Domácí úkol z 28. listopadu 2019
Dokažte následující tvrzení, které jsme na semináři dokázali jen ve speciálním případě:
Tvrzení. Buď M libovolné abelovské těleso konduktoru m. Pak
resQm/M rnBm
je anihilátor grupy tříd ideálů tělesa M. Zde Qm značí m-té kruhové těleso a
0m=   V   -oi1 £Q[Gal(Qm/Q)], L—' m
l<t<m (t,m)=l
kde at G Gal(Q
m/Q) značí automorfismus určený podmínkou ot(£m) — Cm-[ Při důkaze je možné postupovat takto:
• Podobně jako v případě M = Qm vysvětlete, že stačí dokázat, že pro každý prvoideál p tělesa M, který neobsahuje m (a tedy se nevětví ani v Qm/M ani v M/Q), platí, že pm9m je hlavní ideál.
• Zvolme libovolně prvoideál p tělesa M, který neobsahuje m. Označme p prvočíslo obsažené v p a zvolme prvoideál *p tělesa Qm, který dělí p. Označme T dekompoziční podtěleso tělesa Qm pro prvočíslo p. (Tedy T je určené podmínkou Gal(Qm/T) = (<7P) a platí, že se prvočíslo p v rozšíření T/Q zcela rozkládá na součin [T : Q] konjugovaných prvoideálů, zatímco každý z těchto prvoideálů je inertní v rozšíření Qm/T.) Necht! s je nejmenšípřirozené číslo splňujícím ps — 1 a necht! \ je — v ^ -tá mocnina Teichmůllerova charakteru pro prvočíslo p. Na semináři jsme ukázali, že s(x)m £ Qm a že g(xP) = s(x) (v"iz lemma 8). Odvoďte odtud, že g(x)m £ T. Pomocí diagramu
vysvětlete, proč se prvoideál p v rozšíření MT/M zcela rozkládá na součin [MT : M] konjugovaných prvoideálů, zatímco každý z těchto prvoideálů je inertní v rozšíření Qm/MT. Z věty dokázané v semináři pro těleso Qm odvoďte, že
g(x)mOMT = (*pn oMT)Tes^'MT m0m,
a vysvětlete, že odtud plyne
N«T/M(9(xr)0« = pre3WMme™, čímž je tvrzení dokázáno. ]