1. vnitrosemestrální písemka, 2. termín - MIN101 - podzim 2019 8. 11. Veškeré odpovědi musí být zdůvodněny a výpočty musí být doprovozeny komentářem. (Řešení sestávající pouze z odpovědí budou považována za opsaná a hodnocena 0 body.) 1. (1.3 bodu) V rovině IR2 uvažujme body A, B, C, počátek O a přímku p, A =[1,2], B = [5,4], C = [8,4], O = [0, 0] a p : 9x - lly - 2 = 0. a) Určete obsah čtyřúhelníku O ABC b) Rozhodněte, zda přímka p protíná úsečku AB; je-li tomu tak, určete průsečík. c) Určete body, ve kterých přímka p protíná souřadné osy. d) Určete bod D tak, aby OABD byl rovnoběžník. e) Určete bod D tak, aby trojúhelník ABD byl rovnoramenný, ||-DA|| = ||ŽŤŽ||, a vzdálenost bodů C a, D byla rovna 5. V částech d) a e) určete všechna řešení, existuje-li jich více. 2. (0.9 bodu) Ve sportovním sedmičlenném týmu jsou Adam, Eva a Lenka. Trenér náhodně seřadí všechny děti vedle sebe do řady. a) S jakou pravděpodobností bude mezi Adamem a Lenkou stát právě jeden člen týmu? b) S jakou pravděpodobností budou alespoň dva z trojice Adam, Eva a Lenka stát vedle sebe? c) Pozice v řadě jsou očíslovány čísly jedna až sedm. S jakou pravděpodobností budou Adam, Eva i Lenka na pozicích s lichými čísly? Poznámka : Výsledek stačí napsat pomocí zlomků a faktoriálů, tj. není třeba ho dále upravovat. 3. (0.8 bodu) Je dána relace p na množině M. Ve všech případech rozhodněte, zda je tato relace reflexivní, symetrická či tranzitivní. Je-li to relace ekvivalence, popište třídy rozkladu množiny M podle relace p. a) M = R2 a (a, b)p(c, d) •<=>- ((a, b), (c, d)) > 0. b) M = C\ {0} a z3 zipz2 <í=^ -4- G IR+. 4 c) M = IR2 a (a, b)p(c, d), jestliže soustava rovnice ax + by = 1, cx + dy = 3 nemá řešení. 4. (1 bod) Vysvětlete násobení komplexních čísel v goniometrickém tvaru a Moivreovu větu popisující mocninu komplexního čísla. 5. (1 bod) Vysvětlete, jaká lineární zobrazení roviny IR2 do sebe zachovávají velikosti, a popište pomocí maticového počtu rotaci v rovině kolem bodu [1,1] o 90 stupňů. Řešení a bodování 1. a) [0.3 bodu] Hledaný obsah S je roven součtu obsahů dvou trojúhelníků, *=iHi)mH!)i=H; »41)'='+'=* [0.1b za rozdělení, 0.1b za obsah trojúhelníků a 0.1b za správný výsledek]. b) [0.2 bodu] Lze spočíst průsečík přímky p a přímky určené body A a B; jednodušší je dosadit souřadnice těchto bodů do rovnice přímky p. Dostaneme 9-1 —11-2—2 < 0 pro bod A a 9-5—11-4—2 < 0 pro bod B. Tedy oba body leží ve stejné polorovině určené přímkou p, tj. přímka p úsečku AB neprotíná, [0.1b za postup a 0.1b za správný výsledek]. c) [0.2 bodu] Rovnice 9-0 — ííy — 2 = 0 znamená y = — ^ a rovnice 9x—11-0 — 2 = 0 znamená x = |. Dostali jsme průsečíky [0, — fj] a [|, 0], [0.1b za postup a 0.1b za správný výsledek]. d) [0.1 bodu] Bod D je dán vztahem D = O + A~Ě = [4, 2], [0.1b]. e) [0.5 bodu] Bod D leží na ose úsečky AB, jejíž střed je S = [^^, = [3, 3], [0.1b]. Směrový vektor n osy je kolmý na AÉ = (4, 2), vezmeme třeba n = (1, —2); tedy D = S + tn = [3, 3] + í(l, —2), [0.1b]. Dále platí |\CĎ11 = 11[3,3] + í(l, -2) - [8,4]11 = 11(-5 +1, -1 - 2í) 11 = y/(t - 5)2 + (2í + l)2 = 5, [0.1b], což je kvadratická rovnice 5í2 — 6r + 1 = 0. Tato rovnice má dvě řešení ti = 1 a = \, Tedy dostáváme dvě řešení D1 = [3, 3] + (1,-2) = [4,1] a D2 = [3, 3] + 1(1, -2) = [f, f ], [0.1b+0.1b za dvě správná řešení]. 2. a) [0.2 bodu] Trojici AXL nebo LXA (X označuje dítě mezi Adamem a Lenkou) je možné umístit pěti způsoby, tedy výsledek je 2 • 5 • 5! _ 5 7! ~ 21' [0.1b za postup a 0.1b za správný výsledek]. b) [0.4 bodu] Použijeme princip inkluze a exkluze. Uvažujme množinu způsobů Ma,e ve kterých Adam a Eva stojí vedle sebe a podobně množiny Ma.l a Me,l- Tedy potřebujeme určit počet prvků ve sjednocení Ma,e U Ma,l U Me,l, [0.1b]. Máme \Ma,e\ = \Ma,l\ = \Me,l\ = 2-6!, [0.1b]. Dále Mae H MA^ případy, kde Adam stojí mezi Evou a Lenkou, což tvoří trojici „EAL" nebo „LAE". Těchto případů je 2-5!, a podobně pro další dva průniky dvou množin, [0.1b]. Jelikož Ma,e H Ma^ n Me,l = 0, výsledný počet je MKE U Ma,l U Me,l = 2 • 6! + 2 • 6! + 2 • 6! - 2 • 5! - 2 • 5! - 2 • 5! + 0 = 30 • 5!, tedy hledaná pravděpodobnost je ^yp = |, [0.1b]. c) [0.3 bodu] Rozmístit Adama, Evu a Lenku na některé z pozic 1,3,5 nebo 7 lze 4 • 3 • 2 = 24 způsoby, [0.1b]. Zbylé 4 děti lze rozmístit libovolně 4! způsoby, [0.1b]. Výsledek tedy je 24 • 4! _ 4 7! ~ 35' [0.1b]. 3. a) [0.2 bodu]: Relace p je symetrická a není reflexivní (neboť (0, 0)//(0, 0)), [0.1b]. Dva nenulové vektory jsou v relaci, jestliže svírají ostrý úhel - tedy relace není tranzitivní, [0,1b]. b) [0.3 bodu]: Je to relace ekvivalence, [0.1b]. Jestliže komplexní číslo zí svírá úhel ipi s reálnou osou, pak číslo — svírá úhel ipi — ip2 a číslo % svírá úhel 3(