MA750 Teorie pravděpodobnosti – témata ke zkoušce
Pravděpodobnostní prostor: definice, vlastnosti; základní prostor, algebra, semilagebra, sigma-algebra,
pravděpodobnost a jejich vlastnosti. Příklady pravděpodobnostních prostorů.
Věta o rozšíření: tvrzení věty, myšlenka konstrukce sigma-algebry a pravděpodobnosti, jejich vlastnosti.
Konstrukce pravděpodobnostního prostoru na [0; 1], příklad s nekonečným házením mincí.
Pravděpodobnost, míra a vnější míra: definice, vlastnosti, vzájemné vztahy, výpočty na příkladech.
Náhodné veličiny: definice, příklady, vlastnosti, operace s náhodnými veličinami, nezávislost náhodných
veličin.
Spojitost pravděpodobnosti: definice, věta o spojitosti. Příklady.
Limitní jevy lim inf a lim sup: definice, Borelovo-Cantelliho lemma, výpočty v příkladech.
Střední hodnota: definice ve třech krocích, vlastnosti střední hodnoty, momenty. Jednoduchá náhodná
veličina, konstrukce aproximující posloupnosti jednoduchých náhodných veličin, konstrukce pro obecnou
náhodnou veličinu. Výpočty na příkladech.
Integrál podle míry: vztah ke střední hodnotě, výpočty na příkladech.
Čtyři nerovnosti pro střední hodnotu: tvrzení a důkazy, využití při výpočtech.
Konvergence náhodných veličin: bodová, skoro jistě, podle pravděpodobnosti, L^r, slabá (v distribuci):
definice, vzájemné vztahy, příklady.
Zákony velkých čísel, i.d. a i.i.d. náhodné veličiny.
Rozdělení pravděpodobnosti: definice rozdělení a vlastnosti, distribuční funkce a vlastnosti, Věta Change
of variable a její využití pro výpočty, hustota pravděpodobnosti.
Příklady rozdělení pravděpodobnosti, výpočty pravděpodobnosti a středních hodnot.
Momentová vytvořující funkce a charakteristická funkce: definice, vlastnosti, výpočty momentů. Záměna
derivace a integrálu, centrální limitní věta.
Lebesgueova-Stieltjesova míra, Lebesgueův-Stieltjesův integrál: definice, vztah s distribuční funkcí a
Lebesgueovou mírou.
Absolutně spojitá míra, Radonova-Nikodymova věta, Radonova-Nikodymova derivace, Lebesgueova
dekompozice.
Podmíněná pravděpodobnost a podmíněná střední hodnota: definice, konstrukce, vlastnosti, podmiňování
sub-sigma-algebrou, podmíněný rozptyl. Filtrace a martingal.