MATEMATICKÁ ANALÝZA 1, učitelské studium
vzorová písemka při zkoušce 2019/2020
I. část
1. Načrtněte grafy následujících funkcí (do samostatných obrázků)
a) f : y = (−x)
2
3 , b) g : y = 2 arctg |x|.
2. Určete definiční obor D funkce f : y = ln(1 + cos x) a rozhodněte, zda je
a) periodická, b) sudá, c) shora ohraničená.
3. Zapište, co znamená, že posloupnost (an)∞
n=1 má limitu rovnou
a) číslu −3, b) −∞.
4. K funkci f : y = π+2 arcsin x určete inverzní funkci g (předpis y = g(x), definiční
obor a obor hodnot).
5. Napište tvar rozkladu funkce f(x) = (x3
+1)/(x4
−2x2
−8) na parciální zlomky,
přitom neznámé koeficienty nepočítejte.
6. Výrokem s kvantifikátory a nerovnostmi zapište, co znamená lim
x→−∞
f(x) = 3.
7. Přímo z definice vypočtěte derivaci funkce f : y = x2
+ x v bodě −2.
8. Zapište, co znamená, že funkce f má v bodě −5 lokální maximum rovné číslu 6.
Varianta: ... má v bodě 4 ostré maximum na intervalu −1, 5 rovné číslu 0.
Varianta: Najděte rovnici tečny ke grafu funkce f : y = 8/x s bodem dotyku [2, ?].
9. Zapište užitím limit, co znamená, že přímka x = −4 je asymptotou grafu funkce f
s definičním oborem (−∞, −4). Varianta: ... že přímka y = 3x−2 je asymptotou
grafu funkce f pro x → −∞.
10. Pomocí diferenciálu určete přibližnou hodnotu
√
0,99.
II. část
1. Derivujte a výsledek vždy upravte:
a) f : y = ln
1 − sin x
1 + sin x
, b) g : y = arctg
1
x2 − 2
.
2. Vypočtěte limity (a, b jsou daná, navzájem různá reálná čísla):
a) lim
x→a
(a2
− x2
) · tg
πx
2a
, b) lim
x→+∞
(x + a)(x + b) − x .
3. Vyšetřete průběh funkce f : y =
x − 2
√
x2 + 1
. K přibližnému určení významných
hodnot využijte
√
5
.
= 2,2,
√
41
.
= 6,4.