2   Bodové a intervalové rozdělení četností
2.1   Bodové rozdělení četností Dataset 1: Porodní hmotnost novorozenců
Máme k dispozici údaje o porodní hmotnosti novorozenců z okresní nemocnice získané v období jednoho roku a současně máme k dispozici údaje o počtu starších biologických sourozenců novorozence, pohlaví novorozence a vzdělání matky (Alanova, 2008; soubor 17-anova-newborns.txt).
Popis proměnných v datasetu 1:
• edu.M - vzdělání matky (1 - základní, 2 - střední bez maturity, 3 - střední s maturitou, 4 - vysokoškolské);
• prch.N - biologických starších sourozenců (0-8);
• sex.C - pohlaví dítěte (m - muž, f - žena);
• weight.C - porodní hmotnost dítěte (g).
Řešené příklady
Příklad 2.1. Načtení datového souboru
Načtěte dataset 17-anova-newborns.txt do proměnné data a vypište prvních 5 řádků z načteného souboru. Zjistěte, zda soubor obsahuje neznámé (NA) hodnoty a pokud ano, tak je odstraňte. Potom zjistěte dimenzi datové tabulky data.
Řešení příkladu ??
Datový soubor načteme pomocí funkce read.delim(). První pět řádků vypíšeme pomocí příkazu head() se specifikací argumentu n = 5 řádků.
data <-	read	.delim (		17-anova-newborns.txt')	
head(data,		n =	5)		
e du . M	pr ch	. N s	3X . C	weight . C	3
1 2		0	m	3470	4
2 2		0	m	3240	5
3 2		0	f	2980	6
4 1		0	m	3280	7
5 3		0	m	3030	8
Načtená datová tabulka obsahuje údaje o čtyřech znacích: vzdělání matky (edu.M), počet starších sourozenců novorozence (prch.N), pohlaví novorozence (sex.C) a porodní hmotnost novorozence (weight.C). Pomocí funkce is.na() zjistíme, zda načtený soubor obsahuje neznámé hodnoty.
9    sum(is.na(data))
[1] 24
10
Datový soubor obsahuje celkem 24 NA hodnot. Po bližším prozkoumání datového souboru můžeme zjistit, že chybí celkem 13 hodnot v proměnné edu.M, 5 hodnot v proměnné prch.N a 6 hodnot v proměnné weight.C. NA hodnoty odstraníme ze souboru pomocí funkce na.omit(). Ke zjištění dimenze tabulky použijeme příkaz dim().
11 data  <- na.omit(data)
12 dim(data)
[1] 1382
13
Tabulka data má po odstranění NA hodnot celkem 1382 řádků a čtyři sloupce. V tabulce jsou tedy po odstranění NA hodnot uloženy údaje o 1382 objektech, přičemž u každého objektu máme záznamy o čtyřech znacích.
1
Příklad 2.2. Úprava datového souboru
Z popisu datasetu 1 víme, že počet starších sourozenců u sledovaných novorozenců se pohybuje v rozsahu 0-8 sourozenců. V následující analýze se zaměřte pouze na novorozence, kteří mají maximálně dva starší sourozence. Tyto novorozence rozdělte podle porodní hmotnosti do tří kategorií: nizka - hmotnost novorozence je nižší než 2500 g; norma - hmotnost novorozence se pohybuje v rozmezí 2500-4200 g; vysoká - hmotnost novorozence je vyšší než 4200 g. Dále upravte označení jednotlivých variant znaku vzdělání matky tak, aby bylo na první pohled zřejmé, jakého nejvyššího vzdělání bylo u matky dosaženo (1 - ZS, 2 - SS, 3 - SSm, 4 - VS).
Řešení příkladu ??
Z tabulky data nejprve vyselektujeme novorozence s žádným, jedním nebo dvěma staršími sourozenci.
14 data  <-  data [data$prch. N Zin'/,  0:2, ]
15 dim(data)
[1] 1276
16
V datasetu nám nyní zůstalo 1276 objektů. Nyní vložíme do tabulky data novou proměnnou weight.K, která bude podle porodní hmotnosti novorozence weight.C nabývat hodnoty 1 - nizka, 2 - norma, 3 - vysoká.
17	data$weight	.K [data!	>weight.C  < 2500]	<- 1
18	data$weight	.K[data!	>weight.C  >= 2500	k data$weight.C  <= 4200]   <- 2
19	data$weight	.K [data!	>weight.C  > 4200]	<- 3
20	head(data)			
	edu.M prch	N  sex.C	weight.C weight.K	
	1 2	0 m	3470 2	
	2 2	0 m	3240 2	
	3 2	0 f	2980 2	
	4 1	0 m	3280 2	
	5 3	0 m	3030 2	
	6 2	1 m	3650 2	
21
22
23
24
25
26
27
28
29
Nově vytvořenou proměnnou weight.K převedeme pomocí funkce factor() na proměnnou typu faktor, což je speciální typ proměnné, umožňující přiřazení názvů k číselným hodnotám. Díky tomuto převodu můžeme nyní pomocí argumentu labels jednotlivé kategorie proměnné weight.K pojmenovat.
data$weight	. K	<- factor(data$		weight.K,   labels  = c	('nizka',   'norma', 'vysoká'))
head(data)					
edu.M prch	. N	sex . C we	ight . C we	ight. K	
1 2	0	m	3470	norma	
2 2	0	m	3240	norma	
3 2	0	f	2980	norma	
4 1	0	m	3280	norma	
5 3	0	m	3030	norma	
6 2	1	m	3650	norma	
Analogickým způsobem nyní pojmenujeme kategorie proměnné					edu.M.
data$edu.M	<-	factor(data$edu		.M,   labels  =  c('ZS',	' SS ' ,   ' SSm ' ,   ' VS ' ) )
head(data)					
edu.M prch	. N	sex . C we	ight . C we	ight . K	
1 SS	0	m	3470	norma	
2 SS	0	m	3240	norma	
3 SS	0	f	2980	norma	
4 ZS	0	m	3280	norma	
5 SSm	0	m	3030	norma	
6 SS	1	m	3650	norma	
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
2
Příklad 2.3. Variační řada
Vytvořte variační řadu znaku X = vzdělání matky a variační řadu znaku Y = porodní hmotnost novorozence.
Řešení příkladu ??
Zaměřme se nejprve na znak X = vzdělání matky. Znak má celkem čtyři varianty: základní vzdělání, střední vzdělání, střední vzdělání s maturitou a vysokoškolské vzdělání. Variační řada je tabulka obsahující pro každou (j-tou) variantu znaku X (a) absolutní četnost n,-; (b) relativní četnost pj; (c) absolutní kumulativní četnost Nj-(d) relativní kumulatiní četnost Fj.
Absolutní četnost varianty ZS získáme aplikováním funkce sum() na logický výraz edu == 'ZS'. Výraz edu == 'ZS' vytvoří nový vektor obsahující hodnoty 1 na pozici, kde se ve vektoru edu vyskytovala hodnota ZS, a nuly na ostatních pozicích. Aplikováním funkce sum() na tento vektor získáme četnost výskytu výrazu ZS ve vektoru edu. Analogicky získáme hodnoty absolutních četností pro varianty SS, SSm a VS.
46	edu	<	- data$edu	M
47	nl	<-	sum(edu ==	=   'ZS ' )
48	n2	<-	sum(edu ==	=   'SS ' )
49	n3	<-	sum(edu ==	= 'SSm')
50	n4	<-	sum(edu ==	=   'VS ' )
51		<-	c(nl,  n2 ,	n3, n4)
Relativní četnosti jednotlivých variant znaku X získáme jako podíl absolutních četností variant ku celkovému počtu 1276 objektů v souboru. Pomocí funkce cumsum() aplikované na vektor absolutních (resp. relativních) četností získáme vektor absolutních (resp. relativních) kumulativních četností.
52 n    <-  sum(nj)
53 pj   <- nj   / n
54 Nj   <- cumsum(nj)
55 Fj   <- cumsum(pj)
Pomocí příkazu data.frame() vytvoříme požadovanou variační řadu, přičemž argumentem row.names specifikujeme názvy řádků variační řady. Tabulku zobrazíme zaokrouhlenou na čtyři desetinná místa (funkce round() se specifikací argumentu digits = 4). Poznamenejme, že zaokrouhlení se projeví ve výpisu tabulky, ovšem původní hodnoty uložené v proměnné edu.var.r zůstávají nezaokrouhleny.
56 edu.name     <-  c('ZS',   ' SS ' ,   'SSm',   'VS')
57 edu.var.r  <- dat a.frame(nj ,  pj ,   Nj ,   Fj ,   row.names  = edu.name)
58 round(edu.var.r ,   digits  = 4)
	nj		PJ	Nj		Fj
ZS	347	0	2719	347	0	2719
SS	424	0	3323	771	0	6042
SSm	425	0	3331	1196	0	9373
VS	80	0	0627	1276	1	0000
59
60
61
62
63
Interpretace výsledků: Datový soubor obsahuje údaje o celkovém počtu 1276 novorozenců s maximálně dvěma staršími sourozenci, přičemž v 347 případech (27.19%) bylo nejvyšší dosažené vzdělání matky základní, v 424 případech (33.23 %) bylo nejvyšší dosažené vzdělání matky středoškolské bez maturity, apod. Celkem 771 (60.42 %) matek novorozenců v datovém souboru získalo středoškolské vzdělání bez maturity, nebo nižší, celkem 1196 (93.73 %) matek novorozenců získalo středoškolské vzdělání s maturitou, nebo nižší.
Zaměřme se nyní na znak Y = porodní hmotnost novorozence. Protože variační řadu má smysl sestrojovat pouze pro kategoriální znak, použijeme k vytvoření variační řady proměnnou weight.K. Znak Y má tři varianty: nízká porodní hmotnost, norma a vysoká porodní hmotnost.
Variační řadu můžeme sestrojit analogickým postupem jako výše, nebo použitím funkce variační.rada(), která je k dispozici v RSkriptu Sbirka-AS-l-2018-funkce.R, jenž vznikl pro potřeby této publikace. RSkript načteme pomocí příkazu source(). Názvy řádků variační řady specifikujeme argumentem row.names ve funkci variační.rada().
64 source('Sbirka-AS-I-2018 - funkce.R')
65 wei  <-  data$weight.K
66 wei.name     <-  cCnizka1 ,   'norma', 'vysoká')
3
67 wei.var.r  <- variacni.rada(wei,   row.names  = wei.name)
68 round(wei.var.r ,   digits  = 4)
	nj		PJ	Nj		Fj
nizka	240	0	1881	240	0	1881
norma	993	0	7782	1233	0	9663
vysoká	43	0	0337	1276	1	0000
Interpretace výsledků: Porodní hmotnost novorozenců v datovém souboru s maximálně dvěma staršími sourozenci, se v 993 případech (77.82%) pohybovala v normě, v 240 případech (18.81%) byla nižší než norma a v 43 případech (3.37%) byla vyšší než norma. Celkem 240 novorozenců (18.81%) mělo porodní hmotnost nižší než norma, 1233 novorozenců (96.63%) mělo porodní hmotnost nižší nebo rovnu normě a 1276 novorozenců (100%) mělo porodní hmotnost vysokou, v normě, nebo nižší.
4
Příklad 2.4. Sloupcový graf absolutních četností
Nakreslete sloupcový graf absolutních četností pro znak X = vzdělání matky a pro znak Y = porodní hmotnost novorozence.
Řešení příkladu ??
Zaměřme se nejprve na znak X. Sloupcový graf absoluních četností vykreslíme pomocí funkce barplot(). Kontrukci grafu začneme vykreslením prázdného grafu s připravenými popisky. Prvním uvedeným argumentem je vektor absolutních četností. Argumentem col (resp. border) zvolíme barvu výplně (resp. ohraničení) sloupců jako bílou. Argumentem ylim stanovíme rozsah měřítka osy y na hodnoty 0-500, argumenty xlab a ylab změníme popisky osy x a y. Argumentem names můžeme specifikovat názvy jednotlivých sloupců v grafu a konečně argumentem las změníme směr popisků měřítka osy y z vertikálních na horizontální.
Kolem grafu obkreslíme černý rámeček příkazem box() specifikací argumentu bty. Dále doplníme do grafu referenční čáry pomocí funkce abline(). Argumentem h specifikujeme vykreslení horizontálních čar v posloupnosti čísel 0, 100, ..., 500, šedou barvou (argument col) a přerušovanou čárou (argument Ity).
Nakonec od grafu dokreslíme příkazem barplot() sloupce. Přidání sloupců do stávajícího grafu nastavíme argumentem add. Stanovením hodnoty F u argumentů names (resp. axes) potlačíme opětovné vypsání popisků jednotlivých sloupců (resp. měřítek osy x a y). Barvu výplně a ohraničení sloupců zvolíme v odstínu modré. Argumentem density nastavíme šrafovaní výplně sloupců s intenzitou hustoty čar 20.
Obdobným postupem získáme sloupcový graf absolutních četností pro znak Y = porodní hmotnost novorozence.
73 #  Vzděláni matky
74 barplot(edu.var.r$nj,   col =   'white',   border =   'white',   ylim =  c(0, 500),
75 xlab =   'nejvyssi  dosazena uroven vzděláni',   ylab =   'absolútni četnost',
76 names  =  edu.name ,   las  = 1)
77 box(bty = 'o')
78 abline(h =  seq(0,   500,   by =  100),   col  =   'grey80',   lty = 2)
79 barplot(edu.var.r$nj ,   add = T,   names  = F,   axes  = F,
80 col  =   'lightblue4' ,   border =   'slateblue4' ,   density  = 30)
81
82 # Porodni   hmotnost novorozenců
83 barplot(wei.var.r$nj,   col =   'white',   border =   'white',   ylim =  c(0, 1100),
84 xlab =   'porodni  hmotnost  novorozence',   ylab =   'absolútni četnost',
85 names  = wei.name,   las  = 1)
86 box(bty = 'o')
87 abline(h =  seq(0,   1100,   by =  100),   col  =   'grey80',   lty = 2)
88 barplot(wei.var.r$nj ,   add = T,   names  = F,   axes  = F,
89 col  =   'lightblue4' ,   border =   'slateblue4' ,   density  = 30)
500
ZS SS SSm VS nizka norma vysoká
nejvyssi dosazena uroven vzděláni porodni hmotnost novorozence
5
^999992
45
Příklad 2.5. Sloupcový graf relativních četností
Nakreslete sloupcový graf relativních četností pro znak X = vzdělání matky a pro znak Y = porodní hmotnost novorozence.
Řešení příkladu ??
Zaměřme se nejprve na znak X. Sloupcový graf relativních četností vykreslíme pomocí funkce rel.barplot(), která je k dispozici v RSkriptu Sbirka-AS-l-2018-funkce.R. Tento RSkript jsme načetli v rámci příkladu ?? příkazem source().
Prvním argumentem ve funkci rel.barplot() je vektor absolutních četností. Argumentem col (resp. names) specifikujeme barvy (resp. názvy) příslušné jednotlivým kategoriím. Pomocí dalších argumentů stanovíme hustotu šrafovaní výplně (density), rozsah osy x (xlim) a popisek osy x (xlab). Analogicky sestrojíme sloupcový graf relativních četností pro znak Y = porodní hmotnost novorozence.
90 c.blue  <-  c('lightbluel' ,   'lightblue2' ,   'lightblue3' ,   ' lightblue4')
91
92 #  Vzděláni matky
93 rel.barplot(edu.var.r$nj ,   col  =  c.blue,   names  = edu.name,
94 density = 80,   xlim =  c(0.2,   1.8),   xlab =   'vzděláni matky')
95 box(bty = 'o')
96
97 # Porodni   hmotnost novorozence
98 rel.barplot(wei.var.r$nj ,   col  =  c.blue[2:4],   xlim = c(0.2, 1.8),
99 names  = wei.name,   xlab =   'porodni  hmotnost  novorozence' ) 100 box(bty = 'o')
1.0 0.9 0.8 -0.7 0.6 H 0.5 0.4 H 0.3 0.2 -0.1 -0.0
I 80; 6.27%
425;33.31%
424; 33.23%
347; 27.19%
■ VS
□ SSm
■ SS
□ ZS
1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0
43:3.3/7°
993; 77.82%
240; 18.81%
□ vysoká
□ norma ■ nizka
vzděláni matky
porodni hmotnost novorozence
6
Příklad 2.6. Kontingenční tabulka absolutních a relativních simultánních četností
Zaměřme se nyní na oba znaky X = vzdělání matky a Y = porodní hmotnost novorozence najednou. Z předchozího textu víme, že znak X má čtyři varianty, znak Y má tři varianty. Celkem tedy můžeme získat 4*3 = 12 různých kombinací variant znaků X a Y. Sestrojte kontingenční tabulku simultánních absolutních četností a kontingenční tabulku simultánních relativních četností znaků X &Y.
Řešení příkladu ??
Kontingenční tabulka simultánních absolutních četností bude tabulka o velikosti (4 + 1) x (3 + 1) = 5 x 4 ve tvaru
	nizka	norma	vysoká	suma
zs	Tin	«12	«13	«i.
ss	«21	«22	«23	«2.
SSm	«31	«32	«33	«3.
VS	n41	«42	«43	«4.
suma	«.i	«.2	«.3	n
kde rijk, j = 1, • • •, 4 a k = 1,..., 3 je simultánní absolutní četnost j-té varianty znaku X a fc-té varianty znaku Y, rij. (resp. n.fc) je marginální absolutní četnost j-té varianty znaku X (resp. fc-té varianty znaku Y) a n je celkový počet objektů v datovém souboru.
Kontingenční tabulku simultánních absolutních četností KT.abs získáme příkazem table(). Následně dopočítáme vektor marginálních četností nj. znaku X. K tomu využijeme funkci apply() se specifikací argumentů FUN = sum a MARGIN = 1 (aplikuj funkci sum na všechny řádky tabulky KT.abs). Funkce apply() s takto zadanými argumenty sečte všechny hodnoty v každém řádku tabulky KT.abs. Vektor nj. připojíme k tabulce KT.abs příkazem cbind().
Analogicky dopočítáme vektor marginálních četností (n^) znaku Y, přičemž nastavíme argument MARGIN = 2 (aplikuj funkci sum na všechny sloupce tabulky KT.abs). Vektor n.k připojíme k tabulce Tab.K příkazem rbindQ.
101	KT.abs	<-	table(edu, wei	)		
102	nj ■	<-	apply(KT.abs ,	MARGIN	=   1,   FUN =	= sum)
103	KT.abs	<-	cbind(KT.abs,	suma =	nj .)	
104	n.k	<-	apply(KT.abs ,	MARGIN	=  2,   FUN =	= sum)
105	(KT.abs	<-	rbind(KT.abs,	suma =	n.k))	
	nizka	norma	vysoká	suma	106
ZS	75	264	8	347	107
SS	79	325	20	424	108
SSm	73	341	11	425	109
VS	13	63	4	80	110
suma	240	993	43	1276	111
Interpretace výsledků: V datovém souboru se vyskytuje celkem 75 novorozenců s maximálně dvěma staršími sourozenci, kteří mají nízkou porodní hmotnost a jejichž matka má základní vzdělání a 341 novorozenců, jejichž porodní hmotnost je v normě a jejichž matka má středoškolské vzdělání s maturitou.
Tabulku simultánních relativních četností získáme vydělením tabulky absolutních simultánních četností KT.abs celkovým počtem objektů ve studii.
KT.rel  <- KT.abs round(KT.rel , dig	/ n ;it s =	4)	
nizka norma	vysoká	suma	114
ZS       0.0588 0.2069	0.0063	0.2719	115
SS       0.0619 0.2547	0.0157	0.3323	116
SSm     0.0572 0.2672	0.0086	0.3331	117
VS       0.0102 0.0494	0.0031	0.0627	118
suma  0.1881 0.7782	0.0337	1.0000	119
Interpretace výsledků: V datovém souboru se vyskytuje celkem 5.88 % novorozenců s maximálně dvěma staršími sourozenci, kteří mají nízkou porodní hmotnost a jejichž matka má základní vzdělání. V datovém souboru se vyskytuje celkem 26.72 % novorozenců s maximálně dvěma staršími sourozenci, jejichž porodní hmotnost je v normě a jejichž matka má středoškolské vzdělání s maturitou.
7
Příklad 2.7. Kontingenční tabulka řádkově a sloupcově podmíněných relativních četností
Zaměřte se nyní opět na oba znaky X = vzdělání matky &Y= porodní hmotnost novorozence najednou. Vytvořte kontingenční tabulku řádkově podmíněných relativních četností fc-té varianty znaku Y, k = 1,..., 3 za předpokladu pevně stanovené j-té varianty znaku X, j = 1,..., 4. Dále vypočtěte kontingenční tabulku sloupcově podmíněných relativních četností j-té varianty znaku X, j = 1, ...,4 za předpokladu pevně stanovené fc-té varianty znaku Y, k = 1,...,3.
Řešení příkladu ??
Kontingenční tabulka řádkově podmíněných relativních četností nám dává relativní zastoupení všech možných variant znaku Y = porodní hmotnost novorozence ve výběru objektů s jednou konkrétní variantou znaku X.
Při výpočtu tabulky řádkově podmíněných relativních četností vyjdeme z tabulky simultánních absolutních četností, kterou získáme analogicky jako v příkladu ?? pomocí funkce table(). Aplikováním funkce prop.table() s argumentem margin = 1 na kontingenční tabulku KT.abs získáme tabulku řádkově podmíněných relativních četností. Hodnoty tabulky si zobrazíme zaokrouhlené na čtyři desetinná místa (round()).
120 KT.abs  <-  table(edu, wei)
121 Pab <- prop.table(KT.abs,   margin = 1)
round(Pab, digits	= 4)	
we i		123
edu        nizka norma	vysoká	124
ZS     0.2161 0.7608	0.0231	125
SS     0.1863 0.7665	0.0472	126
SSm  0.1718 0.8024	0.0259	127
VS     0.1625 0.7875	0.0500	128
Interpretace výsledků: Ze všech novorozenců v datovém souboru, kteří mají maximálně dva starší sourozence a jejichž matka má dokončené středoškolské vzdělání zakončené maturitou, má 17.18% nízkou porodní hmotnost, 80.24% porodní hmotnost v normě a 2.59% vysokou porodní hmotnost. Ze všech novorozenců v datovém souboru s maximálně dvěma staršími sourozenci, jejichž matka má dokončené vysokoškolské vzdělání, má 16.25% nízkou porodní hmotnost, 78.75% porodní hmotnost v normě a 5.00% vysokou porodní hmotnost.
Kontingenční tabulka sloupcově podmíněných relativních četností nám dává relativní zastoupení všech možných variant znaku X = vzdělání matky ve výběru objektů s jednou konkrétní variantou znaku Y.
Při výpočtu tabulky sloupcově podmíněných relativních četností vyjdeme opět z tabulky simultánních absolutních četností. Aplikováním funkce prop.table() s argumentem margin = 2 na kontingenční tabulku KT.abs získáme tabulku sloupcově podmíněných relativních četností.
129 # Sloupcové  podminene  relativní četnosti
130 Pab  <- prop . table (KT . abs ,   margin = 2)
131 round(Pab,   digits  = 4)
we i			132
edu nizka	norma	vysoká	133
ZS 0.3125	0.2659	0.1860	134
SS 0.3292	0.3273	0.4651	135
SSm 0.3042	0.3434	0.2558	136
VS 0.0542	0.0634	0.0930	137
Interpretace výsledků: Ze všech novorozenců v datovém souboru, kteří mají maximálně dva starší sourozence a jejichž porodní hmotnost byla nízká, se 31.25% narodilo matkám s ukončeným základním vzděláním. Ze všech novorozenců v datovém souboru, kteří mají maximálně dva starší sourozence a jejichž porodní hmotnost byla v normě, se 32.73% se narodilo matkám s dokončeným středoškolským vzděláním bez maturity a 34.34% se narodilo matkám se středoškolským vzděláním ukončeným maturitou.
8
2.2   Intervalové rozdělení četností
Dataset 2: Délkově-šířkové rozměry lebky egyptské populace
Z archivních materiálů (Schmidt, 1888; soubor 01-one-sample-mean-skull-mf.txt) máme k dispozici původní kra-niometrické údaje o délce a šířce lebky ze starověké egyptské populace. Současně máme k dispozici průměrné hodnoty obou rozměrů, hodnoty směrodatné odchylky a počty případů vzorku novověké egyptské populace (délka lebky: xm = 177.568 mm, x f = 171.962mm; sm = 7.526 mm, Sf = 7.052mm; nm = 88, rif = 52 a šířka lebky: xm = 136.402 mm, x f = 131.038 mm; sm = 6.411mm, s f = 5.361mm; nm = 88, rif = 52).
Popis proměnných v datasetu 2:
• id - pořadové číslo;
• pop - populace (egant - egyptská starověká);
• sex - pohlavie (m - muž, f - žena);
• skull.L - největší délka mozkovny (mm), t.j. přímá vzdálenost kraniometrických bodů glabella a opisthocranion;
• skull.B - největší šířka mozkovny (mm), t.j. vzdálenost obou kraniometrických bodů euryon.
Řešené příklady
Příklad 2.8. Načtení datového souboru
Načtěte dataset 01-one-sample-mean-skull-mf.txt a vypište první čtyři řádky z načteného souboru. Prozkoumejte, zda soubor obsahuje neznámé hodnoty a případně je ze souboru odstraňte. Potom zjistěte dimenzi datové tabulky.
Řešení příkladu ??
Datový soubor načteme příkazem read.delim(). První čtyři řádky vypíšeme pomocí příkazu head() se specifikací argumentu n = 4.
138	data	<- read	.delim('01		-one - sample-mean - skull -mf.txt')
139	head(data, n		-	4)	
	id	pop se	X	skull . L	skull.B
	1 416	egant	m	188	145
	2 417	egant	m	172	139
	3 420	egant	m	176	138
	4 421	egant	m	184	128
140
141
142
143
144
Načtená datová tabulka obsahuje jednu identifikační proměnnou id a údaje o čtyřech znacích: populaci (pop), pohlaví skeletu (sex), největší délce mozkovky (skuli.L) a největší šířce mozkovny (skuli.B). Pomocí funkce is.na() zjistíme, zda načtený soubor obsahuje neznámé hodnoty.
145    sum(is.na(data))
[1] 5
146
V datovém souboru se vyskytuje celkem 5 neznámých (NA) hodnot. Podívejme se nyní, kde přesně se v souboru NA hodnoty vyskytují.
147    data[apply(is.na(data) ,   MARGIN =  1,   FUN =  sum)   > 0, ]
	id	pop	sex	skull.L	skull.B
38	477	egant	m	NA	NA
110	554	egant	m	183	NA
222	456	egant	f	NA	NA
148
149
150
151
Funkce is.na() nám označí číslem 1 pozice, na kterých se v tabulce data vykytuje NA hodnota, a číslem 0 pozice, na kterých se NA hodnota nevyskytuje. Získáme tedy tabulku 0 a 1. Potom provedeme v této tabulce řádkové součty hodnot (funkce applyQ s argumenty MARGIN = 1 a FUN = sum). V případě, že se v řádku tabulky vyskytlo NA
9
pozorování, funkce is.na() je označila 1 a řádkový součet 0 a 1 tedy bude větší než 0. Pomocí logického operátoru > a podmnožinového operátoru [ , ] jsme potom vypsali z tabulky data pouze ty řádky, pro něž byl řádkový součet větší než 0, čímž jsme získali řádky s výskytem NA hodnot. Vidíme, že hodnoty chybí celkem u tří objektů, přičemž u dvou objektů chybí oba délkové rozměry a u jednoho objektu chybí pouze údaj o nej větší šířce mozkovny.
[i]   325 5
Po odstranění na pozorování (funkce na.omit()) nám zůstala datová tabulka o velikost 325 řádků a pěti sloupců. Celkem tedy máme údaje o 325 objektech, přičemž u každého objektu máme záznamy o jedné identifikační proměnné a čtyřech znacích.
10
Příklad 2.9. Histogram
V následující analýze se zaměříme primárně na znak X = největší šířka mozkovky u skeletů mužského pohlaví. Proveďte prvotní náhled na znak X = největší šířka mozkovky u mužů pomocí histogramu.
Řešení příkladu ??
Z tabulky data si nejprve vytáhmene údaje o největší šířce mozkovny pro muže. Dále zjistíme, kolik takovýchto údajů máme k dispozici (pomocí funkce length()) a v jakém rozmezí se pohybují (funkce range()).
153 skull.BM    <- data[data$sex ==   'm',   'skull.B']
154 (n.M <-  length(skull.BM))
[1] 216
155
157
156    range(skull.BM)
[1]   124 149
Celkem máme údaje o největší šířce mozkovny u 216 mužských skeletů. Hodnoty největší šířky mozkovny v datovém souboru se pohybují v rozmezí 124-149 mm.
Jelikož je sledovaný znak X spojitého typu, je potřeba naměřené hodnoty roztřídit do stejně dlouhých tzv. třídicích intervalů. V praxi to znamená, že vytvoříme intervaly pokrývající svým rozsahem celou reálnou osu, tj.
(oo;«i) , («i;«2),       (ur;ur+1), (ur+1;oo),
kde
(uj;Uj+i), j = 1,..., J je j-tý třídicí interval. Krajní intervaly (oo;«i) a («r+i;oo) jako třídicí intervaly neuvažujeme, nikdy neobsahují žádné pozorování jako doplnění celé reálné osy. Počet třídicích intervalů se mění v závislosti na počtu pozorování, které máme k dispozici. Přesný počet třídicích intervalů r v konkrétním případě stanovíme pomocí tzv. Sturgesova pravidla
r w 1 + 3.31og10 n. (1)
158    (r  <-  round(l  +  3.3  *  loglO(n.M)))
[1] 9
159
Podle Sturgersova pravidla je optimální počet třídicích intervalů pro znak X = největší šířka mozkovny roven 9. Minimální naměřená hodnota znaku X je 124, maximální hodnota je 149. Rozsah hodnot mezi minimální a maximální hodnotou je 25. Optimální šířku jednoho třídicího intervalu spočítáme odečtením minimální hdonoty 124 od maximální hodnoty 149, vydělením tohoto rozdílu počtem třídidích intervalů a zaokrouhlením výsledku na nejbližší vyšší celé číslo. Toto specifické zaokrouhlení provedeme pomocí funkce ceilingQ.
[i] 3
160
Optimální šířka třídicího intervalu pro znak X je 3 mm. Vynásobíme-li počet třídicích intervalů optimálním rozsahem jednoho intervalu, zjistíme, že rozsah třídicích intervalů je 9 x 3 = 27. Rozsah hodnot 124-149 je však pouze 25. Proto dolní hranici prvního třídicího intervalu u\ stanovíme jako 123, «2 = 126, ... Mg = 150.
Nyní již můžeme vytvořit histogram pro znak X = největší šířka mozkovny u skeletů mužského pohlaví. Pomocí funkce seq() vytvoříme nejprve posloupnost hranic třídicích intervalů b a posloupnost středů každého třídicího intervalu centr.
Histogram vykreslíme pomocí funkce hist(). Konstukci histogramu zahájíme přípravou prázdného grafu s připravenými popisky. Prvním argumentem bude vektor znaku X (skuli.B). Argumentem col (resp. border) zvolíme barvu výplně (resp. ohraničení) sloupců jako bílou. Argumentem ylim stanovíme rozsah měřítka osy y na hodnoty 0-52 a specifikací argumentu axes = F zakážeme vykreslení měřítek os x a y. Argumenty xlab a ylab změníme popisky osy x a y a specifikací argumentu main = " odstraníme nadpis grafu.
11
Kolem grafu obkreslíme černý rámeček příkazem box() specifikací argumentu bty. Dále doplníme do grafu referenční čáry pomocí funkce abline(). Argumentem h specifikujeme vykreslení horizontálních čar v posloupnosti čísel 0, 10, ..., 60, šedou barvou (argument col) a čerchovanou čárou (argument Ity = 4).
Nyní grafu dokreslíme příkazem hist() požadovaný histogram. Přidání histogramu do stávajícího grafu nastavíme argumentem add. Hranice třídidích intervalů nastavíme argumentem breaks . Barvu výplně (col) a ohraničení sloupců (border) zvolíme v odstínu modré. Argumentem density nastavíme šrafovaní výplně sloupců s intenzitou hustoty čar 20.
Nakonec do grafu doplníme měřítko osy x tak, aby zobrazené měřítko uvádělo středy třídicích intervalů. K tomu nám dopomůže vektor středů centr a funkce axis() s argumentem side = 1. Měřítko osy y doplníme specifikací argumentu side = 2 fe funkce axis(). Vykreslení popisků měřítka osy y změníme argumentem las.
161 b <-  seq(123,   150,   by = 3)
162 centr  <-  seq(124.5,   148.5,   by = 3)
163
164 hist(skuli.BM ,   col =   'white',  border = 'white',
165 ylim =  c(0,   52),     axes  = F,
166 xlab =   'nejvetsi   sirka mozkovny   (mm)   - muzi',
167 yla-b =   'absolútni   četnosti' ,   main =   ' ')
168 box(bty = 'o')
169 abline(h =  seq(0,   60,   by =  10),   col =   'grey80',   lty = 4)
170
171 hist(skull.BM,   add = T,   breaks  = b,
172 col  =   'lightblue4 ' ,   border =   'slateblue4' ,   density = 20)
173 axis(side  =  1, centr)
174 axis(side  = 2,   las = 1)
50 -
124.5 130.5 136.5 142.5 148.5
nejvetsi sirka mozkovny (mm) - muzi
12
2^5882244882
Příklad 2.10. Krabicový diagram
Sestrojte krabicový diagram pro znak X = největší šířka mozkovny.
Řešení příkladu ??
Krabicový diagram znaku X vykreslíme příkazem boxplot(). Prvním argumentem bude vektor hodnot největší šířky mozkovny skuli.BM. Argumentem type = 2 nastavíme výpočet hranic krabice pomocí jednoduchého výpočtu analogickému ručnímu výpočtu bez zbytečnch aproximací. Argument horozintal změní polohu grafu ze svislé na vodorovnou. Barvu výplně grafu (col), hranice grafu (border) i čáry uprostřed grafu (medcol) reprezentující polohu mediánu (viz ??) zvolíme opět v odstínech modré. Popisek osy x změníme argumentem xlab.
175 boxplot(skuli.BM ,   type  = 2,   horizontál  = T,
176 col  =   'mintcream',   border  =   'darkblue',  medcol  =   'deepskyblue4',
177 xlab =   'nejvetsi   sirka mozkovny   (mm)   - muži')
o
125 130 135 140 145 150
nejvetsi sirka mozkovny (mm) - muzi
13
Příklad 2.11. Histogram a krabicový diagram
V následující analýze se opět zaměříme na znak X = největší šířka mozkovky tentokrát ale u skeletů ženského pohlaví. Proveďte prvotní náhled na znak X = největší šířka mozkovky u žen pomocí histogramu a krabicového diagramu.
Řešení příkladu ??
Z tabulky data si nejprve vytáhmene údaje o největší šířce mozkovny pro ženye, zjistíme, kolik takovýchto údajů máme k dispozici a v jakém rozmezí se pohybují.
178 skuli.BF    <- data[data$sex ==   'f,   'skuli.B']
179 (n.F <-  length(skuli.BF))
[1]   109 180
181    range(skuli.BF)
[1]   118 146
182
Celkem máme údaje o největší šířce mozkovny u 109 ženských skeletů. Hodnoty největší šířky mozkovny v datovém souboru se pohybují v rozmezí 118-146 mm. Jelikož znak největší šířka mozkovny u žen je opět spojitého typu, rozdělíme opět data do vhodného počtu stejně širokých třídicích intervalů. Počet intervalů stanovíme pomocí Stur-gesova pravidla.
183    (r  <-  round(l  +  3.3  *  loglO(n.F)))
[1]   8 | 184
Optimální počet třídicích intervalů pro znak X = největší šířka mozkovny u žen je roven 8. Minimální naměřená hodnota znaku X je 118, maximální hodnota je 146. Rozsah hodnot mezi minimální a maximální hodnotou je 28. Optimální šířku jednoho třídicího intervalu spočítáme odečtením minimální hdonoty 118 od maximální hodnoty 146, vydělením tohoto rozdílu počtem třídidích intervalů a zaokrouhlením na nejbližší vyšší celé číslo (funkce ceiling()).
[1]   4 | 185
Optimální šířka třídicího intervalu pro znak X je 4 mm. Vynásobíme-li počet třídicích intervalů optimálním rozsahem jednoho intervalu, zjistíme, že rozsah třídicích intervalů je 8 x 4 = 32. Rozsah hodnot 118-146 je však pouze 28. Proto dolní hranici prvního třídicího intervalu u\ stanovíme jako 116, «2 = 120, ... Mg = 148.
Nyní již můžeme vytvořit histogram pro znak X = největší šířka mozkovny u skeletů ženského pohlaví. Pomocí funkce seq() vytvoříme nejprve posloupnost hranic třídicích intervalů b a posloupnost středů každého třídicího intervalu centr.
Histogram vykreslíme pomocí funkce hist(). Konstukci histogramu opět zahájíme přípravou prázdného grafu s připravenými popisky. Kolem grafu obkreslíme černý rámeček (box()) a do grafu vykreslíme referenční čáry (abline()). Dále do grafu dokreslíme příkazem hist() požadovaný histogram a doplníme měřítko osy x, resp. y (funkce axis() se specifikací argumentu side = 1, resp. side = 2).
Krabicový diagram znaku X vykreslíme příkazem boxplot().
186 # Histogram
187 b <-  seq(116,   148,   by = 4)
188 centr  <-  seq(118,   146,   by = 4)
189
190 hist(skuli.BF,   col =   'white',  border = 'white',
191 ylim =  c(0,   52),     axes  = F,
192 xlab =   'nejvetsi   sirka mozkovny   (mm)   - zeny' ,
193 yla-b =   'absolútni   četnosti' ,   main =   ' ')
194 box(bty = 'o')
195 abline(h =  seq(0,   60,   by =  10),   col =   'grey80',   lty = 4)
196
14
197 hist(skull.BF,   add = T,   breaks  = b,
198 col  =   'lightblue4',   border =   'slateblue4',   density = 20)
199 axis(side  =  1, centr)
200 axis(side  = 2,   las = 1)
201
202 # Krabicový diagram
203 boxplot(skull.BF ,   type  = 2,   horizontal  = T,
204 col  =   'mintcream',   border  =   'darkblue',  medcol  =   'deepskyblue4',
205 xlab =   'nejvetsi   sirka mozkovny   (mm)   - zeny')
50 -
nejvetsi sirka mozkovny (mm) - zeny nejvetsi sirka mozkovny (mm) - zeny
15
2.3 Příklady k samostatnému procvičování Příklad 2.12. Opakování: Načtení datového souboru
Načtěte dataset 17-anova-newborns.txt. Ze souboru odstraňte neznámé NA hodnoty. V následující analýze se zaměřte pouze na novorozence, kteří mají maximálně dva starší sourozence. Tyto novorozence rozdělte podle porodní hmotnosti do tří kategorií: nizka - hmotnost novorozence je nižší než 2500 g; norma - hmotnost novorozence se pohybuje v rozmezí 2500-4200 g; vysoká - hmotnost novorozence je vyšší než 4200 g. Nakonec upravte označení jednotlivých variant znaku X = počet starších sourozenců (0 - zadny, 1 - jeden, 2 - dva). Vypište prvních 6 řádků z upraveného souboru a zjistěte dimenzi datového souboru.
Řešení příkladu ??
	edu . M	prch.N s	3X . C we	ight . C we	ight . K
1	2	zadny	m	3470	norma
2	2	zadny	m	3240	norma
3	2	zadny	f	2980	norma
4	1	zadny	m	3280	norma
5	3	zadny	m	3030	norma
6	2	j eden	m	3650	norma
206
207
208
209
210
211
212
214
213 dim(data)
[1] 1276
Příklad 2.13. Variační řada Vytvořte variační řadu znaku X = počet starších sourozenců. Výsledky variační řady interpretujte.
Řešení příkladu ??
	nj		PJ	Nj		Fj
zadny	590	0	4624	590	0	4624
j eden	511	0	4005	1101	0	8629
dva	175	0	1371	1276	1	0000
215
216
217
218
Interpretace výsledků: Z celkového počtu 1276 novorozenců je 590 novorozenců (46.24 %) prvorozených. Z celkového počtu 1276 novorozenců je 1101 (86.29%) novorozenců prvorozených nebo druhorozených.
Příklad 2.14. Sloupcový graf absolutních a relativních četností
Nakreslete sloupcový graf absolutních četností a sloupcový graf relativních četností pro znak X = počet starších sourozenců.
Řešení příkladu ??
16
zadný jeden dva
počet starších sourozenců
počet starších sourozenců
17
Příklad 2.15. Kontingenční tabulka absolutních a relativních simultánních četností
Zaměřme se nyní na oba znaky X = počet starších sourozenců a Y = porodní hmotnost novorozence najednou. Sestrojte kontingenční tabulku simultánních absolutních četností a kontingenční tabulku simultánních relativních četností znaků X &Y. Hodnoty v tabulkách tabulce interpretujte.
Řešení příkladu ??
Kontingenční tabulka absolutních četností
	nizka	norma	vysoká	suma
zadny	123	456	11	590
j eden	91	399	21	511
dva	26	138	11	175
suma	240	993	43	1276
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
Kontingenční tabulka relativních četností
	nizka	norma	vysoká		suma
zadny	0.0964	0.3574	0.0086	0	4624
j eden	0.0713	0.3127	0.0165	0	4005
dva	0.0204	0.1082	0.0086	0	1371
suma	0.1881	0.7782	0.0337	1	0000
Interpretace výsledků: V datovém souboru se vyskytuje 123 (9.64 %) prvorozených novorozenců s nízkou porodní hmotností, 399 (31.27%) druhorozených novorozenců, jejichž porodní hmotnost je v normě a 11 (0.86%) novorozenců s dvěma staršími sourozenci a vysokou porodní hmotností.
Příklad 2.16. Kontingenční tabulka řádkově a sloupcově podmíněných relativních četností
Vytvořte kontingenční tabulku řádkově podmíněných relativních četností fc-té varianty znaku Y, k = 1,..., 3 za předpokladu pevně stanovené j-té varianty znaku X, j = 1,..., 4. Dále vypočtěte kontingenční tabulku sloupcově podmíněných relativních četností j-té varianty znaku X, j = 1,..., 4 za předpokladu pevně stanovené fc-té varianty znaku Y, k = 1,..., 3. Hodnoty v tabulkách interpretujte.
Řešení příkladu ??
Kontingenční tabulka řádkově podmíněných relativních četností
we i		
prch nizka	norma	vysoká
zadny 0.2085	0.7729	0.0186
jeden 0.1781	0.7808	0.0411
dva 0.1486	0.7886	0.0629
229
230
231
232
233
Interpretace výsledků: Ze všech prvorozených novorozenců v datovém souboru má 20.85 % nízkou porodní hmotnost, 1.86% vysokou porodní hmotnost a 77.29% má porodní hmotnost v normě.
Kontingenční tabulka sloupcově podmíněných relativních četností
we i		
prch nizka	norma	vysoká
zadny 0.5125	0.4592	0.2558
jeden 0.3792	0.4018	0.4884
dva 0.1083	0.1390	0.2558
234
235
236
237
238
Interpretace výsledků: Ze všech novorozenců v datovém souboru, kteří mají porodní hmotnost v normě, je 45.92% prvorozených, 40.18% druhorozených a 13.90% má dva starší sourozence.
18
Příklad 2.17. Načtení datového souboru
Načtěte dataset 01-one-sample-mean-skull-mf.txt a vypište první šest čtyři řádky z načteného souboru. Ze souboru odstraňte NA hodnoty a zjistěte dimenzi datové tabulky.
Řešení příkladu ?? 239    head(data,  n = 6)
	id	pop	sex	skull.L	skull.B
1	416	egant	m	188	145
2	417	egant	m	172	139
3	420	egant	m	176	138
4	421	egant	m	184	128
5	422	egant	m	183	139
6	423	egant	m	177	143
240
241
242
243
244
245
246
247 dim(data)
[1]   325 5
248
Příklad 2.18. Variační řada, sloupcový diagram absolutních (resp. relativních) četností
Zaměřme se nyní na kategoriální znak X = pohlaví. Pro tento znak vytvořte variační řadu a sestrojte soupcový diagram absolutních četností a sloupcový diagram relativních četností. Výsledky variační řady interpretujte. Zamyslete se nad tím, zda je možné na základě současného datového souboru sestrojit kontingenční tabulku simultánní absolutních (resp. relativních) četností. Jaké kroky by bylo potřeba podniknout, aby sestrojení tabulek bylo možné?
Řešení příkladu ??
		PJ	Nj		Fj
zeny 109	0	3354	109	0	3354
muži 216	0	6646	325	1	0000
249
250
251
Interpretace výsledků: V datovém souboru se vyskytuje celkem 325 objektů; 109 (33.54%) žen a 216 (66.46%) mužů.
250
200
& 150
100
zeny
1.0 -
0.9 -
0.8 -
0.7 -
0.6 -
0.5 -
0.4 -
0.3 -
0.2 -
0.1 -
0.0 -
216:66.46%
109; 33.54%
□ muzi
□ zeny
pohlaví
pohlaví
Odpověď na otáku: K sestrojení kontingenční tabulky simultánních absolutních (resp. relativních) četností potřebuje dva znaky kategoriálního typu. Protože v databázi máme pouze jeden znak kategoriálního typu (znak pohlaví), museli byhcom druhý znak zajistit kategorizací jedné ze spojitých proměnných, tedy buď proměnné největší délka mozkovny nebo proměnné největší šířka mozkovny.
19
^9999999999^
Příklad 2.19. Histogram a krabicový diagram
V následující analýze se zaměříme na znak X = největší délka mozkovny u skeletů mužského pohlaví. Proveďte prvotní náhled na znak X = největší délka mozkovny u mužů. Pomocí Sturgesova pravidla určete optimální počet třídidích intervalů, následně optimální délku každého třídicího intervalu a stanovte hranice jednotlivých třídicích intervalů. Vykreslete histogram a krabicový diagram pro znak největší délka mozkovny u mužů.
Řešení příkladu ??
Optimální počet třídidích intervalů je podle Sturgesova pravidla 9 s optimální šířkou každého třídicího intervalu 4 mm.
40 ■
H
—i—i—i—i—i—i—i—i—i—
165   169   173   177   181   185   189   193 197
nejvetsi délka mozkovny (mm) - muzi
170      175      180      185      190 195 nejvetsi délka mozkovny (mm) - muzi
Příklad 2.20. Histogram a krabicový diagram
V následující analýze se zaměříme primárně na znak X = největší délka mozkovny u skeletů ženského pohlaví. Proveďte prvotní náhled na znak X = největší délka mozkovny u žen. Pomocí Sturgesova pravidla určete optimální počet třídidích intervalů, následně optimální délku každého třídicího intervalu a stanovte hranice jednotlivých třídicích intervalů. Vykreslete histogram a krabicový diagram pro znak největší délka mozkovny u mužů.
Řešení příkladu ??
Optimální počet třídidích intervalů je podle Sturgesova pravidla 8 s optimální šířkou každého třídicího intervalu 4 mm.
20
99999999999999