4. domácí úkol - MIN101 - podzim 2019 - odevzdat do 10.12.2019
Uvažujme následující příklad jako Leslieho model růstu.
Pan Kočka chová myši. Má je rozdělené do tří skupin podle věku: v první skupině jsou nejmladší myši ve věku do 1 měsíce, v druhé skupině má myši ve věku 1-2 měsíce a ve třetí skupině má myši ve věku 2-3 měsíce. Myši starší než tři měsíce prodává farmaceutické firmě na testování kosmetiky. Pan Kočka dlouhodobým pozorováním porodnosti a úmrtnosti zjistil následující údaje. Během každého měsíce zemře polovina ve skupině nejmladších myší, ale myši ve věkové skupině 1-2 měsíce jsou odolnější a všechny přežijí. Dále myši v nejmladší skupině mají porodnost 1/2 (vzhledem k počtu myší v této skupině), ve věkové skupině 1-2 měsíce mají pětinásobnou porodnost (vzhledem k počtu myší v této skupině) a ve věkové skupině 2-3 měsíce mají dvojnásobnou porodnost (vzhledem k počtu myší v této skupině).
a) Po dlouhodobém vývoji populace pan Kočka jednou ráno spočítal, že má celkem 11000 myší (ve všech věkových skupinách). Kolik z nich je v nejmladší věkové skupině do 1 měsíce?
b) Předpokládejme, že chov začal s populací 12 myší do jednoho měsíce, 0 myší ve věku 1-2 měsíce a 3 myši ve věku 2-3 měsíce. Kolik bude mít pan Kočka celkově myší po 100 měsících? (Nápověda: počáteční populací si vyjádřete jako lineárni kombinací vlastních vektorů matice Leslieho modelu.)
Řešení: Uvažujeme-li skupiny myší v pořadí (0-1 měsíc, 1-2 měsíce, 2-3 měsíce), má tento Leslieho model matici
(\ 5 2"
L=\\  0 0 V° 1 o,
Tato matice vlastní čísla Ai = 2, A2 = — 1 a A3 = — |, příslušné vlastní vektory jsou
v1 = (8,2,1),   «2 = (2,-1,1)   a   v3 = (1,-1,2). Lehce se vidí, že matice L je primitivní a dominantní vlastní číslo je 2.
• Struktura chovu se dlouhodobě blíží poměru 8:2:1 podle vektoru v\. Při celkové populaci 11000 to tedy bude populace ve struktuře (800,200,100), tj. v nejmladší věkové skupině je 800 myší.
• Zadaná počáteční struktura chovu je dána vektorem
w = (12,0,3) =Vl + 2v2. Po 100 měsících bude struktura chovu dána vektorem
L100 • w = L100 ■ (Vl + 2v2) = 210% + 2(-l)10% = 210% + 2v2. Celkový počet myší je součet složek vektoru L100 • w, což je
2100(8 + 2 + 1) + 2(2 - 1 + 1) = 2100 -11 + 4.