4   Diskrétní a spojité náhodné veličiny
4.1   Binomické rozdělení Bin(iV, p)
• Bernoulliho pokusy X\,..., :
— Xi = 1 ... událost nastala; Xi = 0... událost nenastala; i = 1,..., N.
— Pr(X2 = 1) = p
— Pr(Xl = 0) = l-p = q
• Binomické rozdělení:
— X... počet událostí v posloupnosti TV nezávislých Bernoulliho pokusů, přičemž pravděpodobnost nastání události v každém pokusu je vyjádřena parametrem p.
~ E,"i*i = X~mn(N,p). -6 = (N,p)
— pravděpodobnostní funkce:
p(x) = (^jpx(l-p)N-x     x = 0,1,..., N;
— vlastnosti: E[X] = Np; Var[X] = Np(l - p)
— dbinom(x, N, p), pbinom(x, N, p)
Dataset 1: Počet chlapců v rodinách s 12 dětmi
V rámci studie poměru pohlaví u lidí z roku 1889 bylo na základě záznamů z nemocnic v Sasku zaznamenáno rozdělení počtu chlapců v čtrnáctičlenných rodinách. Mezi M = 6115 rodinami a N = 12 dětmi byla pozorována početnost chlapců. Údaje ze studie jsou uvedeny v následující tabulce.
_n_|| 0    1      2      3      4       5        6        7       8      9      10    11    12 || ]T
mobserved || 3   24   1Ô4   286   670    1Ô33    1343    1112   829   478    181   45    7 II 6115
Příklad 4.1. Výpočet parametru p binomického modelu
Vezměte údaje z datasetu 1. Předpokládejme, že náhodná veličina X popisující počet chlapců v rodinách s dvanácti dětmi pochází z binomického rozdělení s parametrem TV = 12. Vypočítejte odhad pravděpodobnosti výskytu chlapců v rodinách s dvanácti dětmi.
Řešení příkladu 4.1
Pravděpodobnost p výskytu chlapců v rodinách s dvanácti dětmi odhadneme pomocí vzorce
počet narozených chlapců J2n-onmobserved
p=------ =--—--. Mj
celkový počet narozených dětí N M
[1]   0.5192 1
Interpretace výsledků: Pravděpodobnost výskytu chlapců v rodinách s dvanácti dětmi je ..............................
(..............................%)•
1
Příklad 4.2. Pozorované a očekávané početnosti v binomickém modelu
Za předpokladu, že počet chlapců v rodinách s dvanácti dětmi pochází z binomického rozdělení s parametry
TV = ............................. a p = ............................. odhadněte očekávané početnosti chlapců v rodinách s dvanácti
dětmi a porovnejte je s pozorovanými početnostmi.
Řešení příkladu 4.2
	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
m . obs	3	24	104	286	670	1033	1343	1112	829	478	181	45	7
m . exp	1	12	72	259	628	1085	1367	1266	854	410	133	26	2
1200
% iooo H
o
oS 800 -
0
1 600
1 400 H a
200 0
pozorované očekávané
10
počet starších sourozenců
Obrázek 1: Porovnání pozorovaných a očekávaných početností v Poissonově modelu
Příklad 4.3. Výpočet pravděpodobností za předpokladu binomického modelu
Za předpokladu, že náhodná veličina X popisující počet chlapců v rodinách s dvanácti dětmi pochází z binomického
rozdělení s parametry TV = ............................. a p = ............................. vypočítejte pravděpodobnost, že v rodině
s dvanácti dětmi bude
a. právě devět chlapců,
b. nejvýše čtyři chlapci,
c. alespoň osm chlapců,
d. čtyři, pět, šest, nebo sedm chlapců.
Řešení příkladu 4.3
[1]	0	067
		
[1]	0	1589
		
[1]	0	2331
		
[1]	0	7108
Interpretace výsledků: Pravděpodobnost, že v rodině bude právě devět chlapců, je .............................%. Pravděpodobnost, že v rodině budou nejvýše čtyři chlapci, je .............................%. Pravděpodobnost, že v rodině bude
alespoň osm chlapců, je.............................%. Pravděpodobnost, že v rodině bude čtyři, pět, šest, nebo sedm chlapců,
je.............................%.
2
Příklad 4.4. Graf pravděpodobnostní a distribuční funkce binomického modelu
Nakreslete graf pravděpodobnostní funkce a graf distribuční funkce binomického rozdělení Bin(iV,p), kde N = 12 ap = 0.5192.
Řešení příkladu 4.4
o.o -
N = 12. d = 0.5192 N = 12. d =0.5192
Obrázek 2: Pravděpodobnostní a distribuční funkce binomického modelu
4.2   Poissonovo rozdělení Po (A)
• X ... počet událostí, které nastanou v jednotkovém časovém intervalu, přičemž k událostem dochází náhodně, jednotlivě a vzájemně nezávisle. Střední počet těchto událostí je vyjádřen parametrem A > 0.
• X ~ Po(A)
• 9 = \
• pravděpodobnostní funkce:
P(x) = —re    a; = 0,1,...;
x\
• vlastnosti: E[X] = A; Var[X] = A
• dpois(x, lambda), ppois(x, lambda)
Příklad 4.5. Výpočet parametru A Poissonova modelu
Načtete datový soubor 17-anova-newborns.txt a odstraňte z něj neznámá pozorování. Zaměřte se na znak X =počet starších sourozenců novorozence. Za předpokladu, že náhodná veličina X popisující počet starších sourozenců novorozence pochází z Poissonova rozdělení parametrem A odhadněte střední hodnotu počtu starších sourozenců A.
Řešení příkladu 4.5
Střední hodnotu počtu starších sourozenců odhadneme pomocí vzorce
počet starších sourozenců     ~Ž2íLi x%
A =--- = -. (2)
počet novorozenců TV
[1]   0.9428365 9
Interpetace výsledků: Střední hodnota počtu starších sourozenců novorozenců v datovém souboru A =.........
3
Příklad 4.6. Porovnání pozorovaných a očekávaných početností v Poissonově modelu
Za předpokladu, že počet starších sourozenců novorozenců pochází z Poissonova rozdělení s parametrem A =.......
..................... odhadněte očekávané početnosti starších sourozenců a porovnejte je s pozorovanými početnostmi.
Řešení příkladu 4.6
	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
m . obs	590	511	175	48	23	17	10	4	3	1
m . exp	538	508	239	75	18	3	1	0	0	0
600		o			
		•		0	pozorované
500				f	očekávané
400					
300					
				•	
200				t	
100					
				! <?	
0				*    8 8	•   • •
0 2 4 6
počet starších sourozenců
Obrázek 3: Porovnání pozorovaných a očekávaných početností v Poissonově modelu
Příklad 4.7. Výpočet pravděpodobností za předpokladu Poissonova modelu
Vraťem se nyní k příkladu 4.5. Za předpokladu, že data pochází z Poissonova rozdělení s parametrem A = .............................určete pravděpodobnost, novorozenec má
1. dva, tři nebo čtyři starší sourozence
2. alespoň čtyři starší sourozence
3. nejvýše dva
4. právě tri
Řešení příkladu 4.7
[1]	0	2403672
		
[1]	0	01568161
		
[1]	0	9299071
		
[1]	0	367255
Interpretace výsledů: Pravděpodobnost, že novorozenec bude mít dva, tři nebo čtyři starší sourozence je...............
..............%. Pravděpodobnost, že novorozenec bude mít alespoň čtyři starší sourozence je .............................%.
Pravděpodobnost, že novorozenec bude mít nejvýše dva starší sourozence je.............................%. Pravděpodobnost,
že novorozenec bude mít jednoho staršího sourozence je.............................%.
4
Příklad 4.8. Graf pravděpodobnostní a distribuční funkce Poissonova modelu
Nakreslete graf pravděpodobnostní a distribuční funkce Poissonova rozdělení Po(0.9428) v hodnotách x = 0, 1, 2. 3, 4, 5, 6, 7, 8, a x > 9.
Řešení příkladu 4.8
a   0.2 -
x = 0.9428
i—i—i—i—i—i—i—i—i—i—r
-1   012345678 9+ x
x = 0.9428
Obrázek 4: Pravděpodobnostní a distribuční funkce Poissonova modelu
4.3   Normální rozdělení N(fi, a2)
• X\,..., Xn ... nezávislé náhodné veličiny
• Normální rozdělení
- X ~ N(fi,a2)
- hustota
- vlastnosti E[X] = fj,; Vax[X] = a2
- dnorm(x, mu, sigma), pnorm(x, mu, sigma), rnorm(M, mu, sigma), qnorm(alpha, mu, sigma)
• Standardizované normální rozdělení
- X ~ 7Y(0,1)
- 0 = (o,i)T
- hustota
f(x) = 4>{x) =
xeR.
— vlastnosti E[X] = 0; Var[X] = 1
— dnorm(x), pnorm(x), rnorm(M), qnorm(alpha)
• Vlastnosti normálního rozdělení
— Věta 1: Nechť X\,... ,Xn jsou nezávislé náhodné veličiny z normálního rozdělení N(p,,<r2). Potom náhodná veličina Xn = ^ Xlľ=i Xi ~ N (jj,, ^-)•
5
Příklad 4.9. Výpočet pravděpodobností na základě normálního modelu
Mějme datový soubor obsahujícího údaje o porodní hmmotnosti novorozenců v jedné okresní nemocnici za období jednoho roku (Alanova, 2008). Za předpokladu, že náhodná veličina X popisující porodní hmotnost novorozenců pochází z normálního rozdělení N(fi,a2) odhadněte parametr střední hodnoty /i a rozptylu a2. Finální rozdělení porovnejte s naměřenými údaji.
Řešení příkladu 4.9
n—i—i—i—i—i—i—i—i—r
780    1580   2380   3180   3980 4780
porodní hmotnost (v g)
Interpretace výsledků: Náhodná veličina X popisující porodní hmotnost novorozenců pochází z normálního rozdělení se střední hodnotou jj, =...................................a rozptylem............................................, tj. X simN(..........
Příklad 4.10. Výpočet pravděpodobností na základě normálního modelu
Na základě datového souboru obsahujícího údaje o porodní hmmotnosti novorozenců v jedné okresní nemocnici za období jednoho roku (Alanova, 2008) byla odhadnuta střední hodnota a směrodatná odchylka porodní hmotnosti novorozenců. Střední hodnota jj, = 3078.94 g, směrodatná ochylka s = 697 g. Za předpokladu, že data pochází z normálního rozdělení vypočítejte, jaká je pravděpodobnost, že porodní hmotnost novorozence bude (a) menší než 3800 g; (b) v rozmezí 2000-3000 g; (c) větší než 4000 g, (d) rovná 2100 g.
Řešení příkladu 4.10
[1]	0	8495533	17
			
[1]	0	743032	18
			
[1]	0	09317345	19
			
[1]	0		20
Interpretace výsledků: Pravděpodobnost, že porodní hmotnost novorozenců bude menší než 3800 g, je................
................................%. Pravděpodobnost, že porodní hmotnost novorozenců bude v rozmezí 2500-4200 mm, je
.....................%. Pravděpodobnost, že porodní hmotnost novorozenců bude větší než 4000 mm, je.........................%.
Pravděpodobnost, že porodní hmotnost novorozenců bude rovná 2100 g, je .............................%, protože data
pochází z normálního rozdělení, což je...................................typ rozdělení, proto Pr(X = 2100) =..........................
Příklad 4.11. Výpočet pravděpodobností na základě standardizovaného normálního modelu
Vraťme se nyní k předchozímu příkladu 4.9. Za předpokladu, že porodní hmotnost novorozenců pochází z normálního rozdělení 7V(3078.94, 6972) vypočítejte pravděpodobnost, že porodní hmotnost novorozence bude (a) menší než 3800 g; (b) v rozmezí 2000-3000 g; (c) větší než 4000 g, (d) rovná 2100 g. Řešení proveďte přes standardizaci náhodné veličiny X.
6
Řešení příkladu 4.11
[1]	0	8495533
		
[1]	0	743032
		
[1]	0	09317345
		
[1]	0	
Interpretace výsledků: Pravděpodobnost, že porodní hmotnost novorozenců bude menší než 3800 g je................
.............%. Pravděpodobnost, že porodní hmotnost novorozenců bude v rozmezí 2500-4200 mm je.........................%.
Pravděpodobnost, že porodní hmotnost novorozenců bude větší než 4000 mm je.............................%. Pravděpodobnost, že porodní hmotnost novorozenců bude rovná 2100 g je.............................%, protože data pochází z normálního
rozdělení, což je .......................................typ rozdělení, proto Pr(X = 2100) =..............................
Příklad 4.12. Výpočet pravděpodobností na základě normálního modelu
Předpokládejme, že velký ročník na VS má výsledky ze statistiky normálně rozdělené kolem střední hodnoty 72 bodů se směrodatnou odchylkou 9 bodů. Najděte pravděpodobnost, že průměr výsledků náhodného výběru 10-ti studentů bude větší než 80 bodů.
Řešení příkladu 4.12
[1]   0.002470053 25
Interpretace výsledků: Pravděpodobnost, že průměr výsledků náhodného výběru 10-ti studentů bude větší než 80 bodů je..........................%.
Příklad 4.13. Graf hustoty a distribuční funkce normálního modelu
Vraťme se k příkladu 4.9. Nakreslete graf hustoty a distribuční funkce náhodné veličiny X ~ 7V(3078.94, 697). Řešení příkladu 4.13
S  n-1-1-1-1— n-1-1-1-r~
1000       2000       3000       4000       5000 1000       2000       3000       4000 5000
x x X ~ N( |i = 3078.94; o2 = 6972 ) X ~ N( |i = 3078.94; o2 = 6972 )
4.4   Aproximace binomického modelu normálním modelem
• Normální rozdělení je limitním rozdělením binomického rozdělení Jim(N, p), tedy pro TV —> oo, p —> 0.5:
X ~ Bm(N,p)     X ~ N(n, a2),
kde /i = Np a a2 = Np(l — p).
• Haldova podmínka: Nechť X ~ Bin(A^,p) a platí, že Np > 5 a JV(1 — p) > 5. Potom rozdělení náhodné proměnné X můžeme aproximovat normálním rozdělením X ~ N(Np, Np(l —p)).
• Výše zmíněný poznatek je také znám jako Moivre-Laplaceova věta.
7
Příklad 4.14. Aproximace binomického modelu normálním modelem
Předpokládejme, že pravděpodobnost výskytu dermatoglyfického vzoru vír na palci pravé ruky u mužů české populace p = 0.533.
1. Jaká je pravděpodobnost, že ve vybraném vzorku 10 mužů bude výskyt dermatoglyfického vzoru mrna palci pravé ruky (a) alespoň u sedmi mužů; (b) nejvýše u pěti mužů; (c) u osmi nebo devíti mužů.
2. Jaká je pravděpodobnost, že ve vybraném vzorku 100 mužů bude výskyt dermatoglyfického vzoru wrna palci pravé ruky (a) alespoň u 56; (b) nejvýše u 53 mužů; (c) u 60-85 mužů.
Požadované pravděpodobnosti vypočítejte exaktně na základě binomického rozdělení a aproximačně na základě normálního rozdělení. Výsledné hodnoty navzájem porovnejte.
Řešení příkladu 4.14
	alespoň  7 ní	sjvyse 5		8-9
binomické	0.2313	0.5396	0	0801
normálni	0.1449	0.4172	0	0353
	alespoň 56	nejvýše 53	60-85
binomické	0.3304	0.5151	0.1067
normálni	0.2942	0.4760	0.0896
Interpretace výsledků: Pravděpodobnost výskytu dermatoglyfického vzoru vír alespoň u sedmi mužů z deseti
je .............................% (resp..............................%). Pravděpodobnost, výskytu vzoru vír nejvýše u pěti mužů z
deseti je.............................% (resp..............................%). Pravděpodobnost, výskytu vzoru víru osmi nebo devíti
mužů z deseti je .............................% (resp..............................%). Protože Haldova podmínka dobré aproximace
........................splněna, ........................ bychom aproximaci binomického rozdělení normálním rozdělením použít.
Pravděpodobnost výskytu dermatoglyfického vzoru vír alespoň u 56 mužů ze sta je..............................% (resp.
............................%). Pravděpodobnost výskytu vzoru vír nejvýše u 53 mužů ze stáje .............................% (resp.
.............................%). Pravděpodobnost výskytu vzoru vír u 60-85 mužů ze sta je .............................% (resp.
.............................%). Protože Haldova podmínka dobré aproximace..............................splněna,............................
aproximaci binomického rozdělení normálním rozdělením použít.
Příklad 4.15. Aproximace binomického modelu normálním modelem
Předpokládejme, že pravděpodobnost výskytu dermatoglyfického vzoru vír na palci pravé ruky u mužů české populace p = 0.533. Pro N = 10 a N = 100 vykreslete graf pravděpodobnostní funkce binomického rozdělení a aproximujte jej křivkou funkce hustoty normálního rozdělení. Hodnoty obou funkcí porovnejte.
Řešení příkladu 4.15
0.08 -
N = 10; p = 0.533
N = 100; p = 0.533
Obrázek 5: Aproximace binomického modelu normálním modelem
8