5 Bodové a intervalové odhady Příklad 5.1. Bodové odhady parametrů p a a2 normálního rozdělení Načtěte datový soubor 01-one-sample-mean-skull-mf.txt a odstraňte z načtených dat NA hodnoty. Mějme náhodnou veličinu X popisující největší šířku mozkovny u skeletů mužského pohlaví. Za předpokladu, že náhodná veličina X pochází z normálního rozdělení se střední hodnotou p a rozptylem a2, tj. X ~ N(p,a2), stanovte nestranný (bodový) odhad (a) střední hodnoty p; (b) rozptylu a2; (c) směrodatné odchylky a. Řešení příkladu 5.1 prumer rozptyl srn.odch 1 137.1852 23.2772 4.8246 Nestranný odhad střední hodnoty největší šířky mozkovny pro skelety mužského pohlaví je ...........................mm. Nestranný odhad rozptylu (resp. směrodatné odchylky) největší šířky mozkovny pro skelety mužského pohlaví je ...........................mm2 (resp............................mm). To znamená, že největší šířka mozkovny skeletů mužského pohlaví se pohybuje okolo hodnoty ...........................mm se směrodatnou odchylkou ...........................mm. Příklad 5.2. Bodové odhady parametrů a\2 a p dvourozměrného normálního rozdělení Načtěte datový soubor 01-one-sample-mean-skull-mf.txt a odstraňte z načtených dat NA hodnoty. Mějme náhodnou veličinu X popisující největší šířku mozkovny a náhodnou veličinu Y popisující největší délku mozkovny u skeletů mužského pohlaví. Za předpokladu, že náhodný vektor (X, Y)T pochází z dvourozměrného normálního rozdělení, tj. (X, Y)T ~ N'2(^jl, £), kde {i je vektor středních hodnot a S je varianční matice, stanovte (a) nestranný (bodový) odhad kovariance a 12', (b) asymptoticky nestranný (bodový) odhad korelačního koeficientu p. Řešení příkladu 5.2 kovariance korel_koef 1 5.18 0.1682 Nestranný odhad kovariance největší šířky a délky mozkovny pro skelety mužského pohlaví je ............................ Asymptoticky nestranný odhad korelačního koeficientu největší šířky a délky mozkovny pro skelety mužského pohlaví je ............................ To znamená, že mezi největší šířkou a délkou mozkovny u skeletů mužského pohlaví existuje ............................................... stupeň ..........................................................................................závislosti. Příklad 5.3. Intervalové odhady parametrů normálního rozdělení Načtěte datový soubor 01-one-sample-mean-skull-mf.txt a odstraňte z načtených dat NA hodnoty. Mějme náhodnou veličinu X popisující největší šířku mozkovny u skeletů mužského pohlaví. Za předpokladu, že náhodná veličina X pochází z normálního rozdělení se střední hodnotou p a rozptylem a2, tj. X ~ N(p,a2), stanovte (a) 95% intervalový odhad střední hodnoty p (b) 95% intervalový odhad rozptylu a2 (resp. směrodatné odchylky a); (c) 99% levostranný intervalový odhad střední hodnoty p; (c) 90 % pravostraný intervalový odhad směrodatné odchylky a. Řešení příkladu 5.3 dh . mu hh . mu 1 136.5381 137.8322 dh.sig2 hh.sig2 dh.sig hh.sig 1 19.4351 28.3895 4.4085 5.3282 D . mu 1 136.4158 9 10 11 12 H.sig 1 5.1473 95 % empirický interval spolehlivosti pro střední hodnotu největší šířky mozkovny u skeletů mužského pohlaví má tvar ............................................ To znamená, že ..................... < p < ..................... s pravděpodobností 95 %. To znamená, že v 95 případech ze sta bude střední hodnota největší šířky mozkovny u skeletů mužského pohlaví 1 nabývat hodnoty z intervalu ........................................... 95 % empirický interval spolehlivosti pro rozptyl největší šířky mozkovny u skeletů mužského pohlaví má tvar ............................................To znamená, že..................... < a2 < .....................s pravděpodobností 95 %. To znamená, že v 95 případech ze sta bude rozptyl největší šířky mozkovny u skeletů mužského pohlaví nabývat hodnoty z intervalu ........................................... 95% empirický interval spolehlivosti pro směrodatnou odchylku největší šířky mozkovny u skeletů mužského pohlaví má tvar ............................................ To znamená, že ..................... < a < ..................... s pravděpodobností 95 %. To znamená, že v 95 případech ze sta bude směrodatná odchylka největší šířky mozkovny u skeletů mužského pohlaví nabývat hodnoty z intervalu........................................... 99% levostranný empirický interval spolehlivosti pro střední hodnotu největší šířky mozkovny u skeletů mužského pohlaví má tvar ............................................ To znamená, že jj, > .......................................... s pravděpodobností 99%. To znamená, že v 99 případech ze sta bude střední hodnota největší šířky mozkovny u skeletů mužského pohlaví...................... než ........................................... 90 % pravostranný empirický interval spolehlivosti pro směrodatnou odchylku největší šířky mozkovny u skeletů mužského pohlaví má tvar ............................................ To znamená, že a < .......................................... s pravděpodobností 90 %. To znamená, že v 90 případech ze sta bude směrodatná odchylka největší šířky mozkovny u skeletů mužského pohlaví...................... než ........................................... Příklad 5.4. Bodový odhad parametru p alternativního rozdělení Načtěte datový soubor 17-anova-newborns.txt a odstraňte z načtených dat NA hodnoty. Mějme náhodnou veličinu X popisující ženské pohlaví novorozenců. Za předpokladu, že náhodná veličina X pochází z alternativního rozdělení s parametrem p, tj. X ~ Alt(p), kde p je pravděpodobnost narození holčičky, stanovte bodový odhad parametru p. Řešení příkladu 5.4 [1] 0.4797395 Bodový odhad pravděpodobnosti narození holčičky je holčičky dojde s pravděpodobností................................ . To znamená, že k narození Příklad 5.5. Intervalový odhad parametru p alternativního rozdělení Načtěte datový soubor 17-anova-newborns.txt a odstraňte z načtených dat NA hodnoty. Mějme náhodnou veličinu X popisující ženské pohlaví novorozenců. Za předpokladu, že náhodná veličina X pochází z alternativního rozdělení s parametrem p, tj. X ~ Alt(p), stanovte 95% intervalový odhad parametru p. Řešení příkladu 5.5 Intervalový odhad parametru p alternativního rozdělení vypočítáme pomocí 95% intervalu spolehlivosti definovaného vzorcem (p- u1_a/2V/p(l -p)/N ; p-ua/2V/p(l -p)/N^j , kde p je bodový odhad parametru p, N je rozsah náhodného výběru a «i_a/2, (resp. u^) je (1 — a/2)-kvantil (resp. a/2-kvantil) normálního rozdělení, M1_a/2=qnorm(l-alpha/2). dh.p hh.p 1 0.4534 0.5061 95 % empirický IS pro pravděpodobnost narození holčičky p má tvar ............................................ To znamená, že ..................... < p < .....................s pravděpodobností 95 %. To znamená, že pravděpodobnost narození holčičky se pohybuje v rozmezí.....................-..................... s pravděpodobností 95 %. 2