeme- li w značit sloupcovou matici projektivních homogenních souřadnic / x[ \ \xn+l J vzhledem ke staré geometrické bázi a (X' vzhledem k nové geomet- \Xn+lJ rické bázi, je (X) = aQ(X') maticový zápis transformačních rovnic v projektivním prostoru. Úloha 4.1. V V3 je dána geometrická báze (0\, 02, 03, O4, E). Určete obecné i parametrické vyjádření roviny procházející body 0\ = (1;0;0;0), 02 = (0;1;0;0) a A = (2; 1; 1; —1). Řešení: Parametrické vyjádření p = (0±, 02, A) je p : X = ol\0\ + «202 + oí3A, tj X\ = Ol\ + 2oi3 , x2= a2 + a3 , X3 = D>3, x4 = —«3 . Obecná rovnice má tvar p : a\X\ + 02^2 + 03^3 + 042:4 = 0. Souřadnice 0\,02, A musí být řešením, tedy ai =0, a2 =0, 1a\ + a2 + a3 — Q4 = 0 . Odtud p : x3 + x4 = 0 . Poznámka: Obecná rovnice roviny v V3, která je určena body At = (au, al2, al3, a^), í X\ X2 X3 x4 \ /X\ X2 X3 x4 \ i = 1,2, 3, je také det -x3 — x4 = 0. all a12 a13 a14 021 cl22 a23 a24 \a31 a32 a33 auJ = 0. Odtud p : det 10 0 0 0 10 0 \2 1 1 -lj Úloha 4.2. V V3 je dána geometrická báze (0\,02,03,C>4,E). Určete transformační rovnice při přechodu k nové geometrické bázi 0[ = (1; 1; 0; 0), 0'2 = (0; 1; 1; 0), 0'3 = (0; 0; 1; 1), 0'4 = (0; 0; 0; 1), E' = £Í=i 0't. 5. Přechod od projektivního prostoru k afínnímu 20 Řešení: Vzhledem k první bázi máme X = x\Oi+x202 + x3o3 + x4o4. Vzhledem k nové bázi je X = x\0\ + x'20'2 + x'30'3 + x'40'4 a dosazením dostaneme X = x'10[ + x'20'2 + x'30'3 + x'40'4 = = x^Ox + 02) + x'2{02 + 03) + x'3{03 + 04) + x^04 = = x^Oi + + x'2)02 + (x'2 + x3)(93 + (x3 + x4)04 . Tedy X má vzhledem ke staré bázi také souřadnice X = ( Protože bod je svými projektivními homogenními souřadnicemi dán až na nenulový násobek, jsou transformační rovnice tvaru x\ = axi, x2 = axi + ax2 , x3 = ax2 + ax'3 , x4 = ax'3 + ax4 , kde a / 0 £ T. 5 Přechod od projektivního prostoru k afinnímu Nechť Vn je n-rozměrný projektivní prostor a Vn+i jeho aritmetický základ. Nechť Aí je nadrovina (tj. podprostor dimenze (n — l)) v Vn určený vektorovým podprostorem Un C Vn+i. Dále budeme Aí nazývat nadrovinou nevlastních bodů. Zvolme geometrickou bázi Oi,... ;On G Aí, On+i,E 0 Aí, 0% = (e-j), E = iž~2i ěj), ž = 1,..., n + 1. Označme An := Vn — Aí. Potom ve zvolené geometrické bázi má Aí obecné rovnice xn+i = 0. Nechť X = (x), Y = (y) G An. Potom x = xiei H-----h xn+1en+1, xn+1 ^ 0 , y = Vi^i H-----h yn+1en+1, yn+1 ^ 0 . Položme xl = ^ = z = 1,... ,n, a X? = (z/i-x1)e1 +... + (yn-xn)en. Je zřejmé, že je takto definováno zobrazení ~^ : An x An —> Un. Aby trojice (An, Un, ~~*) tvořila afinní prostor, musíme dokázat, že platí následující axiomy afinního prostoru 1. pro každý bod X z An a každý vektor u z Un existuje právě jeden bod Y z An takový, že XÝ = u, 2. pro každé tři body X, Y, Z z An platí XÝ + Ý~Ě = XZ. Ad 1) Nechť X = (xi,..., xn+i), u = a±ei + • • • + anen. Hledáme Y G An tak, aby Xr = u, tedy aby Vi -Ei 1 ---= a j, z = 1,.. ., n . xn+l 6. Projektivní rozšíření afínního prostoru 21 Známe-li x±,... , xn+i a cti, • • •, in, jsou těmito rovnicemi určeny yi,.. ., yn+i až na nenulové násobky, a tedy bod Y je určen jednoznačně svými projektivními homogenními souřadnicemi. Ad 2) Pro každé tři body X,Y, Z e An o souřadnicovém vyjádření X = (xi,. .. ; xn+1), Y = (yi,. .. ; yn+i), Z = .. . ; zn+1) máme XY YÉ = yi xi yn %r, yn+l xn+l Vn+1 xn+l zi yi zn yr< zn+l yn+l zn+l yn+l, zl xl zn xn \ X Z zn+l xn+l zn+l xn+l Tedy (An, Un, ~~*) je afinní prostor se zaměřením Un a protože dimenze Un je rovna n, je i dimAn = n. Přitom geometrická báze (0\;... ; On+i, E) přejde v afinní repér (On+i, e±,..., en). Je-li bod X ^ N s projektivními homogenními souřadnicemi (xi,.. . ;xn+i), potom jeho souřadnicové vyjádření vzhledem k odpovídajícímu afinnímu repér u je , . . . , . Je-li X = (xi;... : xn, 0) e N v projektivních Xn + l Xn + 1 homogenních souřadnicích, potom mu odpovídá v indukované afinní souřadné soustavě směr generovaný vektorem (xi,.. . ; xn) ze zaměření Un. Poznámka 5.1. Popsaná konstrukce závisela v podstatné míře na zvolené geometrické bázi. Dá se ovšem ukázat, že ať zvolíme body 0\,... ; On e N jakkoliv, vzniká popsanou konstrukcí afinní prostor totožný s předchozím. 6 Projektivní rozšíření afinního prostoru Nechť An = (An, Vn, ~~*) je n-rozměrný afinní prostor. Označme AÍa množinu všech jednodimenzionálních podprostorů (směrů) Vn, tj. Na = {(u)|u 7^ o, u e V} je in — l)-rozměrný projektivní prostor. Položme Vn = An U Na- Máme tedy v Vn dva druhy bodů. Ty, které patří do An, budeme nazývat vlastní body a ty, které patří do Na, budeme nazývat nevlastní body. Dokážeme nyní, že Vn je n-rozměrný projektivní prostor. Definujme Wn+i = Vn © (e), e ^ Vn, vektorový prostor dimenze (n + 1) a V'n jím určený n-rozměrný projektivní prostor. Musíme dokázat, že Vn a T~"n jsou izomorfní. Uvažujme zobrazení i : Vn —> T"n definované následujícím způsobem l(X) = (e + OŘ) proX e An a pevný bod O e An t((x)) = (x) pro (x) e Na ■ Nyní musíme dokázat, že l je bijekce. 6. Projektivní rozšíření afínního prostoru 22 1) Injektivnost. Na AOi jde o identitu, a tedy o prosté zobrazení. Nechť X, Y G An jsou dva body takové, že l(X) = l(Y). Potom (e + OŘ) = (e + 0~ý), a tedy existuje a/0 takové, že a(e + OJ^) = e + 01^ a odtud (1 — a) e + aXÔ + 01^ = o. Součet V © {e} je přímý, a tedy (1 — a)e = o a aXÓ + OY = o. Odtud, protože e o, je a = 1 a + OY = XY = o, což implikuje X = Y. Je tedy t prosté i na An. Pro X G An a F G A/^ je z definice i(X) ^ l(Y), a tedy l je prosté zobrazení. 2) Surjektivnost. Nechť w G Wn+i- Potom existují v G Vn a (3 G T taková, že w = v + /3e. a) Nechť (3 = O, potom w = v a t((v)) = (w). b) Nechť ^ O a nechť X G A tak, že ÔX" = ^v. Potom l(X) = (e + ÔX) = (e + i v) = (/3e + v) = (w). Protože w G Wn+i bylo libovolné, je surjektivnost l dokázána. Definice 6.1. Projektivní prostor Vn = An U Aí^ budeme nazývat projektivní rozšíření afinního prostoru An a označovat An. Nechť Bk = (Bk,Uk,^) je /c-rozměrný podprostor afinního prostoru An. Potom projektivní rozšíření Bk = Bk U A/g afinního prostoru Bk je /c-rozměrným projektivním podprostorem v projektivním rozšíření An = An U AOi afinního prostoru An- Nechť {P;e1,...,en) (6.1) je afinní repér v An. Potom «ei),...,)) (6.2) je geometrická báze projektivního prostoru An. Je-li bod X G An vlastní, tj. leží-li v An, jsou jeho souřadnice vzhledem k afinnímu repéru (6.1) označovány x\,.. . ; xn-Tyto souřadnice budeme nazývat afinní nehomogenní souřadnice bodu X vzhledem k afinnímu repéru (6.1). Vzhledem k indukované geometrické bázi (6.2) má potom bod X = (e + PŘ) indukované projektivní homogenní souřadnice (xi, ... ;xn, 1), které jsou ale určeny až na nenulový násobek, a tedy jakákoliv uspořádaná in + 1)-tice ixi,... ;xn+i) prvků z T takových, že xn+i / O a i; = ^-j- je homogenními projektivními souřadnicemi vlastního bodu X G An určenými afinním repérem (6.1). Tyto souřadnice budeme nazývat afinní homogenní souřadnice bodu X vzhledem k afinnímu repéru (6.1). Nechť nyní X G An je nevlastní bod, tj. X = (x), kde x je nenulový vektor ze zaměření An. Potom vzhledem k afinnímu repéru (6.1) má vektor x souřadnice (xi,... ;xn) a v indukované geometrické bázi (6.2) na An je bod X = (x + Oe) vyjádřen souřadnicemi (xi,... ; xn, 0), které budeme nazývat afinními homogenními souřadnicemi nevlastního bodu vzhledem k afinnímu repéru (6.1). Zavedení afinních homogenních souřadnic nám tedy umožňuje pracovat souřadnicově i s nevlastními body, což nehomogenní souřadnice neumožňovaly. 7. Cvičení 23 Úloha 6.1. Vzhledem k afinnímu repéru {P; e±, e2, 6-3) v A3 je dána přímka p obecným vyjádřením p : 2x + y — z — 2 = 0; x — y + z + 1 = 0. Určete rovnice přímky p v indukovaných afinních homogenních souřadnicích a určete souřadnice nevlastního bodu přímky p. Řešení: V rovnicích přímky p položíme x = — ,y = — , z = ^ a rovnice vyná-sobíme X4. Dostaneme obecné rovnice přímky p ve tvaru p : 2xi + x2 — X3 — 2x4 = 0; xi — X2 + X3 + X4 = 0. Nevlastní bod přímky p je průnikem přímky p s nevlastní rovinou X4 = 0. Dosazením X4 = 0 do homogenních rovnic přímky dostaneme Poo = (0;1;1;0). 7 Cvičení 7.1. V V-i je dána geometrická báze (Oi, 02, O3, O4, E). a) Určete obecné vyjádření rovin 0\020^, 0\02E, O3O4E, b) Určete parametrické i obecné vyjádření přímek 0±02, 0±E, O4E. { a) Oi02C>3 : x4 = 0, Ox02E : x3 - x4 = 0, 0304E : xi — x2 = 0, b) Oi02 parametricky x\ = r,x2 = s,x3 = 0,x4 = 0, obecně X4 = 0, X3 = 0; 0\E parametricky x\ = r + s, x2 = s, x3 = s, x4 = s, obecně x2 — x4 = 0, x3 — x4 = 0; O4E parametricky x\ = s, x2 = s, X3 = s, x4 = r + s, obecně x\ — x2 = 0, x\ — X3 = 0 } 7.2. V V-i je dána geometrická báze (Oi, 02, O3, O4, E) a vzhledem k ní body A = (-3; 5; 15; 1), B = (0; 0; 7; 1), C = (2; -1; 4; 1), D = (4; -3; 0; 1). Ověřte, že přímky AB a CD mají společný bod a určete jeho souřadnice. {P = (-3;5;22;2)} 7.3. V V3 je dána geometrická báze (Oi, 02, O3, O4, E) a vzhledem k ní bod A = (2; 3; 1; 1) a přímky p : x\ + x2 = 0, x\ — x2 + X3 + 4x4 = 0, q : xi + 3x2 — x4 = 0, X2 + X3 — 2x4 = 0. Určete rovnice přímky, která prochází bodem A a protíná přímky p,q. { X\ — 9x2 + 5x3 + 20X4 = 0, X\ — 2x2 — 5x3 + 9x4 = 0 } 7.4. V V-i je dána geometrická báze (Oi, 02, O3, O4, E) a vzhledem k ní body A = (2; 3; 0; —4), B = (0; 3; —4; 0), rovina p : x\ — 2x% + 3x4 = 0 a přímka p : 2xi — 3x3 = 0, xi + 5x2 + 4x3 + 3x4 = 0. Určete parametrické rovnice přímky, která leží v rovině p a protíná přímky AB a p. { X = a(45; -36; 30; 5) + /3(8; 27; -20; -16) } Kapitola 3 BILINEÁRNÍ A KVADRATICKÉ FORMY V této kapitole se budeme zabývat úvodem do algebraické teorie bilineárních a kvadratických forem, které jsou algebraickým základem analytické teorie kuželoseček a kvadrik. 8 Bilineární formy Nechť V je vektorový prostor nad tělesem T, kde T je těleso reálných nebo komplexních čísel. Definice 8.1. Zobrazení / : V x V —> T se nazývá bilineární forma na vektorovém prostoru V, jestliže pro každé tři vektory x, y, z G V a každé a G T platí (1) /(x + y,z) = /(x,z) + /(y,z), (2) /(x,y + z) = /(x,y) + /(x,z), (3) /(ax, y) = /(x, ay) = a/(x, y)._ Podmínky (l)-(3) se dají také vyjádřit tak, že při pevně zvoleném vektoru u e V jsou zobrazení /(—, u) : ľ-í>Ta/(u, -) : V —> T lineární. Je tedy / lineární v obou složkách a takovéto zobrazení se nazývá bilineární zobrazení. Poznámka 8.1. Podmínky (l)-(3) z Definice 8.1 se dají vyjádřit ekvivalentně také podmínkami (ľ) /(aixi H-----h afcxfc, y) = «i/(xi, y) + .. . + afc/(xfc, y), k>2, (2') /(x, aiyi H-----h akyk) = ai/(x, yi) H-----h afc/(x, yfc), k>2. <> Poznámka 8.2. Zúžení bilineární formy / na podprostor V je bilineární forma na V. 0 Příklad 8.1. Skalární součin na reálném vektorovém prostoru je příkladem bilineární formy. 24 8. Bilinear ní formy 25 Příklad 8.2. /(x, y) = O, Vx, y E V, je takzvaná nulová bilineární forma. Příklad 8.3. Nechť V = R2, zobrazení fl : M2 x IR2 —> R zadaná předpisem /i(x, y) = xiyi - 2x21)2 + 3xiy2 , Í2(x,y) = x1y1 + x2y2, /3(x, y) = xiyi + xxy2 + x2y\ + 2x2y2, Í4(x,y) = xxy2 -x2yi, jsou bilineární formy na V. Zobrazení /s(x,y) = x2 -yi + xľy2 není bilineární formou. Definice 8.2. Řekneme, že bilineární forma / na V je symetrická, respektive antisymetrická, jestliže pro každé dva vektory x, y E V platí /(x,y) = /(y,x), respektive /(x,y) = -/(y,x). Příklad 8.4. Skalární součin je příkladem symetrické bilineární formy. Bilineární formy f2 a Í3 z Příkladu 8.3 jsou symetrické bilineární formy, zatímco f4 je antisymetrická bilineární forma. Definice 8.3. Součtem bilineárních forem /, g na V, respektive násobkem bili- neární formy / prvkem a E T, nazýváme zobrazení h : V x ľ -> T, respektive k : V x V —> T, taková, že pro Vx, y E V ^(x,y) = /(x,y) + #(x,y), respektive /c(x,y) = a/(x,y). Značíme potom h = f + g, k = af. Poznámka 8.3. Součet i násobek bilineárních forem na V jsou opět bilineární formy na V a prostor bilineárních forem na V je vektorovým prostorem nad tělesem T. (} Věta 8.1. Ke každé bilineární formě f na V existují právě jedna symetrická bilineární forma f s a právě jedna antisymetrická bilineární forma f a na V takové, že /(x, y) = /s(x, y) + /a(x, y). Důkaz. Pro každé x, y E V položme /s(x,y) = ^(/(x,y)+/(y,x)), /A(x,y) = i(/(x,y)-/(y,x)). 8. Bilinear ní formy 26 Je zřejmé, že f s je symetrická a f a je antisymetrická bilineární forma a že / = Js+Ja-Nechť existuje jiná symetrická bilineární forma f's a antisymetrická bilineární forma f'A takové, že / = f's + f'A. Potom /(y,x) = ^(x,y)-/;(x,y), /(x,y) = ^(x,y)+/^(x,y). Sečtením dostaneme /^(x, y) = ^(/(x,y) + /(y,x)) = /s(x, y). Podobně odečtením dostaneme f'A = f a- □ Nechť B = (ui,..., u„) je libovolná báze ve V. Potom x = xiUi + • • • + xnun, y = yiUi + • • • + yraura, kde Xj, í/j G T. Dosazením dostaneme /(x,y) = /(J^a;iUi,^yJ-uJ-) = ^ x, ^ ^/(u,, Označme al3 = /(uj, u^) a uvažujme matici ^4/ = (al3). Potom můžeme psát /(x,y) = E ■iVo- (8.11 Definice 8.4. (8.1) je souřadnicovým vyjádřením bilineární formy / v bázi B = (ui,. .., un), matice A f = (/(uj, u^)) se nazývá matice bilineární formy f v bázi B. Poznámka 8.4. Bilineární forma / je symetrická (antisymetrická) bilineární forma právě tehdy, je-li A f symetrická (antisymetrická) matice. <) Souřadnicové vyjádření vektoru x = (xi;. .. ; xn) vzhledem k libovolné bázi B = í xA . Potom bilineární formu / (ui,..., u„) budeme ztotožňovat s maticí (x) = můžeme psát maticově ve tvaru \Xn) /(x,y) = (xi. ..xn)B (aij) (yi\ w = x >(y) • Příklad 8.5. V kanonické bázi na IR2 jsou matice bilineárních forem /i,..., f± z Příkladu 8.3 1 3 0 -5 1 0 0 1 Af3 = 1 1 1 2 0 1 -1 0 Definice 8.5. Hodností bilineární formy f rozumíme hodnost matice formy A f v libovolné bázi. Je-li A f regulární matice, nazýváme bilineární formu / regulární, je-li A f singulární, nazýváme i bilineární formu / singulární. 8. Bilinear ní formy 27 Věta 8.2. Hodnost bilineární formy nezávisí na zvolené bázi. Důkaz. Mějme na V dvě báze B = (ui,... ,un), (8.2) (8.3) a nechť (u)g = ( Ul\ fu[\ a (u)B, = jsou příslušná souřadnicová vyjádření vy b' vektoru u vzhledem k těmto bázím. Nechť Q je matice přechodu od báze (8.2) k bázi (8.3), tj. pro souřadnice vektoru u platí ( U1\ — n \un) — v b Potom bilineární forma / má vyjádření /(x, y) = (x±.. . xn)s Af fyi\ a/(x,y) = (ii...<)s' Bf (yi\ bázi (8.2) v bázi (8.3). Dosazením transformačních rovnic \y'n) B, do vyjádření formy v bázi (8.2) a porovnáním s vyjádřením v bázi (8.3) dostaneme Bf = QTAfQ, kde QT je transponovaná matice k matici Q. Potom h(Bf) = h(Af), protože Q je regulární matice. □ Definice 8.6. Nechť / je symetrická bilineární forma na V. Singulárním vektorem formy / rozumíme vektor y takový, že /(x, y) = 0 pro každý vektor x G V. Poznámka 8.5. V případě, že / není symetrická bilineární forma, musíme definovat zvlášť levé a pravé singulární vektory. <) Vyjádříme-li bilineární formu /(x, y) v libovolné bázi, dostaneme z podmínky /(xj) = (xi... xn) Af \ =0 w pro každý vektor x soustavu homogenních lineárních rovnic (yi\ «112/1 H-----^ ďlnyn = 0 •1/ i o > : . \yn J anlyx H-----h annyn = 0 (8.4) 8. Bilinear ní formy 28 kterou musí splňovat souřadnice singulárního vektoru y. Singulární vektory tedy tvoří podprostor ve V, jehož dimenze je n — h(Af). Věta 8.3. Nechť V je reálný vektorový prostor a Vc jeho komplexní rozšíření. Ke každé bilineární formě f na V existuje právě jedna bilineární forma fc na Vc taková, Důkaz. Existence. Nechť x = xi + žx2, y = yi + iy% £ V jsou dva vektory Definujme Snadno se vidí, že je takto definovaná bilineární forma na V taková, že f \V = f. Jednoznačnost. Je-li g jiná bilineární forma na Vc taková, že g\V = f, potom z linearity dostáváme Definice 8.7. Bilineární forma / na V definovaná ve Větě 8.3 se nazývá komplexní rozšíření reálné bilineární formy /. Nechť B = (ui,..., un) je báze V. Ve Větě 1.2 jsme dokázali, že B je současně i bází ve Vc. Je-li /(x,y) bilineární forma na V , která má v bázi B souřadnicové vyjádření /(x,y) = V^™J=1 a%Jx%y^ potom souřadnicové vyjádření fc v této bázi je totožné. Pouze souřadnice xt a y3 mohou nyní být komplexní čísla. Tedy v libovolné reálné bázi ve Vc má matice bilineární formy fc reálné koeficienty, na rozdíl od matice libovolné bilineární formy na Vc, která má matici definovanou obecně nad komplexními čísly. Úloha 8.1. Nechť je v bázi (ui,..., 114) na V4 dána bilineární forma / souřadnicovým vyjádřením /(x, y) = -X1J/2 + xiV3 + x2yi + x2y2 + x2y4 - x3y4 + x4y3 . Určete matici a hodnost formy. Řešení: Koeficienty al3 matice A f formy jsou koeficienty u xtyr Potom žef\V = f. /€(x, y) = /(Xl, yi) - /(x2, y2) + i(/(Xl, y2) + /(x2, yi)). g{x, y) = ai^i, yi) - g{*2, y2) + i{g{*i, y2) + #(x2, yi)) a odtud plyne g = f ■ A f /O -1 1 0 \ 110 1 0 0 0 -1 \o o 1 o / h(f) = h(Af) = A. Úloha 8.2. Pro bilineární formu / z Úlohy 8.1 určete bilineární formy f a a fs-Určete jejich matice a hodnost. Řešení: Podle Věty 8.1 je 8. Bilinear ní formy 29 A(x,y) = i(/(x,y)-/(y,x)) = = -xm + x2yi + 75X12/3 - |x3yi + x4y3 - x3y4 + ±x2y4 - \xAy2 . /O -1 i 0\ 1 O O i Odtud AÍA = \(Af-ATf) = Podobně /s(x,y) = |(/(x,y) + /(y,x)) = 0 0 4 1 -1 M/a) = 4. odtud ^ = 1(^ + 4) = ix3yi + x2y2 + |aľ2y4 + ^x4y2. /O 0 i 0\ 0 1 0 i 1 o o o , M/s) = 4. \o I o oj Úloha 8.3. Pro bilineární formu j\ z Příkladu 8.3 určete její souřadnicové vyjádření a matici v nové bázi vi = (3; —1), v2 = (1; —1) na IR2. Řešení: a) Transformační rovnice přechodu k novým souřadnicím jsou tvaru x2 yi 2/2 3y'i +y2, -y[ -V2- Přímým dosazením dostaneme A(x, y) = xxy\ - 2x2y2 + 3xty2 = -2x[y[ - 2x'2y[ - 8x[y'2 - Ax'2y'2, -2 -8N -2 -4y b) Maticový zápis. Transformační rovnice přechodu k nové bázi jsou a matice formy v nové bázi je 3 1 -1 -1 Dosazením do maticového vyjádření formy dostaneme A(x,y) = (x[ x'2) '3 -l\ 1 3 \ / 3 1 \ A/i 1 -l) \0 -2) \-l -l) {y> -2 -8N ^ l -2 -4, c) Matice bilineární formy je (al3 = /(v^v^)). Přímým dosazením souřadnic vektorů Vj do souřadnicového vyjádření formy dostaneme opět požadovanou matici. (x[ 9. Kvadratické formy 30 Úloha 8.4. V bázi (ui, u2,113) na V3 je dána symetrická bilineární forma / souřadnicovým vyjádřením /(x, y) =Ax1y1 + 5xxy2 + 3xiy3 + 5x2yi - 6x2y2 + 16x2y3 + 3x3yi + 16x3y2 - 10x3y3 Určete její hodnost a singulární vektory. /4 5 3 \ Rešeni: Matice formy je Af= 5—6 16 j . Potom h(f) = h(Af) = 2. Podle \3 16 -10/ (8.4) tvoří singulární vektory / podprostor řešení soustavy homogenních lineárních rovnic 4xi + 5x2 + 3x3 = 0 , 5xi — 6x2 + I6X3 = 0, 3xi + 16x2 — IOX3 = 0. Podprostor řešení je jednodimenzionální podprostor generovaný vektorem (—2; 1; 1). 9 Kvadratické formy Definice 9.1. Zobrazení F : V —> T se nazývá kvadratická forma na vektorovém prostoru V, jestliže existuje bilineární forma / taková, že pro každý vektor x G V je -F(x) = /(x, x). Říkáme potom, že bilineární forma / určuje kvadratickou formu F\_ Příklad 9.1. Nulová kvadratická forma (tj. -F(x) = 0 pro všechna x) je určena libovolnou antisymetrickou bilineární formou. Příklad 9.2. Je-li V reálný euklidovský vektorový prostor, je zobrazení "velikost vektoru na druhou", kvadratickou formou určenou skalárním součinem. Podobně jako pro bilineární formy můžeme definovat součet kvadratických forem a součin kvadratické formy s prvky z T. (F + G)(x) = F(x) + G(x), («F)(x) = aF(x). Věta 9.1. Ke každé kvadratické formě existuje právě jedna symetrická bilineární forma, která ji určuje. Důkaz. Existence. Nechť kvadratická forma F je určena bilineární formou /. Potom / = Ía + f s a máme F(x) = /(x, x) = /A(x, x) + /s(x, x) = /s(x, x). 9. Kvadratické formy 31 Jednoznačnost. Nechť / je symetrická bilineární forma určující F. Pak F(x + y) = /(x + y, x + y) = /(x, x) + 2/(x, y) + f (y, y), a tedy /(x,y) = i{F(x + y)-F(x)-F(y)}, což je jednoznačně určená bilineární forma. □ Definice 9.2. Symetrická bilineární forma / určující kvadratickou formu F se nazývá polární bilineární forma k F. Dále automaticky pro danou kvadratickou formu F je f její polární bilineární forma. Příklad 9.3. Skalární součin je polární bilineární forma ke kvadratické formě dané velikostí vektoru na druhou. Definice 9.3. Hodností kvadratické formy rozumíme hodnost příslušné polární bilineární formy. Říkáme, že kvadratická forma je regulární (singulární), je-li regulární (singulární) příslušná polární bilineární forma. Singulárním vektorem kvadratické formy rozumíme singulární vektor příslušné polární bilineární formy. Nechť B = (ui,..., un) je báze V a í Xl\ F(x) = /(x,x) = (xi.. .xn) (dij) : \x„J = MTAFM je souřadnicové vyjádření kvadratické formy F, kde Ap je symetrická matice nazývaná matice kvadratické formy F v bázi B. Souřadnicově můžeme také psát F(x) = (a11x1 H-----h alnxn)x1 H-----h (a^i H-----h annxn)xn = = Fi(x)xi H-----h F„(x)x„, kde -Fj(x) = di\X\ + • • • + amxn je takzvaná í-tá lineárni forma přidružená (asociovaná) k F. Ze souřadnicového vyjádření pro singulární vektory bilineární formy dostaneme, že vektor x je singulárním vektorem kvadratické formy F právě tehdy, když anxi + • • • + aínxn = 0, (9.1) to jest právě tehdy, když -Fi(x) = 0,..., Fn(x) = 0. 9. Kvadratické formy 32 Definice 9.4. Bázi B = (ul5..., u„) vektorového prostoru V nazýváme polární bází kvadratické formy F, jestliže pro každé í, j = 1,..., n, í ^ j, platí /(ul5 Uj) = Věta 9.2. Ke každé kvadratické formě existuje polárni báze. Důkaz. Je-li F nulová forma, pak každá báze je polárni. Nechť tedy F není nulová kvadratická forma na V. Dále budeme postupovat matematickou indukcí. 1. Nechť n = 1. Potom každá báze je polárni. 2. Nechť věta platí pro (n — 1). Ve Vn zvolme Ui tak, aby -F(ui) 7^ 0. Množina vektorů splňujících /(x, Ui) = 0 je in — l)-dimenzionální podprostor ve V. Označme jej V\. Potom zúžení F\V± je kvadratická forma na (n — l)-dimenzionálním prostoru V\ a podle indukčního předpokladu existuje ve V\ polární báze -F|Vi. Označme j i U2,..., u„. Snadno se vidí, že ui,..., u„ je polární bází F na V. □ Algoritmus hledání polární báze Předpokládejme, že F není nulová kvadratická forma. Potom existuje vektor Ui g V takový, že -F(ui) 7^ 0. Množina vektorů splňujících /(x, ui) = 0 je (n — 1)-dimenzionální podprostor ve V. Označme jej V\. Ve V\ vybereme libovolný vektor U2 takový, že F(xsľi) 7^ 0. Pokud takový vektor neexistuje, doplníme vektor Ui na bázi vektory z V\ a taková báze již je polární. Pokud existuje vektor U2 g V\ takový, že F{xsľi) 7^ 0, uvažujeme množinu vektorů splňujících /(x, ui) = 0,/(x, U2) = 0. Tato množina je (n — 2)-dimenzionálním podprostorem ve V a označíme ji V2- Pokud všechny vektory z V2 nulují formu F, doplníme Ui, U2 na bázi vektory z V2. Pokud existuje vektor U3 g V2 takový, že F(113) 7^ 0, uvažujeme množinu vektorů V3 splňujících /(x, Ui) = 0, /(x, U2) = 0, /(x, U3) = 0. Tato množina je (n — 3)-rozměrným podprostorem ve V a další vektor do hledané báze bereme z tohoto prostoru. Tímto způsobem pokračujeme tak dlouho, dokud pro nějaké k nejsou všechny hodnoty formy F na vektorech z Vk nulové. Snadno se vidí, že matice kvadratické formy je diagonální tehdy a jenom tehdy, je-li odpovídající báze V polární. Souřadnicový tvar kvadratické formy s diagonální maticí se nazývá kanonický tvar. V souřadnicovém vyjádření má potom Věta 9.2 tvar následující Věty 9.3. Věta 9.3. Ke každé kvadratické formě 0. n existuje taková lineární transformace souřadnic n 1,.... n 9. Kvadratické formy 33 že souřadnicové vyjádření F v souřadnicích yi, ■ ■ ■ ;yn je tvaru n F(x) = J>lž/l2, i=i tj. matice BF kvadratické formy F je diagonálni. Algoritmus hledání polární báze potom odpovídá hledání takové lineární transformace souřadnic xt = Yľj=i QijVji že v souřadnicích yt má forma diagonální matici. Tuto lineární transformaci hledáme následujícím způsobem: Nechť má nenulová kvadratická forma v nějaké bázi souřadnicové vyjádření n F(pí) ^ ^ CLijXiXj . a) Předpokládejme, že existuje takové í, že aM ^ 0. Bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat, že je to au. Potom -F(x) = — (anxi H-----h alnxn)2 + 2a23^2^3 + • • • au Označme yi = anxi + • • • + ainxn, y2 = x2, ■ ■ ■, yn = xn. V nových souřadnicích m; ■ ■ ■ ;yn je F(x) = — y\ + G, kde G je kvadratická forma in — 1) proměnných y2, . . . ,yn- Dále pokračujeme obdobným způsobem při úpravě kvadratické formy G a po konečném počtu kroků dostaneme kanonický tvar formy. Hledaná lineární transformace souřadnic je potom složením dílčích transformací. b) Nechť všechna aM = 0. Potom existuje al3 7^ 0 pro i 7^ j. Bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat, že a12 7^ 0. Potom lineární transformace x\ = yi + y2, x2 = yi — y2, Xk = yt, k = 3,..., n, převede kvadratickou formu na tvar -F(x) = (212(2/1 — y%) + •••) c°ž Je ťvar z případu a) a dále můžeme postupovat výše popsaným algoritmem. Definice 9.5. Nechť F je kvadratická forma na reálném vektorovém prostoru. Říkáme, že F je a) pozitivně definitní, jestliže pro každý x 7^ o je -F(x) > 0, b) pozitivně semidefinitní, jestliže pro každý x 7^ o je -F(x) > 0, c) negativně definitní, jestliže pro každý x 7^ o je -F(x) < 0, d) negativně semidefinitní, jestliže pro každý x 7^ o je -F(x) < 0, e) existují-li vektory y, z G V takové, že F(y) > 0 a F (z) < 0, říkáme, že F je indefinitní. 9. Kvadratické formy 34 Typ kvadratické formy se snadno pozná, je-li forma vyjádřena v polární bázi, tj. je-li její souřadnicový zápis v kanonickém tvaru F (x) = axlx\ H-----h annx2n . Potom kvadratická forma F je pozitivně definitní, je-li allt > 0, pozitivně semidefi-nitní, je-li aM > 0, negativně definitní, je-li au < 0 a negativně semidefinitní, je-li au _ 0 pro všechna i = 1,..., n. Forma je indefinitní, existují-li koeficienty allt > 0 a a j j < 0. Pro nenulové koeficienty allt v kanonickém tvaru kvadratické formy můžeme provést transformaci souřadnic 1 xi /, , y i ■ V \aii\ V nových souřadnicích jsou potom všechny koeficienty u 2. mocnin souřadnic 1, -1, případně 0. Vhodnou permutací souřadnic docílíme toho, že souřadnicové vyjádření kvadratické formy je tvaru r/ \ 2 i 2 2 2 nx) = ví + • • • + yP - yP+i - ■ ■ ■ - yP+q, p + q < n. Tento tvar se nazývá normální tvar kvadratické formy. Dvojice (p, q) se nazývá signatura kvadratické formy. Polární bázi, ve které má kvadratická forma normální tvar, budeme nazývat normovanou polární bází. Poznámka 9.1. Pokud uvažujeme na euklidovském vektorovém prostoru kvadratickou formu určenou skalárním součinem, je normovaná polární báze takzvaná ortonormální báze tvořená jednotkovými, na sebe kolmými vektory, viz skriptum [6]. Následující věta je nej důležitější větou algebraické teorie kvadratických forem a nazývá se věta o setrvačnosti kvadratických forem. Věta 9.4. Normální tvar kvadratické formy nezávisí na lineární transformaci souřadnic, která převádí danou kvadratickou formu do normálního tvaru. □ Poznámka 9.2. Jinak řečeno, předchozí věta říká, že signatura kvadratické formy je jednoznačně určena kvadratickou formou a ne jejím souřadnicovým vyjádřením. Máme-li tedy dvě kvadratické formy vyjádřeny v souřadnicích a mají-li tyto formy stejnou signaturu, jedná se vlastně o tutéž formu vyjádřenou v různých bázích. <) Věta 9.5. Nechť F je kvadratická forma na reálném vektorovém prostoru V, pak existuje právě jedna kvadratická forma Fc na Vc taková, že FC\V = F. Důkaz. Vyplývá přímo z obdobné věty pro polární bilineární formu. □ 9. Kvadratické formy 35 Definice 9.6. Kvadratická forma Fc na Vc definovaná ve Větě 9.5 se nazývá komplexní rozšíření reálné kvadratické formy F. Úloha 9.1. V kanonické bázi na IR3 je dána kvadratická forma F. Určete její matici, hodnost a je-li forma singulární, určete její singulární vektory: a) -F(x) = x\ + x\ — 2x\x2 + 2xix% + 10x2X3 , b) -F(x) = x\x2 + x2x3 . Řešení: a) Matice kvadratické formy je AF =1—1 0 5 1. Potom h(F) = \1 5 lj h(AF) = 3, forma je regulární a nemá nenulové singulární vektory. /O \ 0\ b) Matice kvadratické formy je AF = \ \ 0 \ . Potom h(F) = h(AF) = 2 \o \ o) a forma je singulární. Podprostor singulárních vektorů je řešením homogenní soustavy rovnic 7jX2 = 0, i™ 1 1, xi +9X3 =0, 2 1 1 2 \x2 = 0. Řešením je podprostor L((l; 0; —1)). Úloha 9.2. Určete normální tvar kvadratických forem z Úlohy 9.1. Určete normovanou polární bázi, ve které má F normální tvar, a transformační rovnice přechodu od kanonické báze k normované polární bázi. Řešení: I. metoda: a) V IR3 vybereme vektor Ui tak, aby -F(ui) 7^ 0. Zvolme Ui = (1;0;0). Potom -F(ui) = 1. Určíme podprostor V\ jako podprostor řešení rovnice /(ui,x) = 0, tj. řešení homogenní rovnice x\ — x2 + X3 = 0 . Dostaneme Ví = L((l; 1; 0), (-1; 0; 1)). Zvolme u2 = (-1;-1;0), potom F(u2) = —1. Určíme podprostor V2 jako prostor řešení rovnic /(ul5x) = 0, /(u2,x) = 0, tj. soustavy homogenních rovnic x\ — x2 + X3 = 0 , —X2 + 6X3 = 0 . Dostaneme V2 = L((5; 6; 1)). Protože F((5; 6; 1)) = 36, zvolíme U3 = |(5; 6; 1). Báze Ui, u2, u3 je normovaná polární báze a rovnice kvadratické formy F v této bázi jsou ^(y) = yľ-y22 + y3- Provedeme proto volbu nové báze vi = Ui, V2 = 113, V3 = 112, ve které má forma F rovnice F(t) = 4+4-4. 9. Kvadratické formy 36 Transformační rovnice přechodu od kanonické báze k normované polární bázi vii v2i v3 Jsou potom /xi\ í1 i ~ľ\ P x2 \= 0 1 -1 í2 ,W Vo i o J \t3/ b) Protože F((1;0;0)) = 0, zvolíme ux = (1;1;0). Máme F(ux) = 1 a Vi je prostor řešení rovnice xi + x2 + x3 = 0 , tj. Vi = L((l; -1; 0), (1; 0; -1)). Zvolme u2 = (1; -1; 0). Máme F(u2) = -1 a V2 je řešením homogenní soustavy xi + x2 + x3 = 0 , —x\ + x2 — x3 = 0 . V2 = L((l; 0; —1)) a F((l; 0; —1)) = 0. Zvolíme U3 = (1; 0; —1) a báze ui, u2, u3 je normovaná polární báze, ve které jsou rovnice kvadratické formy Hy) = vi - vi ■ Transformační rovnice přechodu od kanonické báze k normované polární bázi Ui, u2, U3 jsou potom 'xA /ll 1 \ fyi X2 = 1 -1 Oh/2 ,x3/ \0 0 -1/ Vy3, II. metoda: a) Protože au 7^ 0, upravíme rovnici kvadratické formy tak, že všechny členy obsahující x\ budou v druhé mocnině trojčlenu, tj. F(x) = (xi — x2 + x3)2 — x\ + 12x2x3 . Transformace yi = xi -x2 +x3, ž/2 = Z2 , 2/3 = x3 převede formu na tvar F(y)=yl-y22 + l2y2y3, který můžeme dále upravit ^(y) = yi2-(-y2 + 6y3)2 + 36y32. Transformace zi= yi, z2 = -2/2 +6y3 , z3 = 2/3 9. Kvadratické formy 37 převede formu na tvar F (z) = z\ - z\ + 36zf, který znormujeme transformací zi= h, takže výsledný tvar bude F(t) = 4 + 4-4. Postupným skládáním dílčích transformací dostaneme celkovou transformaci 'Xl\ í' « ~'\ P X2 \= 0 1 -1 í2 ,W Vo \ o J \t3j a odtud je zřejmé, že normovaná polární báze je tvořena vektory vi = (1;0;0), v2 = (|;l;|), v3 = (-l;-l;0). b) Protože všechna aM = 0 a 023 7^ 0, zvolíme transformaci xi= yi, x2 = y2 +2/3, x3 = y2 -V3, která převede formu na tvar ^(y) = yiV2 + ym + yl-yi, který upravíme na tvar ^(y) = [\yi + ž/2)2 - [\yi - y3)2 • Potom transformace h = \v\ +y2, h = \y\ -z/3 j *3 = ž/3 převede formu na konečný tvar F(t) = 4-4- Transformační rovnice přechodu od kanonické báze k normované polární bázi Ui, U2, U3 jsou potom 'zA /o 2 2 \ /V X2 = 1 -1 0 í2 Kx3) \l -1 -2) \t3/ a příslušná normovaná polární báze je Ui = (0;1;1), U2 = (2; — 1; — 1), U3 = (2;0;—2). 10. Ortogonální transformace kvadratické formy 38 Poznámka 9.3. Všimněme si, že v Úloze 9.2 jsou v případě a) výsledné transformace v obou metodách shodné. To je proto, že jsme v 1. metodě volili vektory do polární báze tak, aby odpovídaly příslušným postupným transformacím souřadnic, které jsme prováděli ve 2. metodě. V případě b) jsme v 1. metodě zvolili jinou polární bázi, která neodpovídá transformaci souřadnic z 2. metody. Výsledný normovaný tvar rovnic kvadratické formy je ovšem shodný, což odpovídá větě o setrvačnosti kvadratických forem. 10 Ortogonální transformace kvadratické formy V této části skript nechť Vn je n-rozměrný euklidovský vektorový prostor, tj. Vn je reálný vektorový prostor se skalárním součinem. Připomeňme, že skalární součin je zobrazení (-, -)-.VnxVn^R takové, že (u,v) = (v,u), (u + v, w) = (u, w) + (v, w) , (au, v) = (u, av) = a(u, v) , (u, u) > 0, (u, u) = 0 <ř» u = o . Je tedy skalární součin symetrická bilineární forma na Vn taková, že odpovídající kvadratická forma je pozitivně definitní. Normovaná polární báze příslušná ke kvadratické formě, která je určena skalárním součinem, se nazývá ortonormální báze. Připomeňme, že v libovolné ortonormální bázi má skalární součin souřadnicové vyjádření (u, v) = uivi H-----h unvn , kde u = (-ui,..., un), v = (vi,..., vn). Ve shodě s Částí 8 můžeme psát maticově (u, v) = (\i)TEn(y) = (u)T(v), kde En je jednotková matice řádu n a vektory jsme ztotožnili se sloupcovými maticemi jejich souřadnic. Nechť nyní F je libovolná kvadratická forma na Vn. Zajímá nás, zda existuje ortonormální báze Vn taková, že v ní má F kanonický tvar. Odpověď je kladná. Důkaz existence i algoritmus hledání ortonormální báze, která je současně polární vzhledem k F, je založen na dvou větách z teorie matic (nebo ekvivalentně z teorie lineárních zobrazení). Nejdříve si připomeneme základní pojmy. Nechť A je libovolná reálná čtvercová matice řádu n. Mějme na Vn pevně zvolenou bázi. Nenulový vektor u = (ui,...,un) se nazývá vlastním vektorem matice A, jestliže jeho souřadnice jsou řešením soustavy rovnic allxl + ' ' ' + dlnxn = , (10.1) 10. Ortogonální transformace kvadratické formy 39 pro nějaké A G IR. Maticově můžeme soustavu (10.1) zapsat A(u) = \En(u), což upravíme na tvar (A-XEn)(u) = (o). (10.2) Protože podle předpokladu je u nenulový vektor, má soustava (10.2) nenulové řešení právě tehdy, když \A-\En\=0. (10.3) Rovnice (10.3) je polynomiální rovnicí vzhledem k A a nazývá se charakteristická rovnice matice A. Kořeny charakteristické rovnice se nazývají vlastní (charakteristická) čísla (hodnoty) matice A. Dosadíme-li reálné vlastní číslo do soustavy (10.1), je řešením homogenní soustavy (10.1) nenulový podprostor Vn. Každé nenulové řešení bude vlastním vektorem příslušným pro danou vlastní hodnotu. Každý vlastní vektor určuje jednodimenzionální podprostor vlastních vektorů, který nazýváme vlastní směr určený maticí A. Pro studium kvadratických forem na euklidovském vektorovém prostoru mají zásadní význam následující dvě tvrzení z teorie matic, která si zde uvedeme bez důkazu. Věta 10.1. Nechť A je symetrická reálná matice řádu n. Pak všechny kořeny charakteristické rovnice \A — \En\ = 0 jsou reálné. □ Poznámka 10.1. Protože v dimenzi 2 je charakteristická rovnice kvadratická, dokázali bychom Větu 10.1 v dimenzi 2 snadno z elementárních vlastností kvadratické rovnice. Tento důkaz provedeme později v kapitole o kuželosečkách. <) Věta 10.2. Nechť A je symetrická reálná matice řádu n a A je k-násobný kořen její charakteristické rovnice. Pak podprostor řešení homogenní soustavy pro výpočet vlastních vektorů příslušných A má právě dimenzi k. □ Věta 10.3. Nechť u, v jsou vlastní vektory, které přísluší různým vlastním číslům •Vb ^2 symetrické matice A. Pak u, v jsou kolmé, tj. (u, v) = 0. Důkaz. Protože A je symetrická matice, je (A(u),v) = (u,A(v)), kde jako A(u) rozumíme vektor, jehož souřadnice dostaneme vynásobením matice A sloupcovou maticí souřadnic vektoru u. Jestliže u je vlastním vektorem pro Ai, je A(u) = Ai(u) a podobně A(v) = A2(v). Odtud 0 = (A(u), v) - (u, A(v)) = Ai(u, v) - A2(u, v) = (X1 - A2)(u, v) a protože (Ai — A2) ^ 0 (z předpokladu, že Ai, A2 jsou různá čísla), je (u, v) = 0. □ Na základě Vět 10.1 - 10.3 nyní dokážeme, že ke každé kvadratické formě F na,Vn existuje ortonormální polární báze. Nechť Ap je matice F v libovolné ortonormální bázi. Ap je symetrická a podle Věty 10.1 jsou všechny kořeny charakteristické rovnice pro Ap reálná čísla. Ukážeme si navíc, že charakteristická čísla nejsou závislá na zvolené ortonormální bázi. 10. Ortogonální transformace kvadratické formy 40 Věta 10.4. Nechť Ap a Bp jsou matice kvadratické formy F ve dvou různých ortonormálních bázích na Vn. Pak \AF — \En\ = \BF — \En\. Důkaz. Podle důkazu Věty 8.2 je Bp = QTApQ, kde Q je matice přechodu od první báze k druhé bázi. Protože jsou naše báze ortonormální, je Q ortonormální matice, tj. QT = Q'1 a \Q\ = ±1. Tedy BF = Q^ApQ. Potom \BF - \En\ = IQ^ApQ-XQ-^Q] = \Q-\AF-\En)Q\ = IQ"1] |AF-A£„| |Q| = \AF-XEn\. O Poznámka 10.2. Z Věty 10.4 vyplývá, že charakteristická rovnice matice kvadratické formy je stejná v libovolné ortonormální bázi, můžeme tedy hovořit o charakteristické rovnici kvadratické formy. Dále je zřejmé, že i všechny kořeny charakteristické rovnice jsou nezávislé na zvolené ortonormální bázi a jsou to čísla, která jsou jednoznačně přiřazena dané kvadratické formě. Budeme je nazývat charakteristická čísla kvadratické formy. <) Věta 10.5. Ke každé kvadratické formě F na euklidovském vektorovém prostoru Vn existuje taková ortonormální báze Vn, že v ní má F kanonické rovnice tvaru F(x) = \lX\ + ■■■ + \nx2n , (10.4) kde Aj, i = 1,.. ., n, jsou charakteristická čísla kvadratické formy F. Důkaz. Zvolme libovolnou ortonormální bázi na Vn a určeme charakteristická čísla Aj kvadratické formy F, tj. matice Ap. Protože Ap je symetrická, jsou podle Věty 10.1 všechna Aj reálná. Určeme bázi ei,..., en prostoru Vn tak, že pro jednonásobný kořen Aj je ej jednotkový vlastní vektor příslušný k Aj. Pro /c-násobný kořen charakteristické rovnice {k > 2) můžeme podle Věty 10.2 vybrat v prostoru vlastních vektorů příslušných tomuto kořeni k jednotkových na sebe kolmých vektorů (např. Gramm-Schmidtovým ortogonalizačním procesem). Takto sestrojená báze el5..., en je podle Věty 10.3 ortonormální. Přitom f(el,eJ) = Aj, pro i = j, a f(el,eJ) = 0, pro i j, í, j = 0, ..., n. Opravdu, z maticového zápisu je /(e«> ei) = (eifAF(ej) = (ei)TAJ-(eJ-) = A^e,, e,-). Má tedy F v bázi ei,..., en kanonické rovnice (10.4). Z Věty 10.4 potom vyplývá, že kanonické rovnice jsou nezávislé na původně zvolené ortonormální bázi. □ Úloha 10.1. V ortonormální bázi na V3 je dána kvadratická forma F. Pomocí ortonormálních transformací určete kanonický tvar rovnic, typ formy (podle Definice 9.5), ortonormální polární bázi a transformační rovnice, které převádí rovnici formy na kanonický tvar: a) -F(x) = x\ — 2x\ + x\ + 4x1X2 — IOX1X3 + 4x2X3 , b) -F(x) = x\ + x\ + x\ + 4x!X2 + 4x!X3 + 4x2x3 . /I 2 -5\ Řešení: a) Matice formy je 2 —2 2 . Její charakteristická rovnice je V-5 2 lj A3 — 36A = 0 s kořeny Ai = 6, A2 = —6, A3 = 0. Podle Věty 10.5 je kanonická 11. Cvičení 41 rovnice F tvaru 6y2 — 6y|, a tedy forma je indefinitní. Ortonormální polární báze formy F je dána jednotkovými vektory vlastních směrů. Pro Ai je vlastní směr prostor řešení homogenní soustavy —5ui + 2-u2 — 5^3 = 0 , 2ux - 8u2 + 2u3 = 0, —5ui + 2u2 — 5u3 = 0 . Prostor řešení je L((1;0;—1)) a jeho jednotkový vektor je ex = (^p 0;-^=). Podobně pro A2 dostaneme vlastní směr L((l; — 1; 1)) s jednotkovým vektorem e2 = (\75' vl' v^' ^ konečně pro A3 dostaneme vlastní směr L((l;2; 1)) s jednotkovým vektorem e3 = (-^=; ^). Takto sestrojená báze ei,e2,e-3 je podle Věty 10.3 ortonormální a transformační rovnice přechodu k této bázi jsou 1 2 2\ b) Matice formy je (2 1 2 . Její charakteristická rovnice je A3 —3A2 — 9A —5 = 2 2 1/ 0 s kořeny Ai = 5, A2 = A3 = —1. Kanonická rovnice F je tedy tvaru 5y2 — y\ — y\ a forma je indefinitní. Pro Ai je vlastní směr L((l; 1; 1)) s jednotkovým vektorem ei = (^Tf! ^75; ^/g)- Pro ^2 = A3 dostaneme dvoudimenzionální podprostor vlastních směrů L((—1;1;0),(—1;0;1)). Ortogonalizačním procesem vybereme ortogonální bázi tvořenou vektory u2 = (—1;1;0) a U3 = (—1; —1; 2), které normujeme na vektory e2 = (^=; 0) a e3 = (-^=; -Jg). Takto sestrojená báze ei, e2, 63 je podle Věty 10.3 ortonormální a transformační rovnice přechodu k této bázi jsou 1 1 1 X\ = 1 1 1 x2 = 1 2 x3 = 4 11 Cvičení 11.1. Dokažte, že bilineární formy na Vn tvoří vektorový prostor. Určete jeho dimenzi a pro danou bázi ui,..., u„ ve Vn udejte příklad báze prostoru bilineárních forem. 11. Cvičení 42 11.2. Dokážte, že symetrické (antisymetrické) bilineární formy na Vn tvoří vektorový podprostor v prostoru bilineárních forem. Určete jeho dimenzi. 11.3. Nechť jsou f & g dvě bilineární formy na V. Dokažte, že v libovolné bázi na V platí Af+g = Af + Ag a Aaf = aAf. 11.4. V kanonické bázi na IR3 je dána bilineární forma /. Určete j a a fs- a) /(x, y) = 2a:iyi + 4xxy2 - 2xiy3 + x2y2 - x2y3 + x3y2 + x3y3 , b) /(x, y) = 2xiy2 + 4x2y3 + 6x3yi. { a) f a = 2xxy2 - xiy3 - 2x2y1 + x3yľ + x3y2 - x2y3, f s = 2xxyi + x2y2 + x3y3 + 2xľy2 - xľy3 + 2x2yx - xzyu b) f a = xxy2 - x2yi + 2x2y3 - 2x3y2 + 3x3yi - 3xiy3, f s = xm + x2yľ + 2x2y3 + 2x3y2 + 3x3yi + 3xiy3 } 11.5. V kanonické bázi na IR3 je dána bilineární forma /(x, y) = xxyx + 2x2y2 + 3x2y3 - x3y3 . Určete rovnice bilineární formy / v bázi ux = (1; 0; 1), u2 = (0; 1; 1) a u3 = (1; 1; 0). { /(x, y) = -xxy2 + xiy3 + 2x2y1 + 4x2y2 + 2x2y3 + 4x3yi + 5x3y2 + 3x3y3 } 11.6. V kanonické bázi na IR3 je dána symetrická bilineární forma a) /(x, y) = xiVi + xiVz + x2y2 + x2y3 + ^3i/i + x3y2 + 3x3y3 , b) /(x, y) = 2xiyi + x2y2 + x3y3 + xxy2 - xxy3 + x2yx - x3yx. Určete podprostor singulárních vektorů. { a) Forma je regulárni, nemá nenulové singulární vektory, b) Forma má hodnost 2 a podprostor singulárních vektorů je generován vektorem (1; —1; 1) } 11.7. Dokažte, že pro bilineární formu fc na V3C definovanou ve Větě 8.3 platí /c(x,y)=7^W). 11.8. Dokažte, že kvadratické formy na Vn tvoří vektorový prostor. Určete jeho dimenzi a pro danou bázi ul5..., u„ ve Vn udejte příklad báze prostoru kvadratických forem. 11.9. Najděte polární bilineární formu / kvadratické formy F, která má v kanonické bázi na IR3 rovnice: a) -F(x) = x\ + 2xix2 + 4xix3 + 2x2 — 6x2x3 + 3x|, b) -F(x) = 2xix3 — 4x2x3 , c) .F(x) = x\ + x\ — 2x2x3 . 11. Cvičení 43 { a) /(x, y) = xiyi + xľy2 + 2xľy3 + x2yi + 2x2y2 -3x2y3 + 2x3yľ - 3x3y2 + 3x3y3, b) /(x, y) = xiy3 - 2x2y3 + x3i/i - 2x3y2, c) /(x, y) = xxy\ + x2y2 - x2y3 - x3y2 } 11.10. V kanonické bázi na R3 je dána kvadratické forma F. Určete její signaturu a pro singulární formy určete podprostor singulárních vektorů: a) -F(x) = xix3 , b) -F(x) = x\ + x\ + 3x§ + 4xix2 + 2x\x3 + 2x2x3 , c) -F(x) = x2 — 2x2 + x\ + 2xix2 + 4xix3 + 2x2x3 . { a) Signatura formy je (1,1), tj. forma je hodnosti 2, podprostor singulárních vektorů je generován vektorem (0;1;0), b) Signatura formy je (2,1), tj. forma je regulární a nemá nenulové singulární vektory, c) Signatura formy je (1,2), tj. forma je regulární a nemá nenulové singulární vektory } 11.11. V nějaké bázi na reálném vektorovém prostoru V4 je dána kvadratická forma F. Určete její normovanou polární bázi, normální tvar rovnic, typ formy (podle Definice 9.5) a transformační rovnice přechodu k normované polární bázi: a) -F(x) = x\ + x\ + x\ + x\ + 2x\x2 + 4xix3 + 2x1X4 + 4x2x3 + 4x2X4 + 3x3X4 , b) -F(x) = 3x3 + 2x2 + 4x1X4 + 4x2x3 + 2x2X4 + 2x3X4 , c) -F(x) = xix3 + X1X4 . { a) ei = (1;0;0;0), e2 = (-2;1;0;1), e3 = wv irv °)>e4 = °' °' vl+vl-vl-yh forma je indefinitní; x\ = y± — 2y2 — t^J/3 + 2/4, x2 = ~ i^3, x3 = ^y3, x4 = y2- í/4, b) ei = (0;0;0;^), e2 = (^;0;^;0), e3 = (^; 0; 0; ^), e4 = (^; ^; ^; 0); y\ + y\ -y\-y\\ forma je indefinitní; x1 = -^2/2 + 732/3 - 4-752/4, x2 = ^2/4, x3 = ±y2 - ^y4, xA = ±yi - ^y3, c) ei = (1;0;1;0), e2 = (0;1;0;1), e3 = (1;0;-1;0), e4 = (0; 1; 0; —1); y\ + y\ — y\ — y\\ forma je indefinitní; xi=yi + 2/3, x2 = y2 + j/4, x3 = yi - y3, x4 = y2 - y4 } 11.12. Určete charakteristickou rovnici, vlastní čísla a podprostory vlastních směrů matice A: /0 1 0\ /4 -5 2\ a) A = -4 4 0 , b) A = 5 -7 3 , \-2 12/ \6 -9 4/ 11. Cvičení 44 A = A = { a) Charakteristická rovnice je A3 — 6A2 + 12A — 8 = 0; vlastní čísla jsou Ai^ = 2; podprostor vlastních směrů je dvoudimenzionální podprostor L((l; 2; 0), (0; 0; 1)), b) A3 — A2 = 0; Ai = 1, A2,3 = 0; vlastní směr pro Ai = 1 je L((l; 1; 1)), pro A2,3 = 0 je podprostor vlastních směrů jednodimenzionální L((l; 2; 3)), c) A3-5A2+17A-13 = 0; Ai = 1, A2 = 2+3*, A3 = 2-3*; vlastní směr pro Ai = 1 je L((l; 1; 2)), d) A3 - 6A2 + 32 = 0; Ai,2 = 4, A3 = -2; podprostor vlastních směrů pro Ai^ = 4 je dvoudimenzionální podprostor L((l; 0; 2), (1; 2; 0)), pro A3 = —2 je podprostor vlastních směrů jednodimenzionální L((—2; 1; 1)), e) A3 - 18A2 + 99A - 162 = 0; Ax = 3, A2 = 6, A3 = 9; podprostor vlastních směrů pro Ai = 3 je jednodimenzionální podprostor L((2; 2; —1)), pro A2 = 6 je podprostor vlastních směrů jednodimenzionální L((l; —2; —2)), pro A3 = 9 je podprostor vlastních směrů jednodimenzionální L((-2; 1; -2)) } 11.13. V ortonormální bázi na euklidovském vektorovém prostoru V3 je dána kvadratická forma F. Pomocí ortonormálních transformací určete kanonický tvar rovnic a typ formy (podle Definice 9.5): a) -F(x) = 2x2 + x\ + 2x| — 2xxx2 + 2x2x3 , b) -F(x) = 7x2 + 6x2, + 5x§ — 4x1X2 — 4x2x3 , c) -F(x) = x\ — 2x\ + x\ + 4xi^2 — 8x1X3 — 4x2X3 , d) -F(x) = x2 + 5x2 + x\ + 2xiX2 + 6x1X3 + 2x2X3 , e) -F(x) = 2x2 + x\ — 4xxx2 — 4x2x3 . { a) 3y2 + 2y|, kladně semidefinitní forma, b) 3y2 + 6y| + 9y|, kladně definitní forma, c) Qy\ — 3í/2 — 3y|, indefinitní forma, d) 3y2 + 6y| — 2y|, indefinitní forma, e) y\ + 4y| — 2y|, indefinitní forma } 11.14. Pro kvadratické formy z Cvičení 11.13 určete ortonormální polární bázi a transformaci souřadnic, která převádí formu do kanonického tvaru. 11. Cvičení 45 vi; vl); Xl = "vlyi + T^2 ~ 7ey3' X2 = 73yi ~ ^2/3, x3 = ^yi + ^2/2 + ^2/3, M p = í+ 2- p = f—2-- —Í- n p = f2-- —2- IV u/ t-l V31 31 3/1 t;2 V 3) 3) 3/ " ^3 V31 31 3/1 xi = 52/1 - §2/2 + 52/3, x2 = 3-2/1 - |y2 - §2/3, x3 = §2/1 + §2/2 + 52/3, c) ei = (-§;-§;§), e2 = (^;0;^) a e3 = 37f; 3^y>Xl = + 73y2 - 3vly3' X2 = -52/1 + 3^2/3, x3 = §2/1 + +2/2 + ^2/3, d) ei = (75;ťé;^)' 62 = (t?;7?;7§) a 63 = (72' °5 7^ xi = T^+Te^ + T^3' X2 = -^i+^2> X3 = 73^1 + ^2/2 - ^2/3 , e) ei = (5; 5; —5), e2 = (5; —5; 5) a e3 = (5; 5; 5); Xl = 5^1 + 52/2 + 52/3, X2 = 3í/i - 3^2 + 5^3, X3 = — §2/i + §2/2 + §2/3} 11.15. V ortonormální bázi na V4 je dána kvadratická forma -F(x) = 2x1X2 + 2x3X4 . Pomocí ortonormálních transformací určete kanonický tvar rovnic, typ formy (podle Definice 9.5), ortonormální polární bázi a transformační rovnice, které převádějí rovnici formy na kanonický tvar. { 2/1+2/2—2/3 —3/1; indefinitní forma; ex = (■+;■+; 0; 0), e2 = (0;0;^), e3 = (^;-^;0;0), e4 = (°'°'7i;-7š); Xl = T2yi + 7šy3' X2 = T2yi ~ T2y^ X3 = T2y2 + 72y4' Xi = T2y2 - T^4 > Kapitola 4 TEORIE KUŽELOSEČEK V této kapitole budeme studovat analytickou teorii kuželoseček v projektivní rovině a v projektivním rozšíření afinní a euklidovské roviny. 12 Kuželosečky v projektivní rovině Nechť V2 je dvoudimenzionální reálný projektivní prostor s aritmetickým základem V3. Nechť V^c je komplexní rozšíření prostoru V3 definované v Části 1. Projektivní komplexní prostor s aritmetickým základem V^c budeme nazývat komplexním rozšířením projektivního prostoru V2 a označovat Píp. Reálnou projektivní rovinu V2 potom můžeme uvažovat jako podmnožinu (ne podprostor) v komplexní projektivní rovině Píp, totiž bod X = (x) G V2 právě tehdy, když existuje jeho aritmetický zástupce x G V3 C V% . Body X ležící v P2 C Píp budeme nazývat reálné body a body z Píp neležící v V2 budeme nazývat imaginární body. Definice 12.1. Nechť F je nenulová kvadratická forma na V3. Množinu bodů X = (x) G Píp takových, že Fc(x) = 0, nazýváme kuželosečkou v projektivní rovině Píp a značíme k. Poznámka 12.1. Musíme ukázat, že naše definice má smysl, tj. že má smysl uvažovat body X = (x) G Píp splňující rovnici Fc(x) = 0. Uvažujme libovolnou kvadratickou formu F na vektorovém prostoru V libovolné dimenze definovaném nad tělesem T reálných či komplexních čísel. Potom F(ax) = a2F(x) pro všechna a G T. Odtud, je-li -F(x) = 0 pro nějaký nenulový vektor x, je F(ax) = 0 pro všechna a, a tedy opravdu rovnice -F(x) = 0 určuje v Píp množinu bodů. <) Poznámka 12.2. Snadno se nahlédne, že dvě reálné nenulové kvadratické formy F a G určují stejnou kuželosečku právě tehdy, když existuje a ^ 0 G R takové, že G = aF. To znamená, že rovnice kuželosečky Fc(x) = 0 je dána až na nenulový násobek. (} 46 12. Kuželosečky v projektivní rovině 47 Uvažujme nyní geometrickou bázi (Oi = (ui), 02 = - /c(p,q) = 0. Ze symetrie bilineární formy / je potom /c(q, p) = 0, což znamená, že P leží na poláře bodu Q. □ Poznámka 12.8. Pro regulární kuželosečku k je přiřazení pólu a poláry vzájemně jednoznačné zobrazení množiny bodů "P^ř na množinu přímek. Opravdu, je-li p : a\X\ + (22^2 + a'ix'i = 0 obecné vyjádření nějaké přímky p, potom souřadnice jejího pólu splňují soustavu rovnic -ři(p) = crai, ^(p) = oia2, -řs(p) = oícl3, kde a ^ 0 je číslo. Tato soustava lineárních rovnic pro neznámé souřadnice bodu P má jednopa-rametrické řešení (závislé na parametru a) právě tehdy, když je matice A regulární. Vztah mezi pólem a polární přímkou je projevem obecnější zákonitosti, která se nazývá princip duality. <) Věta 12.8. Nechť k je kuželosečka a p je přímka. Potom bud'p je podmnožina k, nebo p a k mají společné právě dva body. Přitom pro reálnou přímku jsou tyto body reálné různé, nebo komplexně sdružené, nebo reálné splývající a pro imaginární přímku jsou imaginární různé, nebo imaginární splývající. 12. Kuželosečky v projektivní rovině 51 Důkaz. Nechť p je určena body A = (a), B = (b), A ^ B, tj. p : X = aA + (3B, (a, 0) (0, 0). Předpokládejme, že bod X = (x) leží v průniku pak. Potom musí být splněna rovnice a2f(a, a) + 2a/3/c(a, b) + (32f€(h, b) = 0 . (12.4) Je-li /c(a,a) = /c(a,b) = /c(b,b) = 0 (A, B G k a A, B jsou polárně sdruženy vzhledem ke k), je rovnice (12.4) splněna identicky a přímka p je podmnožinou k. Je-li /c(a,a) -f 0 (podobně pro /c(b,b) ^ 0), je f3 ^ 0 (a ^ 0) a rovnice (12.4) je kvadratickou rovnicí pro ^ (^). Pro reálnou přímku uvažujeme body A, B reálné a kvadratická rovnice (12.4) má reálné koeficienty. Dvojice reálných různých průsečíků potom odpovídá dvěma reálným různým kořenům této rovnice, dvojice komplexně sdružených průsečíků odpovídá dvěma komplexně sdruženým kořenům a splývající reálné průsečíky odpovídají dvojnásobnému kořenu. Je-li p imaginární přímka, musí být minimálně jeden z bodů A, B imaginární a kvadratická rovnice (12.4) má komplexní koeficienty. Dvojici různých kořenů potom odpovídají dva různé imaginární průsečíky a dvojnásobnému kořenu odpovídají splývající imaginární průsečíky. Konečně, je-li /c(a, a) = /c(b, b) = 0 a /c(a, b) ^ 0, dostaneme a/3 = 0, tj. a = 0 a /3 0 nebo /3 = 0 a a ^ 0, což odpovídá případu, kdy právě body A, B leží v průniku pak. □ Definice 12.6. Přímku p, která není přímkou singulárních bodů kuželosečky k, nazýváme tečnou kuželosečky k právě když platí buď p C k, nebo p protíná k v dvojnásobném (regulárním) bodě. Regulární bod, který je průnikem kuželosečky a její tečny, se nazývá bodem dotyku. Věta 12.9. Nechť P je regulární bod kuželosečky k : Fc(x) = 0. Potom polára bodu P je tečnou kuželosečky k s bodem dotyku P. Naopak každá tečna kuželosečky k, na níž leží alespoň jeden bod, který není singulárním bodem k, je polárou nějakého regulárního bodu k ležícího na p. Důkaz. Nechť P = (p) G k je regulární bod a p : /c(p,x) = 0 je jeho polára vzhledem ke k. Potom P G p, protože /c(p,p) = 0, a tedy P G p íl k. Hledejme další body průniku p íl k. Nechť Q = (q) G p, P ^ Q. Potom p : X = aP + j3Q, (a, j3) (0, 0). X G p Pi k právě tehdy, když a2f(p, p) + 2a/3/c(p, q) + /32/C(q, q) = 0 , (12.5) což je ekvivalentní s /32/c(q, q) = 0. Je-li (3 = 0, je X = aP a jediným bodem průniku je bod P. Je-li /c(q, q) = 0, je X G p íl k pro libovolné a, (3, a tedy p C k. Ukázali jsme tedy, že polára regulárního bodu kuželosečky k je tečnou s bodem dotyku v P. Nechť nyní t je tečna kuželosečky k taková, že na ní leží alespoň jeden bod, který není singulárním bodem k. Z definice tečny vyplývá, že existuje regulární 12. Kuželosečky v projektivní rovině 52 bod P E p n k. Nechť Q E t, Q ^ P, je libovolný bod a t : X = aP + (3Q, (a, j3) 7^ (0, 0). Musíme ukázat, že Q je polárně sdružen s P vzhledem ke k. Nechť nejdříve t G k. Rovnice (12.5) se v tomto případě redukuje v a/3fc(p, q) = 0 a musí být splněna pro všechna a, (3. Odtud /c(p, q) = 0, a tedy Q leží na poláře P. Dále nechť p n k je jediný dvojnásobný bod P. Potom se rovnice (12.5) redukuje v rovnici 2a/3/c(p, q) + /32/c(q, q) = 0, a ^ 0, která musí mít dvojnásobný kořen pro -. To je možné jen v případě, že /c(p, q) = 0, tj. Q leží na poláře bodu P. □ Poznámka 12.9. Geometrická interpretace poláry pro regulární kuželosečky nyní vyplývá z Věty 12.7. Je-li bod P nesingulární bod, který neleží na kuželosečce, potom polára bodu P vzhledem ke kuželosečce k je spojnice bodů dotyku tečen, sestrojených ke kuželosečce z bodu P. Tato vlastnost poláry se dá velice výhodně využít pro určování rovnic tečen kuželosečky procházejících daným bodem (viz následující Úloha 12.3). Pro singulární kuželosečky obsahuje polára libovolného (nesin-gulárního) bodu všechny singulární body kuželosečky. <) Úloha 12.1. V dané geometrické bázi je dána kuželosečka k : Ax\ — x\ + 3x§ + 2xix2 + 3xix3 + 2x2:r3 = 0 a bod P = (—3; 5; 1). Určete poláru bodu P vzhledem ke kuželosečce k. Řešeni: Podle Věty 12.6 pro poláru bodu P platí /c(p,x) = 0 a z Poznámky 12.7 plyne p : — yxi — 7x2 + |x3 = 0, což upravíme na tvar p : llxi + 14x2 — 7x3 = 0. Úloha 12.2. V dané geometrické bázi je dána kuželosečka k : ?>x\ + 5x2 + 10x| — 6x1X2 — 4x1X3 — 6x2X3 = 0 a přímka p : x\ — 6x2 + 8x3 = 0. Určete pól P přímky p vzhledem ke kuželosečce k. Řešení: Podle Poznámky 12.8 jsou souřadnice pólu P přímky p řešením soustavy lineárních rovnic 3xi — 3x2 — 2x3 = a , —3xi + 5x2 — 3x3 = —6a , —2xi — 3x2 + IOX3 = 8a , a tedy x\ = a, x2 = 0, X3 = a,. Volbou a = 1 dostaneme souřadnice pólu P = (1;0;1). Úloha 12.3. V dané geometrické bázi je dána kuželosečka k : 2x\ + x\ — 3x| — 4xiX2 — 2x1X3 + 6x2X3 = 0 a bod P = (3; 4; 1). Sestrojte tečny kuželosečky k, které procházejí bodem P. Řešení: I. metoda: 12. Kuželosečky v projektivní rovině 53 Předpokládejme, že bod T = (ti, t2; t%) je bodem dotyku hledané tečny, tj. T E k a P leží na poláře bodu T. Podmínka T E k má v souřadnicích vyjádření 2t\ +t22- 3í§ - 4íií2 - 2íií3 + 6ŕ2ŕ3 = 0 a podmínka, aby P ležel na poláře bodu T, tj. (T)TA(P) = 0, vede na rovnici -3íi + t2 + 6r3 = 0 . Dosazením t2 = 3ŕi — 6Í3 do první rovnice dostaneme -t\ - 3í§ + 4íií3 = 0 . Ověříme, že t% = 0 nevede na řešení naší úlohy, a upravíme na (|)2-4| + 3 = 0. Í3 Potom (|^) = < a odtud Ti = (3;3;1) a T2 = (1; — 3; 1). Hledané tečny jsou potom poláry ti : xi — 3x3 = 0, t2 : 7xi — 2x2 — 13x3 = 0. II. metoda: Předpokládejme, že má tečna obecnou rovnici t : a\X\ + a2x2 + 03x3 = 0. Z předpokladu, že P E t, dostaneme 3a± + 4a2 + 03 = 0, tj. 03 = —3ai — 4a2. Tedy ŕ : a\X\ + a2x2 — (3ai + 4a2)x3 = 0. Protože P ^ k, je podmínka, že t je tečna kuželosečky k, ekvivalentní tomu, že t n k je dvojnásobný bod. Vyjádříme-li z rovnice tečny x\ a dosadíme do rovnice kuželosečky, dostaneme (a\ + 4aia2 + 2a22)x\ + (9a2 + 40aia2 + 32a^)x| + (—6a2 — 2%a\a2 — lĎa2.)^^ = 0. t je tečnou k právě tehdy, když diskriminant této kvadratické rovnice pro ^ je roven nule, tj. D = 8aia2 + 28a2. = 0. Odtud dostáváme dvě řešení. První řešení je a2 = 0 a a± libovolné, pak = — 3a± a volbou a± = 1 dostaneme tečnu ri : x\ — 3x3 = 0. Druhé řešení je a\ = 7 a a2 = —2, pak = —13 a dostaneme tečnu t2 : 7xi — 2x2 — 13x3 = 0 . III. metoda: Podle Poznámky 12.9 prochází polára bodu P body dotyku hledaných tečen. Polára bodu P je p : — 3xi + x2 + 6x3 = 0. p n k vede na kvadratickou rovnici (viz I. metoda) (£1)2 _ 4x1 + 3 = q . Í3 Dostaneme (^) = < a odtud T\ = (3; 3; 1) a T2 = (1; —3; 1). Tečny jsou potom poláry bodů T\ a T2, tj. ti : xi — 3x3 = 0 a t2 : 7xi — 2x2 — 13x3 = 0. 13. Projektivní klasifíkace kuželoseček 54 Úloha 12.4. Určete rovnici kuželosečky k, která prochází body A\ = (1; 1; 0), A2 = (0; 1; 1), A3 = (1; 0; 1), A4 = (1; -1; l)aA5= (1; -1; -1). Řešení: Do obecné rovnice kuželosečky k : a\\x\ + a22x\ + a33x| + 2a12xxX2 + 2a13x1x3 + 2a23X2X3 = 0 dosadíme postupně souřadnice bodů Al a dostaneme soustavu pěti lineárních homogenních rovnic pro koeficienty kuželosečky «11 + «22 + 2(Zl2 = 0, Q22 + 033 + 2a23 = 0 , au + a33 + 2ai3 = 0, au + 022 + 033 - 2ai2 + 2ai3 - 2a23 = 0, «n + «22 + «33 - 2ai2 - 2ai3 + 2a23 = 0. Zvolíme-li volnou neznámou 023 = §, dostaneme k : x\ + x\ — 4x| — 2x1X2 + 3x1X3 + 3x2X3 = 0 . Úloha 12.5. Určete rovnici kuželosečky k, která prochází body A\ = (0; 0; 1), A2 = (0; — 1; 1), A3 = (—1;0;3) a dotýká se přímky t : 4xi + 3x2 + 2x3 = 0 v bodě T= a;-2;l). Řešení: Do obecné rovnice kuželosečky k : a\\x\ + 022X2 + (Z33X! + 2ai2xix2 + 2ai3xix3 + 2a23X2X3 = 0 dosadíme postupně souřadnice bodů At a dostaneme soustavu tří lineárních homogenních rovnic pro koeficienty kuželosečky 033 = 0, 022 + «33 - 2a23 = 0 , au + 9a33 - 6ai3 = 0 . Podmínka, že T je bod dotyku tečny t, tj. pól přímky t, vede na soustavu tří lineárních nehomogenních rovnic (viz Poznámka 12.7 a Poznámka 12.8, kde volíme a = 1) au - 2a12 + a13 = 4, —2a22 + ai2 + «23 = 3 , 033 - 2ai3 + a23 = 2 . Řešením všech rovnic dostaneme rovnici kuželosečky k : Qx\ — x\ + 3xix2 + 2xix3 — x2x3 = 0 . 13 Projektivní klasifikace kuželoseček Věta 13.1. Singulární kuželosečka hodnosti 1 je tvořena jednou reálnou (dvojnásobnou) přímkou. 13. Projektivní klasifíkace kuželoseček 55 Důkaz. Kuželosečka hodnosti 1 má reálnou přímku p singulárních bodů (viz Věta 12.5). Kuželosečka již potom nemůže obsahovat žádný jiný bod. Kdyby byl totiž bod Y ^ p dalším bodem kuželosečky, p = k patřily by všechny body přímek XY, X E p, kuželosečce (Věta 12.3), což by znamenalo, že každý Obrázek 13.1 bod roviny by byl bodem kuželosečky, a to je spor s Definicí 12.1. Kuželosečka tedy obsahuje pouze body přímky p. □ Věta 13.2. Singulární kuželosečka hodnosti 2 je složena ze dvou přímek, které jsou buď komplexně sdružené nebo reálné různé. Důkaz. Kuželosečka hodnosti 2 má právě jeden reálný singulární bod S (viz Věta 12.5). Uvažujme reálnou přímku p, která neobsahuje singulární bod S. Přímka p nemůže být částí kuželosečky, protože v tom případě by podle Věty 12.3 ležely na kuželosečce všechny přímky spojující singulární bod s libovolným bodem na p, a tedy celá rovina by byla součástí kuželosečky, což je ve sporu s Definicí 12.1. Také možnost, že průnik p a kuželosečky je dvojnásobný bod, je vyloučena. Pokud by byl dvojnásobný bod singulárním bodem kuželosečky, dostali bychom se do sporu s počtem singulárních bodů. Pokud by byl dvojnásobný bod regulárním bodem kuželosečky, byla by přímka p tečnou kuželosečky v tomto bodě a podle Poznámky 12.9 by musela přímka p procházet bodem S, což je ve sporu s předpokladem. Obrázek 13.2 Podle Věty 12.8 je tedy průnik kuželosečky a přímky p dvojice bodů, které jsou buď komplexně sdružené (na Obrázku 13.2 a) jsou označeny jako A, A), nebo reálné různé, (na Obrázku 13.2 b) jsou průsečíky označeny A, B). Spojnice singulárního bodu s těmito průsečíky leží podle Věty 12.3 na kuželosečce a jsou to buď dvě komplexně sdružené přímky, nebo dvě reálné různé přímky. Žádný jiný bod již na kuželosečce neleží. Kdyby totiž existoval bod X, který leží na kuželosečce a neleží na žádné z výše popsaných přímek, potom by přímka SX ležela na kuželosečce a průnik SX n jo by byl třetí průsečík kuželosečky a přímky p, což je ve sporu s Větou 12.8. □ 13. Projektivní klasifíkace kuželoseček 56 Definice 13.1. Přímky, které tvoří singulární kuželosečku, se nazývají tvořícími přímkami kuželosečky Věta 13.3. (Projektivní klasifikace kuželoseček) Ke každé kuželosečce k : Fc(x) = 0 existuje taková reálná geometrická báze prostoru V2, že v této bázi má kuželosečka k právě jednu z následujících rovnic x\ + x\ + x\ = 0 , (Pkl) x\ + x\ - x\ = 0 , (Pk2) x\ + x\ = 0 , (Pk3) x\ - x\ = 0 , (Pk4) x\ = 0 . (Pk5) Důkaz. F je nenulová kvadratická forma na V3. Podle Věty 9.2 k ní existuje polární báze e[,e2,e3. Položme Ol = (e^). Potom v geometrické bázi Oi,C>2,03, E' = (Y^=i eí) má kuželosečka k kanonickou rovnici k : V^=1 (iux\ = 0, kde (Zjj = F(e'i). Změňme pořadí bodů Ol tak, aby v kanonických rovnicích byly nejdříve koeficienty kladné, potom záporné a nakonec nuly. Pokud je mezi koeficienty více záporných znamének než kladných, vynásobíme nejdříve rovnici kuželosečky -1 (to znamená, že od kvadratické formy F přejdeme ke kvadratické formě —F). Nenulové koeficienty nakonec normujeme změnou jednotkového bodu E tak, že změníme aritmetické zástupce bodů 0% následujícím způsobem: ej = i—e^. Potom v bázi Vla«l (Oi = (ei),C>2 = (62), O3 = {es), E = {Yľi=i e*)) m^ kuželosečka k požadovanou rovnici. □ Definice 13.2. Rovnici kuželosečky k z Věty 13.3 nazýváme normální rovnicí kuželosečky. Geometrickou bázi, ve které nabývá rovnice kuželosečky normální tvar, nazýváme normovaná polární báze kuželosečky k. Poznámka 13.1. V praxi je většinou kuželosečka zadána v souřadnicích vzhledem k nějaké geometrické bázi. Určit normální tvar rovnice potom znamená převést určující kvadratickou formu na normální tvar algoritmem popsaným v Části 9 a příslušnou polární bázi potom poznáme z tvaru transformačních rovnic, které převádějí danou kvadratickou formu na normální tvar. <) 13. Projektivní klasifíkace kuželoseček 57 Obrázek 13.3 Poznámka 13.2. V polární bázi kuželosečky k jsou libovolné dva různé základní body polárně sdružené vzhledem ke k. Tyto body tvoří takzvaný polární trojúhelník kuželosečky k. Pro regulární kuželosečku leží každá strana polárního trojúhelníka na poláře protějšího vrcholu (viz Obrázek 13.3). Pro singulární kuželosečku hodnosti dva je vždy jeden vrchol polárního trojúhelníka singulární bod kuželosečky a pro singulární kuželosečku hodnosti jedna jsou vždy dva vrcholy polárního trojúhelníka singulární body kuželosečky. <) Poznámka 13.3. Snadno se vidí, že kuželosečka určená rovnicí (Pkl) je regulární kuželosečka, která neobsahuje žádný reálný bod. Jedná se tedy o imaginární regulární kuželosečku. (Pk2) určuje reálnou regulární kuželosečku. (Pk3) a (Pk4) určují singulární kuželosečky hodnosti 2, které jsou tvořeny dvojicí tvořících přímek. Přitom pro (Pk3) jsou tyto přímky komplexně sdružené a pro (Pk4) reálné. (Pk3) obsahuje jediný reálný bod, a to průsečík komplexně sdružených tvořících přímek. (Pk5) je singulární kuželosečka hodnosti 1, která je tvořena jednou (reálnou) dvojnásobnou tvořící přímkou. <) Úloha 13.1. V dané geometrické bázi (Oi, 02, 03, E) je dána kuželosečka k : x\ — x\ + 2x1X3 + 4x2X3 = 0 . Určete normovanou polární bázi kuželosečky k, normální tvar rovnice, typ kuželosečky (viz Poznámka 13.3) a transformační rovnice, které převádějí rovnici k na normální tvar. Řešení: I. metoda: Postupujeme podle důkazu Věty 13.3. Protože 0\ = (ei) neleží na k, zvolíme jej jako první základní bod 0[ do nové báze. Určíme poláru o\ bodu 0[, o\ : X1+X3 = 0. Bod 0'2 vybíráme na o[. Zvolme 0'2 = (1;0;— 1) ^ k. Určíme poláru o'2 bodu 0'2, o'2 : —2x2 + x3 = 0. Poslední základní bod 0'3 musí být průsečík o[ n o'2, tj. 0'3 = (-2; 1; 2). V geometrické bázi {0[, 0'2, 0'3, E'), kde E' = {e[ + e'2 + e3 = (0; 1; 1)), bude mít kuželosečka kanonickou rovnici Tuto polární bázi nyní znormujeme tak, že vyměníme nejdříve pořadí bodů 0'2 a 0'3 a změníme vektor, který určuje 0'3 na 0'3 = {{~-^] ^))- ^ geometrické bázi 13. Projektivní klasifíkace kuželoseček 58 {0[, 0'3, 0'2, E"), kde nový jednotkový bod E" = {e'1+e'2+j-e'3 = (^; ^)), bude mít kuželosečka normální rovnici t. . „i 12 i /12 _ 112 _ n IX . Ju -y \~ JL 2 3 - * Kuželosečka je tedy reálná regulární. Ze souřadnicového vyjádření základních bodů poznáme tvar transformačních rovnic. Protože 0[ = ((1; 0; 0)), 0'3 = ((—^)) a 02 = ((1;0;— 1)) (pozor na pořadí bodů v bázi), jsou příslušné transformační rovnice ve tvaru 9 _ / / ^ / / | / / X~\ - X-i .— Xn ~~\~ Xn , y/3 x2 = 1 ■—=Q 2 x3 — y^^2 Xd ' II. metoda: Levou stranu rovnice kuželosečky v původní bázi upravíme na tvar Xí ~ X2 + 2X1X3 + 4x2x3 = ixi + x3)2 — x| — x\ + 4x2x3 = = (xi + x3)2 - (x2 - 2x2)2 + 3x|. Potom transformace souřadnic x\ = X\ + x3 , x2 = + x3 , x3 = +x2 — 2x3 převede rovnici k na kanonický tvar /c . X-y ~~\~ — ^ * Kanonickou rovnici znormujeme transformací Iíľ-i — X -\ 1 x3 — +x3 na konečný normální tvar h. . „I 12 I /12 _ I 12 _ A Aj . Ju -y \~ Jb 2 3 - * Složením dvou dílčích transformací souřadnic dostaneme celkové transformační rovnice X\ x-y ^—X2 , 9 _ ^ / / I / / x2 — +^_x2 -h x3 x3 = +y5X2 • 14. Afínní vlastnosti kuželoseček 59 Z transformačních rovnic se potom určí odpovídající normovaná geometrická báze kuželosečky 0[ = ((1; 0; 0)), 0'2 = <(-^; j.; ^)), 0'2 = <(0; 1; 0)), E' = {e[ + e'2 + J_P' - (VŠ-l VŠ+2. j_\\ V3e3 - ^ V3 ' ' VŠ"' Poznámka 13.4. Všimněme si, že v předchozí úloze jsme dostali v obou metodách různé normované polární báze a různé transformační rovnice. Výsledný normální tvar rovnic kuželosečky je ale v obou metodách shodný. 14 Afinní vlastnosti kuželoseček V této a další části uvažujeme A2 reálnou afinní rovinu, A2 její komplexní rozšíření a A2 projektivní rozšíření A2. Jako kuželosečku v A2 potom rozumíme kuželosečku Uvažujme na A2 afinní souřadnou soustavu určenou afinním repérem <0;ei,e2). (14.1) V indukovaných afinních homogenních souřadnicích (xi, x2, x3) má kuželosečka v A2 rovnici 3 k : a^XtXj = 0 , (14.2) M = l al3 E IR, což píšeme maticově jako (au a12 a13\ /xA «12 «22 «23 ^2 =0 Ql3 «23 «33/ VX3/ /xA a zkráceně, při označení (X) = \ x2 , pouze (X)TA(X) = 0. W Při přechodu k nehomogenním souřadnicím pro vlastní body [xi, x2], x\ = —, x2 = —, můžeme tuto rovnici přepsat do tvaru 2 2 k : aijžižj + 2 Ql3^1 + Q33 = 0 , i,j=l i=l nebo, při obvyklejším označení nehomogenních souřadnic X = [x;y], k : (Znx2 + 2a12xy + a22y2 + 2ai3x + 2a23Ž/ + «33 = 0. (14.3) x Maticově, při označení matice nehomogenních souřadnic bodu X jako (X) 14. Afínní vlastnosti kuželoseček 60 což píšeme symbolicky, při označení matice A = ( Qn Ql2 ], vektoru (a) = ( Ql3 ] a konstanty a = (z33, maticově k: (X)TÄ(X) + 2(a)T(X) + a = 0. (14.5) Uvědomme si, že rovnice (14.4) a (14.5) určují pouze vlastní body kuželosečky. Pokud budeme pracovat s nevlastními body, musíme použít afinních homogenních souřadnic a rovnici kuželosečky (14.2). Definice 14.1. Bod S se nazývá střed kuželosečky k, je-li vzhledem ke k polárně sdružen se všemi nevlastními body. Poznámka 14.1. Každý singulární bod kuželosečky je jejím středem. Střed kuželosečky, který není jejím singulárním bodem, má za svou poláru nevlastní přímku. Věta 14.1. Nechť má kuželosečka k v afinních homogenních souřadnicích vzhledem k afinnímu repéru (14.1) rovnici k : (X)TA(X) = 0. Bod S = (si;s2;s3) je středem kuželosečky k právě tehdy, když platí Qiisi + a12s2 + (Z13S3 = 0 , (14.6) awsi + a22s2 + 02353 = 0 , tj. Fi(s) = 0, F2(s) = 0. Důkaz. Nechť S je středem k, tj. S je polárně sdružen se všemi nevlastními body. Označme Ol = (ej) nevlastní bod, který je určen ž-tým směrovým vektorem afinního repéru. Potom afinní homogenní souřadnice Ol mají na ž-tém místě jedničku a jinak nuly, i = 1, 2. Podmínka, že S a Ol jsou polárně sdruženy, je (S)TA(Ot) = 0, což je v souřadnicích ekvivalentní rovnici ansi + a-i2S2 + ai3ss = 0. Naopak, nechť afinní homogenní souřadnice S splňují soustavu (14.6). Je-li navíc F3(s) = ÍZ31S1 + (232S2 + 033^3 = 0, je S singulárním bodem k (viz Věta 12.4), a tedy středem. Je-li F3(s) ^ 0, je polára bodu S dána obecnou rovnicí ^(s):^ = 0 (viz Poznámka 12.7), a to je rovnice nevlastní přímky. Tedy S je polárně sdružen se všemi nevlastními body a je středem k. □ Poznámka 14.2. Soustava (14.6) má v homogenních souřadnicích vždy nenulové řešení. Podle hodnosti soustavy (14.6) může mít kuželosečka právě jeden reálný střed, reálnou přímku středů, nebo každý bod roviny je středem. Poslední možnost nastává pouze tehdy, když jediný nenulový koeficient matice kuželosečky je 033, tj. pouze tehdy, je-li kuželosečka tvořena dvojnásobnou nevlastní přímkou. 14. Afínní vlastnosti kuželoseček 61 Přepsáním soustavy (14.6) do nehomogenních souřadnic dostaneme soustavu pro výpočet vlastních středů kuželosečky k anši + a12š2 + a13 = 0 , (14.7) a12S! + a22s2 + a23 = 0, kterou maticově zapisujeme A(S) + (a) = (o). Nehomogenní soustava (14.7) nemusí mít řešení, tj. kuželosečka k nemusí mít vlastní střed. <) Definice 14.2. Kuželosečka, která má alespoň jeden vlastní střed, se nazývá středová kuželosečka. Kuželosečka, která nemá vlastní střed, se nazývá nestředová kuželosečka. Geometrické vlastnosti středových kuželoseček objasňuje následující Věta 14.2. Věta 14.2. Středová kuželosečka je středově symetrická podle každého vlastního středu. Důkaz. Nechť S je vlastním středem kuželosečky k určené rovnicí (14.7), tj. (Š) splňuje rovnici A(S) + (a) = (o). Středová symetrie podle bodu S má maticové vyjádření (f(Xj) = —(X) + 2(Š). Dosadíme-li (f(Xj) do levé strany (14.5), dostaneme {X)TA(X) + 2(a)T(X) + a - A[(S)TA + (a)T](X) + A[{S)TA + (a)T](5). Snadno se vidí, že tento výraz je roven nule pro každé (X) splňující (14.5) a (S) splňující podmínku pro vlastní střed k. □ Obrázek 14.1 Definice 14.3. Nechť k : Fc(x) = 0 je kuželosečka a Q je nevlastní bod, který není bodem kuželosečky k. Poláru bodu Q budeme nazývat průměrem kuželosečky k. Věta 14.3. Je-li přímka p průměrem kuželosečky k, pak obsahuje všechny středy kuželosečky k. 14. Afínní vlastnosti kuželoseček Důkaz. Tato věta je přímým důsledkem Věty 12.7 a definice středu kuželosečky. 62 □ Definice 14.4. Říkáme, že dva směry určené vektory u, v jsou polárně sdruženy vzhledem ke kuželosečce k, jsou-li vzhledem ke k polárně sdruženy nevlastní body určené těmito směry. Dva průměry, jejichž zaměření jsou polárně sdružena vzhledem ke kuželosečce k, se nazývají sdružené průměry kuželosečky k. Poznámka 14.3. Z Věty 12.7 vyplývá, jaký je geometrický význam polárně sdružených průměrů pro regulární kuželosečky Sestroj íme-li tečny v průsečících jednoho průměru s kuželosečkou, jsou tyto tečny rovnoběžné se sdruženým průměrem. Jedná se vlastně o speciální případ popsaný v Poznámce 12.9, kdy pól P přímky p je nevlastním bodem průměru q. Obrázek 14.2 je potom speciálním případem zobrazeným na Obrázku 12.1. Obecně platí, že kuželosečka je šikmo symetrická podle svého reálného průměru ve směru polárně sdruženého průměru. Důkaz tohoto tvrzení ponecháme na čtenáři jako cvičení. <) Definice 14.5. Tečnu v nevlastním regulárním bodě kuželosečky k nazýváme asymptotou kuželosečky k. Věta 14.4. Každá regulární kuželosečka má nejvýše dvě asymptoty. Důkaz. Protože nevlastní přímka není tvořící přímkou kuželosečky, obsahuje kuželosečka buď dva nevlastní komplexně sdružené body, nebo dva nevlastní reálné různé body, nebo jeden nevlastní dvojnásobný reálný bod (viz Věta 12.8). V prvním případě má kuželosečka dvě komplexně sdružené asymptoty, ve druhém dvě reálné různé asymptoty a ve třetím jednu asymptotu, která je nevlastní přímkou. □ Věta 14.5. Nechť k je kuželosečka, která neobsahuje nevlastní přímku jako svou tvořící přímku, a nechť vzhledem k nějakému afinnímu repéru má k rovnici (14.4). Potom (1) kuželosečka k má dva různé reálné nevlastní body právě tehdy, když \A\ < 0, (2) kuželosečka k má dva komplexně sdružené nevlastní body právě tehdy, když \Ä\>0, (3) kuželosečka k má jeden dvojnásobný reálný nevlastní bod právě tehdy, když \Ä\=0. Obrázek 14.2 14. Afínní vlastnosti kuželoseček 63 Důkaz. Jestliže nevlastní přímka není součástí kuželosečky k, je matice Ä nenulová (vzhledem k libovolnému afinnímu repéru (14.1)). Určit nevlastní body kuželosečky k znamená vyřešit v afinních homogenních souřadnicích soustavu rovnic danou rovnicí kuželosečky (14.2) a rovnicí nevlastní přímky x3 = 0. Dostaneme rovnici anx2 + 2ai2xix2 + 022^2 = 0. (14.8) Je-li (Zjj = 0, i = 1, 2, je a12 / 0 a \Ä\ < 0. Naše rovnice má potom dvě reálná řešení (1;0) a (0;1), tj. kuželosečka má dva nevlastní body (1;0;0) a (0;1;0). Je-li (Zjj 0, i = 1, 2, pro nějaké i, vydělíme rovnici (14.8) souřadnicí Xj, í ^ j, j = 1,2. Pro ^ dostaneme kvadratickou rovnici, jejíž diskriminant je D = 4(a22 — «11022) = —41. Odtud vyplývá tvrzení věty. □ Úloha 14.1. Určete středy kuželosečky k a) k : 3x2 - 2xy + 3y2 + 4x + 4y - 4 = 0, b) k : x2 — 2xy + y2 — Ax — 6y + 3 = 0, c) k : x2 + 6xy + 9y2 + 4x + 12y - 5 = 0 . /3 -1 2\ Řešení: a) Matice kuželosečky je 1—13 2 a podle (14.7) je soustava pro \ 2 2 -4/ výpočet vlastních středů 3ši - s2 + 2 = 0 , -ši + 3s2 + 2 = 0 . Tato soustava má jediné řešení š± = —1, s2 = —1 a kuželosečka má jediný vlastní střed S = [-1;-1]. b) Soustava pro výpočet vlastních středů je ši - s2 - 2 = 0, —ši + š2 — 3 = 0 . Tato soustava nemá řešení, kuželosečka tedy nemá vlastní střed. Soustavu převedeme do homogenních souřadnic si — s2 — 2s3 = 0, si + s2 - 3s3 = 0 . Tato soustava má jednodimenzionální podprostor řešení generovaný vektorem (1;1;0). Kuželosečka má tedy jeden nevlastní střed ve směru vektoru (1;1). c) Soustava pro výpočet vlastních středů je ši + 3s2 + 2 = 0 , 3ši + 9s2 + 6 = 0 . Tato soustava má hodnost jedna a určuje přímku o obecné rovnici x + 3y + 2 = 0, která je přímkou středů dané kuželosečky. 15. Afínní klasifíkace kuželoseček 64 Úloha 14.2. Určete dvojici sdružených průměrů kuželosečky k :3x2 - 2xy + 3y2 + 4x + 4y - 4 = 0, z nichž jeden prochází bodem A = [1; —2]. Řešení: Určíme střed S kuželosečky k, S = [—1; —1]. Přímka p = AS je průměrem kuželosečky, který prochází bodem A; p : x + 2y + 3 = 0. Nevlastní bod Q přímky p (určený směrovým vektorem přímky p) je Q = (2; —1;0). Polára q bodu Q je průměrem sdruženým s průměrem p; q : 7x — 5y + 2 = 0. Úloha 14.3. Určete nevlastní body a asymptoty kuželosečky k : 3x2 + 2xy - y2 + 8x + 10y + 14 = 0 . Řešení: Určíme rovnici kuželosečky v afinních homogenních souřadnicích: k : 3x2 + 2x\x2 — x\ + 8x1X3 + IOX2X3 + 14x| = 0. Položíme x3 = 0 a pro nevlastní body kuželosečky dostaneme rovnici 3x2 + 2xiX2 — x\ = 0 , kterou řešíme pro podíl souřadnic j^. Dostaneme (f^)i = —1 a (f^)2 = §• Nevlastní body kuželosečky jsou body A\ = (—1; 1; 0) a A2 = (1; 3; 0). Asymptoty jsou potom poláry bodů A\ a A2, tj. ai : 2x + 2y — 1 = 0 a a2 : 6x — 2y + 19 = 0. 15 Afinní klasifikace kuželoseček Definice 15.1. Kuželosečku, která má s nevlastní přímkou společné právě dva komplexně sdružené body, budeme nazývat kuželosečkou eliptického typu. Kuželosečku, která má s nevlastní přímkou společné právě dva reálné různé body, budeme nazývat kuželosečkou hyperbolického typu a kuželosečku, která má s nevlastní přímkou společný právě jeden dvojnásobný bod, budeme nazývat kuželosečkou parabolického typu. Regulární kuželosečku, která má s nevlastní přímkou společné právě dva komplexně sdružené body, budeme nazývat elipsou. Regulární kuželosečku, která má s nevlastní přímkou společné právě dva reálné různé body, budeme nazývat hyperbolou a regulární kuželosečku, která má s nevlastní přímkou společný právě jeden dvojnásobný bod, budeme nazývat parabolou. Poznámka 15.1. Aplikujeme-li nyní Definici 15.1 na projektivní typy kuželoseček (viz Poznámka 13.3), dostaneme následující afinní typy kuželoseček: Formálně reálná regulární kuželosečka nemá žádný reálný nevlastní bod a je to tedy elipsa, kterou budeme nazývat imaginární elipsou. Reálná regulární kuželosečka se nyní rozdělí na tři typy podle počtu a druhu nevlastních bodů. Bude to (reálná) elipsa, hyperbola a parabola. Elipsa a hyperbola jsou kuželosečky středové, zatímco parabola je nestředová. Hyperbola má dvě reálné asymptoty. Asymptoty elipsy jsou komplexně sdružené přímky a parabola má jednu 15. Afínní klasifíkace kuželoseček 65 nevlastní asymptotu. Reálná elipsa, hyperbola a parabola se tedy liší pouze tím, že elipsa neprotíná reálně nevlastní přímku, hyperbola ji reálně protíná ve dvojici různých bodů a parabola se nevlastní přímky dotýká. U kuželosečky, která je složena ze dvou reálných různých přímek, mohou nastat tři případy. Buď je jedna z tvořících přímek nevlastní (takovou kuželosečku nelze zadat v nehomogenních souřadnicích), nebo jsou obě tvořící přímky vlastní. V tomto případě může být jejich společný bod vlastní (různoběžné přímky - kuželosečka hyperbolického typu), nebo nevlastní (rovnoběžky - kuželosečka parabolického typu). U kuželosečky, která je složena ze dvou komplexně sdružených přímek, rozlišujeme dvě možnosti. Společný reálný bod těchto dvou přímek je buď vlastní (komplexně sdružené různoběžky - kuželosečka eliptického typu), nebo nevlastní (komplexně sdružené rovnoběžky - kuželosečka parabolického typu). Kuželosečka, která je tvořena jedinou dvojnásobnou tvořící přímkou, je buď nevlastní (nedá se v nehomogenních souřadnicích vyjádřit), nebo vlastní (kuželosečka parabolického typu). <) Věta 15.1. Nechť kuželosečka k, která neobsahuje nevlastní přímku jako svou tvořící přímku, je v nějaké afinní souřadné soustavě zadána rovnicí (14.2). Pak k je (1) imaginární elipsou, právě když \ A\ ^ 0, \Ä\ > 0 a na k neexistují reálné body, (2) (reálnou) elipsou, právě když \ A\ ^ 0, \Ä\ > 0 a na k existují reálné body, (3) hyperbolou, právě když \A\ ^ 0 a \A\ < 0, (4) parabolou, právě když |^4|^0a|^4| = 0. Důkaz. Podmínka, že kuželosečka je regulární je v souřadnicích ekvivalentní tomu, že diskriminant kuželosečky je nenulový, tj \A\ ^ 0. Pro určení typu kuželosečky stačí zjistit počet a typ nevlastních bodů, které na kuželosečce leží. Věta 15.1 nyní vyplývá z Věty 14.5. Při \A\ > 0 musíme ještě navíc rozlišovat, zda se jedná o imaginární nebo reálnou elipsu. □ Věta 15.2. Kuželosečka k, která neobsahuje nevlastní přímku jako svou tvořící přímku, je složena (1) ze dvou reálných různoběžných přímek, právě když h(A) = 2 a \A\ < 0, (2) ze dvou komplexně sdružených různoběžných přímek, právě když h(A) = 2 a \A\ > 0, (3) ze dvou reálných rovnoběžných přímek, právě když h(A) = 2, \A\ = 0 a existují reálné body ležící na k, (4) ze dvou komplexně sdružených rovnoběžných přímek, právě když h(A) = 2, \A\ =0 a neexistují reálné vlastní body ležící na k, (5) z jedné dvojnásobné přímky, právě když h(A) = 1. Důkaz. Tato věta vyplývá z Poznámky 15.1 a Věty 14.5. □ 15. Afínní klasifíkace kuželoseček 66 Poznámka 15.2. Z předchozích dvou vět vyplývá, že k určení typu kuželosečky, která neobsahuje jako svou tvořící přímku nevlastní přímku, stačí znát hodnost kuželosečky a znaménko determinantu matice A. Jisté problémy nastanou pouze v případě elipsy a rovnoběžných přímek, kdy musíme ještě navíc rozlišit reálné a imaginární případy. <) Věta 15.3. Ke každé kuželosečce k existuje nejméně jedna dvojice různých nevlastních bodů, které jsou vzhledem ke k polárně sdruženy. Důkaz. Nechť nejdříve k obsahuje nevlastní přímku jako svou tvořící přímku. Potom libovolná dvojice nevlastních bodů v obecné poloze splňuje podmínky věty. Nechť nyní nevlastní přímka není součástí k. Zvolme libovolný nevlastní bod 0\, který neleží na k, a označme o\ jeho poláru. Označme 02 nevlastní bod o±. Potom Oi, 02, Oi 02, je dvojice nevlastních bodů v obecné poloze, které jsou polárně sdruženy vzhledem ke k. □ Věta 15.4. Nechť (0;ei,e2) je takový afinní repér, že vektory e± a e2 určují dva nevlastní body polárně sdružené vzhledem ke kuželosečce k. Potom vzhledem k tomuto afinnímu repéru je v rovnici kuželosečky k ai2 = 0. Důkaz. V afinních homogenních souřadnicích je 0\ = (ei) = (1;0;0) a 02 = (e2) = (0; 1; 0). Podmínka polární sdruženosti je (Oi)TA(02) = 0, což je ekvivalentní Q12 = 0. □ Věta 15.5. Je-li počátek afinního repéru vlastním středem kuželosečky k, je v rovnici k vzhledem k tomuto afinnímu repéru a±3 = a2^ = 0. Důkaz. Nechť je počátek O afinního repéru vlastním středem kuželosečky k. V afinních homogenních souřadnicích je O = (0;0;1). O je polárně sdružen se všemi nevlastními body, a tedy i s body 0% = (e^, i = 1,2. Protože 0\ = (1;0;0) a 02 = (0; 1; 0), dostaneme z podmínky (0)TA(Oi) = 0 tvrzení Věty 15.5. □ Obrázek 15.1 15. Afínní klasifíkace kuželoseček 67 Důsledek 15.1. Zvolíme-li nyní afinní repér tak, že počátek je středem kuželosečky a osy souřadné jsou sdružené průměry (viz Obrázek 15.1), má vzhledem k tomuto afinnímu repéru kuželosečka k kanonickou rovnici k : aux\ + a22xl + 033^3 = 0. (15-1) Věta 15.6. Jestliže regulární kuželosečka k nemá žádný vlastní střed, můžeme zvolit afinní repér {O; e±, 62) tak, že O leží na kuželosečce, e± je směrový vektor tečny ke k v bodě O a e2 je vektor určující nevlastní střed k. Potom vzhledem k tomuto afinnímu repéru má k homogenní rovnici tvaru x\ + 2px2x-A = 0 , (15.2) tj. nehomogenní rovnici x2 + 2py = 0. (15.3) Obrázek 15.2 Důkaz. Nechť je afinní repér zvolen podle Věty 15.6 (viz Obrázek 15.2). Protože O g k, O = (0; 0; 1), je 033 = 0. O je polárně sdružen s nevlastním bodem 0\ = (ei), protože Oi je bodem tečny sestrojené v O. Odtud a13 = 0. Body 0\ a 02 = (e2) jsou polárně sdruženy, protože 02 je střed k. Odtud ai2 = 0. Matice kuželosečky je tedy au 0 0 \ 0 a22 a23 . Podmínka, že kuželosečka nemá vlastní střed, je ekvivalentní 0 a23 Oj tomu, že nehomogenní soustava rovnic anx =0, 0222/ + a23 = 0 nemá řešení, a to je možné právě tehdy, když 022 = 0, au ^ 0 / 023- Celkově tedy k : anx2 + 2a23y = 0 a vydělením rovnice koeficientem au při označení p = ^ dostaneme tvrzení Věty 15.6. □ 15. Afínní klasifíkace kuželoseček 68 Definice 15.2. Rovnici (15.1) nebo (15.2) kuželosečky k budeme nazývat afinní kanonickou rovnicí. Afinní repér, vzhledem ke kterému má kuželosečka k kanonickou rovnici, budeme nazývat polární afinní repér kuželosečky k. Věta 15.7. (Afinní klasifikace kuželoseček) Ke každé kuželosečce k existuje takový afinní repér, že vzhledem k němu má k jednu z následujících rovnic: (homogenní souřadnice) (nehomogenní souřadnice) X~\~ X^2 ~\~ — 0 •> x2 + y2 + l = 0, (Akl) 2 i 2 2 r\ X\~ Xq — ^ j x2 + y2 - 1 = 0 , (Ak2) 2 2 2 _ n X"^2 — ' x2 -y2 -1 = 0, (Ak3) x\ + 2x2x3 = 0 , x2 + 2y = 0 , (Ak4) X~\~ X^2 — 0 . x2 + y2 = 0 , (Ak5) X"^2 — ^ ' x2 - y2 = 0 , (Ak6) X~\~ Xr^ — 0 . x2 + 1 = 0, (Ak7) X*^3 — ^ i x2 -1 = 0, (Ak8) X1X3 = 0, nelze vyjádřit, (Ak9) x\ = 0, x2 = 0, (AklO) x23 = 0, nelze vyjádřit. (Akll) Důkaz. Nechť je nejdříve kuželosečka k středová. Podle Důsledku 15.1 můžeme zvolit afinní repér (14.1) tak, že vzhledem k němu má k rovnici anx\+a22X2.+a33x2 = 0. Je-li 033 7^ 0, vydělíme tuto rovnici k číslem 10331 a výslednou rovnici znormujeme vhodnou volbou násobků směrových vektorů, konkrétně pro nenulový koeficient allt volíme Uj = \J^~\ ei a v afinním repéru, kde směrové vektory jsou vektory Ui, u2, jsou v rovnici k jako koeficienty pouze 0, 1 nebo -1. Případnou výměnou souřadných směrů nebo vynásobením -1 dostaneme jednu z rovnic (Akl) - (Ak3), (Ak7) - (Ak8) nebo (Akll). Je-li 033 = 0, normujeme výše popsaným způsobem rovnici přímo a dostaneme (Ak5) - (Ak6) nebo (AklO). Pro regulární nestředovou kuželosečku můžeme podle Věty 15.6 zvolit afinní repér tak, že v něm má k rovnici x2 + 2py = 0, p 7^ 0 G IR. Vyměníme-li vektor e2 jeho ^ násobkem, dostaneme v novém afinním repéru rovnici k ve tvaru (Ak4). Obsahuje-li k jako svou tvořící přímku nevlastní přímku a je hodnosti 2, můžeme zvolit afinní repér tak, že vlastní tvořící přímka je druhá souřadná osa, potom má k homogenní rovnici (Ak9). Je-li k tvořena dvojnásobnou nevlastní přímkou, má v libovolném afinním repéru rovnici (Akll). □ Definice 15.3. Rovnici kuželosečky k z Věty 15.7 budeme nazývat afinní normální rovnicí. Afinní repér, vzhledem ke kterému má kuželosečka k normální rovnici, budeme nazývat normovaný polární afinní repér kuželosečky k. 15. Afínní klasifíkace kuželoseček 69 Poznámka 15.3. Snadno se vidí, že kuželosečka (Akl) je imaginární elipsa, (Ak2) je reálná elipsa, (Ak3) je hyperbola, (Ak4) parabola, (Ak5) je dvojice komplexně sdružených tvořících různoběžných přímek, (Ak6) je dvojice reálných různoběžných přímek, (Ak7) je dvojice komplexně sdružených rovnoběžných přímek, (Ak8) je dvojice reálných rovnoběžných přímek, (Ak9) je tvořena jednou vlastní a jednou nevlastní tvořící přímkou, (AklO) je dvojnásobná vlastní tvořící přímka a (Akll) je dvojnásobná nevlastní tvořící přímka. <) Poznámka 15.4. V praxi je kuželosečka většinou zadána svou rovnicí v nehomogenních souřadnicích. Pro určení normální rovnice máme dvě metody. První je založena na hledání normovaného polárního afinního repéru kuželosečky tak, jak je to popsáno ve Větách 15.4 - 15.6. Transformační rovnice přechodu k polárnímu repéru potom převedou rovnici kuželosečky na jeden z tvarů Věty 15.7. Druhá metoda je založena na postupné úpravě rovnice kuželosečky. V afinních nehomogenních souřadnicích je levá strana rovnice kuželosečky součtem kvadratické části (s maticí A), lineární části a konstanty. Nejdříve převedeme kvadratickou část do kanonického tvaru postupem popsaným v Části 5. To odpovídá přechodu k afinnímu repéru, kde počátek se nemění a směry souřadné jsou polárně sdružené vzhledem ke kuželosečce. Potom odstraníme lineární členy (pokud to lze) přechodem na druhou mocninu dvoj-členu. To odpovídá posunu počátku souřadného repéru. Nakonec výslednou kanonickou rovnici normujeme vhodným vynásobením směrových vektorů. Složením dílčích transformací dostaneme výslednou transformaci, která převádí rovnici kuželosečky do normálního tvaru (nebo jeho násobku) a z transformačních rovnic poznáme, jaký je normovaný polární afinní repér kuželosečky. Konkrétní způsob bude jasný z řešené Úlohy 15.2. 0 Úloha 15.1. Určete afinní typ kuželosečky k (viz Poznámka 15.1) a) k :3x2 - 2xy + 3y2 + 4x + 4y - 4 = 0 , b) k : x2 — 2xy + y2 — Ax — 6y + 3 = 0, c) k : x2 + 2xy + y2 — x — y = 0 . Řešení: a) Determinant matice kuželosečky je \A\ = —64 ^ 0. Kuželosečka je tedy regulární. Determinant \A\ = 8 > 0 a podle Věty 15.1 se jedná o elipsu. Protože např. reálný bod [-2;0] splňuje rovnici kuželosečky, je elipsa reálná. b) Determinant matice kuželosečky je \A\ = —25 ^ 0. Kuželosečka je tedy regulární. Determinant \A\ = 0 a podle Věty 15.1 se jedná o parabolu. b) Determinant matice kuželosečky je \A\ = 0. Kuželosečka je tedy singulární a její hodnost je h(A) = 2. Determinant \A\ = 0 a podle Věty 15.2 se jedná o dvojici rovnoběžných přímek. Protože [0;0] leží na k, jsou to reálné rovnoběžky. Úloha 15.2. Pomocí afinních transformací souřadnic určete normální tvar rovnic kuželoseček z Úlohy 15.1 Řešení: I. metoda (hledání polárního afinního repéru, viz Věty 15.4 - 15.6): 15. Afínní klasifíkace kuželoseček 70 a) Kuželosečka má vlastní střed S = [—1; — 1]. Směry určené vektory ei = (1; 0) a e2 = (1; 3) jsou polárně sdružené vzhledem ke k. Transformační rovnice přechodu k novému afinnímu repéru {S; e±, e2) jsou x = x + y — 1, V = 3y - 1. Jejich dosazením do rovnice kuželosečky dostaneme kanonický tvar rovnice k : 3x'2 + 24y'2 -8 = 0. Tuto rovnici nejdříve vydělíme 8 a transformací x' = ^0x"i y' = ~j%v" íl převedeme na normální tvar k : {x")2 + {y")2 -1 = 0. Složením dílčích transformací souřadnic dostaneme výslednou transformaci ve tvaru 2^ „ 1 „ x = —-=x H---=y — 1, 3 „ 1 která převede rovnici kuželosečky do násobku normálního tvaru. Odpovídající normovaný polární afinní repér je tvořen bodem S = [—1; —1] a vektory = (^^; 0), e2 = ^ b) Kuželosečka nemá vlastní střed. Nevlastní střed je určen směrem e2 = (1; 1). Jako počátek zvolíme libovolný bod kuželosečky, např. bod O = [3; 0]. Tečna v tomto bodě má rovnici o : x — 6y — 3 = 0 a její směrový vektor je ei = (6; 1). Transformační rovnice přechodu k repéru {O; e±, e2) jsou tedy x = 6x' + y + 3 , y= x +y . Jejich dosazením do rovnice kuželosečky dostaneme kanonický tvar rovnice k : 25x'2 - 10y' = 0. Tuto rovnici nejdříve vydělíme 25 a transformací x' = x", y' = 5y" ji převedeme na normální tvar k : {x")2 - 2y" = 0 . Složením dílčích transformací souřadnic dostaneme výslednou transformaci ve tvaru x = Qx" + 5y" + 3 , y = x" + 5y" , která převede rovnici kuželosečky do násobku normálního tvaru. Odpovídající normovaný polární afinní repér je tvořen bodem O = [3; 0] a vektory = (6;1), 15. Afínní klasifíkace kuželoseček 71 c) Kuželosečka má vlastní přímku středů 2x + 2y — 1 = 0. Zvolíme za počátek libovolný z nich, např. S = [1/2; 0]. Směry určené vektory ei = (1; 0) a e2 = (1; —1) jsou polárně sdružené vzhledem ke k. Transformační rovnice přechodu k novému afinnímu repéru {S; el5 e2) jsou x = x +y + - , y = -y ■ Jejich dosazením do rovnice kuželosečky dostaneme kanonický tvar rovnic k : x'2 - \ = 0 . Tuto rovnici nejdříve vynásobíme 4 a transformací x' = \x", y' = y" ji převedeme na normální tvar k : {x")2 -1 = 0. Složením dílčích transformací souřadnic dostaneme výslednou transformaci ve tvaru 1 „ , „ 1 x = -x + y H— , 2 y 2 ' // y = -y , která převede rovnici kuželosečky do násobku normálního tvaru. Odpovídající normovaný polární afinní repér je tvořen bodem S = [|;0] a vektory e^ = (|;0), e'2 = (l;-l). II. metoda (úprava rovnic): a) Rovnici kuželosečky upravíme na tvar k:3(x- \y)2 + fy2 + 4x + 4y - 4 = 0. Potom transformace x = x H—y , y = y převede rovnici kuželosečky na tvar k : 3x'2 + fy'2 + 4x' + f y' - 4 = 0 . Tuto rovnici upravíme na tvar A;:3(x/ + |)2 + |(y/ + l)2-8 = 0. Transformace 2 3 1 převede rovnici kuželosečky do kanonického tvaru 15. Afínní klasifíkace kuželoseček 72 A;:3(x,,)2 + |(y,,)2-8 = 0 , který nejdříve vydělíme 8 a transformací „ 2V2 _ x = —-=x , v/3 y převedeme do konečného normálního tvaru k : x2 + y2 - 1 = 0 . Složením postupných transformací dostaneme výslednou transformaci souřadnic 2V2 1 _ x = —-=-x H---=11 — 1, VŠ VŠ y = v^y — 1, která převádí rovnici kuželosečky do násobku normálního tvaru. Z transformačních rovnic vidíme, že příslušný normovaný polární afinní repér má počátek S = [—1; — 1] a směrové vektory ei = (^p; 0), e2 = (^; \/3). b) Rovnici kuželosečky upravíme na tvar k : (x — y)2 — Ax — 6y + 3 = 0. Potom transformace x = x + y , y převede rovnici kuželosečky na tvar k : x'2 - Ax' - lOŕ/ + 3 = 0. Tuto rovnici upravíme na tvar k : [x' — 2)2 - (10y' + 1) = 0 . Transformace III i o x = x + 2 , I " _ 1 y 5y 10 převede rovnici kuželosečky do normálního tvaru k : (x")2 - 2y" = 0 . Složením postupných transformací dostaneme výslednou transformaci souřadnic 1 19 II : ^ II ÍU x = x H—y--, 5y 10 ' 1 „ 1 y = -y--1 y 5 10 16. Metrické vlastnosti kuželoseček 73 která převádí rovnici kuželosečky do normálního tvaru. Z transformačních rovnic vidíme, že příslušný normovaný polární afinní repér má počátek S = [—— y^] a směrové vektory ei = (1; 0), e2 = (|; |). c) Rovnici kuželosečky upravíme na tvar k : (x + y)2 — x — y = 0 . Potom transformace x = x — y , y = y' převede rovnici kuželosečky na tvar k : x'2 - x' = 0 . Tuto rovnici upravíme na tvar k:(x'-l)2-l = 0. Transformace , 1 „ , 1 x = -x H— 2 2 / // y = y převede rovnici kuželosečky do násobku normálního tvaru k:\(x")2-\ = 0. Složením postupných transformací dostaneme výslednou transformaci souřadnic 1 „ „ 1 x = —x —y H— , 2 y 2 ' // y = y , která převádí rovnici kuželosečky do násobku normálního tvaru. Z transformačních rovnic vidíme, že příslušný normovaný polární afinní repér má počátek S = [^;0] a směrové vektory ei = (|; 0), e2 = (—1; 1). 16 Metrické vlastnosti kuželoseček Ve zbytku této kapitoly uvažujeme £2 reálnou euklidovskou rovinu, £2 její komplexní rozšíření a £2 projektivní rozšíření £2. Jako kuželosečku v £2 potom rozumíme kuželosečku v £2 . Uvažujme na £2 kartézskou souřadnou soustavu určenou ortonormálním (kartézským) repérem <0;ei,e2). (16.1) 16. Metrické vlastnosti kuželoseček 74 V indukovaných kartézských homogenních souřadnicích v £2 má kuželosečka k obvyklou rovnici 3 k : dijXiXj = 0, (16.2) M = l a v nehomogenních kartézských souřadnicích (při častějším označení nehomogenních souřadnic X = [x;y]) má kuželosečka k rovnici £)(y)+2(fl* ° (16-3) tj- /c : anx2 + 2a12xy + a22Ž/2 + 2a13x + 2a23Ž/ + ^33 = 0. (16.4) Maticově, při stejném označení jako v Části 14, k : (X)TÄ(X) + 2(a)T(X) + a = 0. (16.5) Úmluva. V praxi se setkáváme téměř výhradně s kuželosečkami, jejichž rovnice jsou zadány v nehomogenních souřadnicích. Takto se nedají bez dalšího upřesnění zadat kuželosečky, jejichž součástí je nevlastní přímka. Dále tedy budeme předpokládat, že žádná kuželosečka nemá za svou tvořící přímku nevlastní přímku. V souřadnicovém vyjádření to znamená, že matice A je nenulová. Definice 16.1. Směr určený nenulovým reálným vektorem u se nazývá hlavním směrem kuželosečky k, je-li vzhledem ke k polárně sdružen s kolmým směrem. Poznámka 16.1. Z Definice 16.1 vyplývá, že směr určující nevlastní singulární bod kuželosečky nebo nevlastní střed kuželosečky je hlavním směrem kuželosečky. Věta 16.1. Ke každé kuželosečce existují alespoň dva na sebe navzájem kolmé hlavní směry. Má-li kuželosečka k vzhledem k nějakému ortonormálnímu repéru souřadnicovou rovnici (16.5), jsou hlavní směry kuželosečky vlastními směry matice A = a-ii a-12 j ^ ^ nenu\ový vektor u = (ui, u2) určuje hlavní směr kuželosečky k právě a12 a22 J tehdy, když pro nějaké A G IR platí (au - A)iíi + a12u2 = 0, (16.6) auui + (a22 — X)u2 = 0. 16. Metrické vlastnosti kuželoseček 75 Důkaz. 1. Nechť u = («1,1*2) 7^ o určuje singulární nevlastní bod P^ = (u) kuželosečky k. Potom (Fi(u), F2(uj) = 0 = Ou, což je soustava (16.6) pro A = 0. 2. Nechť u = (ui, u2) 7^ o je hlavní směr kuželosečky k a nevlastní bod P^ = (u) není singulárním bodem k. Předpokládejme nejdříve, že P^ je nevlastním středem (který není singulárním bodem) kuželosečky. Potom polára bodu P^ je nevlastní přímka (viz Poznámka 14.1), tj. (Fi(u), F2(u)) = o a podobně jako pro singulární bod dostáváme, že u je řešením soustavy (16.6) pro A = 0. Nyní nechť P^ = (u) není středem k. Potom vlastní polára bodu P^ má rovnici p : F1(u)x1 + F2(u)x2 + F3(u)x3 = 0 , (Fi(u), F2(u)) + o, a vektor u je polárně sdružen se směrovým vektorem přímky p. Z předpokladu, že u určuje hlavní směr, vyplývá, že u je kolmý na p, a tedy nenulové vektory (Fi(u), F2(uj) a u Jsou lineárně závislé, tj. existuje A ^ 0 takové, že (Fi(u), F2(uj) = Au, což je po rozepsání soustava auui + cí\2u2 = Xui, aí2ui + a22u2 = \u2 , která je ekvivalentní soustavě (16.6). Charakteristická rovnice soustavy (16.6) je A2 — (au + (222)A + (ana22 — ^12) = 0 1 (16.7) jejíž diskriminant je D = (au — (Z22)2 + ^a\2 _ 0. To znamená, že charakteristická rovnice má vždy reálná řešení (to je obecná vlastnost všech symetrických matic, viz Věta 10.1). Charakteristická rovnice má dvojnásobný nenulový kořen právě tehdy, když ai2 = 0, a au = (Z22 7^ 0. Potom au je dvojnásobným kořenem a soustava (16.6) je splněna identicky, tj. každý směr je hlavním směrem kuželosečky a můžeme si mezi nimi vybrat libovolnou dvojici na sebe kolmých hlavních směrů. Je-li D > 0, pak má charakteristická rovnice dvojici reálných různých kořenů Ai a A2. Označme jako Uj vlastní vektor, který odpovídá Al5 tj. souřadnice Uj jsou řešením soustavy (16.6). Potom Uj = (—012; au — Aj) a (111,112) = a\2 + a\x — an(Ai + A2) + A1A2. Použitím kořenových vztahů pro kořeny charakteristické rovnice dostaneme (ui, 112) = 0, tj. Ui a 112 jsou na sebe kolmé. □ Poznámka 16.2. Z důkazu předchozí věty vyplývá, že směr, který určuje nevlastní střed, je i hlavním směrem, který odpovídá hlavnímu číslu A = 0. Opravdu z (14.7) vyplývá, že kuželosečka má nevlastní střed právě tehdy, je-li \A\ = 0 a z tvaru charakteristické rovnice (16.7) pak vyplývá, že jedním hlavním číslem musí být 0. Z (14.6) a (16.6) pak vyplývá, že soustavy pro výpočet nevlastního středu a hlavního směru jsou totožné. <) 16. Metrické vlastnosti kuželoseček 76 V předchozí větě jsme použili souřadnicového vyjádření kuželosečky v nějakém kartézském repéru. Ukážeme si, že je důkaz nezávislý na zvoleném repéru. Zvolme jiný ortonormální repér (O'je'^e^) a označme (X) = Q(X') + (O') maticový zápis transformace souřadnic při přechodu od prvního repéru k druhému. Bude-li vzhledem k novému repéru maticová rovnice kuželosečky (X'fB(X') + 2(b)T(X') +o = 0, dostaneme přímým dosazením B = QTAQ. Věta 16.2. Nechť je rovnice kuželosečky k vzhledem ke zvolenému ortonormálnímu repéru (16.1) dána (16.5). Potom \A — \E2\ se nezmění při přechodu k novému ortonormálnímu repéru. Důkaz. Při přechodu k novému ortonormálnímu repéru je matice B = QTAQ, kde Q je matice přechodu. Protože Q je ortonormální matice, je podle Věty 10.4 \B - \E2\ = \Ä - \E2\. □ Rovnice \A — \E2\ = 0 je tedy nezávislá na zvoleném ortonormálním repéru a budeme ji nazývat charakteristická rovnice kuželosečky k. Podobně také její kořeny Ai a A2 jsou na zvoleném kartézském repéru nezávislé a budeme je nazývat hlavní čísla kuželosečky k. Definice 16.2. Je-li P nevlastní nesingulární bod určený hlavním směrem kuželosečky k, pak poláru bodu P, pokud je to vlastní přímka, nazýváme osou kuželosečky k. Je-li nevlastní bod hlavního směru kuželosečky nevlastním singulárním bodem kuželosečky, pak definujeme jako osu kuželosečky libovolnou vlastní přímku, která je kolmá na tento hlavní směr. Vlastní průsečík kuželosečky s její osou se nazývá vrchol kuželosečky. Poznámka 16.3. Kuželosečka je osově (kolmo) symetrická podle každé své osy. Toto tvrzení je důsledkem šikmé symetrie kuželosečky podle svého průměru ve směru polárně sdruženého průměru (viz Poznámka 14.3). <) Poznámka 16.4. V případě, že každý směr je hlavním směrem kuželosečky, má kuželosečka nekonečně mnoho os. V tomto případě má kuželosečka právě jeden vlastní střed. To vyplývá z toho, že charakteristická rovnice má dvojnásobný nenulový kořen, tj. \A\ 0, a tedy soustava (14.7) pro výpočet vlastních středů má právě jedno řešení. Potom každá reálná přímka procházející středem je osou symetrie kuželosečky, která má tedy nekonečně mnoho os symetrie. Takovéto kuželosečky budeme nazývat zobecněné kružnice a v následující Části 17 uvidíme, které kuželosečky to jsou. Na Obrázku 16.1 je nakresleno několik os pro reálnou kružnici. Na tomto a dalších obrázcích je kuželosečka vykreslena modře a její osy červeně. Z definice osy kuželosečky vyplývá, že každá osa, která je polárou nesingulárního nevlastního bodu (který není nevlastním středem kuželosečky), obsahuje všechny středy kuželosečky. 16. Metrické vlastnosti kuželoseček 77 Obrázek 16.1: Osy kružnice Regulární kuželosečka, která není zobecněnou kružnicí, může mít jednu osu (nevlastní přímka se dotýká kuželosečky - jde o parabolu), nebo dvě osy. Tato situace je zakreslena na Obrázku 16.2 pro parabolu (jedna osa), reálnou elipsu a hyperbolu (dvě osy). Obrázek 16.2: Osy paraboly, reálné elipsy a hyperboly Singulární kuželosečka, která má právě jeden vlastní střed (dvojice různoběžných přímek reálných nebo komplexně sdružených), má vždy dvě osy, viz Obrázek 16.3 pro reálné různoběžné přímky. V případě, že má kuželosečka přímku vlastních středů (dvojice rovnoběžných přímek nebo dvojnásobná přímka), je jedna osa přímka středů a osy osy jsou libovolné kolmice na přímku středů. V tomto případě má tedy kuželosečka také nekonečně mnoho os symetrie, viz Obrázek 16.3 pro reálné rovnoběžné přímky. <) Obrázek 16.3: Osy různoběžných a rovnoběžných reálných přímek Poznámka 16.5. Pokud není osa součástí kuželosečky (dvojnásobná vlastní přímka), leží na každé ose nejvýše dva vrcholy, které mohou být reálné různé, komplexně 16. Metrické vlastnosti kuželoseček 78 sdružené, nebo mohou splývat do jediného bodu (různoběžné přímky). V některých případech jsou průsečíky osy a kuželosečky nevlastní body, které za vrcholy nepočítáme. U paraboly je to jednonásobný nevlastní průsečík, u rovnoběžných přímek protíná osa, která je tvořena přímkou středů, nevlastní přímku v dvojnásobném singulárním bodě. <) Úloha 16.1. Určete charakteristickou rovnici, hlavní čísla a hlavní směry kuželosečky k : Axy + 3y2 + 16x + 12y - 36 = 0. Řešeni: Matice A = (^ t. ) a její charakteristická rovnice \A — \E\ = 0 je .2 3 -A 2 2 3 - A 0, tj. A — 3A — 4 = 0. Hlavní čísla jsou kořeny charakteristické rovnice, tj. Ai = —1 a \2 = 4. Hlavní směr určený kořenem Ai = —1 je určen vektorem, jehož souřadnice jsou řešením soustavy rovnic (viz (16.6)) ui + 2u2 = 0 , 2-ui + Au2 = 0 , tj. hlavní směr odpovídající hlavnímu číslu Ai = —1 je určen vektorem Ui = (—2; 1). Podobně pro hlavní směry určené hlavním číslem A2 = 4 dostaneme soustavu -4-ui + 2u2 = 0 , 2u\ — u2 = 0 , tj. hlavní směr odpovídající hlavnímu číslu \2 = 4 je určen vektorem u2 = (1; 2). Úloha 16.2. Určete osy a vrcholy kuželosečky z Úlohy 16.1. Řešení: Osy kuželosečky jsou poláry nevlastních bodů hlavních směrů. Pro hlavní směr Ui = (—2; 1) tak dostaneme osu 01 : 2x - y - 10 = 0 , a pro hlavní směr u2 = (1; 2) tak dostaneme osu 02 : x + 2y + 5 = 0 . Vrcholy kuželosečky jsou její průsečíky s osami. Z rovnice osy o\ vyjádříme y = 2x — 10 a dosadíme do rovnice kuželosečky. Dostaneme kvadratickou rovnici 5x2 - 30x + 36 = 0, ze které vyplývá, že na ose oľ leží reálné vrcholy A = [3 + —4 + -^] a B = [3 - -2-- -4 - -M Podobně pro osu o2 dostaneme kvadratickou rovnici 5y2 + 40x + 116 = 0, ze které vyplývá, že na ose o2 leží komplexně sdružené vrcholy C=[3-^;-4 + ^]ač=[3 + ^;-4-«.]. 17. Metrická klasifíkace kuželoseček 79 17 Metrická klasifikace kuželoseček Afinní vlastnosti a klasifikace kuželoseček zůstávají zachovány i v euklidovské rovině. Při převodu rovnic kuželoseček do jednoduššího kanonického tvaru, ze kterého se nejlépe pozná, o jakou kuželosečku se jedná, nemůžeme provést poslední krok - normování koeficientů v rovnici kuželosečky. To je dáno tím, že směrové vektory ortonormálního repéru musí být jednotkové a nemůžeme je tedy násobit. V následujících dvou větách je popsán způsob, jak zvolit polární ortonormální repér tak, aby měla kuželosečka nejjednodušší možnou rovnici. Věta 17.1. Nechť má kuželosečka k alespoň jeden vlastní střed. Potom v kartézském repéru, jehož počátek je vlastním středem a směrové vektory jsou jednotkové vektory hlavních směrů kuželosečky k, má k rovnici tvaru k : \lX2 + \2y2 + a33 = 0 , (17.1) kde Aj, i = 1,2, jsou hlavní čísla kuželosečky. Důkaz. Protože směry souřadných os jsou polárně sdružené vzhledem ke k, je «12 = 0 (viz Věta 15.4). Protože počátek souřadné soustavy je vlastním středem kuželosečky, je a±3 = a23 = 0 (viz Věta 15.5) a dohromady tak dostáváme rovnici k ve tvaru k : anx2 + a22y2 + a33 = 0. Protože je charakteristická rovnice kuželosečky nezávislá na ortonormálním repéru, je charakteristická rovnice kuželosečky (au — \)(a22 — A) = 0 a její kořeny jsou Ai = au, A2 = a22. □ Věta 17.2. Nechť regulární kuželosečka k nemá vlastní střed (parabola). Potom volíme počátek kartézské souřadné soustavy jako průsečík k s její osou a směrové vektory jako jednotkové vektory hlavních směrů kuželosečky k. V této kartézské souřadné soustavě má k rovnici tvaru k : x2 + 2py = 0. Důkaz. Jeden hlavní směr je směr nevlastního středu a druhý hlavní směr je směr vrcholové tečny (tečna v jediném vrcholu paraboly je kolmá na osu paraboly, což vyplývá ze symetrie paraboly podle osy). Potom podle důkazu Věty 15.6 má kuželosečka rovnici ve tvaru \ix2+2a23y = 0, kde \i ^ 0 je nenulový kořen charakteristické rovnice a a23 ^ 0. Vydělením koeficientem Ai při označení p = ^ dostaneme požadovaný tvar. □ Věta 17.3. (Metrická klasifikace kuželoseček) Ke každé kuželosečce k, která neobsahuje jako svou část nevlastní přímku, existuje takový ortonormální repér, že 17. Metrická klasifíkace kuželoseček 80 vzhledem k němu má k jednu z následujících rovnic: 2 2 ^ + -^ + 1 = 0, a>0, b>0, (Ekl) a2 b2 2 2 ^7 + 7^- - 1 = 0, a > 0, b>0, (Ek2) a2 b2 2 2 ^7 - 7^- - 1 = 0, a > 0, b>0, (Ek3) „2 x2 + 2py = 0, p^O, (Ek4) O, a > O, b > O, (Ek5) 2 2 xz yA 2 2 ^-7^ = 0, a > O, > O, (Ek6) gt tr x2 + c2 = O, o 0 , (Ek7) 0, c> 0 , (Ek8) 0, (Ek9) 2 2 X — C x2 kde a, fo, c, jo jsou reálná čísla. Důkaz. Nechť má nejdříve kuželosečka právě jeden vlastní střed. Potom podle Věty 17.1 existuje takový ortonormální repér, že má kuželosečka vzhledem k němu rovnici (17.1), kde Ai 0 \2- Je-li 033 7^ 0, vydělíme rovnici |a331 a při označení a2 = ^jy, b2 = j0 dostaneme (případně až na násobek -1) rovnice (Ekl) - (Ek3). Je-li a33 = 0, označíme přímo a2 = j^j, b2 = a dostaneme (případně až na násobek -1) rovnice (Ek5) a (Ek6). Nechť má nyní kuželosečka právě přímku vlastních středů. Potom opět podle Věty 17.1 existuje takový ortonormální repér, že má kuželosečka vzhledem k němu rovnici (17.1), kde \y 7^ 0 a A2 = 0 (to vyplývá z toho, že jeden kořen charakteristické rovnice kuželosečky, která má nevlastní střed, je nulový a druhý nenulový). Pro a33 7^ 0 vydělíme rovnici \y a při označení c2 = -p^y dostaneme rovnice (Ek7) a (Ek8). Pro 033 = 0 vydělíme rovnici číslem Ai a dostaneme rovnici (Ek9). Konečně nechť nemá kuželosečka vlastní střed. Potom má podle Věty 17.2 rovnici (Ek4). □ Poznámka 17.1. Kladná čísla a, b v rovnicích (Ekl) - (Ek3) elipsy (imaginární i reálné) a hyperboly se nazývají délky poloos a pro osy kuželosečky, na kterých leží reálné vrcholy, udávají vzdálenost vrcholů od středu kuželosečky. Pro reálnou elipsu jsou všechny vrcholy reálné a větší z čísel a, b se nazývá délkou hlavní poloosy, menší se nazývá délkou vedlejší poloosy. Vrcholy elipsy, jejichž vzdálenost od středu elipsy je rovna délce hlavní poloosy, se nazývají hlavní vrcholy elipsy, vrcholy elipsy, jejichž vzdálenost od středu elipsy je rovna délce vedlejší poloosy, se nazývají vedlejší vrcholy elipsy. 17. Metrická klasifíkace kuželoseček 81 Pro hyperbolu s rovnicí (Ek3) jsou vrcholy na ose x reálné a nazývají se hlavní vrcholy hyperboly, číslo a > 0 se nazývá délka hlavní poloosy. Vrcholy na ose y jsou komplexně sdružené. Reálné body na ose y, jejichž vzdálenost od počátku (středu hyperboly) je rovna b, jsou reální zástupci vrcholů a nazývají se vedlejší vrcholy, číslo b se nazývá délka vedlejší poloosy. Vedlejší vrcholy si můžeme snadno představit jako body, které jsou hlavními vrcholy takzvané doplňkové hyperboly, což je hyperbola, která má stejné osy i asymptoty a hlavní osa původní hyperboly je vedlejší osou doplňkové hyperboly. Má-li původní hyperbola rovnici (Ek3), potom doplňková hyperbola má rovnici 2 2 xz yz --fš+ 1 = 0. Na Obrázku 17.1 je hyperbola o rovnici x2 — 2y2 = 1 (vykreslená červeně)a její doplňková hyperbola x2 — 2y2 = — 1 (vykreslená modře). Obrázek 17.1: Hyperbola a její doplňková hyperbola Případ, kdy a = b v rovnicích (Ekl) - (Ek2) a (Ek5), nastává při Ax = A2, tj. pro zobecněnou kružnici. Potom (Ekl) je rovnice imaginární kružnice, (Ek2) je rovnice reálné kružnice a (Ek5) je rovnice takzvané nulové kružnice (reálná kružnice s nulovým poloměrem). Je-li a = b v rovnici (Ek3), což nastává v případě, kdy Ai = — A2 7^ 0, nazývá se příslušná hyperbola rovnoosá. V tomto případě je doplňková hyperbola shodná s původní (otočená kolem středu o 7r/2). Pro a = b v rovnici (Ek6) dostáváme dvě kolmé různoběžné reálné přímky. Číslo 2 c v rovnici (Ek8) udává vzdálenost rovnoběžných přímek, které jsou tvořícími přímkami kuželosečky. Číslo p v rovnici (Ek4) paraboly se nazývá parametr paraboly. Jeho geometrický význam si ukážeme v následující Části 18. <) Věty 17.1 a 17.2 popisují, jak zvolit polární ortonormální repér, vzhledem ke kterému má kuželosečka jednoduchou kanonickou rovnici, ze které můžeme snadno 17. Metrická klasifíkace kuželoseček 82 vyčíst všechny potřebné údaje o kuželosečce. V řadě případů nás zajímá pouze kanonická rovnice kuželosečky; transformační rovnice, které převádějí rovnici kuželosečky (zadanou v libovolném ortonormálním repéru) na kanonický tvar, nás nezajímají. Postup, který spočívá v nalezení příslušného ortonormálního repéru (podle Vět 17.1 a 17.2) a transformace daných rovnic do kanonického tvaru, je zbytečně zdlouhavý a pracný (zvláště pro parabolu, kde musíme hledat její vrchol). Ukážeme si proto dvě metody hledání kanonických rovnic kuželosečky, které jsou mnohem praktičtější. I. metoda. Tato metoda je založena na přímém hledání ortonormálních transformací, které převedou rovnici kuželosečky do kanonického tvaru. Předpokládejme nejdříve, že hlavní směry kuželosečky nejsou rovnoběžné s osami kartézských souřadnic (viz Obrázek 17.2), to znamená, že v rovnici kuželosečky je ai2 0. Je-li ai2 = 0, vynecháme tento krok a pokračujeme postupem popsaným dále. Předpokládejme, že a G (0,7r/2) je velikost úhlu, který je určen některou z os kuželosečky a osou x. Transformační rovnice otočení souřadné soustavy kolem počátku o úhel velikosti a jsou x = x cos(a) — y sin(a) y = x sin(a) + y cos(a) Tyto transformační rovnice dosadíme do rovnice kuželosečky v původních kartézských souřadnicích, tj. do rovnice Obrázek 17.2 (17.2) k : a\\x a dostaneme ;2 + 2a12xy + a22y2 + 2a13x + 2a23y + a33 = 0 (au cos2(a) + 2a\2 cos(a) sin(a) + a22 sin2(a))x/2+ 2(ai2(cos2(a) — sin2(a)) + (a22 — au) cos(a) sin(a))x/y/+ (au sin2(a) — 2a12 cos(a) sin(a) + a22 cos2(a))y/2+ 2(ai3 cos(a) + a23 sin(a))x/+ 2(-ai3 sin(a) + a23 cos(a))y + a33 = 0 . (17.3) Položíme roven nule koeficient u x'y' a dostaneme rovnici —a12 sin2(a) + (a22 — au) cos(a) sin(a) + a\2 cos2 (a) = 0 . (17.4) Protože a 7r/2, je cos(a) ^ Oa vydělením cos2 (a) dostaneme kvadratickou rovnici pro tan(a) a±2 tan (a) + (au — a22) tan(a) — ai2 = 0 . (17.5) 17. Metrická klasifíkace kuželoseček 83 Z ai2 O je diskriminant této kvadratické rovnice D = (a22 — «n)2 + 4a22 > 0, tj. vždy existují dvě hodnoty vyhovující rovnici (17.4) (to odpovídá tomu, že do polohy rovnoběžné s osou x můžeme otočit jeden nebo druhý hlavní směr kuželosečky). Z kořenových vztahů pro rovnici (17.5) je tan(ai). tan(a2) = —1, tj. oíi + oí2 = 7r/2. Vybereme si jednu hodnotu tan(ctj) a použitím vztahů 1 tan(a) cosícn = — -. sin(a) y/l + tan2(a)' y/l + tan2(a) dostaneme po dosazení do (17.3) rovnici kuželosečky v nových kartézských souřadnicích ve tvaru k : bnx'2 + b22y'2 + 2b13x' + 2b23y' + a33 = 0 . (17.6) V nových kartézských souřadnicích jsou hlavní směry kuželosečky rovnoběžné s osami souřadnými, tj. koeficient u x'y' je roven nule. Budeme dále upravovat rovnici (17.6). Nechť nejdříve platí 6n / 0 / b22. Potom rovnici (17.6) upravíme na tvar k:bn(x>+b^f + b22(y>+b^)2 + a33-b^-b-k = 0. Transformace kartézských souřadnic x" = x' + y" = y' + která odpovídá změně počátku ortonormálního repéru, převede rovnici kuželosečky do tvaru k:b11{x")2 + b22{y")2 + b33 = Q1 (17.7) kde ^33 = Q33 — ir2- — ŕ2-- Rovnici (17.7) potom postupem popsaným v důkazu Věty 17.3 převedeme na jednu z rovnic (Ekl) - (Ek3) nebo (Ek5) a (Ek6). Je-li jeden z koeficientů btl v rovnici (17.6) nulový, můžeme bez újmy na obecnosti předpokládat, že je to b22 (závisí to na tom, kterou hodnotu al si vybereme). Potom rovnici (17.6) upravíme na tvar k : 6n (a;' + ^)2 + 2b23y' + a33 - ^ = 0 . (17.8) Transformace souřadnic x" = x' + y" = y' potom převede rovnici kuželosečky na tvar k:b11(x"Y + 2b23y" + b33 = 0, (17.9) kde b33 = a33 — j^. Je-li v rovnici (17.9) b23 = 0, dostaneme po vydělení číslem 611 jednu z rovnic (Ek7) - (Ek9). Je-li v rovnici (17.9) b23 7^ 0, provedeme ještě transformaci souřadnic x = x", ý = y" + která po vydělení rovnice číslem bu převede rovnici na tvar (Ek4). Postupnými transformacemi kartézských souřadnic jsme tak převedli rovnici libovolné kuželosečky na jednu z kanonických rovnic z Věty 17.3. Pokud nás zajímá 17. Metrická klasifíkace kuželoseček 84 také polární ortonormální repér a transformace souřadnic, která převede rovnici kuželosečky do kanonického tvaru, složíme dílčí transformace a z tvaru výsledných transformačních rovnic určíme polární ortonormální repér kuželosečky. II. metoda (metoda invariantů). Tato metoda je založena na tom, že některé číselné hodnoty, které jsou přiřazeny koeficientům matice kuželosečky, nezávisí na zvoleném souřadnicovém repéru. Takováto čísla se nazývají invarianty kuželosečky. Definice 17.1. Nechť k je kuželosečka o rovnici (16.1). Reálná funkce Ka^) se nazývá invariantem kuželosečky k, jsou-li její hodnoty nezávislé na zvoleném souřadnicovém repéru. Řekneme, že invariant I(ai:j) je stupně l, je-li I^aa^) = alI(ai:j). Pro Z = 0 hovoříme o absolutním invariantu. Poznámka 17.2. V předchozích úvahách jsme se již s několika invarianty kuželosečky setkali. Např. hodnost kuželosečky nezávisí na libovolných použitých souřadnicích. Je to tedy invariant kuželosečky v projektivní, afinní i euklidovské rovině. Navíc je tento invariant absolutní. Podobně hodnost matice A je absolutní invariant v afinní rovině. Všude dále, pokud budeme hovořit o invariantech, budeme mít na mysli invarianty v euklidovské rovině, tj. uvažované souřadnicové repéry budou ortonormální. <) Poznámka 17.3. Stupeň invariantu určuje, jak se jeho hodnota mění při změně určující kvadratické formy. Je-li / hodnota invariantu při použití určující kvadratické formy F, pak alI je hodnota téhož invariantu stupně Z při použití kvadratické formy aF. 0 Poznámka 17.4. V Části 16 jsme dokázali, že charakteristická rovnice je nezávislá na zvoleném ortonormálním repéru. To ovšem znamená, že její kořeny i koeficienty jsou (euklidovské) invarianty kuželosečky. Koeficienty charakteristické rovnice jsou čísla au + a22 a |-<4|- Je tedy /(a^-) = au + a22 invariantem stupně 1 a /(a^-) = \A\ je invariantem stupně 2. Podobně hlavní čísla kuželosečky jsou invarianty stupně 1. Pro určování kanonických rovnic kuželosečky budeme potřebovat mimo invariantů z Poznámky 17.4 ještě další invarianty. První z nich je diskriminant kuželosečky. Věta 17.4. Determinant matice kuželosečky (diskriminant kuželosečky) je jejím invariantem stupně 3. Důkaz. Mějme dány dva ortonormální repéry. Nechť má kuželosečka vzhledem k jednomu repéru matici A a vzhledem ke druhému matici B. Nechť (X) = Q(X') + (O') je transformace kartézských souřadnic při přechodu od jednoho repéru k druhému, tj. Q je ortonormální matice. Odpovídající projektivní homogenní souřadnice uvažujme v normovaném tvaru, tj. poslední souřadnice je 0 pro nevlastní body a 1 17. Metrická klasifíkace kuželoseček 85 pro vlastní body. Transformační matice pro takovéto projektivní homogenní souřad- [O') nice jsou potom dány maticí Q (o)T 1 , jejíž determinant je ±1 (Q není ortonormální). Zde o je nulový vektor. Protože B = QTAQ, je odtud \B\ = \A\. Stupeň invariantu \A\ plyne z toho, že A je řádu 3 a \olA\ = a3|^4|. □ Věta 17.5. Nechť k je kuželosečka, která má právě jeden vlastní střed a vzhledem k nějakému ortonormálnímu repéru má rovnici (16.3). Pak existuje takový kartézský repér, že vzhledem k němu má k rovnici k:\1x2 + \2y2 + \^\ = 0, (17.10) 1^1 kde Aj, i = 1,2, jsou hlavní čísla kuželosečky. Důkaz. Podmínka, že k má právě jeden střed, je ekvivalentní tomu, že hodnost matice Ä je 2 (viz podmínky řešitelnosti soustavy (14.7)), tj. všechna hlavní čísla jsou nenulová (viz kořenové vztahy pro charakteristickou rovnici (16.7)). Potom podle Věty 17.1 má k v nějakém kartézském repéru rovnici k : Aix2 + A2y2 + b33 = 0. Protože \A\ je invariantní při změnách kartézských repérů, je \A\ = \1\2b33 a odtud &33 = |^4|/|Ä|, protože z kořenových vztahů pro charakteristickou rovnici je \A\ = AiA2. □ Věta 17.6. Nechť k je regulární nestředová kuželosečka, která má vzhledem k nějakému ortonormálnímu repéru rovnici (16.3). Pak existuje takový kartézský repér, že vzhledem k němu má k rovnici „2 k : Aix2 ±2 \ y = 0, (17.11) kde Ai je nenulové hlavní číslo kuželosečky. Důkaz. Je-li k nestředová regulární kuželosečka, je \A\ 7^ 0 a Ä má hodnost 1, tj. charakteristická rovnice pro matici A má právě jeden nenulový kořen Ai. Potom podle důkazu Věty 17.2 má k v nějakém kartézském repéru rovnici k : Aix2 + 2b23y = 0. Protože \A\ je invariantní při změnách kartézských repérů, je \A\ = — A1&23 a °dtud = ±yp§- □ Poznámka 17.5. Předchozí dvě věty se tedy dají použít k rychlému určení kanonických rovnic pro všechny regulární kuželosečky a singulární kuželosečky hodnosti 2, které mají právě jeden střed (různoběžné přímky). Z devíti typů kuželoseček se tedy dají použít v šesti případech. V případě kuželosečky hodnosti jedna je vždy kanonická rovnice tvaru k : Aix2 = 0. Ve zbývajících dvou případech (rovnoběžné přímky reálné nebo komplexně sdružené) musíme definovat ještě další invarianty. <) 17. Metrická klasifíkace kuželoseček 86 Uvažujme rovnici (16.5) kuželosečky k. Definujme polynom r(A) = «13 a23 a- Á \ Z? f„\ = r0A2 - riA + r2, «n - A a12 a13 «12 «22 — A a23 a13 a23 a33 Ä-XE (a) (17.12) (a)T a33 kde To — Q33 , Ti = (211(233 — a23 + 022^33 — a23 ) T2 = L4|- (17.13) Věta 17.7. Funkce T(A) je invariantní při změnách ortonormálního repéru, které zachovávají počátek. Důkaz. Uvažujme transformační rovnice přechodu k novému ortonormálnímu repéru, který má stejný počátek jako původní repér, tj. (x) = q(x), kde Q je ortonormální matice. V novém repéru je k : (x)tqtäq(x') + 2(a)TQ(V) + a33 = 0 a potom r'(A) = TÄQ-XE QT(a) (a)Tg Q33 QT(A - XE)Q QT(a) (a)Tg Q33 o)\ f A - \E (a. o)T 1 protože o )T 1 A-XE (a) (a)T a33 = ±1. Q33 q (o; o)T 1 r(A), □ Věta 17.8. Nechť k je kuželosečka hodnosti 2 parabolického typu. Pak koeficient T± funkce T(X) je invariant kuželosečky k. Důkaz. Ve Větě 17.7 jsme dokázali, že Ti je invariantní při změnách ortonormálního repéru, které zachovávají počátek. Musíme tedy ještě dokázat, že Ti je invariantní při posunutí ortonormálního repéru do nového počátku. Transformační rovnice při změně počátku jsou tvaru (X) = e(x) + (P), 17. Metrická klasifíkace kuželoseček 87 kde P = [pi,p2] je nový počátek. Potom k : {X')TÄ{X') + 2(Ä(P) + (a)f(X') + (P)TÄ(P) + 2(a)T(P) + o33 = 0 kde Potom r'(A) = au - A a12 F1(P) ai2 a22 — A F2(P) F1(P) F2(P) F (P) -Fi(P) = anpi + 012^2 + a13 , F2(P) = a12pi + 022^2 + a23 , F (P) = anpl + 2a12pľp2 + a22ř>2 + 2ai3ř>i + 2023^2 + ^33 • rí = an(anpl + 2a12pxp2 + a22ř>2 + 2013^1 + 2a23ř>2 + 033)- - (anPi + 012^2 + Qi3)2+ + 022(011^ + 2012^1^2 + 022^2 + 2013^1 + 2023^2 + a33) - (anPi + 022^2 + Q23)2 = = (Pi + Pl)(ana22 - a\2) + 2p1(a13a22 - a12a23) + 2p2(aiia23 ~ «12013) + 2 2 + 011^33 — al3 + «22^33 — a23 • Pro kuželosečku hodnosti 2, která je parabolického typu, je hodnost matice / au a12 a13\ \a12 a22 a23 J menší než 2 a odtud (011022 — ai2) = O, (013^22 ~~ ai2Q23) = O a (011023 ~~ ai2Qi3) = 0. To ovšem znamená, že = T±. □ Věta 17.9. Nechť k je kuželosečka hodnosti 2 parabolického typu, která má souřadnicové vyjádření (16.5). Potom v polárním ortonormálním repéru má k kanonickou rovnici Ä; : Aix2 + ^ = 0, (17.14) Ai kde Ai je nenulový kořen charakteristické rovnice kuželosečky. Důkaz. Kuželosečka parabolického typu hodnosti dva má právě jeden nenulový kořen charakteristické rovnice a přímku středů. Podle Věty 17.1 má k rovnici k : Aix2 + b33 = O . Podle Věty 17.8 je Ti = A1&33 a odtud plyne tvrzení Věty 17.9. □ 17. Metrická klasifíkace kuželoseček 88 Poznámka 17.6. Máme-li tedy dánu rovnici kuželosečky (16.3), můžeme pouze užitím invariantů \A\, \A\, Ti a nenulových hlavních čísel kuželosečky \, i = 1,2, snadno napsat přímo kanonickou rovnici kuželosečky. Výsledky můžeme shrnout do následující tabulky: h(A) h(A) kanonická rovnice typ kuželosečky h(A) = 3 h{A) = 2 AlX2 + x2y2 + H| = o elipsy, hyperbola h(A) = l A1x2 + 2A/qÄ}y = 0 parabola h(A) = 2 h{A) = 2 Aix2 + A2y2 = 0 různoběžné přímky h{A) = l AlX2 _ ri = o rovnoběžné přímky h(A) = 0 neexistuje vlastní přímka a nevlastní přímka h{A) = 1 h{A) = l Aix2 = 0 dvojnásobná vlastní přímka h(Ä) = o neexistuje dvojnásobná nevlastní přímka Úloha 17.1. Pomocí transformací kartézských souřadnic určete ortonormální polární repér a kanonickou rovnici (viz Věta 17.3) kuželosečky k. Určete také transformaci kartézských souřadnic, která převede rovnici kuželosečky do kanonického tvaru a) k : Axy + 3y2 + 16x + 12y - 36 = 0, b) k : x2 + 6xy + 9y2 - 12x + 24y + 15 = 0, c) k : x2 + 2xy + y2 - 2x - 2y - 3 = 0 . Řešení: I. metoda: a) Do rovnice kuželosečky dosadíme transformační rovnice (17.2) pro otočení souřadného repéru o úhel a kolem počátku. Koeficient u x'y' položíme roven nule a dostaneme pro a kvadratickou rovnici (17.5) ve tvaru 2 tan2 a — 3 tan a — 2 = 0 . Tato rovnice má kořeny tan cti = 2 a tana2 = —\. Vybereme si první kořen, potom sincti = -^jr a coscti = Dosazením do transformačních rovnic (17.2) dostaneme transformaci souřadnic \/5 75 1 7! y , y , 17. Metrická klasifíkace kuželoseček 89 která převede rovnici kuželosečky do tvaru y = y V5 v5 Tuto rovnici upravíme na tvar ^ 1D Ä;:4(x' + ^)2-(y' + ^)2-36 = 0. Potom transformace souřadnic _5_ VE' W_ která odpovídá posunu počátku souřadnicového repéru do středu kuželosečky, převede rovnici kuželosečky do výsledného kanonického tvaru k : 4(x")2 - (y")2 - 36 = 0. Tuto rovnici můžeme vydělit 36 a dostaneme . O*")2 (y")2 ľ '9 36 tj. kuželosečka je hyperbola s délkou hlavní poloosy 3 a vedlejší poloosy 6. Složením dílčích transformací souřadnic dostaneme výslednou transformaci ve tvaru 1 2 X — ._X ._1J I o . VE Vš 2 1 y = —=x H---=y — 4 . VE VE Z transformačních rovnic se snadno vidí, že ortonormální polární repér je dán novým počátkem S = [3; —4] (středem hyperboly) a novými směrovými vektory el = (v^v%)ae2 = ^;75)- b) Do rovnice kuželosečky dosadíme transformační rovnice (17.2). Pro a dostaneme kvadratickou rovnici (17.5) ve tvaru 3 tan2 a — 8 tan a — 3 = 0 . Tato rovnice má kořeny tanai = 3 a tana2 = — |. Vybereme si druhý kořen, potom sin «2 = — ^t= a cos «2 = Dosazením do transformačních rovnic (17.2) dostaneme transformaci souřadnic 3,1, x = —=x H--r=y , Vw Vw 1,3, y =---=x H---=y , Vw Vw 17. Metrická klasifíkace kuželoseček 90 která převede rovnici kuželosečky do tvaru J2 60 , 60 , k : 10y" + —=x' + —=y' + 15 = 0. v/lÖ vTö Tuto rovnici upravíme na tvar k : 10(y' + --L)2 + 4L(x' + ^) = 0. 10 vio vio Potom transformace souřadnic y = y i 10 3 10 která odpovídá posunu počátku souřadnicového repéru do vrcholu kuželosečky převede rovnici kuželosečky do výsledného kanonického tvaru (po vydělení 10) k : (y")2 + -^=x" = 0 , tj. kuželosečka je parabola s parametrem p — 3 /To' Složením dílčích transformací souřadnic dostaneme výslednou transformaci ve tvaru 3 // 1 // x = ,_x H---=y , Vw vTô y =--i=x H---=y — 1. Z transformačních rovnic se snadno vidí, že ortonormální polární repér je dán novým počátkem S = [0; —1] (vrchol paraboly) a novými směrovými vektory ei = c) Do rovnice kuželosečky dosadíme transformační rovnice (17.2). Pro a dostaneme kvadratickou rovnici (17.5) ve tvaru tan2 a — 1 = 0 . Tato rovnice má kořeny tanai = 1 a tana^ = — 1- Pro první kořen je potom sinai = -j= a cos cti = Dosazením do transformačních rovnic (17.2) dostaneme transformaci souřadnic -1. >-A- ' X V2X V2V ' 1,1, y = —^x H---=y , V2 y/T 17. Metrická klasifíkace kuželoseček 91 která převede rovnici kuželosečky do tvaru J2 4 _, k : 2xz--r=x' -3 = 0. Tuto rovnici upravíme na tvar k : 2(x--\=)2 — 4 = 0. V2 Potom transformace souřadnic 1 y = y , která odpovídá posunu počátku souřadnicového repéru do středu kuželosečky převede rovnici kuželosečky do výsledného kanonického tvaru (po vydělení 2) k : (x")2 -2 = 0, tj. kuželosečka je dvojice reálných rovnoběžných přímek. Složením dílčích transformací souřadnic dostaneme výslednou transformaci ve tvaru i X V2X V2V 2' 1 „ 1 „ 1 y = —i=x H---=y H— . U V2 V2y 2 Z transformačních rovnic se snadno vidí, že ortonormální polární repér je dán novým počátkem S = (jeden ze středů kuželosečky) a novými směrovými vektory ei = (75; 75) a e2 = ("Ti; 73)-II. metoda: /O 2 8 \ a) Matice kuželosečky A = 2 3 6 1 a |^4| = 144, tj. kuželosečka je re- \8 6 -36/ gulární. Dále \A\ = —4, tj. kuželosečka je středová a podle Věty 15.1 se jedná o hyperbolu. Střed je bod S = [3;—4]. Charakteristická rovnice kuželosečky je A2 — 3A — 4 = 0 s hlavními čísly Ai = —1, A2 = 4. Potom podle Věty 17.5 má k rovnici — x'2 + 4y/2 — 36 = 0, což upravíme na tvar z Věty 17.3 vydělením číslem —36. Dostaneme k:X--y- + l = ^ 36 9 a tedy k je hyperbola s délkou hlavní poloosy 3 a vedlejší poloosy 6. Pro Ai = —1 dostaneme jednotkový vektor příslušného hlavního směru ei = a Pro 17. Metrická klasifíkace kuželoseček 92 A2 = 4 dostaneme jednotkový vektor příslušného hlavního směru e2 = (^jfi^jf)-Ortonormální polární báze je potom dána {S; ei,e2) s transformačními rovnicemi 2 , 1 / x =---=x H---=y + 3, VE vV y= VĚx + VĚy~A- íl 3 -6\ b) Matice kuželosečky 4=3 9 12 a \A\ = —900, tj. kuželosečka je \-6 12 15 / regulární. Dále \Ä\ = 0, tj. kuželosečka je nestředová a podle Věty 15.1 se jedná o parabolu. Charakteristická rovnice kuželosečky je A2 — 10A = 0 s hlavními čísly Ai = 10, A2 = 0. Potom podle Věty 17.6 má k rovnici 10x/2 + 2v/90y/ = 0, což upravíme na tvar z Věty 17.3 vydělením číslem 10. Dostaneme k : x'2 H--== y' = 0 , Vw a tedy k má parametr p = -^=. Pro Ai = 10 dostaneme jednotkový vektor přísluš- ného hlavního směru e! = (-7=;-^=) a pro A2 = 0 dostaneme jednotkový vektor příslušného hlavního směru e2 = (—1=; -^)- Osa paraboly je polára nevlastního bodu směru ei, tj. o : x + 3y + 3 = 0. Vrchol paraboly je V = [0; —1]. Ortonormální polární báze je potom dána (V; el5 e2) s transformačními rovnicemi 1,3, x = _x H--7=y 1 10 V1(T 3 , 1 , 1 y = —i=x--i=y — l. Vw Vw 1 1 -1\ c) Matice kuželosečky A = \ 1 1 -1 a \A\ = 0, h(A) = 2, tj. kuželo- -1 -1 -3/ sečka je singulární hodnosti 2. Charakteristická rovnice kuželosečky je A2 — 2A = 0 s hlavními čísly Ai = 2, A2 = 0, tj. kuželosečka je parabolického typu (rovnoběžné přímky). Vypočteme Ti = 8 a podle Věty 17.9 má k kanonickou rovnici (po vydělení 2) k: x2 -2 = 0, jedná se tedy o dvě reálné rovnoběžné přímky. Pro Ai = 2 dostaneme jednotkový vektor příslušného hlavního směru ei = (\75'\72°) a Pro ^2 = 0 dostaneme jednotkový vektor příslušného hlavního směru e2 = (^7=; ^). Kuželosečka má přímku středů x + y — l = 0aza nový počátek ortonormálního repéru zvolíme libovolný střed, např. P = [1;0], potom ortonormální 18. Kuželosečky jako množiny bodů daných vlastností 93 polární báze kuželosečky k je {P; ei, e2) s transformačními rovnicemi x y —=x H---=y . V2 V2 Poznámka 17.7. Porovnáme-li výsledky I. a II. metody v Úloze 17.1, vidíme, že výsledné kanonické rovnice, ortonormální polární báze, a tím i transformační rovnice, nemusí být v obou metodách úplně totožné. Kanonické rovnice se mohou lišit o záměnu koeficientů u druhých mocnin souřadnic - pořadí kořenů v charakteristické rovnici kuželosečky, které určují, která souřadná osa splyne s jakou osou kuželosečky. Tomu odpovídá v I. metodě, kterou hodnotu c^, i = 1,2, používáme v dalších výpočtech. V případě a) jsme zvolili v I. metodě osu x souřadného repéru jako hlavní osu hyperboly, zatímco v II. metodě je osa x vedlejší osou hyperboly. Kanonické rovnice respektive ortonormální polární repéry, a tím i transformační rovnice, se proto v obou metodách liší pořadím koeficientů u x2 a y2 v kanonické rovnici, respektive pořadím směrových vektorů v ortonormálním polárním repéru. V případě b) jsme zvolili jako osu paraboly v I. metodě osu x a ve druhé metodě osu y. Proto se kanonické rovnice paraboly liší o záměnu souřadnic x a y. Také ortonormální polární repér se v tomto případě liší o pořadí směrových vektorů. V případě kuželoseček, které mají přímku vlastních středů, můžeme jako počátek ortonormálního repéru zvolit libovolný vlastní střed. Proto se mohou transformační rovnice lišit v absolutních členech, jak je vidět v případě c). <) 18 Kuželosečky jako množiny bodů daných vlastností Na střední škole se pracuje pouze s reálnou euklidovskou rovinou. Kuželosečky se definují jako množiny bodů, které splňují jisté vlastnosti. V této části skript si ukážeme, že středoškolské definice kuželoseček určují opravdu reálné části kuželoseček v našem pojetí. Věta 18.1. Nechť F a G jsou dva různé body v £2 a označme \FG\ = 2e. Nechť reálné číslo a je takové, že a > e. Potom množina bodů X v £2 takových, že \FX\ + \GX\ = 2a, je reálná část (reálné) elipsy s délkami poloos a a b = \/a2 — e2. Důkaz. 18. Kuželosečky jako množiny bodů daných vlastností 94 Zvolme ortonormální repér tak, že body F 'á G leží na ose x a jejich souřadnice jsou F = [—e;0], G = [e;0]. Uvažujme bod X = [x;y], který splňuje podmínku \FX\ + \GX\ = 2a. V souřadnicích je tedy ytfyx + e)2 + y2 + v/(2:-e)2 + y2 = 2a a umocněním dostaneme po jednoduché úpravě Obr. 18.1 \J {x2 + y2 + e2)2 — Ae2x2 2a2 (x2 + y2 + e2). Tuto rovnici opět umocníme a po úpravě dostaneme 2/2 2\ i 2 2 2/ 2 2\ x (a — e ) + a y = a (a — e ) . Po dosazení b2 = a2 — e2 a vydělení a2fo2 dostaneme, že souřadnice bodů splňujících podmínky naší věty vyhovují rovnici tj. leží na reálné elipse s délkami poloos a, b. Naopak uvažujme reálný bod X, který leží na elipse o rovnici (18.1), tj. jeho reálné souřadnice [x;y] splňují rovnici (18.1). Snadno se přesvědčíme, že \FX\ + \GX\ = 2a, kde F = [—e;0], G = [e;0], tj. reálné body elipsy splňují podmínky naší věty, a tedy množina bodů v £2 určená podmínkou \FX\ + \GX\ = 2a je právě reálná část (reálné) elipsy. □ Poznámka 18.1. Body F, G z předchozí věty se nazývají ohniska elipsy. Číslo e se nazývá délková excentricita (výstřednost) elipsy. <) Věta 18.2. Nechť F a G jsou dva různé body v £2 a označme \FG\ = 2e. Nechť reálné číslo a je takové, že a < e. Potom množina bodů X v £2 takových, že \ \FX\ — \GX\\ = 2a, je reálná část hyperboly s délkou hlavní poloosy a a délkou vedlejší poloosy b = \/e2 — a2. 1 (18.1) a2 b2 Důkaz. 18. Kuželosečky jako množiny bodů daných vlastností 95 Podobně jako v důkazu Věty 18.1 zvolme ortonormální repér tak, že body F a G leží na ose x a jejich souřadnice jsou F = [—e;0], G = [e; 0]. Uvažujme bod X = [x;y], který splňuje podmínku ||-FV| V souřadnicích je tedy = 2a. V2\ = 2a a umocněním dostaneme po jednoduché úpravě v7 Obr. 18.2 ) - 2a2 . (x" + y2 + e2)2 — 4e2x2 = (x + y + e\ Tuto rovnici opět umocníme a po úpravě dostaneme 2/2 2\ i 2 2 2/ 2 2\ x (a — e ) + a y = a (a — e ) . Po dosazení b2 = e2 — a2 a vydělení a2fo2 dostaneme, že souřadnice bodů splňujících podmínky naší věty vyhovují rovnici 2 2 xz yz a^ fo2 (18.2) tj. leží na hyperbole s délkami poloos a, b. Naopak uvažujme reálný bod X, který leží na hyperbole o rovnici (18.2), tj. jeho souřadnice [x;y] splňují rovnici (18.2). Snadno se přesvědčíme, že ||-FV| — = 2a, kde F = [—e;0], G = [e;0], tj. reálné body hyperboly splňují podmínky naší věty, a tedy množina bodů v £2 určená podmínkou ||-FV| — = 2a je právě reálná část hyperboly. □ Poznámka 18.2. Body F, G z předchozí věty se nazývají ohniska hyperboly. Číslo e se nazývá délková excentricita (výstřednost) hyperboly. <) Věta 18.3. Nechť F je bod a d je přímka v £2 taková, že F ^ d, v(F,d) = p. Potom množina bodů X v £2 takových, že \FX\ = v(X,d), je reálná část paraboly s parametrem p. 18. Kuželosečky jako množiny bodů daných vlastností 96 Důkaz. Zvolme ortonormální repér tak, že bod F leží na ose y a přímka d je rovnoběžná s osou x a F = [0; -p/2], d : y + p/2 = 0. Uvažujme bod X = [x; y], který splňuje podmínku \FX\ = v(X,d). V souřadnicích je tedy (y -l 21 a umocněním dostaneme po jednoduché úpravě x2 = -2py , (18.3) tj. bod X leží na parabole s parametrem p. Obr. 18.3 Naopak uvažujme reálný bod X, který leží na parabole o rovnici (18.3), tj. jeho souřadnice [x;y] splňují rovnici (18.3). Snadno se přesvědčíme, že \FX\ = v(X,d), kde F = [0; —p/2] a d : y = p/2, tj. reálné body paraboly splňují podmínky naší věty, a tedy množina bodů v £2 určená podmínkou \FX\ = v(X, d) je právě reálná část paraboly. □ Poznámka 18.3. Bod F z předchozí věty se nazývá ohnisko paraboly a přímka d se nazývá řídící přímka paraboly. Číslo p = v(F, d) je parametr paraboly. <) Věta 18.4. Nechť F je bod a d je přímka v £2 a nechť k > 0 je reálné číslo. Potom množina bodů X v £2 takových, že \FX\ = kv(X, d), je reálná část kuželosečky, která je a) reálnou elipsou, jestliže F ^ d a k < 1, b) parabolou, jestliže F ^ d a k = 1, c) hyperbolou, jestliže F ^ d a k > 1, d) komplexně sdruženými různoběžkami, jestliže F E d a k < 1, e) dvojnásobnou přímkou, jestliže F E d a k = 1, f) dvojicí reálných různoběžek, jestliže F E d a k > 1. Důkaz. 18. Kuželosečky jako množiny bodů daných vlastností 97 Zvolme ortonormální repér tak, že bod F leží na ose x a přímka d je rovnoběžná s osou y a F = [e; 0], d : x — c = 0, e > c. Uvažujme bod X = [x;y], který splňuje podmínku \FX\ = k-v(X,d). V souřadnicích je tedy y 2 _ k \x y d H* x 0 F a umocněním dostaneme po úpravě x2(l k 2(e Obr. 18.4 k2c)x + e2 - k2c2 + y2 = 0 , (18.4) což je rovnice kuželosečky, a tedy množina bodů, které jsou určeny podmínkami naší věty, je podmnožinou reálné části kuželosečky. A) Nechť nejdříve F G d a zvolme počátek souřadnic do bodu F, tj. e = c = 0. Potom (18.4) má tvar x2(l - k2) +y2 = 0. (18.5) Pro k < 1 je (18.5) rovnicí komplexně sdružených různoběžných přímek, které mají jediný reálný bod F. Pro k > 1 je (18.5) rovnicí reálných různoběžných přímek, které se protínají v bodě F. Pro k = 1 je (18.5) rovnicí reálné dvojnásobné přímky y = 0, která prochází bodem F. B) Nechť F ^ d. Z tvaru rovnic (18.4) je zřejmé, že množina bodů určená naší větou je symetrická podle souřadné osy x, tj. tato množina je podmnožinou reálné části kuželosečky, jejíž jedna osa leží na ose x. Zvolme nejdříve jako počátek souřadné soustavy průsečík kuželosečky (18.4) s osou x, tj. vrchol kuželosečky. To nastává právě tehdy, když e2 = k2c2. Označme jako p = e — c. Potom při naší volbě je jo > 0. Volme e = — kc a po dosazení do (18.4) dostaneme rovnici y2 = 2kpx + (k2 - l)x2 (18.6) Z (18.6) snadno vidíme, že pro k = 1 je kuželosečka parabolou s parametrem p. Zvolme nyní počátek souřadné soustavy tak, aby rovnice (18.4) neobsahovala lineární člen x. To lze pouze za předpokladu, že k ^ 1 použitím posunutí počátku souřadné soustavy ve směru osy x s transformací k2c X Potom má kuželosečka rovnici x,2(l l — k2' .'2 y = y l — k2 (18.7) 19. Cvičení 98 Snadno se vidí, že pro k < 1 určuje rovnice (18.7) reálnou elipsu a pro k > 1 hyperbolu. Podobně jako v předchozích větách se dokáže, že reálné body kuželoseček o rovnicích (18.5) - (18.7) splňují podmínky naší věty. □ Poznámka 18.4. Je-li F ^ d, nazývá se bod F z předchozí věty ohnisko kuželosečky a přímka d se nazývá řídící přímka kuželosečky. V kanonických souřadnicích se snadno vidí, že řídící přímka je polárou příslušného ohniska. Číslo p = v(F, d) se nazývá parametr kuželosečky. Číslo k se nazývá číselnou excentricitou (výstředností) kuželosečky. <) Poznámka 18.5. V důkazu Věty 18.4 jsme použili různých tvarů rovnic regulární kuželosečky. Rovnice (18.7) se nazývá středová rovnice kuželosečky (počátek souřadnicového repéru je středem kuželosečky), která se dá použít jen pro středové kuželosečky. Rovnice (18.6) se nazývá vrcholová rovnice kuželosečky (počátek souřadnicového repéru je vrcholem kuželosečky), která se běžně používá pro paraboly. Z tvaru rovnice (18.4) můžeme snadno odvodit také ohniskovou rovnici kuželosečky (počátek souřadnicového repéru je ohniskem kuželosečky). Tuto rovnici dostaneme z (18.4) při e = 0, tj. x2 +y2 = k2{x+p)2 . 19 Cvičení V následujících cvičeních se souřadnice a rovnice vztahují k dané geometrické bázi projektivní roviny. 19.1. Rozhodněte, zda kuželosečka k je regulární nebo singulární: a) k : ?>x\ — 2xix2 + 3x2, + 2xix3 — 4x2x3 + x\ = 0 , b) k : x\ + x\ + x\ + 2xxx3 = 0 , c) k : Ax\ + x\ + x\ — 4x1x2 + 4xix3 — 2x2x3 = 0, d) k : x\ + 4x2 — 3x2 + 4xix2 — 2x1X3 — 4x2x3 = 0. { a) regulární, b) singulární hodnosti 2, c) singulární hodnosti 1, d) singulární hodnosti 2 } 19.2. Vypočtěte společné body přímky p a kuželosečky k: a) p : x\ + 2x2 — X3 = 0, k : x\ + x2 — 4x| — 2xix2 + 3x1X3 + 3x2X3 = 0, b) p : 5xi — x2 — 5x3 = 0, k : x\ — 3x2 + 3x| — 2xix2 — 4xix3 — 6x2x3 = 0. {a)Pi = (l;0;l), P2 = (-l;l;l), b)Pi = (l;0;l), P2 = (l;-5;2)} 19.3. Určete vzájemnou polohu přímky zadané body A = (2; —1;3), B = (0; 0; 1) a kuželosečky k : x\ — 2x2 + xix2 + 3x1X3 + 6x2X3 = 0 . 19. Cvičení 99 { Přímka je tvořící přímkou kuželosečky } 19.4. Určete singulární body kuželoseček ze cvičení 19.1. { a) nemá singulární body, b) (—1; 0; 1), c) přímka singulárních bodů 2xi — x2 + x3 = 0, d) (-2;1;0) } 19.5. Ukažte, že body A = (4; 0; 1) a B = (4; —3; 1) jsou polárně sdružené (konju-gované) vzhledem ke kuželosečce k : 9x1 + 16x22 - 144x1 = 0. 19.6. Na přímcep : xi + 3x2+x3 = 0 najděte bod polárně sdružený s bodem (5; 1; 1) vzhledem ke kuželosečce k : 6x2 + 9x2, — 7x2 — 6x1X2 — 12xix3 + 14x2X3 = 0. {(-7;2;1)} 19.7. Určete rovnice tečen kuželosečky k : 3x2 + 2x2 + 2xiX2 + 3xix3 — 4x2X3 = 0 v bodech Tx = (-2; 1; 1) a T2 = (-2; 3; 1). { íi : 7xi + 4x2 + 10x3 = 0, í2 : 3xi - 4x2 + 18x3 = 0 } 19.8. Ukažte, že přímka t je tečnou kuželosečky k a určete bod dotyku: a) t : 4xi + X2 — x3 = 0, k : 3x2 — X2 — 3x| + 2xiX2 + 6xix3 + 4x2X3 = 0, b) t : 7xi + 4x2 + 10x3 = 0, k : 3x2 + 2x^ + 2xiX2 + 3xix3 — 4x2X3 = 0. {a)T = (0;l;l);b)T = (2;-l;-l)} 19.9. Určete podmínku, aby přímka t : x± + x2 + ax3 = 0 byla tečnou kuželosečky k : x\ + X2 — 3x| + X1X2 + 2xix3 + 3x2X3 = 0 . { 3a2 - 10a - 13 = 0 } 19.10. Určete rovnici spojnice bodů dotyku tečen vedených z bodu (3; 1; 1) ke kuželosečce k : 3x2 + 3x2 — 4x| — 2xiX2 + 4xix3 + 4x2X3 = 0. { Hledaná spojnice bodů dotyku je polárou daného bodu, tj. 5xi + X2 + 2x3 = 0 } 19.11. Pomocí transformace projektivních homogenních souřadnic určete normální rovnice a projektivní typ kuželosečky k ze cvičení 19.1. Určete transformační rovnice, které převádějí rovnici kuželosečky do normálního tvaru. 19. Cvičení 100 { a) y\ + y\ — y2 = 0; reálná regulární kuželosečka; x\ = -^Vi, x2 = -^=yi + y3, x3 = ^-y1 +y2 + 2y3, b) y\ + y\ = 0; dvojice komplexně sdružených přímek; xi=yi- 2/3, x2 = y2, x3 = y3, c) y\ = 0; dvojnásobná přímka; x\ = y2, x2 = i/i + 2y2 + 2/3, x3 = i/3, d) y\~y\ = 0; dvojice reálných přímek; x\ = i/i + |i/2 — 22/3, a;2 = 2y3, x3 = y2 } V následujících cvičeních se souřadnice a rovnice vztahují k danému afinnímu repéru v afinní rovině. 19.12. Určete rovnici kuželosečky k, která prochází body A = [0;0], B = [0;3], C = [6;0], D = [2; 2], E = [-2;1]. { k : x2 + 4xi/ + 4i/2 - 6x - 12i/ = 0 } 19.13. Určete průnik kuželosečky 4x - 62/ + 3 = 0 k : x2 — 2xy - -32/2- s přímkou jo: a) jo : 5x — y - 5 = b) p : x + 3y = 0, c) p : x + 4y - 1 = d) jo : x — 32/ = 0. { a) dva reálné různé body [1; 0], b) dva komplexně sdružené body c) dvojnásobný bod [1;0], L2' 6- L2' 2i ľ 3 d) [|; |], druhý průsečík je nevlastní bod směru ((3; 1)) } 19.14. Určete singulární body kuželosečky k: a) k : 2x2 — xy — y2 — 15x + 3y — 18 = 0 , b) k : x2 + xy — y — 1 = 0, c) k : x2 — 2xy + i/2 + x + i/ = 0. { a) nemá singulární body, b) [1; —2], c) nevlastní singulární bod směru ((1; 1)) } 19.15. Určete poláru p bodu P vzhledem ke kuželosečce k: a) P = [-2; 1], k : 2x2 - xy - y2 - 15x + 3y - 18 = 0, b) P = [1; -1], /c : 9x2 - 4xy + Qy2 + 6x - 82/ + 2 = 0, c) P je nevlastní bod určený směrem ((—1; 1)), k : 5x2 + 4xy + 82/2 - 32x - 562/ + 80 = 0. 19. Cvičení 101 { a) p : 24x - 3y + 3 = 0, b) p : Ux - 12y + 9 = 0, c) p : x - 2y + A = 0 } 19.16. Bodem M veďte tečny ke kuželosečce k. Určete také souřadnice bodů dotyku: a) M = [0; 0], k : 3x2 + 7xy + 5y2 + Ax + 5y + 1 = 0, b) M = [3; 4], k : 2x2 - Axy + y2 - 2x + 6y - 3 = 0 , c) M = [-2; 1], k : 3x2 + 2xy + 2y2 + 3x - 4y = 0 . { a) íx : 2x + 5y = 0, Tx = [-1; §]; ŕ2 : 2x + y = 0, T2 = [§;-§L b) íx : 7x - 2y - 13 = 0, Tx = [1; -3]; í2 : ^ - 3 = 0, T2 = [-9;-l], c) M E k, proto má úloha jediné řešení ŕ : 7x + 4y + 10 = 0 a bod dotyku je bod M } 19.17. Určete rovnice tečen kuželosečky k : x2 + xy + y2 + 2x + 3y - 3 = 0, které jsou rovnoběžné s přímkou 3x + 3y — 5 = 0. Určete také souřadnice bodů dotyku. { íx : x + y - 1 = 0, Ti = [1; 0]; í2 : 3x + 3y + 13 = 0, r2 = [-§;-!]} 19.18. Určete rovnici kuželosečky k, která prochází počátkem souřadné soustavy, dotýká se přímky Ax + 3y + 2 = 0 v bodě [l;-2] a přímky x — y — 1 = 0 v bodě [0;-l]. { /c : 6x2 + 3xy — y2 + 2x — y = 0} 19.19. Určete střed kuželosečky k: a) k : x2 - 2xy + 2y2 - Ax - 6y + 3 = 0, b) k : Ax2 + lOxy + 5y2 - 2x - Ay + 3 = 0, c) k : x2 — 2xy + y2 — 4x — 6y + 3 = 0 , d) k : x2 + 2xy + y2 + 2x + 2y - 4 = 0 . { a) [7;5], b) [1; — |], c) nemá vlastní střed, nevlastní střed je určen směrem vektoru (1; 1), d) přímka středů x+y+l=0} 19.20. Určete asymptoty kuželosečky k: a) k : 3x2 + lOxy + 7y2 + Ax + 2y + 1 = 0, b) k : 10xy - 2y2 + 6x + 4y - 21 = 0 , c) k :2x2 - 3xy - x + 3y + 4 = 0. { a) ai : 6x + 14y + 11 = 0, a2 : 2x + 2y - 1 = 0, b) ai : 5y + 3 = 0, a2 : 25x - 5y + 13 = 0 , c) ai : 2x — 3y + 1 = 0, a2 : x — 1 = 0 } 19. Cvičení 102 19.21. Určete rovnici kuželosečky k, která prochází bodem A = [3; 0], směry určené vektory (3; 2) a (1; —1) jsou směry asymptot a kuželosečka má střed v bodě [0; — 1]. { k : 2x2 — xy — 3y2 — x — 6y — 15 = 0} 19.22. Určete průměr kuželosečky k a) procházející bodem M = [1; —2], k : 3x2 — 2xy + 3y2 + Ax + 4y — 4 = 0, b) rovnoběžný s přímkou 2x — y + 5 = 0, k : 2x2 + 4xy + 5y2 — 8x + 6 = 0 . {a)x + 2y + 3 = 0, b)2x-y-8 = 0} 19.23. Určete společný průměr dvou kuželoseček k\ : x2 — xy — y2 — x — y = 0 , k2 : x2 + 2xy + y2 — x + y = 0 . { 5x + 5y + 2 = 0 } 19.24. Pro kuželosečky ze cvičení 19.19 určete normální tvar rovnic, afinní typ, normovaný polární afinní repér a transformace afinních nehomogenních souřadnic, které převádějí danou rovnici kuželosečky do normálního tvaru. { a) x'2 + y'2 — 1 = 0; reálná elipsa; (P;e1,e2), kde P = [7; 5], e-i = (y/26; 0), e2 = (y/26; \/26); x = x/26x' + V26y' + 7,y = V26y' + 5, b) x'2 - y'2 + 1 = 0; hyperbola; (P;ei,e2), kde P = [1;-|], e1 = (0;f), e2 = (+; x = ^y' + 1, y = 4„/__4_ i _ 3 5^ VEy 5' c) x'2 — 2y' = 0; parabola; (P; ei, e2), kde P = [=^; ei = (1; 0), e2 = (|; |); x = x' + + g, y = - |, d) x/2 — 1 = 0; dvojice reálných rovnoběžných přímek; (P; ei, e2), kde P = [-1; 0], ex = (VE; 0), e2 = (-1; 1); x = VEx' - y' - 1, y = y' } V následujících cvičeních se souřadnice a rovnice vztahují k danému ortonormálnímu repéru v euklidovské rovině. 19.25. Určete charakteristickou rovnici, hlavní čísla a hlavní směry kuželosečky k: a) k :3x2 + 4xy + 5y2 + 2x - y + 7 = 0 , b) k : x2 + 6xy — 7y2 + x = 0, c) k : x2 + 4xy + 4y2 + 2x + 3y = 0 , d) /c : x2 + y2 - 4x + 6y - 2 = 0. { a) A2 - 8A + 11 = 0; Ax = 4 + VE odpovídá ux = (2; 1 + VE), \2=4:-VE odpovídá ux = (2; 1 - VE), b) A2 + 6A - 16 = 0; Ax = 2 odpovídá ux = (3;1), A2 = —8 odpovídá ux = (—1; 3), c) A2 - 5A = 0; Ax = 5 odpovídá ux = (1;2), A2 = 0 odpovídá Ux = (2; —1), d) A2 — 2A + 1 = 0; A1>2 = 1 a každý směr je hlavní } 19. Cvičení 103 19.26. Určete odchylku danou hlavními směry kuželosečky k a směry os daného ortonormálního repéru: a) k : 32x2 + 52xy - 7y2 + 180 = 0, b) k : 5x2 + 6xy + 5y2 - 32 = 0 , c) k : 5x2 — 6xy + 5y2 + 8 = 0, d) /c : 17x2 - 12xy + 8y2 = 0, e) k :5x2 + 24xy - 5y2 = 0. { a) tan(a) = -2, b) a = 45°, c) a = 45°, d) tan(a) = 2, e) tan(a) = § } 19.27. Určete osy kuželosečky k: a) k : 5x2 + 24xy + 75y2 - 36x + 6y + 1 = 0, b) k :7x2 + 26xy + 7y2 + 42x = 0 . { a) oi : x + 6y = 0, o2 : 6x — y — 37 = 0, b) oi : 20x + 20y + 21 = 0, o2 : 2x - 2y - 7 = 0 } 19.28. Určete osy a vrcholy kuželosečky k: a) k : x2 — 3xy + y2 + 1 = 0 , b) k : 3x2 + 2xy + 3y2 + 6x - 2y - 5 = 0 , c) /c : x2 + 4xy + 4y2 — 6x — 2y + 1 = 0 , d) k : 3y2 + 2x - 6y + 5 = 0 . { a) oi : x-y = 0,V1 = [1; 1], V2 = [-1; -1]; o2 : x + y = 0^3 = [-^;^]^4 = [^;--^], b) oi : 2x + 2y + 1 = 0, Vx = [=^Ř; ^^}, V2 = [=^; ±^M}; o2 : x-y + 1 = 0,V3= [=§±^; 19. 3-V19 ^4 — l 4 ) 4 , . c) jediná osa o : x + 2y — 1 = 0, jediný vrchol F = [|; |], d) jediná osa o : y — 1 = 0, jediný vrchol F = [—1; 1] } 19.29. Pomocí transformací kartézských souřadnic určete typ a kanonickou rovnici (viz Věta 17.3) kuželosečky k. Určete také transformaci kartézských souřadnic, která převede rovnici kuželosečky do kanonického tvaru: a) k : 3x2 + lOxy + 3y2 - 2x - Uy - 13 = 0 , b) k : 25x2 - 14xy + 25y2 + 64x - 64y - 224 = 0, c) k : 4xy + 3y2 + 16x + 12y - 36 = 0 , d) k:7x2 + 6xy - y2 + 28x + 12y + 28 = 0, e) k : 19x2 + 6xy + lly2 + 38x + 6y + 29 = 0 , f) k:5x2- 2xy + 5y2 - 4x + 20y + 20 = 0 , g) k:9x2- 2Axy + 16y2 - 20x + 110y - 50 = 0, h) k:9x2 + 12xy + 4y2 - 24x - 16y + 3 = 0 , i) k : 16x2 - 24xy + 9y2 - 160x + 120y + 425 = 0. 19. Cvičení 104 { a) hyperbola; x'2-^ = 1; x = ^f + 2, y = ^f-l, ,.'2 b) elipsa; ^ + ^ = l;x = ^-l, y = ^ + l, c) hyperbola; f - ^ = 1; x = ^ + 3, y = 2-^f -4; d) dvojice různoběžných přímek; x'2 — Ay'2 = 0; x = x'+3y' _ o _ -3x'+y' VTô L' y ~ VTÔ ' e) imaginárni elipsa; x'2 + 2y'2 = —1; x = — 1, _ -3s'+y' f) komplexně sdružené různoběžky; 2x'2 + 3y'2 = 0; x = x'—y' xf+yf o g) parabola; y'2 = 2x'; x = ~4x,+v-3, y = ^2^/+2, h) dvojice reálnych rovnoběžek; x'2 = 1; x = 3 .yj|y + i) dvojice komplexně sdružených rovnoběžek; y/2 = —1; x=3x^V5 y=4x^V _4} 19.30. Metodou invariantů určete typ středové kuželosečky k a délky jejích poloos: a) k : 41x2 + 24xy + 9y2 + 24x + 18y - 36 = 0, b) k : 8x2 + 4xy + 5y2 + 16x + 4y - 28 = 0, c) k : 4x2 + 24xy + Íly2 + 64x + 42y + 51 = 0, d) k : 12x2 + 26xy + 12y2 - 52x - 48y + 73 = 0 . { a) elipsa o poloosách délky 3 a 1, b) elipsa o poloosách délky 3 a 2, c) hyperbola o poloosách délky 2 a 1, d) hyperbola o poloosách délky 5 a 1 } 19.31. Metodou invariantů ověřte, že kuželosečka k je parabolou a určete její parametr: a) k : 9x2 + 24xy + 16y2 - 120x + 90y = 0 , b) k : 9x2 - 24xy + 16y2 - 54x - 178y + 181 = 0, c) k : x2 - 2xy + y2 + 6x - 14y + 29 = 0, d) k : 9x2 - 6xy + y2 - 50x + 50y - 275 = 0 . { a) parabola s parametrem 3, b) parabola s parametrem 3, c) parabola s parametrem \/2, d) parabola s parametrem ^ } 19.32. Určete průnik kuželoseček k\ a k2. a) kx : 2x2 + 2xy + y2 - 6x + 2y - 8 = 0 , 19. Cvičení 105 k2 : x2 - llxy - y2 + 27x - 11y + 26 = 0, b) h : 2x2 - 3xy + 2y2 - 2x - 2y = 0 , &2 : 5x2 + 16xy + 5y2 — 5x — 5y = 0 , c) &i : 4x2 - 12xy + 9y2 + 4x - 6y + 1 = 0 , k2 : 2x2 + xy — 6y2 — 5x + 11y — 3 = 0, d) &i : x2 — y2 = 0, k2 : xy — 1 = 0. { a) Kuželosečky mají dva dvojnásobné průsečíky (mají v těchto bodech společnou tečnu) [0; 2], [—1; 0], b) dvojnásobný průsečík [0;0], a dva jednonásobné reálné průsečíky [0; 1], [1; 0], c) přímka p : 2x — 3y + 1 = 0 , d) čtyři různé jednonásobné průsečíky, z toho dva reálné [1; 1], [—1; —1] a dva komplexně sdružené [i; —i], [—i;i] } 19.33. Je dána elipsa e : 25x2 + 4y2 — 100 = 0 a kružnice k : x2 + y2 = r2. Určete, pro která r se elipsa s kružnicí a) protínají ve čtyřech reálných různých bodech, b) dotýkají, c) protínají ve čtyřech imaginárních bodech . { a) r < 2 kružnice leží uvnitř elipsy, r > 5 elipsa leží uvnitř kružnice, b) r = 2 a r = 5 , c) r G (2; 5) } 19.34. Pro jaké c vytíná kuželosečka k : 2x2 — 3xy + y2 — 7x + cy + 4 = 0 na ose y tětivu délky 3. { Ai = 5, A2 = -5 } 19.35. Mostní oblouk má tvar oblouku paraboly. Jeho délka je 48 m a výška 12 m. Určete parametr této paraboly. { P = "24 } 19.36. Dokažte, že tečna paraboly v libovolném bodě svírá stejný úhel s osou paraboly, jako se spojnicí ohniska a bodu dotyku. 19.37. Je dána hyperbola h : b2x2 — a2y2 = 1 a její bod M[x;y]. Vypočtěte plošný obsah rovnoběžníka, kterého dvě strany leží na asymptotách hyperboly a jedním jeho vrcholem je bod M. { Plošný obsah nezávisí na volbě bodu M a je roven 2 s Kapitola 5 TEORIE KVADRIK 20 Kvadriky v projektivním prostoru Nechť V3 je 3-rozměrný reálný projektivní prostor s aritmetickým základem V4. Nechť V4 je komplexní rozšíření prostoru V4 definované v Části 1. Projektivní komplexní prostor s aritmetickým základem V4 budeme nazývat komplexním rozšířením projektivního prostoru V3 a označovat V3. Reálný projektivní prostor V3 potom můžeme uvažovat jako podmnožinu (ne podprostor) v komplexním projektivním prostoru V3, totiž bod X = (x) G V3 právě tehdy, když existuje jeho aritmetický zástupce x G V4 C V4 . Body X ležící v P3 C V3 budeme nazývat reálné body a body z V3 neležící v V3 budeme nazývat imaginární body. Podprostor v který vznikne jako komplexní rozšíření podprostoru v V3, budeme nazývat reálný podprostor a podprostor v V3, který nevznikne jako komplexní rozříření podprostoru v V3, budeme nazývat imaginární podprostor v V3. Definice 20.1. Nechť F je nenulová kvadratická forma na V4 a F je její komplexní rozšíření. Množinu bodů X = (x) G takových, že Fc(x) = 0, nazýváme kvadrikou v projektivním prostoru V3 a značíme K : Fc(x) = 0. Poznámka 20.1. Podobnou úvahou jako v Poznámce 12.1 ukážeme, že naše definice má smysl. <) Poznámka 20.2. Snadno se nahlédne, že dvě nenulové kvadratické formy F a G určují tutéž kvadriku K právě tehdy, když existuje nenulové a takové, že G = aF. (20.2) i=i kde A = {oLij) = (/(uj, u^)) je matice kvadratické formy F v bázi ui,..., U4 prostoru V4. Při ztotožnění X se sloupcovou maticí projektivních homogenních souřadnic, tj. / xi\ (X) , můžeme psát \x4J K : ixi.. . x4) Ql4 / xA = o, yzi4 ... a44y ya^J nebo zkráceně K : (XyA(X) = 0. (20.3) Poznámka 20.3. Protože jsme v definici kvadriky použili komplexní rozšíření reálné kvadratické formy, jsou koeficienty al3 v matici A kvadriky reálná čísla, zatímco proměnné souřadnice mohou být i čísla komplexní. <) Definice 20.3. Hodností kvadriky K : Fc(x) = 0 rozumíme hodnost kvadratické formy F, tj. její matice A. Je-li kvadratická forma F regulární, nazveme kvadriku K regulární kvadrikou a je-li F singulární kvadratická forma, nazveme kvadriku K singulární kvadrikou. Poznámka 20.4. Regulární kvadriky jsou tedy hodnosti 4, zatímco singulární kvadriky mohou být hodnosti 1,2 nebo 3. <) Věta 20.1. Hodnost kvadriky nezávisí na zvolené geometrické bázi. 20. Kvadriky v projektivním prostoru 108 Důkaz. Věta 20.1 je přímým důsledkem Věty 8.2. □ Poznámka 20.5. V Poznámce 12.5 jsme ukázali, že kuželosečka je určena 5 lineárně nezávislými podmínkami. Protože matice kvadriky má 10 členů, potřebujeme pro určení kvadriky celkem 9 lineárně nezávislých podmínek, kdy jako podmínku rozumíme takovou informaci o kvadrice, která v souřadnicích vede na lineární rovnici pro koeficienty matice kvadriky. Takováto jednoduchá podmínka je, že kvadrika prochází daným bodem. Takže kvadrika je určena 9 body takovými, že žádných 7 z nich neleží v jedné rovině. <) Definice 20.4. Nechť K : Fc(x) = 0 je kvadrika v V%. Body P = (p), R = (r) G V3 se nazývají polárne sdružené (nebo konjugované) vzhledem ke kvadrice K, jestliže /c(p,r) = 0. Bod P nazveme singulárním bodem kvadriky K, je-li polárně sdružen vzhledem ke K se všemi body prostoru V^. Bod, který leží na kvadrice K a není jejím singulárním bodem, nazveme regulárním bodem kvadriky K. Poznámka 20.6. Protože platí fc(ap, (3r) = a/3fc(p, r), nezávisí Definice 20.4 na volbě aritmetických zástupců bodů P a R. <) Věta 20.2. Nechť K je kvadrika a P je její singulární bod. Nechť R G K a R 7^ P. Potom (1) Bod P leží na K. (2) Všechny body přímky P R leží na K. Důkaz. Důkaz je totožný s důkazem Věty 12.3. □ Věta 20.3. Nechť kvadrika K : Fc(x) = 0 má v nějaké geometrické bázi prostoru V'i rovnici [X)T A{X) = 0. Potom body P = {pi, ■ ■ ■ ,Pa) a R = (r±,. .. ,r4) jsou polárně sdružené vzhledem ke K právě tehdy, když (P)TA(R) = 0. Bod P je singulárním bodem K právě tehdy, když matice A{P) je nulová. Důkaz. Důkaz je přímým důsledkem Definice 20.4. □ Rozepsáním podmínky pro singulární bod v projektivních homogenních souřadnicích dostaneme, že P = (pi,.. . ,p4) je singulárním bodem K právě tehdy, když jsou jeho souřadnice řešením následující soustavy homogenních lineárních rovnic CLuXi + • • • + 014x4 = 0 , : (20-4) (214x1 + • • • + 044x4 = 0 , tj. Fi(x) = 0,...,F4(x) = 0. 20. Kvadriky v projektivním prostoru 109 Důsledek 20.1. Regulární kvadrika nemá žádný singulární bod. Singulární kvadrika hodnosti h (h = 1, 2, 3) má reálný podprostor singulárních bodů dimenze (3—h). Důkaz. Důkaz je přímým důsledkem podmínek pro řešitelnost soustavy (20.4). □ Věta 20.4. Nechť K : Fc(x) = 0 je kvadrika a P = (p) je bod, který není singulárním bodem K. Pak množina všech bodů X = (x) polárně sdružených s bodem P je rovina ir s rovnicí ir : /c(p,x) = 0. Důkaz. P = (p) není singulárním bodem K. Potom /c(p,x) je nenulová lineární forma na V4 a víme, že množina vektorů x, které ji nulují, je podprostor V4 dimenze 3. Ten určuje projektivní podprostor v V3 dimenze 2, tj. rovinu. □ Definice 20.5. Rovinu tt z Věty 20.4 budeme nazývat polární rovinou bodu P vzhledem ke kvadrice K a naopak bod P budeme nazývat pólem roviny tt. V geometrické bázi {0±;. .. ; 04, E) jsou body P, X dány projektivními homogenními souřadnicemi P = (pi,... ;p4),X = (xi;... 5x4) a rovina tt polárně sdružených bodů s bodem P má souřadnicové vyjádření tt : PTAX = 0, což můžeme přepsat ve tvaru 7T : Fi(p)xi H-----h F4(p)x4 = 0 . Dostáváme tak obecné vyjádření polární roviny bodu P. Věta 20.5. (O vzájemnosti pólu a polární roviny) Nechť K je kvadrika a P, R jsou dva nesingulární body. Leží-li bod P v polární rovině bodu R, pak bod R leží v polární rovině bodu P. Důkaz. Důkaz je totožný s důkazem Věty 12.7. □ Poznámka 20.7. Pro regulární kvadriku K je přiřazení polární roviny vzájemně jednoznačné zobrazení z množiny bodů na množinu rovin. Opravdu, je-li a : a\X\ + • • • + 04X4 = 0 obecné vyjádření nějaké roviny v pevně zvolené geometrické bázi, potom souřadnice jejího pólu splňují soustavu rovnic -ř\(p) = ka\,... , F4(p) = ka4 a pro daný parametr k má tato soustava jediné řešení právě tehdy, když je matice A regulární. Závislost na parametru k je lineární, tj. řešení je jednodimenzionálním podprostorem ve V4 , tj. bodem v V3. () Věta 20.6. Nechť K : Fc(x) = 0 je regulární kvadrika a A = (a), B = (b) G jsou dva různé body. Označme a, (3 polární roviny bodů A, B. Potom polární roviny všech bodů přímky p = AB tvoří svazek rovin určený rovinami a, (3. Naopak polární rovina libovolného bodu osy svazku q = a n /3 obsahuje přímku p = AB. Důkaz. Protože A 7^ B, je polární rovina a různá od polární roviny /3 (viz Poznámka 20.7). Potom roviny a : /c(a, x) = 0 a (3 : /c(b, x) = 0 tvoří svazek rovin. Uvažujme přímku p = AB. Polární rovina libovolného bodu P = kA + IB G p, 20. Kvadriky v projektivním prostoru 110 kde alespoň jedno číslo k,l je nenulové, je ir : fc(ka + Zb, x) = 0 a z vlastností bilineárních forem je 7T : /c/c(a,x) + Z/C(b,x) = 0, což znamená, že tt patří do svazku rovin určeného rovinami a a /3. Označme g = a n /3. Pro libovolný bod Q E q z Věty 20.5 vyplývá, že polární rovina bodu Q obsahuje body A, B. □ Poznámka 20.8. Pro regulární kvadriku K je tedy libovolné přímce p jednoznačně přiřazena přímka q jako osa svazku polárních rovin bodů přímky p. Přímka q se nazývá polárně sdružená přímka k přímce p vzhledem ke kvadrice K. Je-li q polárně sdružená přímka s přímkou p vzhledem ke kvadrice K, je i p polárně sdružená přímka s přímkou q vzhledem ke kvadrice K. Polární sdruženost přímek vzhledem k regulární kvadrice je tedy involutorní bijekcí na množině přímek prostoru V^. <) Věta 20.7. Nechť K je kvadrika a a je reálná rovina v . Potom buď a C K, nebo a D K je kuželosečka v a. Důkaz. Nechť a má aritmetický základ 17% C V4. Potom F\Us je kvadratická forma na U3. Je-li F\Us nulová kvadratická forma, je a C K. Je-li F\Us nenulová kvadratická forma, určuje množina nulových vektorů formy FC\U^ kuželosečku v a. O Věta 20.8. Nechť K je kvadrika, která má právě jeden singulární bod P, a a je reálná rovina, která neprochází bodem P. Pak K n a je regulární kuželosečka v a. Důkaz. Důkaz provedeme sporem. Nechť je nejdříve rovina a součástí kvadriky K. Potom spojnice libovolného bodu a se singulárním bodem P je podle Věty 20.2 součástí K. To ale znamená, že celý prostor je součástí K, a to je ve sporu s Definicí 20.1. Je tedy podle Věty 20.7 K n a kuželosečka. Nechť nyní K : Fc(x) = 0. Předpokládejme, že Q = (q) je singulárním bodem kuželosečky K Pl a, tj. /c(q, x) = 0 pro všechny body X = (x) E a. Zvolme reálnou geometrickou bázi P,Q, Ri, R2, Rz E a, i = 1,2, prostoru V3, tj. X = j3P + jQ + Ô1R1 + Ô2R2, X E P3C. Potom /c(q,x) = /3/c(q,p) + 7/C(q,q) + <*i/C(q,ri) + ô2fc(q, r2) = 0, tj. Q je vzhledem ke K polárně sdružen se všemi body prostoru V3 a je to tedy singulární bod kvadriky K. To je ovšem spor s předpokladem, že P je jediným singulárním bodem K, a tedy K n a musí být regulární kuželosečka. □ Věta 20.9. Nechť K je kvadrika a p je reálná přímka v V3. Potom buď p C K, nebo p D K je dvojice bodů, které mohou být komplexně sdružené, reálné různé, nebo reálné totožné (dvojnásobný bod). Důkaz. Důkaz je totožný s důkazem Věty 12.8. □ Věta 20.10. Nechť K je kvadrika, která má právě přímku singulárních bodů p, a q je reálná přímka, která nemá s přímkou p společné body. Pak K n q je buď dvojice komplexně sdružených bodů, nebo dvojice reálných různých bodů. 20. Kvadriky v projektivním prostoru 111 Důkaz. Důkaz provedeme sporem. Nechť je nejdříve přímka q součástí kvadriky K. Potom spojnice libovolného bodu q s libovolným bodem p je podle Věty 20.2 součástí K. To ale znamená, že celý prostor je součástí K, a to je ve sporu s Definicí 20.1. Je tedy podle Věty 20.9 Kíl q dvojice bodů. Nechť nyní K : Fc(x) = 0. Předpokládejme, že Q = (q) je dvojnásobným bodem K (1 q. Potom Q je polárně sdružen se všemi body přímky q. Opravdu, je-li R ^ Q jiný bod přímky q, je paramatrické vyjádření q tvaru X = (3Q + jR a Kílq vede na rovnici 2/3jfc(q_, r) + j2fc(r, r) = 0. Z předpokladu, že Q je dvojnásobný bod, musí mít tato rovnice dvojnásobný kořen 7 = 0. To je možné pouze tehdy, když /c(q, r) = 0, a tedy Q a, R jsou polárně sdruženy vzhledem ke K. Zvolíme-li nyní reálnou geometrickou bázi V3 se základními body Pi, P2, Q, R, P% G p, dokážeme stejně jako v důkazu Věty 20.8, že Q je singulárním bodem K, a to je ve sporu s předpokladem, že množina singulárních bodů K je právě přímka p. Tedy K (Iq je buď dvojice komplexně sdružených bodů, nebo dvojice reálných různých bodů. □ Úloha 20.1. Určete hodnost kvadriky K a pro singulární kvadriku určete množinu jejích singulárních bodů: a) K : x\ — 2x\ — bx\ — \x\x2 — 8x1X3 + 6x2X4 = 0 , b) K : x\ + 3x2 + 8x| + 6x2 + 2xiX2 + 8x2X3 — 4x1X4 + 8x3X4 = 0 . / 1 -2-4 0 \ -2-2 0 3 -4 0 0 0 V 0 3 0 -5/ regulární kvadrika a nemá singulární body. / 1 10 -2\ 13 4 0 0 4 8 4 \-2 0 4 6 7 kvadrika. Souřadnice singulárních bodů splňují soustavu rovnic Řešení: a) Matice kvadriky A = má hodnost 4, tj. K je b) Matice kvadriky A = má hodnost 2, tj. K je singulární x\ + x2 — 2x4 = 0, X\ + 3x2 + 4x3 = 0, 4x2 + 8x3 + 4x4 = 0, —2xi + 4x3 + 6x4 = 0. Řešením je vektorový podprostor L((2; —2; 1; 0), (3; —1; 0; 1)), který je aritmetickým základem přímky singulárních bodů o parametrické rovnici p : X = k(2; —2; 1; 0) + Z(3; —1; 0; 1). Obecná rovnice přímky singulárních bodů je potom x\ — 2x3 — 3x4 = 0 , X2 + 2X3 + X4 = 0 . 20. Kvadriky v projektivním prostoru 112 Řešení: Matice kvadriky A . Potom hodnoty přidružených Úloha 20.2. Určete polární rovinu bodu P = (1; 2; 0; 1) vzhledem ke kvadrice K : x\ + 3a;2, — x\ + x\ + 2xix2 — Ax\x4 + 2x3X4 = 0 . / 1 1 0 -2\ 13 0 0 0 0-11 \-2 01 1 y lineárních forem pro bod P jsou -Fi(p) = 1, -^(p) = 7, ^(p) = 1, -^(p) = —1 a rovnice polární roviny je tt : x\ + 7x2 + X3 — X4 = 0. Úloha 20.3. Pro kvadriku z Úlohy 20.2 určete pól roviny 7T : x\ + 2x2 — 3x3 + x4 = 0 . Řešení: Souřadnice pólu P = (pi;P2',P3', Pá) jsou řešením soustavy lineárních rovnic P1+P2 — 2p4 = k , Pi + 3p2 = 2k , —P3 +Pá = —3/c, -2pi + p3 + p4 = k . Soustavu vyřešíme v závislosti na parametru k. Dostaneme p\ = jk, p2 = \k, Pz = ^fk, p4 = \k a volbou k = 4 dostaneme pól P = (5; 1; 13; 1). Úloha 20.4. Určete průsečíky kvadriky K : x| + xix2 — x2X3 — 5x1X4 = 0 s přímkou p = AB, A = (0; 5; 10; 1), B = (-1; 3; 7; 0). Řešení: Parametrická rovnice přímky p je p : X = aA + (3B, kde alespoň jedno z čísel a, /3 je nenulové, tj. X = (—/3; 5a + 3/3; 10a + 7/3; a). Dosazením do rovnice kvadriky dostaneme po úpravě kvadratickou rovnici 2(ií + 3(i) + 1 = 0' s resemm ^ = —|, (j^J = —1. Pro «i = l,/3i = —2 dostaneme průsečík Pi = (2; —1; —4; 1) a pro a2 = 1, /32 = —1 dostaneme průsečík P2 = (1; 2; 3; 1). Úloha 20.5. Určete přímku polárně sdruženou s přímkou p vzhledem ke kvadrice K, kde p a, K jsou zadány v Úloze 20.4. Řešení: Polárně sdružená přímka q je osou svazku rovin určeného polárními rovinami bodů A, B. Tj. q : 2x2 — 3x3 = 0, 3xi — 8x2 + IIX3 + 5x + 4 = 0. Úloha 20.6. Určete průnik kvadriky K s rovinou p: a) K : 2x\ — x\ + 2x2 + xix2 + X1X3 — \x\x4 + x2X3 — x2X4 — X3X4 = 0; p : x\ + x2 — X4 = 0 , 21. Projektivní klasifíkace kvadrik 113 b) K : x\ + x\ — 2x\x2 + x\x3 — x\x4 + 5^2X3 + 3x2X4 — X3X4 = 0; p : X2 = 0. Řešení: a) Z rovnice roviny je X4 = x\ + X2. Dosazením do rovnice kvadriky ověříme, že všechny body p vyhovují rovnici kvadriky K, a tedy p C K. b) Dosadíme do rovnice kvadriky X2 = 0 a dostaneme rovnici x\ + X1X3 — X1X4 — X3X4 = 0 , kterou upravíme na tvar (xi + X3)(xi — X 4) = 0. Průnikem je potom singulární kuželosečka v rovině p, která je tvořena přímkami Pí '■ x2 = 0, xi — x3 = 0 a P2 : x2 = 0, x\ — x4 = 0. 21 Projektivní klasifikace kvadrik Věta 21.1. Kvadrika hodnosti 1 je tvořena jedinou reálnou dvojnásobnou rovinou. Důkaz. Kvadrika hodnosti 1 má podle Důsledku 20.1 právě reálnou rovinu a singulárních bodů. Žádný další bod již na kvadrice nemůže ležet. Pokud by totiž bod X ležel na kvadrice a X ^ a, pak podle Věty 20.2 by přímky určené bodem X a libovolným singulárním bodem Y E a ležely na kvadrice (viz Obrázek 21.1). To by ovšem znamenalo, že všechny body prostoru leží na kvadrice, a to je ve sporu s Definicí 20.1. □ Věta 21.2. Kvadrika hodnosti 2 je tvořena dvojicí rovin, které jsou bud'komplexně sdružené, nebo reálné různé. Důkaz. Kvadrika hodnosti 2 má podle Důsledku 20.1 právě reálnou přímku p singulárních bodů. Uvažujme reálnou přímku q, která nemá s p žádný společný bod. Podle Věty 20.10 je průnik kvadriky a přímky q dvojice různých bodů, které jsou reálné různé, nebo komplexně sdružené. Označme je A, A. Potom podle Věty 20.2 jsou roviny určené přímkou p a body A, A součástí kvadriky. Žádný další bod již na kvadrice neleží. Pokud by bod X byl bodem kvadriky a neležel v žádné z rovin (p, A), (p, A), byla by i rovina (p, X) součástí kvadriky a její průsečík Y s přímkou q by byl třetí bod průniku q a kvadriky. To je ovšem ve sporu s Větou 20.10. □ Obrázek 21.1 Obrázek 21.2 21. Projektivní klasifíkace kvadrik 114 Definice 21.1. Nechť k je regulární kuželosečka v reálné rovině a C T3 a nechť V £ V3 je reálný bod, který neleží v a. Množina bodů, které leží na spojnicích bodu V se všemi body kuželosečky k, se nazývá (kvadratická) kuželová plocha. Bod V se nazývá vrchol kuželové plochy a kuželosečka k se nazývá řídící kuželosečka kuželové plochy. Je-li k reálná regulární kuželosečka, hovoříme o reálné kuželové ploše, je-li k imaginární regulární kuželosečka, hovoříme o imaginární kuželové ploše. Věta 21.3. Kvadrika hodnosti 3 je kuželová plocha, která je bud'imaginární, nebo reálná. Obrázek 21.3 Důkaz. Kvadrika hodnosti 3 má podle Důsledku 20.1 právě jeden singulární bod, označme ho V. Uvažujme reálnou rovinu a, která neobsahuje bod V. Podle Věty 20.8 je průnikem a a kvadriky regulární kuželosečka k. Potom podle Věty 20.2 je kuželová plocha určená řídící kuželosečkou k a bodem V součástí kvadriky. Žádný další bod již na kvadrice neleží. Pokud by bod X byl bodem kvadriky a neležel na této kuželové ploše, byla by i přímka (V, X) součástí kvadriky a její průsečík Y ^ k s rovinou a by byl bod průniku a a kvadriky, (viz Obrázek 21.3). To je ovšem ve sporu s Větou 20.8. Pokud je k reálná kuželosečka, je kuželová plocha reálná. Pokud je k imaginární kuželosečka, je kuželová plocha imaginární (jejím jediným reálným bodem je vrchol V). □ Ve Větách 21.1 a 21.2 jsme dokázali, že kvadriky hodnosti jedna a dvě obsahují jako své podmnožiny roviny. Kvadriky hodnosti tři obsahují jako své podmnožiny přímky. Obecně budeme podprostor maximální dimenze, který je součástí kvadriky, nazývat tvořícím podprostorem kvadriky. K tomu, abychom mohli rozhodnout, zda i regulární kvadrika má reálný tvořící podprostor dimenze větší než nula, musíme dokázat následující pomocnou větu. Věta 21.4. Nechť má kvadrika K normální rovnici tvaru K : x\ H-----h x\ - x2p+1 - ... - x\ = 0, 2p > h, kde h < 4 je hodnost K. Pak 21. Projektivní klasifíkace kvadrik 115 1. (p — 1) je největší číslo takové, že existuje reálný (p — l)-rozměrný podprostor p v , který nemá s K společný reálný bod. 2. (3 — p) je největší číslo takové, že existuje reálný (3 — p)-rozměrný podprostor a v P%, který je částí K. Důkaz. Existence: 1) Uvažujme reálný podprostor p určený obecnými rovnicemi xp+i = 0,..., x4 = 0. Potom dimp = (p — 1) a K n p : x\ + • • • + x2 = 0, xp+i = 0,..., X4 = 0. Tedy K íl p neobsahuje žádný reálný bod. Tím jsme dokázali existenci hledaného prostoru. 2) Uvažujme reálný podprostor o : x\ = xp+i, ..., xu-p = Xh, xu-p+i = 0,. .., xp = 0. Potom dimer=(3 — p) a a C K, což dokazuje existenci hledaného prostoru. Maximálnost dimenzí: 1) Nechť p' je libovolný reálný podprostor takový, že dim// > p. Pak dim(//ner) = - dim(//+er) + dim// + dimu > 0. Protože a C K, obsahuje p'P\K reálný podprostor dimenze > 0, tj. alespoň reálný bod, a tedy (p — 1) je maximální dimenzí hledaných podprostorů. 2) Nechť a' je libovolný reálný podprostor takový, že dimu' > (4 — p). Pak dim((j/ n p)=-dim((j/ + p)+dimer/+dimp > 0, a tedy {a' Pl p) obsahuje alespoň jeden reálný bod. Protože ale p nemá s K žádný společný reálný bod, nemůže být a' podmnožinou K, a tedy dimenze (3 — p) je maximální dimenzí hledaných podprostorů. □ Rovnice kvadriky v projektivních homogenních souřadnicích je dána souřadnicovým vyjádřením (20.2). Známá věta o převodu kvadratické formy na normální tvar má nyní následující geometrickou podobu: Věta 21.5. (Projektivní klasifikace kvadrik) Ke každé kvadrice K v V% existuje taková geometrická báze V3, že v ní má K jednu z následujících rovnic: 2 i 2 X ~\~ Xq ~\~ x^ ~\~ x^ —0 j (PK1) 2 1 2 X\~ Xq ~\~ x^ x^ —0 j (PK2) 2 1 2 X\~ Xq Xr^ X^ —0 . (PK3) X + x\ + x\ =0 , (PK4) X ~~\~ X^2 —0 f (PK5) X~\~ X^2 —0 . (PK6) X—^ ' (PK7) x\ =0. (PK8) Důkaz. Tato věta je přímým důsledkem Věty 9.2 a dokáže se obdobně jako Věta 13.3. □ 21. Projektivní klasifíkace kvadrik 116 Definice 21.2. Rovnice kvadriky z Věty 21.5 se nazývá normální rovnice kvadriky. Geometrická báze, ve které má kvadrika normální rovnici, se nazývá polární normovaná báze kvadriky. Poznámka 21.1. Kvadrika o rovnici (PK1) je regulární kvadrika. Z Věty 21.4 vyplývá, že neobsahuje žádný reálný bod a jedná se tedy o imaginární regulární kvadriku. Kvadrika s rovnicí (PK2) je regulární kvadrika, která podle Věty 21.4 obsahuje jako reálné tvořící podprostory pouze body. Tuto kvadriku budeme nazývat regulární nepřímkovou kvadrikou. Rovnice (PK3) určuje regulární kvadriku, která má podle Věty 21.4 reálné tvořící přímky, a proto se nazývá regulární přímková kvadrika. Kvadriky určené rovnicemi (PK4) a (PK5) jsou singulární kvadriky hodnosti 3 a podle Věty 21.3 se jedná o kuželové plochy. Přitom pro (PK4) obsahuje tato kuželová plocha podle Věty 21.4 jediný reálný bod - vrchol - a všechny ostatní body jsou imaginární. Proto se (PK4) nazývá imaginární kuželová plocha. (PK5) obsahuje podle Věty 21.4 reálné tvořící přímky a jedná se tedy o reálnou kuželovou plochu. Kvadriky určené rovnicemi (PK6) a (PK7) jsou singulární kvadriky hodnosti 2, které jsou podle Věty 21.2 tvořeny dvojicí tvořících rovin. Přitom pro (PK6) jsou tyto roviny imaginárně sdružené a pro (PK7) reálné. Podle Věty 21.4 obsahuje (PK6) přímku reálných bodů, a to průsečnici imaginárně sdružených tvořících rovin. Kvadrika určená rovnicí (PK8) je singulární kvadrika hodnosti 1, která je podle Věty 21.1 tvořena jednou reálnou dvojnásobnou tvořící rovinou. Úloha 21.1. Určete normální rovnici a typ (viz Poznámka 21.1) kvadriky K a nalezněte její polární normovanou bázi: a) K : x2 + 3x2, — x\ + x\ + 2x1x2 — 4x1X4 + 2x3x4 = 0 , b) K : x\ + 3x2, + 8x| + 6x2 + 2x\x2 + 8x2X3 — 4xix4 + 8x3X4 = 0 . Řešení: Použijeme obdobnou metodu jako při převodu kvadratické formy na normální tvar. a) Rovnici kvadriky upravíme na tvar (xi + x2 2x4)2 + 2(x2 +x4)2 (X3 — X4)2 — 4x2 = 0 . Potom transformace x x, 2 1 Xi + x2 V2x2 x. 3 X3 — X4 X 4 2x4 převede rovnici kvadriky na tvar K:(x'1)2 + (x2)2-(x3)2-(4)2 = 0, 22. Tečná rovina 117 1 , -CO y/f2 + 2 4 1 , 1 , 1 , 2^4 což je normální rovnice regulární přímkové kvadriky. Z inverzní transformace x2 = x3 = x4 = potom určíme polární normovanou bázi základními body 0\ = (1;0;0;0), 02 = b) Rovnici kvadriky upravíme na tvar {xi + x2 — 2x4)2 + 2{x2 + 2x3 + x4)2 = 0. Potom transformace X-^ = X\ -\- x2 — 2x4 , x2 = \Í2x2 + 2\p2x-A + \Í2x^ , x'3 = x3 , 1 _ x 4 — X 4 převede rovnici kvadriky na tvar K : (x;)2 + (x'2)2 = 0, což je normální rovnice singulární kvadriky hodnosti 2, která je tvořena dvojicí komplexně sdružených rovin. Z inverzní transformace 1 X^ — X-^ ~V2 1 x2 = x3 = x4 = 2 ~h 2x3 -h 3x4 , ^3 1 x3 1 / X A I X A potom určíme polární normovanou bázi základními body 0\ = (1;0;0;0), 02 = 22 Tečná rovina V Definici 12.6 jsme definovali tečnu kuželosečky jako nesingulární přímku, která je buď tvořící přímkou kuželosečky, nebo ji protíná v regulárním dvojnásobném bodě. Podobným způsobem můžeme definovat i tečnu kvadriky. 22. Tečná rovina 118 Definice 22.1. Nechť K je kvadrika a t je přímka, která není přímkou singulárních bodů K. Řekneme, že t je tečnou K, jestliže buď t C K, nebo tP\K je dvojnásobný regulární bod kvadriky K. Regulární bod t C\ K se nazývá bodem dotyku tečny t. Poznámka 22.1. Tečnu definujeme jen pro kvadriky hodnosti větší než jedna. <) Věta 22.1. Nechť K je kvadrika a T je její regulární bod. Potom všechny tečny kvadriky K s bodem dotyku T leží v polární rovině bodu T. Naopak, libovolná přímka, která leží v polární rovině bodu T a prochází bodem T, je tečnou kvadriky s bodem dotyku T. Důkaz. Nechť t je libovolná tečna kvadriky K : Fc(x) = 0 s bodem dotyku T. Nechť Ret, R ^ T, je libovolný bod. Potom t : X = (3T + jR. Bod X je bodem průniku t n K, jestliže 2/37/c(t,r)+72/c(r,r) = 0. (22.1) Z definice tečny vyplývá, že buď je rovnice 22.1 splněna identicky (t C K), nebo T je jediný dvojnásobný bod průniku. V prvním případě musí být /c(r, r) = /c(t, r) = 0, ve druhém musí mít 22.1 dvojnásobný kořen 7 = 0, to je ale možné pouze tehdy, když /c(t, r) = 0. V obou případech tedy /c(t, r) = 0 a T a R jsou polárně sdruženy, tj. R leží v polární rovině T. Protože přímku t a bod R jsme zvolili libovolně, je první část tvrzení dokázána. Naopak, nechť t je přímka, která leží v polární rovině bodu T a T G ŕ. Nechť Ret, R^T ,]e libovolný bod, tj. t : X = j3T + jR. Protože R je v polární rovině bodu T, je /c(t, r) = 0 a t n K má vyjádření 72/c(r,r) = 0. (22.2) Pro /c(r, r) = 0 je R e K a (22.2) je splněna identicky, tj. t C K. Pro /c(r, r) ^ 0 je 7 = 0 dvojnásobný kořen 22.2, a tedy T je dvojnásobný bod t n K. Tedy t je tečna K s bodem dotyku T. □ Předchozí věta nás nyní opravňuje definovat tečnou rovinu kvadriky následujícím způsobem. Definice 22.2. Nechť K je kvadrika a T je její regulární bod. Polární rovinu r bodu T budeme nazývat tečnou rovinou kvadriky K. Bod T budeme nazývat bodem dotyku roviny r a kvadriky K. Věta 22.2. Nechť K je kvadrika a T je její reálný regulární bod. Potom pro tečnou rovinu t s bodem dotyku T platí buď t C K, nebo r n K je singulární kuželosečka v t, a navíc T je singulárním bodem této kuželosečky. 22. Tečná rovina 119 Důkaz. Zvolme libovolné reálné body Ri, R2 tak, že leží v tečné rovině r (s bodem dotyku T) kvadriky K. Potom má tato tečná rovina parametrické vyjádření X = oíT + /3ii?i + (32R2. Nechť K : Fc(x) = 0. Potom r n K má vyjádření (Pi)2ŕ(n, n) + 2/WC(ri, r2) + (/32)2/C(r2, r2) = 0 . Je-li /c(ri,ri) = /c(ri,r2) = /c(r2,r2) = 0 (body Ri,R2 leží na K a jsou polárně sdruženy), je předchozí rovnice splněna identicky arciř. Je-li alespoň jedno z čísel /c(rl,r:r) nenulové, je předchozí rovnice souřadnicovým vyjádřením kuželosečky v rovině r vzhledem ke geometrické bázi v r se základními body T,Ri,R2. Protože /c(t,x) = 0 pro každý bod X = (x) G r, je T singulárním bodem této kuželosečky □ Poznámka 22.2. Rozdíl mezi regulární přímkovou kvadrikou a regulární nepřím-kovou kvadrikou je dobře patrný z toho, jak vypadá singulární kuželosečka v reálné tečné rovině. Pro nepřímkovou kvadriku je to dvojice komplexně sdružených přímek, které mají společný reálný bod - bod dotyku. Pro přímkovou kvadriku je to dvojice reálných přímek, které se protínají v bodě dotyku (viz Obrázek 22.1). Intuitivní představě dotyku tedy odpovídá nepřímkový případ. <) Obrázek 22.1: Tečná rovina nepřímkové a přímkové kvadriky Úloha 22.1. Ke kvadrice K : x2 + x\x2 — x2x-A — 5x^X4 = 0 veďte tečné roviny, které obsahují přímku jo = PQ, P = (—1; 3; 2; 1), Q = (—5; 0; 0; 3). Řešení: Podobně jako v Úloze 12.3 bychom mohli i tuto úlohu řešit trojím způsobem. Podle první metody hledáme ve svazku rovin s osou p tu rovinu, která se dané kvadriky dotýká - protíná ji v singulární kuželosečce. Ve druhé metodě určíme tečnou rovinu v libovolném bodě kvadriky a určíme podmínky, aby tečná rovina obsahovala body P, Q. Třetí metoda je založena na vlastnostech polární sdruženosti. Podle Poznámky 20.8 jsou totiž průsečíky kvadriky s polárně sdruženou přímkou k přímce p body dotyku hledaných tečných rovin. Úlohu vyřešíme pouze třetí metodou, zbývající dvě metody ponecháme na čtenáři. 23. Afínní vlastnosti kvadrik 120 Určíme polární roviny bodů P, Q: ir : (X)TA(P) = -2x1 - 3x2 + x3 + 5x4 = 0, p : (X)TA(Q) = 3xi + x2 - 5x4 = 0 . Průsečnice q = tt n p je polárně sdružená přímka k přímce jo a má parametrické vyjádření q : X = (t; -3í + 5s; -7í + lOs; s). Průsečíky q D K jsou tedy body dotyku hledaných rovin. Dosazením do rovnice kvadriky dostaneme po úpravě (ŕ - 2s)(t - s) = 0 a odtud, při volbě s = 1, dostaneme body dotyku T\ = (2; —1; —4; 1) a T2 = (1; 2; 3; 1). Tečná rovina bodu 7\ je Ti : 6xi — 6x2 + 7x3 + IOX4 = 0 a tečná rovina bodu T2 je t2 : 3xi + 2x2 — 4x3 + 5x4 = 0. 23 Afinní vlastnosti kvadrik V této části uvažujeme A3 reálný afinní prostor, A% jeho komplexní rozšíření a A^ projektivní rozšíření A%. Jako kvadriku v A3 potom rozumíme kvadriku v A%. Uvažujme na A3 afinní souřadnou soustavu určenou repérem (0;ei,e3,e3). (23.1) V indukovaných afinních homogenních souřadnicích má kvadrika v A3 rovnici 4 K : dijXiXj = 0, (23.2) al3 G IR, což píšeme maticově jako [X)TA{X) = 0. Při přechodu k nehomogenním souřadnicím můžeme tuto rovnici přepsat do tvaru 3 3 K : ^2 ai]x%x] + 2 ^2 (íiax1 + (Z44 = 0, (23.3) i,j = l i=l nebo zkráceně při označení sloupcové matice nehomogenních souřadnic bodu X jako (X), matice A = (0^)1^=1,2,3, vektoru (a) = a24 a a = a44 budeme psát maticově \a34/ K : (X)TA(X) +2(a)T(V) + a = 0. (23.4) Nehomogenní afinní souřadnice bodu X budeme obvykle označovat [x; y; z]. 23. Afínní vlastnosti kvadrik 121 Uvědomme si, že rovnice (23.3) a (23.4) určují pouze vlastní body kvadriky. Pokud budeme pracovat s nevlastními body, musíme použít afinních homogenních souřadnic a rovnici (23.2). Definice 23.1. Bod S nazýváme středem kvadriky K, je-li vzhledem ke K polárně sdružen se všemi nevlastními body. Poznámka 23.1. Každý singulární bod kvadriky K je jejím středem. Střed, který není singulárním bodem, má za svou polární rovinu nevlastní rovinu. Věta 23.1. Nechť kvadrika K má v afinním repéru (23.1) v homogenních souřadnicích rovnici K : (X)TA(X) = 0. Bod S = (si,.. . ; s4) je středem kvadriky K právě tehdy, když platí QiiSi H----+ (Z14S4 = 0 , ai2Si H----+a24S4 = 0, (23.5) «13^1 H-----\- «34^4 = 0 , tj. Fi(s) = 0, F2(s) = 0 a F3(s) = 0. Důkaz. Nechť S je středem K, tj. je polárně sdružen se všemi nevlastními body. Označme Rt nevlastní bod, jehož afinní homogenní souřadnice mají na ž-tém místě jedničku a jinak nuly, i = 1,... ,3. Potom podmínka, že S a Rt jsou polárně sdruženy, je (S)TA(Ri) = 0, což je a^si + • • • + a^s^ = 0. Naopak nechť afinní homogenní souřadnice S splňují soustavu (23.5). Je-li navíc i*4(s) = ÍZ41S1 + • • • + (Z44S4 = 0, je S singulárním bodem K, a tedy středem. Je-li i*4(s) 7^ 0, je polární rovina bodu S dána obecnou rovnicí ^(s):^ = 0, a to je rovnice nevlastní roviny. Tedy S je polárně sdružen se všemi nevlastními body. □ Poznámka 23.2. Soustava (23.5) má v homogenních souřadnicích vždy nenulové reálné řešení. Podle počtu řešení soustavy (23.5) může mít kvadrika právě jeden střed, přímku středů, rovinu středů nebo každý bod je středem. Poslední možnost nastává pouze tehdy, když je kvadrika tvořena dvojnásobnou nevlastní rovinou. <) Přepsáním soustavy (23.5) do nehomogenních souřadnic dostaneme soustavu pro výpočet vlastních středů kvadriky K anši + (Z12S2 + (Z13S3 + Qi4 = 0, aí2ši + a22Š2 + (z23s3 + a2A = 0, (23.6) ai3Š1 + a23š2 + (z33s3 + a34 = 0, kterou maticově zapisujeme A(S) + (a) = (o). Nehomogenní soustava (23.6) nemusí mít řešení, tj. kvadrika K nemusí mít vlastní střed. Definice 23.2. Kvadrika, která má alespoň jeden vlastní střed, se nazývá středová kvadrika. Kvadrika, která nemá vlastní střed, se nazývá nestředová kvadrika. 23. Afínní vlastnosti kvadrik 122 Věta 23.2. Jestliže střed kvadriky K je vlastním bodem, potom je kvadrika K podle něj středově symetrická. Definice 23.3. Nechť K je kvadrika a P je nevlastní bod, který není bodem kvadriky K. Polární rovinu bodu P budeme nazývat průměrovou rovinou kvadriky K. Věta 23.3. Je-li rovina průměrovou rovinou kvadriky K, pak obsahuje všechny její středy. Důkaz. Tato věta je důsledkem Věty 20.5. □ Poznámka 23.3. Geometrický význam průměrové roviny je následující. Je-li nevlastní bod P, který neleží na kvadrice K, určen nenulovým vektorem u, je průměrová rovina určená bodem P vlastní a kvadrika je šikmo symetrická podle této průměrové roviny ve směru vektoru u. <) Definice 23.4. Říkáme, že dva směry jsou polárně sdruženy vzhledem ke kvadrice K právě tehdy, jsou-li vzhledem ke K polárně sdruženy nevlastní body určené těmito směry. Definice 23.5. Tečnou rovinu v nevlastním regulárním bodě kvadriky K nazýváme asymptotickou rovinou kvadriky K. Úloha 23.1. Určete všechny středy kvadriky K: a) K : Ax2 + 2y2 + 12z2 - Axy + 8yz + 12xz + Ux - Wy + 7 = 0, b) K : 5x2 + 9y2 + 9z2 - 12xy - 6xz + 12x - 36z = 0, c) K : 5x2 + 2y2 + 2z2 - 2xy - Ayz + 2xz - 4y - 4z + 4 = 0 . Řešení: a) Soustava pro výpočet vlastních středů je Důkaz. Důkaz je totožný s důkazem Věty 14.2. □ Ax - 2y + 6z + 7 -2x + 2y + Az - 5 6x + Ay + 12z 0 0 0 která má jediné řešení S = [—1; |; 0]. b) Soustava pro výpočet vlastních středů 5x — 6y — 3z -6x + 9y 3x + 9z - + 6 18 0 0 0 23. Afínní vlastnosti kvadrik 123 má jednodimenzionální řešení, tj. kvadrika má přímku středů s : 2x — 3y = 0, x — 3z + 6 = 0. c) Soustava pro výpočet vlastních středů 5x — y + z ■x + 2y-2z-2 x - 2y + 2z - 2 0 0 0 nemá řešení, tj. kvadrika je nestředová. Příslušná homogenní soustava pro výpočet nevlastního středu je a podprostor řešení je L((0; 1; 1; 0)). Kvadrika má tedy nevlastní střed ve směru vektoru u = (0; 1; 1). Úloha 23.2. Určete průměrovou rovinu kvadriky K : x2 +y2 — 3z2 — 2xy — 6xz — 6yz + 2x + 2y + 4z = 0 , polárně sdruženou s nevlastním bodem bodem N = (1; —2; —1; 0). Řešení: N ^ K a průměrová rovina bodu N je jeho polární rovina u. V homogenních souřadnicích u : 2x\ + 2x3 — x4 = 0, a v nehomogenních souřadnicích v : 2x + 2z - 1 = 0 . Úloha 23.3. Určete průměrovou rovinu kvadriky K : 4x2 + 6y2 + 4z2 + 4xz - 8x - 4z + 3 = 0 , která prochází počátkem a bodem [3; 6; 2]. Řešení: Průměrová rovina prochází všemi středy kvadriky K. K má vlastní střed S = [1; 0; 0] a hledaná rovina je určena třemi body [0; 0; 0], [3; 6; 2] a [1; 0; 0], tj. p : 2y + 3z = 0. Úloha 23.4. Pro kvadriku z Úlohy 23.2 určete její asymptotickou rovinu v nevlastním bodě určeném směrem vektoru u = (1; 1; 0). Řešení: Asymptotická rovina je polární rovina v nevlastním bodě. Daný bod opravdu leží na kvadrice a jeho polární rovina je 5xi — X2 + X3 = 0 xi + 2x2 — 2x3 — 2x4 = 0 X\ — 2x2 + 2x3 — 2x4 = 0 a : 3z — 1 0. 24. Afínní klasifíkace kvadrik 24 Afinní klasifikace kvadrik 124 Definice 24.1. Kvadriku, která má s nevlastní rovinou společnou imaginární regulární kuželosečku, budeme nazývat kvadrikou eliptického typu. Kvadriku, která má s nevlastní rovinou společnou reálnou regulární kuželosečku, budeme nazývat kvadrikou hyperbolického typu a kvadriku, která má s nevlastní rovinou společnou singulární kuželosečku, budeme nazývat kvadrikou parabolického typu. Regulární kvadriku, která má s nevlastní rovinou společnou imaginární regulární kuželosečku, budeme nazývat elipsoidem. Regulární kvadriku, která má s nevlastní rovinou společnou reálnou regulární kuželosečku, budeme nazývat hyperboloidem a regulární kvadriku, která má s nevlastní rovinou společnou singulární kuželosečku, budeme nazývat paraboloidem. Aplikujme nyní Definici 24.1 na projektivní typy kvadrik z Části 21. Podle toho, jaký je průnik kvadriky s nevlastní rovinou, dostaneme následující afinní typy kvadrik: Formálně reálná regulární kvadrika nemá žádný reálný nevlastní bod a je to tedy elipsoid, který budeme nazývat imaginárním elipsoidem. Reálná regulární nepřímková kvadrika se nyní rozdělí na tři typy podle průniku s nevlastní rovinou. Bude to reálný elipsoid, nepřímkový hyperboloid a nepřímkový paraboloid. Všimněme si, jak budou vypadat na těchto nepřímkových regulárních kvadrikách rovinné řezy reálnými vlastními rovinami. Protože nevlastní kuželosečka reálného elipsoidu je imaginární, má každá vlastní rovina řezu na řezné kuželosečce dva komplexně sdružené nevlastní body. To ale znamená, že každá vlastní reálná rovina řeže elipsoid v kuželosečce eliptického typu. Řezem tedy může být reálná elipsa, imaginární elipsa (rovina elipsoid reálně neprotíná) nebo dvojice komplexně sdružených přímek (tečná rovina). Na Obrázku 24.1 jsou dva řezy rovinami procházejícími středem elipsoidu. Obrázek 24.1: Rezy reálného elipsoidu rovinami procházejícími středem Nepřímkový hyperboloid má za svou nevlastní kuželosečku regulární reálnou kuželosečku. Nevlastní přímka řezné roviny může tuto kuželosečku protnout ve dvojici 24. Afínní klasifíkace kvadrik 125 reálnych bodů, nebo ve dvojici komplexně sdružených bodů, nebo se jí dotknout v dvojnásobném bodě. To ovšem znamená, že řezem může být kuželosečka všech typů. Parabolické řezy odpovídají řezům rovinami, které jsou rovnoběžné s asymptotickými rovinami. Samotná asymptotická rovina řeže nepřímkový hyperboloid ve dvojici komplexně sdružených rovnoběžek. Protože některé eliptické řezy mohou být imaginární elipsy a body hyperboloidu přitom leží v obou poloprostorech určených řeznou rovinou, nazývá se nepřímkový hyperboloid dvojdílným hyperboloidem. Na Obrázku 24.2 je v prvním případě jeden eliptický (reálný) řez a jeden hyperbolický řez. Ve druhém případě je zakreslen jeden parabolický řez. Obrázek 24.2: Rezy nepřímkového hyperboloidu rovinami Nepřímkový paraboloid má podle Poznámky 22.2 nevlastní kuželosečku složenou ze dvou komplexně sdružených přímek. Potom každá reálná řezná rovina, která obsahuje jediný reálný nevlastní bod paraboloidu, jej řeže v parabole. Všechny zbývající roviny, které neobsahují reálný nevlastní bod paraboloidu, musí mít řezy eliptického typu. Proto se nepřímkový paraboloid nazývá eliptickým paraboloidem. Na Obrázku 24.3 je zakreslen jeden eliptický a jeden parabolický řez. w Obrázek 24.3: Rezy nepřímkového paraboloidu Regulární přímková kvadrika nemůže být eliptického typu, protože nevlastní bod každé reálné tvořící přímky je reálným bodem nevlastní kuželosečky kvadriky. Regulární přímkovou kvadriku hyperbolického typu budeme nazývat přímkovým hy- 24. Afínní klasifíkace kvadrik 126 perboloidem a regulární přímkovou kvadriku parabolického typu budeme nazývat přímkovým paraboloidem. Obrázek 24.4: Přímkový hyperboloid a jeho rovinné řezy Přímkový hyperboloid má za svou nevlastní kuželosečku regulární reálnou kuželosečku. Nevlastní přímka řezné roviny může tuto kuželosečku protnout ve dvojici reálných bodů, nebo ve dvojici komplexně sdružených bodů, nebo se jí dotknout v dvojnásobném bodě. To ovšem znamená, že řezem může být kuželosečka všech typů. Parabolické řezy odpovídají řezům rovinami, které jsou rovnoběžné s asymptotickými rovinami. Samotná asymptotická rovina řeže přímkový hyperboloid ve dvojici reálných rovnoběžek. Všechny eliptické řezy jsou reálné elipsy a body hyperboloidu přitom leží v obou poloprostorech určených řeznou rovinou. Přímkový hyperboloid se nazývá jednodílným hyperboloidem. Na Obrázku 24.4 je v prvním případě zakreslen jeden eliptický řez a jeden hyperbolické řez rovinami procházejícími středem hyperboloidu. Ve druhém případě je zakreslen jeden řez asymptotickou rovinou a jeden parabolický řez. Tečné roviny protínají jednodílný hyperboloid ve dvojici růz-noběžných přímek (viz Obrázek 24.5). Tečné roviny v bodech jedné tvořící přímky protínají kvadriku v této přímce a osnově navzájem mimoběžných přímek. Na jednodílném hyperboloidu tak máme dvě osnovy přímek takových, že přímky jedné osnovy jsou navzájem mimoběžné a přímky patřící do různých osnov jsou různoběžné. Obrázek 24.5: Rez přímkového hyperboloidu tečnou rovinou 24. Afínní klasifíkace kvadrik 127 Přímkový paraboloid má podle Poznámky 22.2 nevlastní kuželosečku složenou ze dvou reálných přímek. Potom každá reálná řezná rovina, která obsahuje reálný průsečík těchto přímek, jej řeže v parabole. Všechny zbývající roviny, které neobsahují tento průsečík, musí mít řezy hyperbolického typu. Proto se nepřímkový paraboloid nazývá hyperbolickým paraboloidem. Na Obrázku 24.6 je zakreslen jeden parabolický řez a jeden hyperbolický řez. Obrázek 24.6: Rezy hyperbolického paraboloidu Obrázek 24.7 Uvažujme dvě roviny, které mají za nevlastní přímky tvořící přímky nevlastní kuželosečky hyperbolického paraboloidu. Každá přímka ležící na paraboloidu potom musí být rovnoběžná s jednou z těchto rovin. Máme tedy na hyperbolickém paraboloidu dvě soustavy přímek. Přímky jedné soustavy jsou rovnoběžné s jednou rovinou a přímky druhé soustavy jsou rovnoběžné s druhou rovinou. Dvě přímky z různých soustav jsou různoběžné a určují tečnou rovinu ve svém průsečíku (viz Obrázek 24.8). Hyperbolický paraboloid potom vzniká tak, že vybereme libovolné mimoběžné přímky jako dvě tvořící přímky patřící do jedné soustavy a body všech 24. Afínní klasifíkace kvadrik 128 příček těchto mimoběžek, které jsou rovnoběžné s nějakou rovinou (nerovnoběžnou s žádnou z vybraných mimoběžek), potom vytvoří hyperbolický paraboloid. Na Obrázku 24.7 je část hyperbolického paraboloidu s dvěmi soustavami tvořících přímek. Přímky jedné soustavy jsou rovnoběžné s rovinou se zaměřením a jsou příčkami mimoběžek AD a BC. Přímky druhé soustavy jsou rovnoběžné s rovinou se zaměřením l(ÄĎ,bÔ) a jsou příčkami mimoběžek AB a CD. Obrázek 24.9 Poznámka 24.1. Přímkové regulární kvadriky mají velký význam v technické praxi. Jednodílné hyperboloidy se dříve používaly místo ozubených kol pro přenos rotací se vzájemně mimoběžnými osami (schéma viz Obrázek 24.9) a dnes se s nimi často setkáváme u chladících věží elektráren nebo na jiných stavebních konstrukcích (vodojemy, rozhledny a pod.), viz. strana 170. Hyperbolický paraboloid se v technické praxi nazývá sedlo. Používá se často ve stavební praxi na skořepiny střech. Na obrázcích na straně 169 je ukázka využití hyperbolického paraboloidu k zastřešení benzínové pumpy (Markham Moor, Velká Británie) a autobusové zastávky (Varšava, Polsko). 0 24. Afínní klasifíkace kvadrik 129 Kvadriky hodnosti 3 jsou podle Věty 21.3 kuželové plochy. Uvažujme nejdříve imaginární kuželovou plochu, která má jediný reálný bod - vrchol. Je-li vrchol vlastní bod, budeme i v afinním případě hovořit o imaginární kuželové ploše. Je-li vrchol nevlastní bod, budeme kvadriku nazývat imaginární válcovou plochou. Všechny nevrcholové vlastní roviny (neobsahují singulární bod kvadriky) mají jako nevlastní body řezu dvojici komplexně sdružených bodů (tedy řez je eliptický) a řez nemůže mít reálné body, je tedy řezem imaginární elipsa, a proto budeme používat název imaginární eliptická válcová plocha. Obrázek 24.10: Rezy reálné kuželové a reálné eliptické válcové plochy Uvažujme nyní reálnou kuželovou plochu. Je-li její vrchol vlastní bod, budeme i v afinním prostoru používat název reálná kuželová plocha. Reálná kuželová plocha má reálnou regulární nevlastní kuželosečku. Podobně jako u hyperboloidů ji tedy mohou reálné vlastní roviny protínat v kuželosečkách všech typů. Eliptické řezy dostaneme pro roviny, které jsou rovnoběžné s vrcholovými rovinami protínajícími kuželovou plochu v jediném reálném bodě - vrcholu. Parabolické řezy dostaneme v rovinách, které jsou rovnoběžné s vrcholovými rovinami dotýkajícími se kuželové plochy podél jedné tvořící přímky. Konečně hyperbolické řezy dostaneme v rovinách, které jsou rovnoběžné s vrcholovými rovinami protínajícími kuželovou plochu ve dvou tvořících přímkách. Řídící regulární reálná kuželosečka reálné kuželové plochy tedy může být všech tří typů, a proto nemůžeme nikdy hovořit o eliptické, hyperbolické, či parabolické kuželové ploše. Na Obrázku 24.10 je jeden eliptický, jeden hyperbolický a jeden parabolický řez. Uvažujme nyní reálnou kuželovou plochu, jejíž vrchol je nevlastní bod. Takovou kvadriku budeme nazývat reálnou válcovou plochou. Nevlastní rovina je vrcholovou rovinou a ta vždy protíná kuželovou plochu v singulární kuželosečce. Nechť je nejdříve nevlastní singulární kuželosečka tvořena dvojicí komplexně sdružených přímek. Potom každá vlastní nevrcholová rovina protíná plochu v reálné elipse. Hovoříme proto o reálné eliptické válcové ploše (viz Obrázek 24.10). Nechť je nevlastní singulární kuželosečka reálné válcové plochy tvořena dvojicí různých reálných přímek. Potom každá vlastní nevrcholová rovina protíná plochu v hyperbole. Hovoříme proto o hyperbolické válcové ploše (na Obrázku 24.11 je hyperbolická válcová plocha a její řezy). 24. Afínní klasifíkace kvadrik 130 Obrázek 24.11: Rezy hyperbolické a parabolické válcové plochy Konečně nechť je nevlastní singulární kuželosečka reálné válcové plochy tvořena dvojnásobnou reálnou přímkou (válcová plocha se dotýká nevlastní roviny). Potom každá vlastní nevrcholová rovina protíná plochu v parabole. Hovoříme proto o parabolické válcové ploše (na Obrázku 24.11 je parabolická válcová plocha a její řezy, přitom vrcholová rovina obsahuje nevlastní přímku plochy). Poznámka 24.2. V předchozích úvahách jsme viděli, že jako řezy na kuželových plochách, kam zahrnujeme i válcové plochy, dostaneme všechny afinní typy kuželoseček. Název kuželosečky je tedy oprávněný. <) Kvadriky hodnosti 2 jsou podle Věty 21.2 dvojice rovin a jsou parabolického typu. Uvažujme nejdříve komplexně sdružené roviny. Je-li společná reálná přímka těchto rovin vlastní, hovoříme o dvojici komplexně sdružených různoběžných rovin. Je-li společná reálná přímka tvořících rovin nevlastní, hovoříme o dvojici komplexně sdružených rovnoběžných rovin. Obrázek 24.12: Různoběžné a rovnoběžné roviny Nechť je kvadrika složena ze dvou reálných tvořících rovin. Mohou nastat tyto možnosti. Tvořící roviny jsou vlastní různoběžné, vlastní rovnoběžné (viz Obrázrk 24.12), nebo je jedna z nich vlastní a jedna nevlastní. 24. Afínní klasifíkace kvadrik 131 Konečně kvadrika hodnosti 1 je podle Věty 21.1 tvořena jedinou dvojnásobnou reálnou rovinou. Ta může být buď vlastní nebo nevlastní. Celkem tedy máme 19 afinních typů kvadrik. I Obrázek 24.13: Asymptotická kuželová plocha hyperboloidů Poznámka 24.3. (Reálná) kuželová plocha, která má s daným hyperboloidem stejnou nevlastní kuželosečku a jejím vrcholem je střed hyperboloidu, se nazývá asymptotická kuželová plocha hyperboloidu. (Pro elipsoidy by byla asymptotická kuželová plocha imaginární). Asymptotické kuželové plochy se dotýkají všechny asymptotické roviny hyperboloidu. Na Obrázku 24.13 jsou asymptotické kuželové plochy pro přímkový i nepřímkový hyperboloid. <) Věta 24.1. Ke každé kvadrice K v A% existují 3 lineárně nezávislé směry, které jsou navzájem polárně sdruženy vzhledem ke K. Důkaz. Musíme vlastně dokázat, že existují 3 nevlastní body v obecné poloze, které jsou navzájem polárně sdruženy vzhledem ke K. Nechť nejdříve K obsahuje nevlastní rovinu jako svou tvořící rovinu. Potom libovolná trojice nevlastních bodů v obecné poloze splňuje podmínky věty. Nechť nyní nevlastní rovina není součástí K. Zvolme libovolný nevlastní bod Oi, který neleží na K, a označme loi jeho polární rovinu. Je-li nevlastní přímka loi součástí K, doplníme Oi na trojici bodů v obecné poloze libovolnými nevlastními body z Lúi. Není-li nevlastní přímka uj\ součástí K, vybereme na ní 02 tak, aby neležel na K. Označme lo2 jeho polární rovinu. Potom nevlastní bod uji n lo2 doplní Oi, 02 na trojici polárně sdružených nevlastních bodů v obecné poloze. □ Věta 24.2. Nechť {0,ei,e2,e^) je takový afinní repér v a3, že vektory ei, 62,6-3 určují směry navzájem polárně sdružené vzhledem ke kvadrice K. Potom v rovnici kvadriky K vzhledem k tomuto repéru je al3 = 0, pro všechna i 7^ j, i, j = 1, 2, 3. Důkaz. Označme jako Ol = (e-j), i = 1,2,3. Potom afinní homogenní souřadnice bodů Oj mají nenulovou souřadnici pouze na ž-tém místě a bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat, že je to jednička. Z podmínky polární sdruženosti bodů Ol pak dostaneme 0 = (Oí)tA(Oj) = a%], i, j = 1,2,3, i ^ j. □ 24. Afínní klasifíkace kvadrik 132 Věta 24.3. Je-li počátek afinního repéru vlastním středem kvadriky K, je v rovnici K vzhledem k tomuto afinnímu repéru al4 = O, i = 1, 2, 3. Důkaz. Nechť O je vlastní střed kvadriky K. Zvolme ho za počátek afinního repéru. Pak O má afinní homogenní souřadnice (0;0;0;1). Protože O je středem, je polárně sdružen se všemi nevlastními body, a tedy i s body Ol = (e-j), i = 1,2, 3, které mají v afinních homogenních souřadnicích jedinou nenulovou souřadnici na ž-tém místě. Potom 0 = (0)TA[Oi) = al4. □ Důsledek 24.1. Zvolíme-li nyní afinní repér tak, že počátek je vlastním středem kvadriky a směry souřadných os jsou polárně sdruženy vzhledem ke kvadrice, má kvadrika K vzhledem k tomuto afinnímu repéru kanonickou rovnici OOOO / \ K : a11x1 + a22x2 + (233^3 + (244^4 = O (24.1) a pro kvadriku, která neobsahuje nevlastní rovinu, je příslušná nehomogenní rovnice K : aux2 + a22y2 + a33z2 + a44 = O . (24.2) Věta 24.4. Nechť K je nestředová kvadrika v a3. Pak existuje afinní repér {O; e±, e2, e3) takový, že vzhledem k němu má K rovnici K : aux\ + a22x\ + 2034X3X4 = O, (24.3) kde 034 7^ 0. V nehomogenních souřadnicích, pokud K neobsahuje jako tvořící rovinu nevlastní rovinu, K : aux2 + a22ž/2 + 2a34^ = O ; (24.4) tuto rovnici můžeme použít pouze je-li hodnost kvadriky alespoň 3. Důkaz. Jestliže regulární kvadrika K nemá žádný vlastní střed, pak hodnost této kvadriky je nejméně dvě a můžeme zvolit afinní repér (O; ei, 62,63) tak, že O je regulární bod kvadriky, e3 je vektor určující nevlastní střed K a el5 e2 jsou vektory ze zaměření tečné roviny ke K v bodě dotyku O, které určují polárně sdružené směry. Existence takovýchto polárně sdružených směrů v zaměření tečné roviny v bodě dotyku O se prokáže stejně jako u Věty 24.1. Při naší volbě afinního repéru je v homogenních souřadnicích O = (0,0,0,1), Ol = (e-j) = (0,.., 1, ..,0), kde 1 je na ž-tém místě, i = 1,2, 3. Potom O E K implikuje 044 = 0, 0\ je polárně sdruženo s 02, proto a12 = 0, a konečně z podmínky, že e3 určuje nevlastní střed, je al4 = 0, i = 1,2. Je tedy matice K v tomto repéru tvaru /au 0 0 0 \ A= 0 a22 0 0 0 0 (233 (234 V 0 0 a34 0 / Soustava pro výpočet vlastního středu má nyní podobu a\\x = 0, a22y = 0, (233Z+ 034 = 0 a protože podle předpokladu K nemá vlastní střed, je tato soustava neřešitelná. To lze pouze pro 033 = 0 a 034 7^ 0. □ 24. Afínní klasifíkace kvadrik 133 Definice 24.2. Rovnici (24.2) nebo (24.4) kvadriky K budeme nazývat afinní kanonickou rovnicí. Afinní repér, vzhledem ke kterému má kvadrika K kanonickou rovnici, budeme nazývat polární afinní repér kvadriky K. Věta 24.5. (Afinní klasifikace kvadrik) Ke každé kvadrice K existuje takový afinní repér, že vzhledem k němu má K jednu z následujících rovnic: (hom. souřadnice) (nehom. souřadnice) (AK1) x\ + x2 + x<^ ~\~ x^ — 0 j 2 xz + y2 + z2 + 1 = 0 , (AK2) x\ + x2 + 2 2 ryť ryť it *:> it = 0, xz + y2 + z2 - 1 = 0 , (AK3) x\ + 2 ryť x2 2 2 ryť ry,^ it *:> it = 0, x2 + y2 - z2 - 1 = 0 , (AK4) x\ + ry 2 x2 — 2 1 ,.T, 2 X3 -|- x 4 = 0, 2 X^ + y2 - z2 + 1 = 0, (AK5) o ryť Ju -y + x22 + 2X3X4 = 0, x2 4 - y2 + 2z = 0 , (AK6) 2 ryť Ju -y 2 ryť x2 + 2X3X4 = 0, x^ - - y2 + 2z = 0 , (AK7) x\ + ŕy.2 I ry 2 x2 ~r x3 = 0, x2 - h y2 + z2 = 0 , (AK8) x\ + 2 2 x2 x3 = 0, x2 H - y2 - z2 = 0 , (AK9) x\ + ryť* I /y.2 jj2 \ 4 = 0, xz + y2 +1 = 0, (AK10) x\ + 2 2 ryť _ rj,^ it 2 it ^ = 0, 2 X^ + y2 - 1 = 0 , (AK11) 2 X -y 2 2 ,y ť _ ryť it 2 it ^ = 0, 2 xz -y2-l = 0, (AK12) 2 ry^ Ju -y + 2x3x4 = 0, x2 - 2z = 0 , (AK13) ŕy.2 I ry 2 it "p it 2 = 0, x2 + y2 = 0 , (AK14) 2 2 ryť sy.^ 1 2 = 0, x2 — y2 = 0 , (AK15) ŕy.2 I ry 2 iL^ ~r ^4 = 0, x2 + 1 = 0, (AK16) 2 2 /y^ _ ryť Jlj ~y Jlj ^ = 0, x2 - 1 = 0 , (AK17) X ^ X 4 = 0, nelze určit, (AK18) 2 ryť Ju -y = 0, x2 = 0, (AK19) 2 X4 = 0, nelze určit. Důkaz. Tato věta je přímým důsledkem Důsledku 24.1 a Věty 24.4. Rovnici (24.1) středové kvadriky znormujeme stejným způsobem jako ve Větě 15.7. Rovnici (24.3) nestředové kvadriky nejdříve vydělíme a34 a potom znormujeme nenulové koeficienty u druhých mocnin souřadnic stejně jako ve středovém případě. □ Definice 24.3. Rovnici kvadriky K z Věty 24.5 budeme nazývat afinní normální rovnicí. Afinní repér, vzhledem ke kterému má kvadrika K normální rovnici, budeme nazývat normovaný polární afinní repér kvadriky K. Poznámka 24.4. Kvadrika určená rovnicí (AK1) je imaginární elipsoid, (AK2) je reálný elipsoid, (AK3) je jednodílný hyperboloid, (AK4) je dvoudílný hyperboloid, (AK5) je eliptický paraboloid, (AK6) určuje hyperbolický paraboloid, (AK7) určuje imaginární kuželovou plochu, (AK8) je reálná kuželová plocha, (AK9) je imaginární eliptická válcová plocha, (AK10) je reálná eliptická válcová plocha, (AK11) je hyperbolická válcová plocha, (AK12) je parabolická válcová plocha, (AK13) je dvojice komplexně sdružených tvořících různoběžných rovin, (AK14) je dvojice reálných různoběžných tvořících rovin, (AK15) je dvojice komplexně sdružených 24. Afínní klasifíkace kvadrik 134 rovnoběžných rovin, (AK16) je dvojice reálných rovnoběžných rovin, (AK17) je tvořena jednou vlastní a jednou nevlastní tvořící rovinou, (AK18) je dvojnásobná vlastní tvořící rovina a (AK19) je dvojnásobná nevlastní tvořící rovina. <) Poznámka 24.5. Při praktickém výpočtu máme většinou kvadriku zadánu souřadnicovou rovnicí v nehomogenních souřadnicích. K určení jejích normálních rovnic máme dvě metody. První z nich je založena na nalezení polárního afinního repéru tak, jak je popsáno ve Větách 24.2 - 24.4. Druhý způsob je založen na přímém hledání transformace souřadnic, která převede rovnici kvadriky do normálního tvaru. Nalezneme nejdříve transformaci afinních souřadnic, která převede do kanonického tvaru kvadratickou část rovnice kvadriky (viz Část 9). Geometricky to znamená, že jsme převedli rovnici kvadriky do souřadnic vzhledem k afinnímu repéru, kde jsou směry souřadných os polárně sdruženy vzhledem ke kvadrice. Přechodem na druhé mocniny dvoj členu potom posuneme počátek afinního repéru tak, že dostaneme jednu z rovnic (24.2) nebo (24.4). Rovnice potom ještě normujeme vhodnými násobky směrových vektorů. Podrobnosti budou zřejmé z následující Úlohy 24.1. <) Úloha 24.1. Určete afinní typ kvadriky K, její normální rovnice, afinní normovaný polární repér a transformační rovnice, které převedou rovnici kvadriky do normálního tvaru: a) K : 3x2 + y2 - z2 + 6xz - 4y = 0 , b) K : Ax2 — 9z2 + 2xz - 8x - 4y + 36z - 32 = 0. Rešenŕ. I. medoda: a) Určíme nejdříve, zdaje kvadrika středová nebo nestředová. K má jediný vlastní střed S = [0;2;0]. Protože au 0, není nevlastní bod směru (e^ = (1;0;0)) bodem kvadriky, ponecháme potom jako první směrový vektor nového afinního repéru. V zaměření polární roviny uj\ : x + z = 0 nevlastního bodu (e^) vybereme směr, který určuje bod neležící na kvadrice. Např. (e'2 = (0; 1; 0)). Třetí směrový vektor polárního afinního repéru je potom směrový vektor průniku zaměření polárních rovin uj\ a uj2 : y — 2 = 0 (polární rovina nevlastního bodu směru (e2)), tj. e3 = (—1; 0; 1). V polárním repéru {S; e'ľ, e'2, e3) má kvadrika rovnici K:3(x,)2 + (y,)2-4(^,)2-4 = 0, kterou nejdříve vydělíme 4 a znormujeme volbou nových směrových vektorů e" = ^e^, e"2 = 2e'2, e'3 = e3. Afinní repér (S;e"l,e"2,e"3) je polární normovaný afinní repér kvadriky a kvadrika v něm má rovnici K : (x")2 + (y")2 - (z")2 -1 = 0. Kvadrika je tedy jednodílný hyperboloid. Transformační rovnice přechodu k nor- 24. Afínní klasifíkace kvadrik 135 movanému polárními repéru jsou 9 y/Ž y= 2y" + 2, // z = z . b) Určíme nejdříve, zda je kvadrika středová, nebo nestředová. K je nestředová a nevlastní střed je určen směrem (e3 = (0; 1; 0)). Určíme libovolný bod ležící na kvadrice, např. P = [0; — 8;0]. V tečné rovině tt : 2x + y — 9z + 8 = 0 bodu P určíme směr, který neurčuje nevlastní bod kvadriky, např. (e^ = (1; — 2;0)), a poslední směrový vektor je určen směrem průniku zaměření roviny tt a polární roviny Ax + z = 0 nevlastního bodu směru (e^), tj. (e'2 = (1; —38; —4)). Afinní repér {P; e'l5 e'2, e3) je polární afinní repér kvadriky a kvadrika v něm má rovnici K : 4(x')2 - 148(y')2 - 4z' = 0, kterou nejdříve vydělíme 2 a znormujeme volbou nových směrových vektorů e" = ^e'l5 e"2 = ^je2, e'3 = e3. Afinní repér (P; e'[, e"2, e"3) je polární normovaný afinní repér kvadriky a kvadrika v něm má rovnici K : (x"f - {y"f-2z" = 0. Kvadrika je tedy hyperbolický paraboloid. Transformační rovnice přechodu k normovanému polárními repéru jsou 1 „ , 1 „ x = —=x H---=y , V2 v/74 2 // 38 n a 0 y =---j=x--7=y +z — 8, y/2 4 y ■ II. metoda: a) Rovnici kvadriky upravíme na K : 3(x + z)2 + y2 - Az2 - Ay = 0 . Potom transformace z , y = y', i z = z převede rovnici kvadriky do tvaru K : 3(x')2 + (i/)2 - 4(^')2 - 4y' = 0, který upravíme na tvar 24. Afínní klasifíkace kvadrik 136 K : 3(:r')2 + (y' - 2)2 - A(z')2 -4 = 0. Po vydělení 4 transformace 9 x ~ y/f ' V'= 2y" +2, z = z převede rovnici kvadriky do normálního tvaru (viz I. metoda). Výsledné transformační rovnice i odpovídající normovaný polární repér jsou stejné jako v I. metodě. b) Rovnici kvadriky upravíme na K : 4(x + \zf - f z2 - 8:r - 4y + 36z - 32 = 0 . Potom transformace , 1 , x = x--y , y = z , z = y převede rovnici kvadriky do tvaru K : 4(x')2 - f (y7)2 - 8x' + 38y' - 4z' - 32 = 0 , který upravíme na tvar X:4(:r'-l)2-f(y'-If)2-4--^ = 0. Transformace x = -x + 1, 2 „ 76 V= 73Ťy 3T 1 „ , 28 2Z +37 převede rovnici kvadriky normálního tvaru (viz I. metoda). Výsledné transformační rovnice jsou potom , 1 „ 1 „ 18 x = -x---=y + — , 2 2^37 37 1 „ , 28 y= 2Z +Yr 2 y" + 76 737 37' z nichž určíme snadno příslušný normovaný polární repér. 25. Metrické vlastnosti kvadrik 137 Úloha 24.2. Pro hyperboloid z Úlohy 24.1 a) určete asymptotickou kuželovou plochu. Řešení: Asymptotická kuželová plocha má stejnou nevlastní kuželosečku jako daný hyperboloid, tj. matice A je totožná pro asymptotickou kuželovou plochu i hyperboloid. Potom má asymptotická kuželová plocha matici /3 0 3 a\ 0 1 0 b 3 0 -1 c \a b c d J bod asymptotické kuželové plochy, vede na soustavu lineárních rovnic A = . Podmínka, že střed hyperboloidu S = [0; 2; 0] je singulární = a = 0, F2(S) = b + 2 = 0, F3(S) = c = 0, F4(S) = 2b + d = 0, což znamená, že asymptotická kuželová plocha má rovnici K : 3x2 + y2 - z2 + 6xz - 4y + 4 = 0 . 25 Metrické vlastnosti kvadrik V této kapitole uvažujeme £3 reálný euklidovský prostor, jeho komplexní rozšíření a E3 projektivní rozšíření E3 . Jako kvadriku v E3 potom rozumíme kvadriku v E3 . Uvažujme na E3 kartézskou souřadnou soustavu určenou ortonormálním repérem (0;ei,e2,e3). (25.1) V indukovaných homogenních souřadnicích má kvadrika K v E3 obvyklou rovnici (viz Část 23) 4 K : dijXiXj = 0, (25.2) a v nehomogenních souřadnicích má kvadrika rovnici 3 3 K : dijXiXj + 2 dl4xl + a44 = 0, (25.3) i,j = l i=l nebo K : (X)TA(X) +2(a)T(A>) + a = 0. (25.4) Při častějším označení nehomogenních souřadnic bodu X = [x; y; z] máme K : dux2 + d22y2 + a33^2 + 2d12xy + 2d13xz + 2a23y^+ lnr rX (25.5) +2d14x + 2d24y + 2a34z + a44 = 0 . 25. Metrické vlastnosti kvadrik 138 Úmluva. V praxi se setkáváme téměř výhradně s kvadrikami, jejichž rovnice jsou zadány v nehomogenních souřadnicích. Takto se nedají bez dalšího upřesnění zadat kvadriky, jejichž součástí je nevlastní rovina. Dále tedy budeme předpokládat, že žádná kvadrika nemá za svou tvořící rovinu nevlastní rovinu. V souřadnicovém vyjádření to znamená, že matice A je nenulová. Definice 25.1. Směr určený nenulovým vektorem u se nazývá hlavním směrem kvadriky K, je-li vzhledem ke K polárně sdružen se všemi k němu kolmými směry. Poznámka 25.1. Z definice středu kvadriky je zřejmé, že směr, který určuje nevlastní střed kvadriky, je hlavním směrem kvadriky (platí to tedy i pro směr, který určuje nevlastní singulární bod kvadriky). <) Věta 25.1. Ke každé kvadrice existují alespoň 3 na sebe navzájem kolmé hlavní směry. Má-li K v nějakém ortonormálním repéru matici A, jsou hlavní směry K vlastními směry submatice A. Důkaz. 1. Nechť u = (ui, u2; u3) ^ o určuje singulární nevlastní bod P^ = (u) kvadriky K. Potom (Fi(u); F2(u); -£3(11)) = o = Ou, což znamená, že u je vlastním vektorem matice A pro A = 0. 2. Nechť u = iui] u2; u%) ^ o je hlavní směr kvadriky K a nevlastní bod P^ = (u) není singulárním bodem K. Předpokládejme nejdříve, že P^ je nevlastním středem (který není singulárním bodem) kvadriky. Potom polární rovina bodu P^ je nevlastní rovina, tj. (F^u); F2(u); F3(uj) = o a podobně jako pro singulární bod dostáváme, že u je vlastním vektorem matice A pro A = 0. Nyní nechť P^ = (u) není středem K. Potom vlastní polární rovina bodu P^ má rovnici 7T : Fi(u)xi + F2(u)x2 + F3(u)x3 + F4(u)x4 = 0 , (Fi(u); F2(u); F3(u)) ^ o a vektor u je polárně sdružen se všemi vektory ze zaměření roviny tt. Z předpokladu, že u určuje hlavní směr, vyplývá, že u je kolmý na tt, a tedy nenulové vektory (F^u); F2(u); -^(u)) a u jsou lineárně závislé, tj. existuje A / 0 takové, že (.Fi(u); F2(u); ^(u)) = Au, což je po rozepsání soustava pro vlastní vektory matice A (viz (10.1)). Zbývající část tvrzení je důsledkem vlastností symetrických matic (viz Věty 10.1 - 10.3). □ Poznámka 25.2. Podobně jako v případě kuželoseček (viz Věta 16.2) se snadno dokáže, že charakteristická rovnice \A — \E\ = 0 je nezávislá na zvoleném ortonormálním repéru a budeme ji nazývat charakteristická rovnice kvadriky K. Podobně také její kořeny Ai, A2 a A3 jsou na zvoleném kartézském repéru nezávislé a budeme je nazývat hlavní čísla kvadriky K. Důkaz předchozí věty tedy není závislý na použitém ortonormálním repéru. 25. Metrické vlastnosti kvadrik 139 Definice 25.2. Je-li P nevlastní nesingulární bod určený hlavním směrem kvadriky K, pak polární rovinu bodu P, pokud je to vlastní rovina, nazýváme hlavní nebo osovou rovinou kvadriky K. Je-li nevlastní bod hlavního směru kvadriky nevlastním singulárním bodem kvadriky, pak definujeme jako osovou rovinu kvadriky libovolnou vlastní rovinu, která je kolmá na tento hlavní směr. Průsečnici dvou osových rovin kvadriky nazveme osou kvadriky. Vlastní průsečík kvadriky s její osou se nazývá vrchol kvadriky. Poznámka 25.3. Jako důsledek Poznámky 23.3 a definice osové roviny dostáváme, že kvadrika je (kolmo) souměrná podle každé své osové roviny a je souměrná podle každé osy, kde jako souměrnost podle přímky chápeme otočení podle přímky o 180 stupňů. <) Poznámka 25.4. Z Vět 10.1 - 10.3 vyplývá, že má-li charakteristická rovnice kvadriky trojnásobný kořen (který musí být nenulový z podmínky, že kvadrika neobsahuje nevlastní rovinu), je každý směr hlavním směrem kvadriky. Takovéto kvadriky jsou souměrné podle každé průměrové roviny a nazývají se zobecněné kulové plochy. Později - v Části 26 - si ukážeme, které kvadriky to jsou. Má-li charakteristická rovnice kvadriky dvojnásobný kořen, odpovídá mu dvou-dimenzionální podprostor hlavních směrů kvadriky. Tento dvoudimenzionální pod-prostor hlavních směrů určuje nevlastní přímku a přímka s ní polárně sdružená je osou kvadriky. Kvadrika je potom symetrická podle každé roviny, která obsahuje takovouto osu kvadriky. Takovéto kvadriky se nazývají rotační kvadriky. Jejich vytvoření si popíšeme v Části 26. 0 Úloha 25.1. Určete charakteristickou rovnici, hlavní čísla a hlavní směry kvadriky K: a) K : x2 - 4y2 + z2 + 6xz + 4x + 16y - 4z - 16 = 0 , b) K : x2 + 2y2 + z2 - 2xz - 2x - 2z + 4 = 0 . Řešení: a) Matice A = \A-\E\ = 0 je 1 — A 0 3 1 0 3\ 0 —4 0 a její charakteristická rovnice 3 0 1/ 0 3 -4-A 0 = 0, tj. -A3 - 2 A2 + 16A + 32 = 0. Hlavní 0 1 - A čísla jsou kořeny charakteristické rovnice, tj. Ai = —2, A2 = 4 a A3 = —4. Hlavní směr určený kořenem Ai = —2 je určen vektorem, jehož souřadnice jsou řešením soustavy rovnic (viz (16.6)) 3-ui + 3ii3 = 0 , -2u2 = 0, 3-ui + 3-113 = 0 , 25. Metrické vlastnosti kvadrik 140 tj. hlavní směr odpovídající hlavnímu číslu Ai = —2 je určen vektorem Ui = (1; 0; — 1). Pro hlavní směr určený hlavním číslem A2 = 4 dostaneme soustavu —3«i + 3ií3 = 0, -8«2 = 0, 3«i — 3«3 = 0, tj. hlavní směr odpovídající hlavnímu číslu A2 = 4 je určen vektorem U2 = (1; 0; 1). Konečně pro hlavní směr určený hlavním číslem A2 = —4 dostaneme soustavu 5«i 3«i 3«3 = 0, 0 = 0, 5ií3 = 0, tj. hlavní směr odpovídající hlavnímu číslu A2 = —4 je určen vektorem U3 = (0; 1; 0). / 1 0 -1\ b) Matice A = \ 0 2 0 a její charakteristická rovnice U o 1 j 1-A 0 -1 \A-XE\ = 0)e 0 2-A 0 = 0, tj. -A3 + 4A2 - 4A = 0. Hlavní čísla jsou -1 0 1-A kořeny charakteristické rovnice, tj. A12 = 2 a A3 = 0. Podprostor hlavních směrů určených dvojnásobným kořenem Ai^ = 2 je řešením soustavy rovnic (viz (16.6)) -«1 -Ui li3 = 0, 0 = 0, «3 = 0, tj. hlavní směry odpovídající hlavnímu číslu Ai^ = 2 tvoří podprostor L(ui = (1; 0; —1), u2 = (0; 1; 0)). Pro hlavní směr určený hlavním číslem A3 = 0 dostaneme soustavu «1 —«3 = 0, 2«2 = 0, —«1 +«3 = 0, tj. hlavní směr odpovídající hlavnímu číslu A3 = 0 je určen vektorem U3 = (1; 0; 1). Poznámka: Protože je naše kvadrika regulární, je hlavní směr určený nulovým hlavním číslem směrem nevlastního středu kvadriky. Úloha 25.2. Určete hlavní roviny a osy kvadrik z Úlohy 25.1. Řešení: a) I. metoda: 25. Metrické vlastnosti kvadrik 141 Hlavní roviny jsou polární roviny nevlastních bodů určených hlavními směry Nevlastní bod XJ\ = (ux) = (1;0;—1;0) má polární rovinu lji : x — z — 2 = 0, nevlastní bod U2 = (u2) = (1; 0; 1; 0) má polární rovinu lo2 : x + z = 0 a nevlastní bod U3 = (u3) = (0; 1; 0; 0) má polární rovinu u)% : y — 2 = 0. Osy jsou potom společné přímky dvou hlavních rovin, tj. o\\ x — z — 2 =0, 02 : x — z — 2 =0, 03 : x + z =0, x + z = 0, y-2 =0, y-2 =0. II. metoda: Osa je parametricky určena vlastním středem a hlavním směrem. Naše kvadrika má jediný vlastní střed S = [1; 2; —1]. Potom o1:X = [l;2 o2:X = [l;2 03 :X = [1;2 -1] + Í(0;1;0), -1] + Í(1;0;1), -l] + í(l;0;-i; b) Polární rovina nevlastního bodu určeného hlavním směrem odpovídajícím nulovému hlavnímu číslu je nevlastní a podle Definice 25.2 to není hlavní rovina. Dvoudimenzionální podprostor hlavních směrů, který je určen dvojnásobným kořenem charakteristické rovnice, určuje nevlastní přímku. Všechny polární roviny nevlastních bodů ležících na této přímce tvoří svazek hlavních rovin a osa tohoto svazku rovin je jedinou osou kvadriky. Je určena např. polárními rovinami nevlastního bodu Ui = (ui) = (1; 0; —1; 0), tj. loi : x — z = 0, a polární rovinou nevlastního bodu U2 = (u2) = (0; 1; 0; 0), tj. uj2 ■ y = 0. Potom o : x — z = 0 , y =0. Protože kvadrika K nemá vlastní střed, nemůžeme určit přímo parametrickou rovnici osy jako v případě a). Úloha 25.3. Určete vrcholy kvadrik K z Úlohy 25.1. Řešení: a) Z parametrického vyjádření osy o\ dosadíme do rovnice kvadriky a pro parametr t dostaneme kvadratickou rovnici t2 — 1 = 0. Potom vrcholy, které leží na ose 01, jsou dva reálné body A = [1; 3; —1], B = [1; 1; —1]. Podobně z parametrického vyjádření osy 02 dostaneme kvadratickou rovnici 2r2 + 1 = 0. Potom vrcholy, které leží na ose o2, jsou dva komplexně sdružené body E = [1 + ^i- 2; -1 + ^i], Ě = [1 - ^i- 2; -1 - Konečně pro osu o3 dostaneme kvadratickou rovnici t2 — 1 = 0, a tedy vrcholy, které leží na ose 03, jsou dva reálné body C = [2; 2; —2], D = [0; 2; 0]. b) Z obecných rovnic osy o dosadíme do rovnice kvadriky y = 0, z = x. Dostaneme lineární rovnici x — 1 = 0. Tedy kvadrika má jediný vrchol V = [1; 0; 1]. Poznámka: Rovnice pro výpočet průniku osy o a kvadriky K je lineární proto, že druhý průsečík je nevlastní bod osy o (střed kvadriky K). 26. Metrická klasifíkace kvadrik 142 26 Metrická klasifikace kvadrik Všechny afinní vlastnosti a afinní klasifikace kvadrik zůstávají zachovány i v euklidovském prostoru. V této části skript si ukážeme, jak zvolit ortonormální polární repér kvadriky a rychle určit kanonické rovnice kvadriky, ze kterých se nejlépe pozná, o jakou kvadriku se jedná, a vyčteme z nich všechny informace o kvadrice. V následujících dvou větách je popsán způsob, jak zvolit polární ortonormální repér tak, aby měla kvadrika nejjednodušší možnou rovnici. Věta 26.1. Nechť K je středová kvadrika. Pak existuje takový kartézský repér, že vzhledem k němu má K rovnici K : \lX2 + \2y2 + A3z2 + a44 = 0 , (26.1) kde Aj, i = 1,2, 3, jsou hlavní čísla kvadriky a a44 E IR. Důkaz. Zvolme vlastní střed kvadriky za počátek ortonormálního repéru a jednotkové vektory hlavních směrů kvadriky za základní směrové vektory ortonormálního repéru. Potom podle Důsledku 24.1 má K rovnici K : anx2 + a22y2 + a33z2 + a44 = 0 . Charakteristická rovnice kvadriky má v těchto souřadnicích tvar (an - A)(a22 - A)(a33 - A) = 0 a odtud plyne tvrzení. □ Věta 26.2. Nechť K je nestředová kvadrika hodnosti > 3. Pak existuje takový kartézský repér, že vzhledem k němu má K rovnici K : Axx2 + A2y2 + 2a34z = 0, (26.2) kde Aj, i = 1,2, jsou hlavní čísla kvadriky a a34 G IR a a34 ^ 0. Důkaz. Zvolme za počátek ortonormálního repéru vrchol kvadriky a jednotkové vektory hlavních směrů kvadriky za základní směrové vektory ortonormálního repéru. Potom podle Věty 24.4 má K rovnici K : anx2 + a22y2 + 2a34z = 0 . Charakteristická rovnice v těchto souřadnicích má tvar -(an-A)(a22-A)A = 0 a odtud plyne tvrzení. □ 26. Metrická klasifíkace kvadrik 143 x x x Poznámka 26.1. Všimněme si, že v případě nestředové kvadriky je vždy alespoň jeden kořen charakteristické rovnice roven nule, v našem označení A3 = 0. Ze zbývajících kořenů musí být alespoň jeden kořen nenulový, což vyplývá z podmínky pro hodnost kvadriky. Pokud by byly oba kořeny Al5 A2 nulové, byla by rovnice (26.2) lineární a kvadrika by obsahovala jako tvořící rovinu nevlastní rovinu. <) Věta 26.3. (Metrická klasifikace kvadrik) Ke každé kvadrice K, která neobsahuje jako svou část nevlastní rovinu, existuje takový ortonormální repér, že vzhledem k němu má K jednu z následujících rovnic: (EK1) (EK2) (EK3) (EK4) (EK5) (EK6) (EK7) (EK8) (EK9) (EK10) (EK11) (EK12) (EK13) (EK14) b2 z2 + -cz + 1 = o, a > 0, 6 > 0, c> 0 b2 z2 + -ca - 1 = o, a > 0, 6 > 0, c > 0 b2 z2 ~ c2 - 1 = o, a > 0, 6 > 0, o 0 b2 z2 c2 + 1 = o, a > 0, b > 0, o 0 xA — 4 y2 - — 4 -2z = o, P > o, g > 0 p q 2 xA y2 - — 4 -2z = o, P > o, g > 0 P q 2 xz az y2 - — -+ b2 z2 ' c2 = o, a > 0, 6 > 0, o 0 xz — 4 az y2 b2 z2 c2 = o, a > 0, b > 0, o 0 2 xz ~a~2 + «-b2 + 1 = o, a > 0, 6 > 0 xz ~a~2 + y-b2 -1 = o, a > 0, 6 > 0 xz 'd2 y2 b2 -1 = o, a > 0, 6 > 0 2 xz — 4 -2z = o, p > 0 P 2 xA — 4 az y2 b2 = o, a > 0, b > 0 2 xz 'd2 ~ y2 b2 = o, a > 0, 6 > 0 26. Metrická klasifíkace kvadrik 144 a > O a > O (EK15) (EK16) (EK17) kde a, b, c, p, q jsou reálna čísla. Důkaz. Důkaz se provede stejně jako ve Větě 17.3 úpravou rovnic (26.1) a (26.2). □ Poznámka 26.2. Kladná čísla a,b,cv rovnicích (EK1) - (EK4) elipsoidů a hyperboloidů se nazývají délky poloos. Pro osy kvadriky, na kterých leží reálné vrcholy kvadriky, udávají tato čísla vzdálenosti vrcholů od středu kvadriky. Čísla p,q v rovnicích (EK5) - (EK6) paraboloidů jsou parametry parabol, ve kterých protínají paraboloid všechny roviny rovnoběžné s jednou ze dvou hlavních rovin paraboloidu. Rovnice (EK7) (respektive (EK8)) určuje imaginární (respektive reálnou) kuželovou plochu. Čísla a, b jsou délky poloos řídící kuželosečky - imaginární (respektive reálné) elipsy. Přitom je osa kuželové plochy kolmá na rovinu řídící kuželosečky. Čísla a, b v rovnicích (EK9) - (EK11) jsou délky poloos řídící kuželosečky (imaginární elipsy, respektive reálné elipsy, respektive hyperboly) imaginární eliptické, respektive reálné eliptické, respektive hyperbolické válcové plochy. Přitom je osa válcové plochy kolmá na rovinu řídící kuželosečky. Číslo p v rovnici (EK12) je parametr řídící kuželosečky (paraboly) parabolické válcové plochy. Přitom jsou tvořící přímky kolmé na rovinu řídící paraboly. Rovnice (EK13) (respektive (EK14)) určuje dvojici komplexně sdružených (respektive reálných) různoběžných rovin, které se protínají v ose z. Rovnice (EK15) (respektive (EK16)) určuje dvojici komplexně sdružených (respektive reálných) rovnoběžných rovin, které jsou rovnoběžné s rovinou x = 0. Konečně rovnice (EK17) je rovnicí dvojnásobné roviny x = 0. <) Poznámka 26.3. Kvadriky mají velký význam ve stavebnictví. Na titulní straně je ukázka využití eliptického paraboloidu k zastřešení budovy (pavilon Z na výstavišti v Brně), podobně v závěru textu jsou ukázky využití hyperbolického paraboloidu jako skořepiny střech nebo jednodílného hyperboloidu jako chladící věže elektráren nebo konstrukce vodojemu. <) Poznámka 26.4. Má-li charakteristická rovnice kvadriky trojnásobný nenulový kořen, je příslušná kvadrika zobecněná kulová plocha. V kanonických rovnicích tomu odpovídají rovnice (EK1), (EK2) a (EK7), kde a = b = c = r. (EK1) má potom tvar 2 i 2,2 x + y + z a určuje imaginární kulovou plochu. 26. Metrická klasifíkace kvadrik 145 (EK2) má potom tvar x2 + y2 + z2 = r2 , r/0, a určuje (reálnou) kulovou plochu o poloměru r. Na Obrázku 26.1 je reálná kulová plocha o rovnici K : x2 + y2 + z2 = 9 proťatá souřadnými rovinami. Obrázek 26.1: Reálná kulová plocha (EK7) má potom tvar x2 + y2 + z2 = 0 a určuje nulovou kulovou plochu (reálná kulová plocha s nulovým poloměrem). <) Poznámka 26.5. Má-li charakteristická rovnice kvadriky dvojnásobný nenulový kořen, je příslušná kvadrika rotační a vzniká rotací kuželosečky kolem některé její osy. Všimněme si, jak vznikají reálné rotační kvadriky. Rotací reálné elipsy v rovině x = 0 o rovnici 2 2 V z kolem souřadné osy z vznikne rotační elipsoid o rovnici 2 2 2 xz yz zz ^'^ + |í + ^-1 = 0- Je-li přitom b > c, nazývá se tento elipsoid zploštělý a je-li b < c, nazývá se tento elipsoid protáhlý. Na Obrázku 26.2 je zploštělý elipsoid o rovnici K : ^- + ^- + z2 = 1 proťatý rovinou xy a protáhlý elipsoid o rovnici K : x2 + y2 + y = 1 proťatý rovinou xy. Rotací hyperboly v rovině x = 0 o rovnici 26. Metrická klasifíkace kvadrik 146 Obrázek 26.2: Rotační elipsoidy a hyperboloidy kolem osy z (vedlejší osa hyperboly) vzniká rotační jednodílný hyperboloid o rovnici 2 2 2 XA VA ZA K : — + - — b2 b2 1 = 0. cŕ Naopak rotací kolem osy y (hlavní osa hyperboly) vzniká rotační dvojdílný hyperboloid o rovnici 2 2 2 xz yz zz K :--— + f- - — c2 b2 c2 1 = 0. T = 1 r = -l Na Obrázku 26.2 je rotační jednodílný hyperboloid o rovnici K : x2 proťatý rovinou xy a rotační dvoudílný hyperboloid o rovnici K : x2 +y2 proťatý rovinou xy. Asymptoty hyperboly vytvoří při této rotaci asymptotickou kuželovou plochu hyperboloidu. Tyto dva hyperboloidy jsou navzájem doplňkové, tj. mají stejné osy asymptotické kužely a imaginární vrcholy jednoho hyperboloidu jsou reálné vrcholy doplňkového hyperboloidu. Pří rotaci hyperboly kolem její osy vytvoří doplňkový hyperboloid doplňková hyperbola. Rotací paraboly v rovině x = 0 o rovnici ,2 k : y 2z = 0 kolem osy z (osa paraboly) vzniká rotační paraboloid o rovnici K : x 2z = 0. Na Obrázku 26.3 je rotační paraboloid o rovnici K : ví 2z = 0. Rotací dvojice reálných různoběžných přímek v rovině x = 0 o rovnici k : b2 = 0 kolem jedné z os y nebo z (osy této singulární kuželosečky) vzniká rotační (reálná) kuželová plocha. Na Obrázku 26.3 je rotační reálná kuželová plocha o rovnici K : x z2 = 0. 26. Metrická klasifíkace kvadrik 147 Obrázek 26.3: Rotační paraboloid, rotační kuželová a rotační válcová plocha Konečně rotací dvojice (reálných) rovnoběžných přímek v rovině x = 0 o rovnici ,2 k : y_ b2 i = o kolem osy z (osa této singulární kuželosečky) vzniká rotační (reálná) válcová plocha. Na Obrázku 26.3 je rotační reálná válcová plocha o rovnici K : x + y = 9. Věty 26.1 a 26.2 popisují, jak zvolit ortonormální repér tak, aby měla kvadrika kanonické rovnice, ze kterých snadno určíme všechny informace o kvadrice. Je-li tedy kvadrika zadána rovnicí (25.5), musíme určit hlavní směry kvadriky, střed, či vrchol kvadriky a napsat transformační rovnice přechodu k ortonormálnímu repéru popsanému ve Větách 26.1 a 26.2. Dosazením takovýchto transformačních rovnic do původní rovnice kvadriky potom dostaneme kanonickou rovnici (26.1) nebo (26.2). Tento postup je ovšem velice zdlouhavý a pracný. Podobně jako v případě kuželoseček existuje způsob, jak velice rychle určit kanonické rovnice kvadriky bez hledání příslušných transformačních rovnic. Tato metoda se nazývá metoda invariantů. Metoda úpravy rovnic pomocí otáčení souřadnicového repéru kolem počátku a posunování počátku je sice teoreticky také možná, ale velice pracná. Proto se u kvadrik nepoužívá. Podobně jako v teorii kuželoseček definujeme invariant kvadriky jako reálné číslo, které je přiřazeno koeficientům matice kvadriky a nezávisí na zvoleném souřadnicovém repéru. Stejným způsobem se definuje také stupeň invariantu kvadriky a absolutní invariant kvadriky. Stejně jako v teorii kuželoseček je hodnost kvadriky absolutní invariant, který je projektivní. Hodnost matice A je afinním absolutním invariantem. Všechny další invarianty kvadriky jsou euklidovské. Protože charakteristická rovnice kvadriky je nezávislá na zvoleném ortonormálním repéru, jsou její kořeny i koeficienty invarianty kvadriky. Koeficienty charakteristické rovnice jsou čísla I\ = a 73 = \A\. Potom Iľ je «11 + «22 «33, h = au ai2 ai2 a22 au ai3 ai3 a33 a22 a23 a23 a33 invariant stupně 1, I2 je invariant stupně 2 a 1% je invariant stupně 3. Další inva- 26. Metrická klasifíkace kvadrik 148 riant kvadriky stupně 4 je determinant matice A. Důkaz tohoto tvrzení je totožný s důkazem Věty 17.4. Hlavní čísla kvadriky jsou potom invarianty stupně 1. Pomocí těchto invariantů můžeme nyní snadno určit kanonické rovnice některých kvadrik. Věta 26.4. Nechť K je kvadrika, která má právě jeden vlastní střed, a v nějakém kartézském repéru má rovnici (25.5). Pak existuje takový kartézský repér, že vzhledem k němu má K rovnici K : \lX2 + \2y2 + \3z2 + |4| = 0, (26.3) 1^1 kde Aj i = 1, 2, 3, jsou nenulová hlavní čísla kvadriky. Důkaz. Podmínka, že K má právě jeden střed, je ekvivalentní tomu, že hodnost matice A je 3, tj. všechna hlavní čísla jsou nenulová (vyplývá z kořenových vztahů pro charakteristickou rovnici). Potom podle Věty 26.1 má K v nějakém kartézském repéru rovnici K : Aix2 + A2y2 + A3z2 + bu = 0. Protože \A\ je invariantní při změnách kartézských souřadnic, je \A\ = = A1A2A3&44 a odtud &44 = |^4|/|^4|, protože z kořenových vztahů pro charakteristickou rovnici je \A\ = AxA2A3. □ Věta 26.5. Nechť K je regulární nestředová kvadrika, která má v nějakém kartézském repéru rovnici (25.5). Pak existuje takový kartézský repér, že vzhledem k němu má K rovnici K : A1x2 + A2y2±2W-J4^z = 0, (26.4) y AiA2 kde Aj i = 1, 2, jsou nenulová hlavní čísla kvadriky. Důkaz. Je-li K nestředová regulární kvadrika, je \A\ 7^ 0 a A má hodnost 2, tj. charakteristická rovnice pro matici A má 2 nenulové kořeny. Potom podle Věty 26.2 má K v nějakém kartézském repéru rovnici K : Aix2 + A2y2 + 2b34z = 0. Protože \A\ je invariantní při změnách kartézských souřadnic, je \A\ = — AiA2(&34)2 a odtud b34 = ~y^- ^ Poznámka 26.6. Předchozí dvě věty se tedy dají použít k rychlému nalezení kanonických rovnic pro všechny regulární kvadriky a singulární kvadriky hodnosti 3, které mají právě jeden vlastní střed (kuželové plochy). V ostatních případech budeme potřebovat ještě další invarianty. <) 26. Metrická klasifíkace kvadrik 149 Uvažujme rovnici (25.5) kvadriky K. Definujme polynom r(A) = au - A au ai3 au au -A Q23 Q24 ai3 Q23 Q33 - A 034 au Q24 Q34 «44 Ä-XE (a)T (a) (Z44 = -r0A3 + rxA2 ToA + r, kde r0 Ti = r2 = r, = Q44 au Q22 Q24 «33 034 au (Z44 1 Q24 (Z44 1 034 (Z44 au a\2 au 1-4-1 - an Q22 Q24 au Q24 (Z44 au a\3 au a\3 Q33 034 au 034 (Z44 Q22 Q23 Q24 Q23 Q33 034 Q24 034 (Z44 Věta 26.6. Funkce T(A) je invariantní při změnách ortonormálního repéru, které zachovávají počátek. Důkaz. Důkaz je totožný s důkazem Věty 17.7. □ Věta 26.7. Nechť K je kvadrika hodnosti 3 parabolického typu. Pak koeficient T2 funkce T (A) je invariant kvadriky K. Důkaz. Podle Věty 26.6 je r2 invariantní při změnách ortonormálního repéru, které zachovávají počátek. Musíme tedy ještě dokázat, že T2 je invariantní při posunutí ortonormálního repéru do nového počátku. Nechť K má v nějakém ortonormálním repéru rovnici (25.5) a nechť P = [pi; P2; P3] je nový počátek souřadnicového repéru. Potom v novém souřadnicovém repéru dostaneme Fi(P) V -12 — kde an a12 «12 «22 E2{P) Fi(P) F2(P) F(P) a22 a23 F2(P) a23 «33 F3(P) F2(P) F3(P) F(P) Fi{P) = anp± + a12p2 + 013^3 F2(P) = a12pi + a22P2 + «23^3 F3(P) = a13p1 + a23P2 + 033^3 «n «13 Fi(P) ai3 «33 ^3 OP) Fi(P) F3(P) F(P) Pu , P24 , P34 , F(P) = 3 "•'''•''i 2auPi + 2a2iP2 + 2a3ip3 + a44 . 26. Metrická klasifíkace kvadrik 150 Přímým výpočtem dostaneme n = (pí p\ pí) o-ll (212 Ql3 a12 a22 a23 Ql3 a23 a33 2pi 0-12 Ql3 a14 a22 a23 a24 Q23 a33 a34 2P2 o-n Ol3 au 0-12 Q23 a24 Ql3 a33 a34 2fô au ai2 ai4 Ol2 (222 Q24 Ql3 a23 a34 r 2 • (Qll Ql2 Ql3 Ql4 a12 a22 a23 a24 Ql3 a23 a33 a34, menší než 3 a odtud T'2 = T2- □ Věta 26.8. Nechť K je kvadrika hodnosti 3 parabolického typu, která má souřadnicové vyjádření (25.5). Potom v polárním ortonormálním repéru má K jednu z kanonických rovnic K : \lX2 + \2y2 + r2 A1A5 = o, r2 K : \1xi±2J--=-z = Q, Ai (26.5) (26.6) kde Ai, A2 jsou nenulová hlavní čísla kvadriky. Důkaz. Kvadrika parabolického typu hodnosti 3 je válcová plocha, která může být eliptická, hyperbolická nebo parabolická. Eliptická nebo hyperbolická válcová plocha má vlastní přímku středů a podle Věty 26.1 má rovnici K : Aix2 + A2y2 + bu = 0. Podle Věty 26.7 je ^ = A1A2&44 a odtud plyne rovnice (26.5). Parabolická válcová plocha nemá žádný vlastní střed a podle Věty 26.2 má rovnici K : Aix2 + 2b34z = 0 . Podle Věty 26.7 je ^ = — Ait»§4 a odtud plyne rovnice (26.6). □ Předchozí věty nám umožňují určit kanonické rovnice pro všechny kvadriky hodnosti větší nebo rovny třem. Protože pro kvadriku hodnosti jedna je vždy kanonická rovnice rovna K : Aix2 = 0, musíme ještě prodiskutovat situaci pro kvadriky hodnosti dva, tj. pro dvojici rovin. V případě, že jsou roviny různoběžné, má kvadrika přímku vlastních středů a charakteristická rovnice musí mít dva nenulové kořeny. Podle Věty 26.1 musí mít tedy kvadrika kanonickou rovnici Aix2 + A2y2 = 0 . Zbývá nám tedy jen případ rovnoběžných rovin. 26. Metrická klasifíkace kvadrik 151 Věta 26.9. Nechť K je kvadrika tvořená rovnoběžnými rovinami. Pak koeficient Ti funkce T(A) je invariant kvadriky K. Důkaz. Stejně jako ve Větě 26.7 stačí dokázat, že I^i je invariantní při posunutí ortonormálního repéru do nového počátku. Při stejném označení jako ve Větě 26.7 je v novém souřadnicovém repéru au F1(P) F1(P) F(P) a22 F2(P) F2(P) F(P) a33 F3(P) F3(P) F(P) p\ «12 «13 ^4. an «12 + )+P2[ au «22 «13 «33 «12 «22 PÍ alľ a13 «13 a33 «22 «23 «23 a33 2pip2 Ql2 a13 0-23 a33 a22 a23 Q23 a33 + 2piP3 (í22 a23 Qi2 a13 2í>2Í>3 2P2 an a13 0-12 0-23 au ai4 a12 a24 2p 0-33 a34 a23 a24 Ql3 + Ql2 Q33 Q34 1 Q22 Q24 2^3 au ai4 4- a-22 au a13 a34 a-23 Q24 ) Ti. Pro kvadriku hodnosti 2, která je tvořena rovnoběžnými rovinami, je hodnost (Qii Qi2 Qi3 au\ ď\2 a-22 a-23 0-24 rovna jedné a odtud r[ = IV □ Ql3 Q23 Q33 Q34/ Věta 26.10. Nechť K je kvadrika tvořená rovnoběžnými rovinami, která má souřadnicové vyjádření (25.5). Potom v polárním ortonormálním repéru má K kanonickou rovnici Ti Xix Ai = 0, (26.7) kde Ai je nenulové hlavní číslo kvadriky. Důkaz. Podle Věty 26.1 má K rovnici Aix2 + 044 = 0 . Podle Věty 26.9 je Ti = A1O44 a odtud plyne tvrzení. □ Poznámka 26.7. Metodu invariantů tedy můžeme shrnout do následující tabulky, kde Aj jsou nenulová hlavní čísla kvadriky. 26. Metrická klasifíkace kvadrik 152 h(A) h(Ä) kanonická rovnice typ kvadriky h(A) = 4 h(Ä) = 3 Aix2 + A2y2 + A3z2 + H = o elipsoidy, hyperboloidy h(Ä) = 2 Aix2 + W +2^-^ = 0 paraboloidy h(A) = 3 h(Ä) = 3 Aix2 + A2y2 + A3z2 = 0 kuželové plochy h(Ä) = 2 Aix2 + A2y2 + = 0 eliptické a hyperbolické válcové plochy h(Ä) = 1 Aix2 + 2^J-^z = 0 parabolická válcová plocha h(A) = 2 = 2 Aix2 + A2y2 = 0 různoběžné roviny = 1 Aix2 + g = 0 rovnoběžné roviny h(Ä) = 0 neexistuje vlastní rovina a nevlastní rovina h{A) = 1 = 1 Axx2 = 0 dvojnásobná vlastní rovina h(Ä) = 0 neexistuje dvojnásobná nevlastní rovina Úloha 26.1. Určete transformaci ortonormálních souřadnic, která převádí rovnici kvadriky K do kanonického tvaru. Určete také kanonickou rovnici a typ kvadriky: a) K : x2 - 4y2 + z2 + 6xz + 4x + 16y - 4z - 16 = 0 , b) K : x2 + 2y2 + z2 - 2xz - 2x - 2z + 4 = 0 . Řešení: a) Z Úlohy 25.1 a) máme jednotkové vektory hlavních směrů ei = (0; 1; 0), e2 = (^; 0; —~^) a e3 = (^; 0; ^). Kvadrika je středová s jediným vlastním středem S = [1; 2; —1]. Otronormální repér {S; e±, e2, e3) je tedy polární ortonormální repér kvadriky a transformační rovnice, které převádí danou rovnici kvadriky do kanonického tvaru, jsou 1 , 1 , -1 X = \/2 y = x -i -2 1 , 1 , 1 x = ~T2y' - —=z -V2 Dosazením do původní rovnice kvadriky dostaneme kanonickou rovnici 26. Metrická klasifíkace kvadrik 153 K : -4x'2 - 2y'2 + 4z'2 + 4 = 0, kterou vydělením —4 upravíme na tvar K : x'2 + -y'2 -z'2 -1 = 0. 2y Jedná se tedy o jednodílný hyperboloid. b) Z Úlohy 25.1 b) máme jednotkové vektory hlavních směrů e! = = (-^=; 0; —-^), e2 = (0; 1;0) a e3 = (-^;0; ;-^). Kvadrika je nestředová a podle Úlohy 25.3 b) má jediný vlastní vrchol V = [1; 0; 1]. Ortonormální repér (V; el5 e2, e3) je tedy polární ortonormální repér kvadriky a transformační rovnice, které převádějí danou rovnici kvadriky do kanonického tvaru, jsou 1 / , 1 y/2 \Í2 z' + l, y= v ■ z =--=x 1 / , 1 -W +1. y/2 y/2 Dosazením do původní rovnice kvadriky dostaneme kanonickou rovnici K : 2x'2 + 2y/2 + \/2 z' = 0, kterou vydělením 2 upravíme na tvar K : x'2 + y'2 - — z' = 0 . y 2 Kvadrika je tedy eliptický (rotační) paraboloid. Úloha 26.2. Metodou invariantů určete kanonickou rovnici a typ kvadriky: a) K : x2 - 4y2 + z2 + 6xz + 4x + 16y - 4z - 16 = 0 , b) K : x2 + 2y2 + z2 - 2xz - 2x - 2z + 4 = 0 , c) K : x2 + y2 + 3z2 + 10xy + 6xz + 6yz - Wx - 2y - 6z + 37 = 0 , d) K :2x2 + 2y2 + 2z2 + 2xy - 2xz + 2yz - 6x + 18y + 24z = 0 , e) K : x2 + 4y2 + z2 + Axy — 2xz — Ayz + x + 2y — z = 0 . Řešení: a) Určíme det(A) = 128 a det(Ä) = 32, tj. kvadrika je regulární středová. Z Úlohy 25.1 a) jsou kořeny charakteristické rovnice Ai = —4, A2 = —2 a A3 = 4. Podle Věty 26.4 má kvadrika kanonickou rovnici K : -Ax'2 - 2y'2 + 4z'2 + 4 = 0, kterou vydělením —4 upravíme na tvar K : x'2 + -y'2 -z'2 -1 = 0. 2y Jde o jednodílný hyperboloid. b) Určíme det(A) = —8 a det(Ä) = 0, tj. kvadrika je regulární nestředová (paraboloid). Z Úlohy 25.1 b) jsou kořeny charakteristické rovnice Ai = A2 = 2 a A3 = 0. Podle Věty 26.5 má kvadrika kanonickou rovnici 27. Cvičení 154 K : 2x'2 + 2y'2 + y/2 z' = O, kterou vydělením 2 upravíme na tvar K : x'2 + y'2 — — z' = 0 . y 2 Jedná se tedy o rotační paraboloid. c) Určíme det(4) = 0 a hodnost A je 3, tj. kvadrika je singulární hodnosti 3. Dále det(Ä) = 0 a hodnost A je 2, tj. kvadrika je parabolického typu (válcová plocha). Charakteristická rovnice kvadriky je A3 — 5A2 — 36A = 0 s kořeny Ai = 9, A2 = —4 a A3 = 0. Určíme Y2 = —1296 a podle Věty 26.8 má kvadrika kanonickou rovnici K : 9x2 — Ay2 + 36 = 0, kterou vydělením 36 upravíme na tvar 2 2 xz yz K: —-7T + 1 = 0. 4 9 Jedná se tedy o hyperbolickou válcovou plochu. d) Určíme det(4) = 0 a hodnost A je 3, tj. kvadrika je singulární hodnosti 3. Dále det(Ä) = 0 a hodnost A je 2, tj. kvadrika je parabolického typu (válcová plocha). Charakteristická rovnice kvadriky je A3 —6A2 + 9A = 0 s kořeny Ai = A2 = 3 a A3 = 0. Určíme = —702 a podle Věty 26.8 má kvadrika kanonickou rovnici K : 3x2 + 3y2 — 78 = 0, kterou vydělením 3 upravíme na tvar K : x2 + y2 - 26 = 0. Jedná se tedy o rotační válcovou plochu poloměru y/26. e) Určíme det(A) = 0 a hodnost A je 2, tj. kvadrika je složena z dvojice rovin. Dále det(Ä) = 0 a hodnost Ä je 1, tj. tvořící roviny jsou rovnoběžné. Charakteristická rovnice kvadriky je A3 — 6A2 = 0 s kořeny Ai = 6, A2 = A3 = 0. Určíme Ti = —3/2 a podle Věty 26.10 má kvadrika kanonickou rovnici K : 6x2 — - = 0. 4 Jedná se tedy o reálné rovnoběžné roviny. Poznámka: Opravdu, původní rovnici kvadriky můžeme rozložit na K : (x + 2y - z) (x + 2y - z + 1) = 0 . Kvadrika je tedy tvořena dvojicí reálných rovnoběžných rovin, jejichž obecné rovnice v původních souřadnicích jsou a : x + 2y — z = 0a/3:x + 2y — z + 1 = 0. 27 Cvičení V následujících cvičeních se souřadnice a rovnice vztahují k dané geometrické bázi projektivního prostoru. 27. Cvičení 155 27.1. Určete hodnost kvadriky K : 2x\ + 4x2, — x§ — 8xix2 + 8x1X4 — 8x2x4 + 4x| = 0. Je-li K singulární, určete její singulární body. { Hodnost kvadriky je 3, singulární bod(0; 1; 0; 1) } 27.2. Rozhodněte, zda kvadrika K je regulární nebo singulární: a) K : x\ — 4xix2 — 2x\ — 8x1X3 + 6x1X4 — 5x| = 0 , b) K : x\ + 2x2, + 3x| — 6x3x4 + 3x| = 0, c) K : x\ + 2xix2 — 4xiX4 + 3x2 + 8x2X3 + 8x| + 8x3X4 + 6x2 = 0. { a) Regulární, b) singulární hodnosti 3, c) singulární hodnosti 2 } 27.3. Je dána kvadrika K : x\ + 2xix2 — 4x1X4 + x\ — x\ + 2x3X4 + x\ = 0. a) Určete polární rovinu bodu P = (1; 2; —1; 1) vzhledem ke kvadrice. b) Určete pól roviny tt : 2xi + x2 + 2x3 — 3x4 = 0 vzhledem ke kvadrice. { a) 7T : xi + 3x2 + 2x3 - 2x4 = 0, b) P = (0; 2; -5; -1) } 27.4. Je dána kvadrika K : x\ — 2xix2 + X1X3 — X1X4 + x\ + 5x2X3 + 3x2X4 — X3X4 = 0 . a) Určete tečnou rovinu kvadriky v bodě T = (1; —1; —1; 1). b) Ukažte, že rovina x2 = 0 je tečnou rovinou kvadriky a určete její bod dotyk { a) 2xi - 6x2 - 5x3 - 3x4 = 0, b) T = (1; 0; -1; 1) } 27.5. Určete hodnost, normální rovnici a projektivní typ kvadriky K: a) K : 9x2+12xix2—6x1X3+30x1X4+4x2—4x2x3+20x2X4+x|—IOX3X4+25X4 = b) K : 2x\ + 2xix2 + 6x1X3 + 2x1X4 — x\ + 8x2X3 + 4x2X4 + 7x| — 2x3X4 + 7x\ = c) K : 3x2 + 8xix2 + 8x1X4 + 4x2X3 — 4x2X4 + x| + I6X3X4 + llx2 = 0 , d) K : 3x2—2xix2—2x1X3+22x1X4—5x2+6x2X3—42x2X4—x|+10x3X4 —16x| = { a) h(K) = 1; y\ = 0; dvojnásobná tvořící rovina; v původních souřadnicích má tvořící rovina rovnici 3xi + 2x2 — X3 + 5x4 = 0, b) h(K) = 4; y\ -\-y\ + y| — y\ = 0; nepřímková regulární kvadrika, c) h(K) = 3; y\ + y\ — y\ = 0; reálná kuželová plocha, d) h(K) = 2;y\ — y\ = 0; dvojice reálných rovin } 27. Cvičení 156 27.6. Pro kvadriky z Cvičení 27.5 určete normovanou polární geometrickou bázi a transformaci projektivních homogenních souřadnic, která převádí rovnici kvadriky do normálního tvaru. { a) Například d = (±; 0; 0; 0), 02 = (2; -3; 0; 0), 03 = (1; 0; 3; 0), 0A = (5; 0; 0; —3), E = (f; -3; 3; -3), x1 = |yi + 2y2 + ž/3 + 5y4, x2 = -3y2, x3 = 3y3, x4 = -3y4, b) Například d = 0; 0; 0), 02 ^ 2\/2' 2\/2'U' 2V^' °3 = ("Ä' Í7Ť5' °)> °4 = (^; 0; 0), p _ /\/l5-7^+2^5. VIŠ+Sx/Ž^x/Ěi. 3 . 1 \ ^ 2vHČ> ' 2vHČ> ' 2vTŠ' 2\/2'' 272^ + Í7i5y3 " 7ey4' Xs = i7Í5y3' X4 = i72y2' c) Například Oí = (^; 0; 0; 0), 02 = (0; 0; -^), °3 = (-^;^; 715'°)' 04 = (4;-5;-6;2), p _ / ^/35-4^/3+4^/l(j5 . ^/7+3^/3-5^/lÔ5 . l-6y^5. -l+2^\ Xl = 73yi" vfcy3 + 4y4' X2 = vfey2 + ^Sy3_5y4' X3 = - 6y4, 2:4 = -7^2/2 + 2y4 , d) Například 01 = (^; 0; 0; 0), 02 = (0; ^; 0), 03 = (1;1;2;0), 04 = (-3; 0; 13; 2), F _ /1-2V3. 1+2V3. -1+30V^. _ J_ , _ o ^ _ ^ ' 2VŠ ' 2VŠ ' ^' 1 ~~ Všyi + 2/3 áy4' X2 = 273^2 + ^3' X3 = ~2^y2 + 2^3 + 13^4' X4 = 2^4 } 27.7. Dokažte, že kvadrika K : 3x2 + 8x1X2 + 2xix4 + 4x2X3 — 16x2X4 + x| + 14x3x4 — 9x2 = 0 je kuželová plocha a určete její vrchol. {U = (6;-5;-4;2)} V následujících cvičeních se souřadnice a rovnice vztahují k danému afinnímu repéru v afinním prostoru. 27.8. Určete průnik kvadriky K : 3y2 + 4z2 + 24x + I2y - 72z + 360 = 0 s rovinou a : x — y + z = 1. { Reálná elipsa } 27. Cvičení 157 27.9. Je dána kvadrika K : x2 + 4y2 + 4z2 + 4xy - lOyz - 6x - 2y + 2z + 3 = O a rovina a : x + ay + z = 0. Určete parametr a tak, aby a P\ K byla: a) kuželosečka eliptického typu, b) kuželosečka hyperbolického typu, c) kuželosečka parabolického typu, d) elipsa, e) hyperbola, f) parabola. { a) a G (-oo; ^f^) U (^f^; oo) b) fl £ (13^; I3±|v^) ^ d) a G (-oo; U (^±^; oo), e) ae(^;f)U(f;2)U(2;^), f) fle{1^.13M}} 27.10. Ukažte, že přímka p = X = [0; 0; 4] + í(3; 2; 1) je tvořící přímka kvadriky K :5x2 + 9y2 + 9z2 - 12xy - 6xz + 12x - 36z = 0 . 27.11. Ukažte, že přímka q = x = 1 + 4í, y = 2 + 2í, z = 0 je tečnou kvadriky K : x2 — 2y2 + z2 — 2xy + Axz — yz + 3x — 5z = 0 a určete její bod dotyku. {T=[-3;0;0]} 27.12. Určete středy kvadriky K: a) K :3x2 + 2y2 - 2xz + 4yz - Ax - 8z - 8 = 0 , b) K : x2 + 4y2 + 5z2 + 4xy - 12x + 6y - 9 = 0 , c) K :5x2 + 9y2 + 9z2 - 12xy - 6xz + 18y - 36z = 0 , d) K : 4x2 + y2 + 9z2 - 4xy + 12xz - 6yz + 8x - 4y + 12z - 5 = 0 . { a) Jediný vlastní střed S = [0; 2; —2], b) jediný nevlastní střed S = (—2; 1; 0; 0), c) vlastní přímka středů X = [0; —1; 6] + í(3; 2; —7), d) vlastní rovina středů 2x — y + 3z + 2 = 0} 27.13. Určete rovnici kvadriky K, znáte-li jeden její bod M = [2; 0; — 1], střed S = [0; 0; —1] a její průnik s rovinou z = 0 je kuželosečka k : x2 — Axy — 1 = 0. { K : x2 + 3z2 - 4xy + 6z - 1 = 0 } 27. Cvičení 158 27.14. Je dána kvadrika K : 2x2 — 3y2 - z2 + Axy + 6xz — 8yz + 2x — 8y — liz — 2 = 0. Určete průměrovou rovinu: a) Sdruženou se směrem ((1; —3; 2)). b) Procházející body Pi = [0; 0; 1], P2 = [3; —1; 1]. Určete také směr s ní sdružený. c) Rovnoběžnou s rovinou p : 2x — y + 3z + 7 = 0. d) Obsahující přímku p : X = [3; 0; —1] + í(2; 5; 3). { a) cr : 2x + 3y + 13z + 2 = 0, b) a : 2x + 6y - 5z + 5 = 0, ((91; 156; -136)), c) a : 2x - y + 3z - 2 = 0, d) a : 16x - 19y + 21z - 27 = 0 } 27.15. Určete přímku o; polárně sdruženou s přímkou p vzhledem ke kvadrice K : x2 + 4y2 - 9z2 + 2x - 8y - 31 = 0 : 'á) p : x — y — 7 = 0, y — 3z + 8 = 0, b) jo : x + 2y - 1 = 0, 4y + 3z + 2 = 0, c) p : x - 2y - 3z - 3 = 0, 2y + 3z - 2 = 0 . { a) q : x + 18y + 16 — 0, x — 32y — 3z — 3 = 0, přímky jo a q jsou mimoběžné, b) q : x — 2y — 3z — 3 = 0, x — 2y + 3z — 15 = 0, q a jo se protínají v bodě T = [5; —2; 2] ležícím na kvadrice, c) p je tvořící přímka K a je proto polárně sdružená sama se sebou } 27.16. Ukažte, že přímka p = X = [4; —2; 0] + í(6; 3; 2) má vzhledem ke kvadrice K : x2 — 4xy + 6yz + 2x — 5 = 0 asymptotický směr, tj. p protíná K v jejím nevlastním bodě. { V homogenních souřadnicích zjistíme, že průnikem přímky p a kvadriky K je vlastní bod (54; —75; —34; 12) a nevlastní bod (6; 3; 2; 0) } 27.17. Určete asymptotickou kuželovou plochu kvadriky K: a) K : x2 + y2 + z2 + 2xy + 6xz — 2yz + 2x — 6y — 2z = 0, b) K : 9x2 + 36y2 + 4z2 - 72x + 24z - 144 = 0 , c) K : 2x2 + 6y2 + 2z2 + 8xz - 4x - 8y + 3 = 0 . { a) Reálná kuželová plocha x2 + y2 + z2 + 2xy + 6xz — 2yz + 2x - 6y - 2z + 1 = 0, b) imaginární kuželová plocha 9x2 + 36y2 + 4z2 — 72x + 24z - 180 = 0, c) reálná kuželová plocha x2+3y2+z2+4xz—2x—4y+l = 0} 27. Cvičení 159 27.18. Ukažte, že kuželosečka p : x2 + 4y2 + Axy — 6x — 2y + 3 = 0 v rovině z = 0 je parabola, kuželosečka /i : 4y2 + 4z2 — 10yz — 2y + 2z + 3 = 0v rovině x = 0 je hyperbola a kuželosečka e : x2 + 4z2 — 6x + 2z + 3 = 0v rovině y = 0 je elipsa. Dokažte, že tyto kuželosečky leží na kuželové ploše s vrcholem V = [1; 1; 1]. Určete rovnici této kuželové plochy. { K : x2 + 4y2 + 4z2 + 4xy - 10yz - 6x - 2y + 2z + 3 = 0 } 27.19. Určete afinní typ a normálni rovnici kvadriky K: a) K : x2 + 4y2 + 5z2 + 4xy - 12x + 6y - 9 = 0, b) K :9x2 - 4y2 - 91z2 + 18xz - AOyz - 36 = 0 , c) K : x2 - 2y2 + z2 - 4xz + 6yz - 8x + 10y = 0 , d) K : x2 + 25y2 + 9z2 - lOxy + 6xz - 30yz - 2x - 2y = 0 . { a) eliptický paraboloid, x'2 + y'2 + 2z' = 0, b) reálná eliptická válcová plocha, x'2 — y'2 — 1 = 0, c) jednodílný hyperboloid, x'2 — y'2 — z'2 + 1 = 0, d) parabolická válcová plocha, x12 + 2y' = 0 } 27.20. Pro kvadriky z Cvičení 27.19 určete normovaný polární afinní repér a transformaci afinních souřadnic, která převádí rovnici kvadriky do normálního tvaru. { a) Například P = [3;f;0], ex = (1;0;0), e2 = (0;0;^), e3 = (~h Iv °)> x = x'-^z' + 3,y = ^z' + lz = b) Například P = [0;0;0], ex = (2;0;0), e2 = (0;3;0), e3 = (1;5;-1), x = 2x' - ^z', y = 3y' + 15 y! y _ 3 y! c) Například P = [^; 3; |], ex = (^f; 0; ^p), eo - (2Vii. VE. Vil) _ /q. q. _ VH / 2yTI / i 14 _ i/n,/ i q ~ — 2yTi / i Vil / i vTI / i d) Například P = [0;0;0], ex = (±;-±;0), e2 = (-IH;o), ^-3 ( 2' 2' ^ 6*^ 6^ 2^ ' ^ 6*^ 6^ 2Z ' Z = z' } V následujících cvičeních se souřadnice a rovnice vztahují k danému ortonormálnímu repéru v euklidovském prostoru. 27.21. Určete charakteristickou rovnici, hlavní čísla a hlavní směry kvadriky K: a) K :2x2 + 2y2 - 5z2 + 2xy - 2x - 2y - Az + 2 = 0 , 27. Cvičení b) K : 7x2 + 6y2 + 5z2 - Axy - Ayz - 6x - 24y + 18z + 30 = O , c) K : x2 + y2 + 5z2 — 6xy — 2xz + 2yz — 6x + 6y — 6z + 9 = O, d) K : x2 + y2 - 3z2 - 2xy - 6xz - 6yz + 2x + 2y + 4z = O, e) K : 5x2 + 8y2 + 5z2 + 4xy - 8xz + 4yz — 27 = O , f) K : 6x2 - 2y2 + 6z2 + Axz + 8x - 4y - 8z + 1 = O , g) K : 4x2 + 5y2 + 6z2 - 4xy + 4yz + 4x + 6y + 4z — 27 = O, h) K : x2 + 4y2 + 5z2 + 4xy — 12x + 6y — 9 = O . { a) A3 + A2 - 17A + 15 = 0; Ai = 1 odpovídá ux = (1; —1; 0), A2 = 3 odpovídá u2 = (1; 1; 0), A3 = —5 odpovídá u3 = (0;0;1), b) A3 - 18A2 - 99A - 162 = 0; X1 = 3 odpovídá ui = (1; 2; 2), A2 = 6 odpovídá u2 = (2; 1; -2), A3 = 9 odpovídá u3 = (-2; 2;-1), c) A3 - 7A2 + 36 = 0; X1 = 3 odpovídá ux = (1; -1; 1), A2 = 6 odpovídá u2 = (—1; 1; 2), A3 = —2 odpovídá u3 = (1;1;0), d) A3 + A2 - 24A + 36 = 0; Ai = 2 odpovídá ux = (1; —1;0), A2 = 3 odpovídá u2 = (—1; — 1; 1), A3 = —6 odpovídá u3 = (1;1;2), e) A3 — 18A2 + 81A = 0; Ai>2 = 9 odpovídá dvoudimenzi-onální podprostor hlavních směrů L((l; 2; 0), (—4; 2; 5)), A3 = 0 odpovídá U3 = (—2; 1; —2), f) A3-10A2+8A+64 = 0; X1 = 8 odpovídá ^ = (1; 0; 1), A2 = 4 odpovídá u2 = (1;0;—1), A3 = —2 odpovídá u3 = (0;1;0), g) A3 - 15A2 + 66A - 80 = 0; Ai = 8 odpovídá ux = (1; -2; -2), A2 = 5 odpovídá u2 = (-2; 1; -2), A3 = 2 odpovídá u3 = (-2;-2; 1), h) A3 — 10A2 + 25A = 0; Ai>2 = 5 odpovídá dvoudimen-zionální podprostor hlavních směrů L((l; 2; 0), (0; 0; 1)), A3 = 0 odpovídá U3 = (—2; 1; 0) } 27.22. Určete hlavní roviny kvadrik ze cvičení 27.21. { a) x - y = 0, 3x + 3y - 2 = 0, 5z + 2 = 0, b) x+2y+2z-3 = 0, 2x+y-2z-6 = 0, 2x-2y+z+3 = 0, 27. Cvičení 161 c) x — y + z — 3 = 0, x — y — 2z = 0, x + y = 0, d) x — y = 0, x + y — z = 0, x + y + 2z — 1 = 0, e) dvojnásobnému hlavnímu číslu odpovídá svazek hlavních rovin se základními rovinami x + 2y = 0, 4x — 2y — 5z = 0, nulovému hlavnímu číslu odpovídá nevlastní singulární bod kvadriky a odpovídající hlavní roviny jsou 2x - y - 2z + c = 0, kde c G R í) x + z = 0, x- z + 2 = 0, y+ 1 = 0, g) x-2y-2z-l = 0, 2x-y+2z+l = 0, 2x+2y-z+4 = 0, h) dvojnásobnému hlavnímu číslu odpovídá svazek hlavních rovin se základními rovinami x + 2y = 0, z = 0, polární rovina nevlastního bodu směru ((—2; 1;0)) je nevlastní } 27.23. Určete parametrické rovnice os kvadrik ze cvičení 27.21. { a) Oi : x = |, y = |, z = t — |, o2 : x = | + í, y = §+í, z = — |, o3 : x = | + í, y = |— t, z = — |, b) oi : x = 1 + t, y = 2 + 2t, z = -1 + 2t, o2 : x = 1 + 2t, y = 2 + t, z = -1 - 2t, o3 : x = 1 - 2t, y = 2 + 2t, z = -1 - t, c) oi : x = 1 + t, y = —1 — t, z = 1 + t, o2 : x = 1 — t, y = -1 + t, z = l + 2t, o3 : x = 1+t, y = -1 + t, z = 1, d) Oi : x = t, y = t, z = 2t, o2 : x = t, y = t, z = | — t, o3:x = |— t, y = t, z = ^, e) osa svazku hlavních rovin odpovídajících dvojnásobnému hlavnímu číslu kvadriky je osa kvadriky o : x = 2t, y = —t, z = 2t, dále je osou kvadriky (osou symetrie) každá přímka, která kolmo protíná osu o f) Oi : x = —1, y = —1 +1, z = 1, o2 : x = —1 + t, y = —1, z = 1 + t, o3 : x = —1 + t, y = —1, z = 1 — t, g) Oi : x = — 1 — 2t, y = — 1 — 2t, z = t, o2 : x = 1 — 2t, y = t, z = -2 - 2í, o3 : x = -1 -1, y = -1 + 2í, z = 2í, h) jediná osa o : x = —2í, y = t, z = 0 } 27.24. Určete souřadnice vrcholů kvadrik ze cvičení 27.21. { a) Dva reálné vrcholy A = [|; |; 4^^|^], B = [|; |; ~4^^2^] a dvě dvojice komplexně sdružených vrcholů C = p^jái; ^Af; -§], C = r V5-4i. VE-4i. _2] L 3VŠ ' 3a/5 ' 5J' 7-) _ ľ i 1 4i . 1 _ 4i . _2] 7-) _ \1 _ 4i . 1 i 4i . _2] u ~ [3 Vl5' 3 VTŠ' 5h U ^ h VT5,3^vt5, 5^ 27. Cvičení 162 b) šest reálnych různých vrcholů V\ = \3+V2. 6+2V2. -3+2^1 y \3-V2. 6-2V2. -3-2V2"] i 3 ' 3 ' 3 J' ^2 L 3 ' 3 ' 3 J' V3 = [§;i;-|], ^4 = [5; f;-5]) ^5 r3vl+2j/2. 6^-2^. -3^+^i L 3vH ' 3vH ' 3vH h t/ _ r3\/3-2\/2". 6^+2^. -3V^-\/2l ^6 L 3^/3 ^ 3^/3 3v^ J, c) jediný vrchol (singulární bod) V = [1; —1; 1], 'i — L 6 ' 6 ' 3J y _ ri-aya. i+aya. i] y _ rl-2y1j. i;_._. . ^2 — L 6 5 g 5 3J1 v3 — [ g > g i 3 . U4 = [1+g^; 1+g^; ^3*% a jedna dvojice komplexně sdružených vrcholů U5 = [±±|^; 1±j^], T? — ll-iVŠ. 1-iVŠ. l-iVŠl e) každý vlastní bod kvadriky může být považován za její vrchol, f) čtyři různé reálné vrcholy V\ = [~4+^; —1; 4+^], V2 = [=±&; -1; U3 = [=^; -1; y^ _ [ -4-VIÔ. 4+v/iôj^ a jec[na dvojice komplexně sdružených vrcholů U5 = [-1; =^^;1], V5 = g) šest reálných různých vrcholů V\ = [—|; — |; |], d) čtyři různé reálné vrcholy V\ = [1+^; 1 ^.Vš. ±1 -l-3\/3. l+3yj. li t/ _ rl—2\/3. l-2y5. l+yjl T/ — ľ8. 8. 4n t t _ r-15-8V10. -15+4V10. -8VIO1 V2 - [3, 3, -3J, v3 - [-15-, -15-, —15—J' t/ _ r-l5+8yTÔ. -l5-4yTÔ. 8VTÔ1 t/ _ r 5. 1. 4t ^ - L 15 , 15 , —J, ^6 - [-3, 3, 3J, h) jediný vrchol V = [-£; ^; 0] } 27.25. Určete kanonické rovnice kvadrik ze cvičení 27.21 a určete jejich typ. { a) x2 + 3y2 — 5z2 + f§ = 0; dvojdílný hyperboloid, b) 3x2 + 6y2 + 9z2 — 6 = 0; reálný elipsoid, c) 3x2 + 6y2 — 2z2 = 0; reálná kuželová plocha, d) 2x2 + 3y2 — 6z2 — 3 = 0; jednodílný hyperboloid, e) x2 + y2 — 3 = 0; reálná eliptická válcová plocha (rotační), f) 8x2 + 4y2 — 2z2 — 5 = 0; jednodílný hyperboloid, g) 8x2 + 5y2 + 2z2 — 32 = 0; reálný elipsoid, h) 5x2 + 5y2 + 6\/5 z = 0; eliptický (rotační) paraboloid } 27.26. Určete ortogonální transformace, které převádějí rovnice kvadrik ze cvičení 27.21 na kanonický tvar. 27. Cvičení 27'.27'. Určete tečné roviny jednodílného hyperboloidu 2 2 2 xz yz zz 36 + 9" ~ T ~ ' které obsahují přímku p. Určete také body dotyku: a) p : x — y — 9 = 0, y — 3z + 9 = 0 , b) p : x + 2y = 0, 4y + 3z + 6 = 0, c) p : x — 2y — 3z — 6 = 0, 2y + 3z = 0 . { a) n : 3x - 2y - 3z - 18 = 0; Tx = [6; -1; §], r2 x — 3z = 0 je asymptotická rovina, T2 je nevlastní bod směru ((3; 0; 1)), b) p se dotýká kvadriky v bodě T = [6;—3; 2], tečná rovina v bodě T je r : x — 2y — 3z — 6 = 0, c) p je tvořící přímka K a tečné roviny v bodech p tvoří svazek rovin s osou p } 27. Cvičení 164 27.28. Určete rovnici kuželové plochy s vrcholem V = [1;0; —1] a řídící kuželoseč- 2 2 2 x y z kou, která je průnikem kvadriky K : — + — —-— 1 = 0 s rovinou p : x + y = 0. { 180x2 + 155y2 + 36z2 + 360xy + 72xz + 72yz - 288x -288y + 144 = 0 } Seznam použité literatury 165 Seznam použité literatury 1. B. T. Ba3biJieB, CôopuuK 3adan no zeoMempuu, MocKBa 1980. 2. M. Berger, Geometrie 1-5, Paris 1977. 3. L. Bican, Lineární algebra, SNTL, Praha 1979. 4. B. Bydžovský, Úvod do analytické geometrie, Praha 1956. 5. O. H. IlyôepômiJiep, 3adanu u ynpaotcHeHUH no auajiumuHecKou zeo- Mempuu, MocKBa 1957. 6. P. Horák, J. Janyška, Analytická geometrie, skriptum MU, Brno 1997. 7. A. B. KjieTemiK, CôopuuK 3adan no auajiumuHecKou zeoMempuu, Moc- KBa 1986. 8. A. T. Kypoiii, Kype eucmeu ajizeôpu, MocKBa 1959. 9. A. H. MajibH,eB, Ochogu jiuueuHou ajizeôpu, MocKBa 1948. 10. C. JI. neB3Hep, Mneapuaumu u KanoHunecKue ypaetieHiur zunepno-eepxHocmu emopoeo nopsrd'na e n-MepuoM eeKJiudoeoM npo-cmpaHcmee, Publications de ľlnstitut Mathématique, Nouvelle série, 55(69), Beograd 1994, 75-88. 11. H. B. npocKypHKOB, CôopuuK 3ad(iH no .ňuneuHou a.ňze6pe, MocKBa 1978. 12. M. Sekanina a kol., Geometrie I, Praha 1986. 13. M. Sekanina a kol., Geometrie II, Praha 1988. Rejstřík absolutní invariant kuželosečky, 84 afinní nehomogenní souřadnice, 22 afinní homogenní souřadnice, 22 afinní kanonická rovnice kvadriky, 133 afinní normálni rovnice kuželosečky, 68 afinní normálni rovnice kvadriky, 133 aritmenický základ, 13 aritmetická báze projektivního prostoru, 14 aritmetický nosič, 13 aritmetický zástupce bodu, 13 asymptota kuželosečky, 62 asymptotická rovina, 122 bod dotyku, 51 bod dotyku tečné roviny kvadriky, 118 bod dotyku tečny kvadriky, 118 body v obecné poloze, 14 číselná excentricita kuželosečky, 98 délka hlavní poloosy, 80 délka vedlejší poloosy, 80 délková excentricita elipsy, 94 délková excentricita hyperboly, 95 délky poloos, 80 délky poloos kvadriky, 144 doplňková hyperbola, 81 doplňkový hyperboloid, 146 dvojdílný hyperboloid, 125 dvojice komplexně sdružených různoběž-ných rovin, 130 dvojice komplexně sdružených rovnoběžných rovin, 130 elipsa, 64 elipsoid, 124 eliptický paraboloid, 125 formálně reálná kvadrika, 107 formálně reálná luželosečka, 47 geometrická báze projektivního prostoru, 14 hlavní čísla kvadriky, 138 hlavní čísla kuželosečky, 76 hlavní směr kuželosečky, 74 hlavní směr kvadriky, 138 hlavní vrchol elipsy, 80 hlavní vrchol hyperboly, 81 hlavni rovina kvadriky, 139 hodnost bilineární formy, 27 hodnost kvadratické formy, 31 hodnost kvadriky, 107 hyperbola, 64 hyperbolická válcová plocha, 129 hyperbolický paraboloid, 127 hyperboloid, 124 charakteristická rovnice kvadriky, 138 charakteristická čísla kvadratické formy, 40 charakteristická rovnice kuželosečky, 76 charakteristická rovnice kvadratické formy, 40 charakteristická rovnice matice, 39 ž-tá lineární forma přidružená (asociovaná) k F, 31 imaginární kuželová plocha, 114 imaginární kružnice, 81 imaginární kuželová plocha, 129 imaginární část vektoru, 2 166 REJSTŘÍK 167 imaginární elipsa, 64 imaginární elipsoid, 124 imaginární eliptická válcová plocha, 129 imaginární kuželosečka, 47 imaginární kulová plocha, 144 imaginární kvadrika, 107 imaginární regulární kuželosečka, 57 invarianty kuželosečky, 84 invarianty kvadriky, 147 jednodílný hyperboloid, 126 komplexní rozšíření reálného vektorového prostoru, 1 komplexní rozšíření kvadratické formy, 35 komplexní rozšíření reále bilineární formy, 28 komplexní rozšíření reálného afinního pod-prostoru, 7 komplexní rozšíření reálného afinního prostoru, 7 komplexní rozšíření reálného afinního zobrazení, 8 komplexní rozšíření reálného lineárního zobrazení, 5 komplexní rozšíření reálného projektivního prostoru, 106 komplexně sdružený vektor, 3 komplexně sdružený vektorový podpros-tor, 3 kuželosečka degenerovaná, 48 kuželosečka singulární, 48 kuželosečka složená, 48 kuželosečka zvrhlá, 48 kuželosečka eliptického typu, 64 kuželosečka hyperbolického typu, 64 kuželosečka parabolického typu, 64 kuželosečka regulární, 48 kvadrika, 106 kvadrika eliptického typu, 124 kvadrika hyperbolického typu, 124 kvadrika parabolického typu, 124 lineárně nezávislé body, matice bilineární formy, 26 mimoběžné projektivní podprostory, 16 nepřímkový hyperboloid, 124 nepřímkový paraboloid, 124 nestředová kuželosečka, 61 nestředová kvadrika, 122 nevlastní bod, 21 normální rovnice kuželosečky, 56 normální tvar kvadratické formy, 34 normovaná polární báze, 34 normovaná polární báze kuželosečky, 56 normovaný polární afinní repér, 68 normovaný polární afinní repér kvadriky, 133 nulová bilineární forma, 25 nulová kružnice, 81 nulová kulová plocha, 145 obecné vyjádření podprostorů, 17 ohniska elipsy, 94 ohniska hyperboly, 95 ohniska kuželosečky, ohnisko paraboly, 96 ohnisková rovnice kuželosečky, 98 osa kuželosečky, 76 osa kvadriky, 139 osová rovina kvadriky, 139 pól přímky, 50 pól roviny, 109, 114 přímková regulární kvadrika, 116 parabola, 64 parabolická válcová plocha, 130 paraboloid, 124 parametr kuželosečky, 98 parametr paraboly, 81, 96 parametrické vyjádření podprostorů, 16 polára bodu, 50 polární afinní repér kvadriky, 133 polární rovina, 109, 114 polární trojúhelník kuželosečky, 57 polárně sdružené (konjugované) body vzhledem ke kvadrice, 108 REJSTŘÍK 168 polárně sdružené body vzhledem ke kuželosečce, 49 polárně sdružené přímky vzhledem ke kvadrice, 110 polárně sdružené směry, 122 polarni normovaná báze kvadriky, 116 průměr kuželosečky, 61 průměrová rovina kvadriky, 122 průnik projektivních podprostorů, 16 princip duality, 50 projektivní homogenní souřadnice, 15 projektivní prostor, 13 projektivní repér, 14 sdružené průměry kuželosečky, 62 sedlo, 128 signatura kvadratické formy, 34 singulární bilineární forma, 26 singulární bod kuželosečky, 49 singulární bod kvadriky, 108 singulární kvadratická forma, 31 singulární kvadrika, 107 singulární vektor bilineární formy, 27 singulární vektor kvadratické formy, 31 součet (spojení) projektivních podprostorů, 16 součet projektivních podprostorů, 16 projektivní rozšíření reálného afinního pros-spojení projektivních podprostorů, 16 toru, 21 protáhlý elipsoid, 145 různoběžné projektivní podprostory, 16 reálná část vektoru, 2 reálná afinní souřadná soustava, 7 reálná báze, 3 reálná eliptická válcová plocha, 129 reálná kružnice, 81 reálná kuželová plocha, 129, 114 reálná kulová plocha, 145 reálná regulární kuželosečka, 57 reálná válcová plocha, 129 reálný afinní podprostor, 8 reálný elipsoid, 124 reálný podprostor, 3 reálný zástupce imaginárního vrcholu hyperboly, 81 regulární bilineární forma, 27 regulární bod kuželosečky, 49 regulární bod kvadriky, 108 regulární kvadratická forma, 31 regulární kvadrika, 107 rotační kvadriky, 139 rovnoosá hyperbola, 81 řídící kuželosečka kuželové plochy, 114 řídící přímka kuželosečky, 98 řídící přímka paraboly, 96 střed kuželosečky, 60 střed kvadriky, 121 středová kuželosečka, 61 středová kvadrika, 122 středová rovnice kuželosečky, 98 stupeň invariantu kuželosečky, 84 tečná rovina kvadriky, 118 tečna kuželosečky, 51 tečna kvadriky, 118 tvořící přímka kuželosečky, 56 tvořící podprostor kvadriky, 114 vedlejší vrchol elipsy, 80 vedlejší vrchol hyperboly, 81 vlastní bod, 21 vlastní charakteristická hodnota (číslo) matice, 39 vlastní směr matice, 39 vlastní vektor matice, 39 vrchol kuželosečky, 76 vrchol kuželové plochy, 114 vrchol kvadriky, 139 vrcholová rovnice kuželosečky, 98 výstřednost elipsy, 94 výstřednost hyperboly, 95 výstřednost kuželosečky, 98 zobecněná kulová plocha, 144 zobecněné kružnice, 76 REJSTŘÍK zobecněné kulové plochy, 139 zploštělý elipsiod, 145 Autobusová zastávka, Varšava, Polsko Ukázka využití rotačního jednodílného hyperboloidu. Chladící věže jaderné elektrárny Temelín Vodojem na okraji Ciechanowa, Polsko