M6520 Jméno: 12.1.2018 Na každý příklad získáte nezáporný počet bodů. Minimum (včetně semestrální písemky) je 30 bodů. Na práci máte 90 minut. Hodnocení Sem. 1. (6krát ±1 bod — správně 1 bod, chybně —1, bez odpovědi 0) Odpovězte (škrtnutím nehodícího se ano nebo ne na patřičném řádku), zda jsou pravdivá následující tvrzení (čtěte velmi pozorně!): (a) ano — ne Mají-li celá čísla x, resp. y řád a, resp. b modulo m G N, pak má číslo x ■ y řád a ■ b modulo m. (b) ano — ne Lineárni kongruence ax = b (mod m), kde a, b, m jsou přirozená čísla, nemá více než a řešení modulo m. (c) ano — ne Soustava kongruencí a\X = bi (mod nii) a2x = b2 (mod m2) je řešitelná právě když (m^mj) | (&i — b2). (d) ano — ne Je-li číslo n > 4 složené, pak n \ (n — 1)!. (e) ano — ne Jsou-li p, q lichá prvočísla taková, že platí p = 3 (mod 4) nebo q = 3 (mod 4), P^k (§) = -(§)• (f) ano — ne Při komunikaci prosřednictvím RSA si komunikující strany nejprve vymění dvojici velkých prvočísel. 2. (6 bodů) Určete, pro která prvočísla p je řešitelná kongruence x2 — 15 = 0 (mod p). Vše řádně zdůvodněte. 3. (8 bodů) Učitel matematiky se zmínil, že dnes mají narozeniny obě jeho děti. Když se ho žáci zeptali na jejich věk, odpověděl hádankou: „Součet trojnásobku druhé mocniny dceřina věku a sedminásobku součinu věků obou dětí je o 168 větší než šestinásobek druhé mocniny synova věku." Určete věk obou dětí (všechny možnosti). 4. (6 bodů) Řešte v N rovnici