Domácí úkol z 24. října 2019
Nechť í je liché prvočíslo, K/Q Galoisovo rozšíření stupně í s Galoisovou grupou G = Gal(Ä"/Q) = (r). Nechť E k je grupa jednotek okruhu celých čísel tělesa K.
Zvolme libovolnou jednotku u G Ek takovou, že Z[G]-modul
M = <-l,«)z[G]
je podgrupa konečného indexu v grupě Ek- Dokažte, že Z[G]-modul
N = {-l,u1-T)m
je podgrupa konečného indexu v grupě M a že její index [M : N] = í.
[ Při důkaze je možné ukázat, že M/{1, —1} je volný Z-modul, najít jeho bázi a v ní vyjádřit bázi Z-modulu N/{1,—1}. Absolutní hodnota determinantu matice přechodu je pak index [M/{1,-1} : ÍV/{1,-1}]. /