Téma 3: Číselné charakteristiky intervalových a poměrových znaků, odhad
pravděpodobnosti pomocí relativní četnosti
Úkol 1.: Otevřete datový soubor ocel.sta.
a) Pro mez plasticity a mez pevnosti vypočtěte aritmetický průměr, směrodatnou odchylku,
rozptyl, koeficient variace, šikmost a špičatost. Výsledky porovnejte s údaji vypočtenými na
přednášce (m1 = 95,9, m2 = 114,4, s1
2
= 1052,4, s2
2
= 1057,2, s1 = 32,44, s2 = 32,51, cv1 =
0,338, cv2 = 0,284).
b) Vypočtěte Pearsonův koeficient korelace meze plasticity a meze pevnosti (r12 = 0,9345).
Nakreslete dvourozměrný tečkový diagram. Dále vypočtěte kovarianci a výsledek porovnejte
s výsledkem vypočteným na přednášce (s12 = 985,76).
Návod:
ad a) Statistiky – Základní statistiky/tabulky – Popisné statistiky – OK – Proměnné X, Y –
OK – Detailní výsledky - zaškrtneme Průměr, Směrodat. odchylka, Rozptyl, Variační
koeficient, Šikmost, Špičatost – Výsledky.
Popisné statistiky (ocel)
Proměnná Průměr Rozptyl Sm.odch. Koef.prom. Šikmost Špičatost
X
Y
95,8833 1070,240 32,71453 34,11910 -0,046758 -0,605826
114,4000 1075,125 32,78911 28,66181 0,297889 -0,592621
Vysvětlení: Rozptyl a směrodatná odchylka vyjdou ve STATISTICE jinak než bylo uvedeno
na přednášce, protože STATISTICA ve vzorci pro výpočet rozptylu nepoužívá 1/n, ale
1/(n-1, jde o tzv. výběrový rozptyl). Koeficient variace (v tabulce označený jako Koef. Prom.)
je udán v procentech.
ad b) Statistiky – Základní statistiky/tabulky – Korelační matice – OK – 1 seznam
proměnných – X, Y – OK, na záložce Možnosti zrušíme volbu Včetně průměrů a sm. odch. –
Výpočet.
Korelace (ocel)
Označ. korelace jsou významné na hlad. p < ,05000
N=60 (Celé případy vynechány u ChD)
Proměnná X Y
X
Y
1,00 0,93
0,93 1,00
Vidíme, že mezi X a Y existuje silná přímá lineární závislost.
Vytvoření dvourozměrného tečkového diagramu: Grafy – Bodové grafy – vypneme Lineární
proložení – Proměnné X, Y – OK – OK.
Bodový graf z Y proti X
ocel.sta 2v*60c
20 40 60 80 100 120 140 160 180
X
40
60
80
100
120
140
160
180
200
Y
Kovariance se počítá složitěji. Statistiky – Vícenásobná regrese - Proměnné Nezávislá X,
Závislá Y – OK – OK – Residua/předpoklady/předpovědi – Popisné statistiky – Další
statistiky - Kovariance.
Kovariance (ocel)
Proměnná X Y
X
Y
1070,240 1002,471
1002,471 1075,125
Vysvětlení: Na hlavní diagonále jsou rozptyly proměnných X, Y, mimo hlavní diagonálu je
kovariance. Kovariance vyjde ve STATISTICE jinak než bylo uvedeno na přednášce, protože
ve STATISTICE se ve vzorci pro výpočet kovariance nepoužívá 1/n, ale 1/(n-1), jde o tzv.
výběrovou kovarianci).
Úkol 2.: U 30 náhodně vybraných domácností byly sledovány měsíční výdaje za potraviny
(udané v tisících Kč)
výdaje za potraviny (1,4; 2> (2; 2,6> (2,6; 3,2> (3,2; 3,8> (3,8; 4,4> (4,4; 5>
počet domácností 5 7 10 6 1 1
Vypočtěte průměr a směrodatnou odchylku výše měsíčních výdajů za potraviny.
Návod:
Vytvoříme nový datový soubor se šesti případy a dvěma proměnnými X a četnost. Do
proměnné X uložíme středy třídicích intervalů (tj. 1,7 2,3 2,9 3,5 4,1 4,7) a do proměnné
četnost absolutní četnosti jednotlivých třídicích intervalů.
Statistiky – Základní statistiky/tabulky – Popisné statistiky – zapneme proměnnou vah četnost
– Proměnné X – OK – na záložce Detailní výsledky zvolíme Průměr, Rozptyl – Výpočet:
Proměnná Průměr Rozptyl
X 2,780000 0,463448
Vidíme, že průměrné měsíční výdaje za potraviny činí 2 780 Kč. Rozptyl však musíme
upravit, neboť STATISTICA poskytuje výběrový rozptyl. Do Dlouhého jména proměnné
Rozptyl napíšeme =5*Rozptyl/6 – OK a do vzniklé tabulky přidáme ještě jednu proměnnou
Sm. odchylka. Do jejího Dlouhého jména napíšeme =sqrt(Rozptyl). Výsledná tabulka:
Proměnná
Průměr Rozptyl
=5*v2/6
Sm. odchylka
=sqrt(v2)
X 2,780000 0,463448 0,680770355
Úkol 3.: 60 náhodně vybraných manželských párů bylo dotázáno na průměrný čistý měsíční
příjem manžela (znak X) a také manželky (znak Y). Hodnoty znaku X i hodnoty znaku Y byly
roztříděny do 7 třídicích intervalů. Simultánní absolutní četnosti dvourozměrných třídicích
intervalů byly zaznamenány do kontingenční tabulky. Meze třídicích intervalů jsou uvedeny
v tisících Kč.
( 1kk v,v +
( 1jj u,u +
njk
(10,14 (14,18 (18,22 (22,26 (26,30 (30,34 (34,38 nj.
(13,18 6 7 2 0 0 0 0
(18,23 4 5 5 0 0 0 0
(23,28 2 2 2 3 0 1 0
(28,33 1 0 1 1 2 2 1
(33,38 0 0 0 3 1 0 1
(38,43 0 0 1 1 1 0 1
(43,48 0 0 0 0 1 1 2
n.k 60
Vypočtěte průměr, směrodatnou odchylku, koeficient variace obou znaků a jejich koeficient
korelace. Nakreslete dvourozměrný tečkový diagram.
Návod:
Vytvoříme nový datový soubor se třemi proměnnými (nazveme je X, Y a četnost) a 7*7 = 49
případy. Do proměnné X uložíme 7x pod sebe střed 1. třídicích intervalu, pak 7x pod sebe
střed 2. třídicího intervalu atd. až 7x pod sebe střed 7. třídicího intervalu, a to vždy v Kč,
nikoliv v tisících Kč, tedy 15500, 20500, 25500, 30500, 35500, 40500, 45000. STATISTICA
totiž při použití váhové proměnné neumožňuje práci s neceločíselnými variantami znaku. Do
proměnné Y uložíme pod sebe středy všech sedmi třídicích intervalů (tj. 12000, 16000,
20000, 24000, 28000, 32000, 36000) a těchto sedm čísel uložíme 7x pod sebe. Ke každé
dvojici variant znaků X a Y napíšeme příslušnou simultánní absolutní četnost.
Statistiky – Základní statistiky/tabulky – Korelační matice - zapnout proměnnou vah četnost –
1 seznam proměnných X, Y – OK.
Korelace (prijmy_manzelu_KT.sta)
Označ. korelace jsou významné na hlad. p < ,05000
N=60 (Celé případy vynechány u ChD)
Proměnná Průměry Sm.odch. X Y
X
Y
25666,67 9250,134 1,000000 0,754073
20666,67 7516,460 0,754073 1,000000
Směrodatnou odchylku však musíme upravit. Do Dlouhého jména proměnné Sm. odch.
napíšeme =sqrt(59*v2^2/60). Dále za proměnnou Sm. odch. přidáme proměnnou cv a do
jejího Dlouhého jména napíšeme = v2/v1. Dostaneme tabulku:
Korelace (prijmy_manzelu_KT.sta)
Označ. korelace jsou významné na hlad. p < ,05000
N=60 (Celé případy vynechány u ChD)
Proměnná Průměry Sm.odch.
=sqrt(59*v
cv X Y
X
Y
25666,67 9172,725 0,35737891 1,000000 0,754073
20666,67 7453,560 0,36065613 0,754073 1,000000
Vidíme, že průměrný příjem manželek je o 5000 Kč menší než průměrný příjem manželů.
Koeficienty variace jsou téměř shodné. Koeficient korelace nabývá hodnoty 0,754, což svědčí
o existenci silné přímé lineární závislosti mezi příjmy manželů a manželek.
Dvourozměrný tečkový diagram: Grafy – Bodové grafy – vypneme lineární proložení –
Proměnné X, Y – OK – na záložce Detaily zvolíme Typ grafu Četnost – OK.
Bodový graf z Y proti X
prijmy_manzelu_KT.sta 3v*49c
1
2
3
4
5
6
7
10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 45000 50000
X
10000
12000
14000
16000
18000
20000
22000
24000
26000
28000
30000
32000
34000
36000
38000
Y
Úkol k samostatnému řešení: Načtěte datový soubor prijem_manzelu.sta, který obsahuje
původní údaje o průměrných měsíčních příjmech manželů a manželek. Pro oba znaky
vypočtěte průměr, směrodatnou odchylku, koeficient variace, koeficient korelace a porovnejte
je s váženými číselnými charakteristikami.
Výsledek:
Korelace (prijem_manzelu.sta)
Označ. korelace jsou významné na hlad. p < ,05000
N=60 (Celé případy vynechány u ChD)
Proměnná Průměry Sm.odch. cv X Y
X
Y
25622,17 9320,308 0,36375956 1,000000 0,797578
20804,33 7502,822 0,36063745 0,797578 1,000000
Úkol 4.: Přírůstky cen akcií na burze (v %) u 10 náhodně vybraných společností dosáhly
těchto hodnot: 10, 16, 5, 10, 12, 8, 4, 6, 5, 4. Odhadněte pravděpodobnost, že přírůstek ceny
akcie překročí 8,5 %.
Návod: Vytvoříme nový datový soubor o dvou proměnných X a úspěch a 10 případech. Do
proměnné X napíšeme přírůstky cen akcií. Nastavíme se kurzorem na proměnnou úspěch.
Data – Překódovat – Kategorie 1 - X>8,5 – Nová hodnota 1 – Jiné 0. Vypočítáme průměr
proměnné úspěch a zjistíme, že je 0,4.