Domácí úkol z 10. října 2019
Pro libovolné přirozené číslo r nechť £r = e2mlr a nechť Qr = Q(Cr) značí r-té kruhové těleso. Připomeňme, že pro libovolné prvočíslo p f r je Frobeniův automorfismus Frp tím automorfismem tělesa Qr, který je určený podmínkou Frp(Cr) = Cr; toto označení se užívá i pro restrikci tohoto automorfismu na libovolné podtěleso tělesa Qr.
Nechť K je abelovské těleso konduktoru m. Grupu kruhových čísel tělesa K definujme předpisem
DS(K) = ({-1} n {NQr/QrnX(l - C); r\m,l<a< r}),
kde (...) značí podgrupu multiplikativní grupy (Kx,.) tělesa K generovanou příslušnou množinou. Sinnottova grupa kruhových jednotek tělesa K je pak průnik této grupy s grupou všech jednotek okruhu celých algebraických čísel tělesa K:
CS(K) = DS(K) n O*.
1. Pro libovolné celé číslo r | m, r > 1, označme
Vr = NQr/Qrnx(l - Cr)-Nechť přirozené číslo r \ m a prvočíslo p\      Dokažte, že
{1—Fr_1
r)r    p jestliže p \ r > 1,
rjr jestliže p \ r > 1,
p jestliže r = 1.
2. Nechť G = Gal(Ä"/Q) je Galoisova grupa tělesa K. Dokažte, že jako 7L[G]-modul je grupa kruhových čísel tělesa K generována množinou
{-l}n{i)r; Kr\m,(r,f) = l}.
[ Při důkaze první části je možné využít relaci normy uvedenou na str. 28 úvodní přednášky, kterou dokážete pomocí rovnosti (3) odvozené na str. 20 tamtéž (soubor pdf je uložen v učebních materiálech v ISu). Pro důkaz druhé části je první část užitečná. ]