2. domácí úkol - MIN101 - podzim 2019 - odevzdat do 1.11.2019
Uvažme matici
/-l  3 -4\
M =     a    b    c     ,   a, b, c e R. \-2  8 -11/
Určete parametry a, b, c tak, aby platily všechny následující podmínky:
• detM = 0,
• det(M + E) = 0,
• h(M2) < h(M).
Zde E je jednotková matice 3x3 a h{) je hodnost matice. Najděte všechna řešení, je-li jich více.
Řešení: První dvě podmínky dávají lineární rovnice
a + 36 + 2c = 0   a   a + 46 + 3c = -4,
což znamená a = c + 12, 6 = — c — 4 pro c G IR libovolné. Třetí podmínka v kombinaci s první znamená h(M) = 2 a h(M2) = 1. Dosazením dostaneme
/     3c+ 45 -3c- 47 3c + 48 \
M2 =   -c2 - 19c - 60  c2 + 19c + 52  -c2 - 19c - 48 . \    8c+120 -8c- 126 8c+129 /
Matice nyní lze upravit na schodovitý tvar - všimněte si, že všechny hodnoty v prvním sloupci mají faktor c + 15. Ukáže se, že h(M2) = 1 platí pouze pro c = —15, tj. pro a = —3 a 6 = 11.