Téma 9.: Parametrické úlohy o jednom náhodném výběru z normálního
rozložení a dvourozměrného rozložení
Upozornění: Pokud to povaha úlohy vyžaduje, proveďte test normality dat:
Příklad 1.: Vlastnosti výběrového průměru z normálního rozložení
Předpokládejme, že velký ročník na vysoké škole má výsledky zkoušky ze statistiky normálně
rozloženy kolem střední hodnoty 72 bodů se směrodatnou odchylkou 9 bodů. Najděte
pravděpodobnost, že průměr výsledků náhodného výběru 10 studentů bude větší než 80 bodů.
Návod:
X1, ..., X10 je náhodný výběr z N(72, 81).
Počítáme P(M > 80), přičemž výběrový průměr M má normální rozložení se střední hodnotou
E(M) = µ = 72 a rozptylem D(M) =
10
81
n
2
=
σ
= 8,1.
Tedy P(M > 80) = 1 - P(M ≤ 80) = 1 – Φ(80), kde Φ(80) je hodnota distribuční funkce
rozložení N(72; 8,1) v bodě 80.
Výpočet pomocí systému STATISTICA: Vytvoříme datový soubor o jedné proměnné a o
jednom případu. Do Dlouhého jména této proměnné napíšeme =1 – INormal(80;72;sqrt(8,1)).
Zjistíme, že 1 - Φ(80) = 0,00247005. Funkce INormal(x;µ;σ) počítá hodnotu distribuční
funkce rozložení N(µ,σ2
) v bodě x.
Příklad k samostatnému řešení:
Je známo, že týdenní výdaje domácností na určité potravinářské zboží se řídí normálním
rozložením se střední hodnotou 90 Kč a směrodatnou odchylkou 14 Kč. Jaká je
pravděpodobnost překročení hranice 100 Kč pro průměrné výdaje pěti náhodně vybraných
domácností?
Výsledek: 0,0548
Příklad 2.: Intervaly spolehlivosti pro parametry µ, σ2
normálního rozložení
Z populace stejně starých selat téhož plemene bylo vylosováno šest selat a po dobu půl roku
jim byla podávána táž výkrmná dieta. Byly zaznamenávány průměrné denní přírůstky
hmotnosti v Dg. Z dřívějších pokusů je známo, že v populaci mají takové přírůstky normální
rozložení, avšak střední hodnota i rozptyl se mění. Přírůstky v Dg: 62, 54, 55, 60, 53, 58 jsou
uloženy v souboru jedna_dieta.sta
a) Najděte 95% empirický levostranný interval spolehlivosti pro neznámou střední hodnotu
µ při neznámé směrodatné odchylce σ.
b) Najděte 95% empirický interval spolehlivosti pro směrodatnou odchylku σ.
Návod:
Ověříme normalitu pomocí S-W testu a zjistíme, že p-hodnota je 0,7374, tedy na 5% hladině
významnosti hypotézu o normalitě nezamítáme.
Statistiky – Základní statistiky/tabulky – Popisné statistiky – OK – Proměnná hmotnost – OK
– na záložce Detailní výsledky zaškrtneme Meze spolehl. prům., 95 % změníme na 90 %, dále
zaškrtneme Meze sp. směr. odch. a všechny ostatní volby odškrtneme – Výpočet.
Popisné statistiky (Tabulka4)
Proměnná
Int. spolehl.
-90,000%
Int. spolehl.
90,000
Spolehlivost
Sm.Odch.
-95,000%
Spolehlivost
Sm.Odch.
+95,000%
hmotnost 54,05683 59,94317 2,233234 8,774739
ad a) Protože mez 95% levostranného intervalu spolehlivosti pro střední hodnotu je stejná
jako dolní mez 90% oboustranného intervalu spolehlivosti pro střední hodnotu, vidíme, že
µ > 54,06 Dg s pravděpodobností 0,95.
ad b) 2,23 g < σ < 8,77 g s pravděpodobností 0,95.
Příklad k samostatnému řešení:
Při měření určitého objektu byly získány tyto hodnoty (v mm): 6,42 6,44 6,38 6,60 6,50
6,51. Považujeme je za realizace náhodného výběru z rozložení N(µ, σ2
), kde parametry µ a σ2
neznáme. Sestrojte 95% empirický interval spolehlivosti pro směrodatnou odchylku σ. Ověřte
normalitu dat.
Výsledek: Ověříme normalitu pomocí S-W testu a zjistíme, že p-hodnota je 0,8367, tedy na
5% hladině významnosti hypotézu o normalitě nezamítáme.
0,04885 < σ < 0,19700 s pravděpodobností aspoň 0,95
Příklad 3.: Testování hypotézy o střední hodnotě µ
Systematická chyba měřicího přístroje se eliminuje nastavením přístroje a měřením etalonu,
jehož správná hodnota je µ = 10,00. Nezávislými měřeními za stejných podmínek byly
získány hodnoty: 10,24 10,12 9,91 10,19 9,78 10,14 9,86 10,17 10,05, které považujeme
za realizace náhodného výběru rozsahu 9 z rozložení N(µ, σ2
). Je možné při riziku 0,05
vysvětlit odchylky od hodnoty 10,00 působením náhodných vlivů?
Návod:
Na hladině významnosti 0,05 testujeme hypotézu H0: µ = 10 proti oboustranné alternativě
H1: µ ≠ 10. Jde o úlohu na jednovýběrový t-test. Ten je ve STATISTICE implementován.
Načteme datový soubor mereni_etalonu.sta.
Ověříme normalitu pomocí S-W testu a zjistíme, že p-hodnota je 0,2873, tedy na 5% hladině
významnosti hypotézu o normalitě nezamítáme.
1. způsob: V Základních statistikách a tabulkách vybereme t-test, samostatný vzorek. Do
Referenční hodnoty zapíšeme 10. Dostaneme výstupní tabulku:
Test průměrů vůči referenční konstantě (hodnotě)
Proměnná
Průměr Sm.odch. N Sm.chyba Referenční
konstanta
t SV p
Prom1 10,05111 0,162669 9 0,054223 10,00000 0,942611 8 0,373470
Protože p-hodnota 0,373470 > 0,05 nulovou hypotézu nezamítáme na hladině významnosti
0,05. Odchylky od hodnoty 10 lze vysvětlit působením náhodných vlivů.
2. způsob: V Základních statistikách a tabulkách vypočteme průměr a směrodatnou odchylku.
Pak použijeme Testy rozdílů: r, %, průměry – OK – vybereme Rozdíl mezi dvěma průměry
(normální rozdělení) – zaškrtneme Výběrový průměr vs. Střední hodnota – do políčka Pr1
napíšeme 10,05111, do políčka SmOd1 napíšeme 0,162669, do políčka N1 napíšeme 9, do
políčka Pr2 napíšeme 10 - Výpočet. Dostaneme p-hodnotu 0,3735, tedy nezamítáme nulovou
hypotézu na hladině významnosti 0,05.
Příklad k samostatnému řešení:
Nechť X1, ..., X400 je náhodný výběr z N(µ,0,01). Je známo, že výběrový průměr se realizoval
hodnotou 0,01. Na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu H0: µ = 0 proti pravostranné
alternativě H1: µ > 0 pomocí p-hodnoty.
Výsledek: p-hodnota = 0,02275, H0 tedy zamítáme na hladině významnosti 0,05.
Příklad 4.: Testování hypotézy o směrodatné odchylce σ
U 25 náhodně vybraných dvoulitrových lahví s nealkoholickým nápojem byl zjištěn přesný
objem nápoje. Výběrový průměr činil m = 1,99 l a výběrová směrodatná odchylka s = 0,1 l.
Předpokládejme, že objem nápoje v láhvi je náhodná veličina s normálním rozložením.
Na hladině významnosti 0,05 ověřte tvrzení výrobce, že směrodatná odchylka je 0,08 l.
Návod:
Na hladině významnosti 0,05 testujeme hypotézu H0: σ = 0,08 proti oboustranné alternativě
H1: σ ≠ 0,08 neboli H0: σ2
= 0,0064 proti oboustranné alternativě H1: σ2
≠ 0,0064. Jde o úlohu
na test o rozptylu. Vypočteme realizaci testového kritéria
( ) 5,37
08,0
1,024
c
s1n
t 2
22
0 =
⋅
=
−
= .
Jelikož hodnota testového kritéria 37,5 neleží v kritickém oboru
( )( ( ) ) ( )∞∪=∞χ∪χ= ;4,394,12;0;2424;0W 975,0
2
025,0
2
, nejsme oprávněni na hladině
významnosti 0,05 zamítnout tvrzení výrobce.)
V systému STATISTICA otevřeme datový soubor o třech proměnných a jednom případu. Do
Dlouhého jména první proměnné napíšeme vzorec pro výpočet testového kritéria:
=24*0,1^2/0,08^2
Další dvě proměnné nám poslouží k výpočtu kvantilů Pearsonova χ2
– rozložení.
Do Dlouhého jména druhé proměnné napíšeme
=VChi2(0,025;24)
a do Dlouhého jména třetí proměnné napíšeme
=VChi2(0,975;24)
Příklad k samostatnému řešení:
Rozptyl obsahu určité látky v tabletách, které vyrábí farmaceutická firma, nesmí překročit
0,09 mg2
. Když je tato hodnota překročena, musí se provést korekce a nastavení výrobní
linky. Kontrolor náhodně vybral 25 tablet a zjistil obsah účinné látky (v mg). Údaje jsou
uloženy v souboru tablety.sta. Na hladině významnosti 0,05 testujte nulovou hypotézu, že
směrodatná odchylka obsahu sledované látky vyhovuje podmínce proti pravostranné
alternativě. Test proveďte pomocí intervalu spolehlivosti. Nezapomeňte ověřit normalitu dat.
Výsledky:
p-hodnota S-W testu normality = 0,8588, hypotézu o normalitě nezamítáme na hladině
významnosti 0,05.
Hypotézu H0: σ ≤ 0,3 nezamítáme na hladině významnosti 0,05 ve prospěch pravostranné
alternativy H1: σ > 0,3, protože ( )∞∈ ;268,03,0 .
Příklad 5.: Interval spolehlivosti pro rozdíl parametrů µ1 - µ2 dvourozměrného rozložení
Bylo vylosováno 6 vrhů selat a z nich vždy dva sourozenci. Jeden z nich vždy dostal náhodně
dietu č. 1 a druhý dietu č. 2. Přírůstky v Dg jsou následující: (62,52), (54,56), (55,49), (60,50),
(53,51), (58,50). Data jsou v souboru dve_diety.sta. Za předpokladu, že uvedené dvojice tvoří
náhodný výběr z dvourozměrného rozložení s vektorem středních hodnot (µ1, µ2) a jejich
rozdíly se řídí normálním rozložením (ověřte!), sestrojte 95% interval spolehlivosti pro rozdíl
středních hodnot.
Návod:
K datovému souboru přidáme proměnnou Z, do níž uložíme rozdíly X - Y.
p-hodnota S-W testu normality = 0,3241, hypotézu o normalitě proměnné Z nezamítáme na
hladině významnosti 0,05.
Ve STATISTICE je implementován výpočet oboustranného intervalu spolehlivosti pro µ,
když 2
σ neznáme. Pomocí Popisných statistik zjistíme meze 95% intervalu spolehlivosti pro
střední hodnotu proměnné Z tak, že zaškrtneme Meze spolehl. prům.
Popisné statistiky (dve_diety.sta)
Proměnná
Int. spolehl.
-95,000%
Int. spolehl.
95,000%
Z 0,626461 10,70687
Dostaneme výsledek: 0,63 Dg < µ < 10,71 Dg s pravděpodobností 0,95.
Příklad 6.: Testování hypotézy o rozdílu parametrů µ1 - µ2 dvourozměrného rozložení
Bylo vybráno šest nových vozů téže značky a po určité době bylo zjištěno, o kolik mm se
sjely jejich levé a pravé přední pneumatiky. Výsledky: (1,8; 1,5), (1,0; 1,1), (2,2; 2,0), (0,9;
1,1), (1,5; 1,4), (1,6; 1,4). Za předpokladu, že uvedené dvojice tvoří náhodný výběr
z dvourozměrného rozložení s vektorem středních hodnot (µ1, µ2) a jejich rozdíly se řídí
normálním rozložením (ověřte!), testujte na hladině významnosti 0,05 hypotézu, že obě
pneumatiky se sjíždějí stejně rychle. Data jsou uložena v souboru pneumatiky.sta.
Návod:
K datovému souboru přidáme proměnnou Z, do níž uložíme rozdíly X - Y.
p-hodnota S-W testu normality = 0,4522, hypotézu o normalitě nezamítáme na hladině
významnosti 0,05.
Označme µ = µ1 - µ2. Na hladině významnosti 0,05 testujeme hypotézu H0: µ = 0 proti
oboustranné alternativě H1: µ ≠ 0. Jde o úlohu na párový t-test.Ten je ve STATISTICE
implementován. V Základních statistikách vybereme t-test, závislé vzorky. Zadáme názvy
obou proměnných a ve výstupu se podíváme na p-hodnotu.
t-test pro závislé vzorky (Tabulka1)
Označ. rozdíly jsou významné na hlad. p < ,05000
Proměnná
Průměr Sm.odch. N Rozdíl Sm.odch.
rozdílu
t sv p
X
Y
1,500000 0,489898
1,416667 0,331160 6 0,083333 0,194079 1,051758 5 0,341062
Protože p-hodnota 0,341062 > 0,05, nezamítáme na hladině významnosti 0,05 hypotézu, že
obě přední pneumatiky se sjíždějí stejně rychle.
Příklad k samostatnému řešení:
Dvanácti pacientům byl změřen systolický krevní tlak vždy před podáním léku a dvě hodiny
po podání léku. Výsledky jsou uloženy v souboru krevni_tlak.sta. Veličina X udává tlak před
podáním léku a veličina Y tlak po podání léku.
X 124 126 138 117 143 128 146 133 127 135 126 131
Y 120 124 130 118 140 128 140 135 126 130 126 127
a) Na hladině významnosti 0,05 testujte třemi způsoby hypotézu, že rozdíl tlaků před a po
podání léku se řídí normálním rozložením.
Lilieforsova varianta Kolmogorovova - Smirnovova testu:
Hodnota testové statistiky = 0,1287
p-hodnota > 0,2
Rozhodnutí o nulové hypotéze: nezamítáme na hladině významnosti 0,05
Shapirův – Wilkův test:
Hodnota testové statistiky = 0,974
p-hodnota = 0,9475
Rozhodnutí o nulové hypotéze: nezamítáme na hladině významnosti 0,05
Andersonův – Darlingův test:
Hodnota testové statistiky = 0,1677
p-hodnota = 0,9965
Rozhodnutí o nulové hypotéze: nezamítáme na hladině významnosti 0,05
b) Najděte meze 95% intervalu spolehlivosti
pro střední hodnotu systolického krevního tlaku před podáním léku:
dolní mez = 125,9
horní mez = 136,4
pro směrodatnou odchylku systolického krevního tlaku po podáním léku:
dolní mez = 4,9
horní mez = 11,8
c) Na hladině významnosti 0,05 testujte pomocí párového t-testu hypotézu, že podaný lék
nemá vliv na systolický krevní tlak.
Zápis nulové hypotézy: H0: µ1 - µ2 = 0
Zápis alternativní hypotézy: H1: µ1 - µ2 ≠ 0
p-hodnota = 0,0156 < 0,05, tedy H0 zamítáme na hladině významnosti 0,05