1	
  
Structural	
  Biology	
  
Methods	
  
Fall	
  2015	
  
Pavel	
  Plevka	
  
Electron	
  microscopy	
  
–	
  crystallography	
  without	
  
crystals	
  
3	
  
1  Physical	
  principles	
  allowing	
  the	
  use	
  of	
  X-­‐ray	
  
crystallography,	
  cryo-­‐EM,	
  and	
  AFM	
  
2  ProperGes	
  of	
  X-­‐ray	
  radiaGon	
  that	
  make	
  it	
  suitable	
  to	
  
study	
  (macro)molecular	
  structures	
  
3  DiffracGon	
  of	
  light	
  
4  Crystallographic	
  space	
  group	
  symmetries	
  
5  Approaches	
  to	
  resolve	
  phase	
  problem	
  in	
  crystallography	
  
6  Use	
  of	
  electrons	
  to	
  display	
  objects	
  with	
  high	
  
magnificaGon	
  and	
  fine	
  detail	
  
7  CalculaGon	
  of	
  three-­‐dimensional	
  reconstrucGon	
  from	
  
two-­‐dimensional	
  projecGons	
  
Aims	
  of	
  the	
  course	
  
L#	
  
Dt	
  
2015	
   Topic	
  
Chapter	
  
reading	
  
1	
   21.9.	
  IntroducGon,	
  crystals	
  and	
  symmetry	
  I.,	
  and	
  X-­‐rays	
   1,	
  2,	
  3,	
  16	
  
2	
   5.10.	
  Crystals	
  and	
  Symmetry	
  II.	
  (conGnued)	
  and	
  the	
  Theory	
  of	
  X-­‐Ray	
  DiffracGon	
   3,	
  4	
  
3	
   12.10.	
  The	
  Theory	
  of	
  X-­‐Ray	
  DiffracGon	
  by	
  a	
  Crystal	
  I.	
   4	
  
4	
   19.10.	
  Atomic	
  Force	
  Microscopy	
   2	
  -­‐	
  AFM	
  
5	
   26.10.	
  The	
  Theory	
  of	
  X-­‐Ray	
  DiffracGon	
  by	
  a	
  Crystal	
  II.	
   4	
  
6	
   2.11.	
  
Average	
  ReflecGon	
  Intensity,	
  DistribuGon	
  of	
  Structure	
  Factor	
  Data,	
  Special	
  
Forms	
  of	
  the	
  Structure	
  Factor.	
   5,	
  6	
  
7	
   9.11.	
  
The	
  SoluGon	
  of	
  the	
  Phase	
  Problem	
  by	
  the	
  Isomorphous	
  Replacement	
  
Method	
   7	
  
8	
   16.11.	
  Phase	
  Improvement	
   8	
  
9	
   23.11.	
  
Anomalous	
  Sca]ering	
  in	
  the	
  DeterminaGon	
  of	
  the	
  Protein	
  Phase	
  Angles	
  
and	
  the	
  Absolute	
  ConfiguraGon	
  and	
  Molecular	
  Replacement	
  I.	
   9,	
  10	
  
10	
  30.11.	
  
Molecular	
  Replacement	
  II.,	
  Laue	
  DiffracGon,	
  Refinement	
  of	
  the	
  Model	
  
Structure,	
  The	
  CombinaGon	
  of	
  Phase	
  InformaGon,	
  Checking	
  for	
  Gross	
  
Errors	
  and	
  EsGmaGng	
  the	
  Accuracy	
  of	
  the	
  Structural	
  Model.	
  
10,	
  12,	
  13,	
  
14,	
  15	
  
11	
   7.12.	
  Electron	
  Microscopy	
  of	
  Macromolecular	
  Assemblies	
   	
  2	
  -­‐	
  EM	
  
12	
  14.12.	
  MulGvariate	
  Data	
  Analysis	
  and	
  ClassificaGon	
  of	
  Images	
   3,	
  4	
  -­‐	
  EM	
  
13	
  21.12.	
  Three-­‐Dimensional	
  ReconstrucGon	
   5	
  -­‐	
  EM	
  
Course	
  plan	
  
5	
  
Class	
  rules	
  
•  Turn	
  off	
  anything	
  that	
  beeps	
  or	
  rings.	
  
•  Reading	
  any	
  material	
  that	
  is	
  not	
  related	
  to	
  the	
  class,	
  
texGng,	
  or	
  checking	
  the	
  internet	
  during	
  the	
  class	
  is	
  
rude	
  and	
  will	
  not	
  be	
  tolerated.	
  
•  Please	
  refrain	
  from	
  eaGng	
  during	
  class.	
  Having	
  
something	
  to	
  drink	
  is	
  fine.	
  
•  Ask	
  quesGons	
  -­‐	
  it	
  will	
  help	
  to	
  clarify	
  the	
  issue	
  not	
  only	
  
for	
  you	
  but	
  for	
  your	
  peers	
  as	
  well!	
  
•  In	
  class	
  discussions,	
  be	
  respeccul	
  of	
  other	
  students'	
  
opinions.	
  
6	
  
Course	
  textbooks:	
  
7	
  
What	
  is	
  asked	
  of	
  you:	
  
•  Read	
  assigned	
  texts	
  BEFORE	
  the	
  day	
  for	
  
which	
  they	
  are	
  assigned	
  
•  ParGcipate	
  in	
  discussions	
  
•  Do	
  excercises	
  and	
  homeworks	
  
•  I	
  am	
  here	
  to	
  help,	
  learning	
  is	
  up	
  to	
  you!	
  
Levels	
  of	
  passing	
  the	
  course:	
  
“Si]er”	
  –	
  do	
  exercises,	
  hand	
  in	
  homework,	
  
parGcipate	
  in	
  discussions	
  =>	
  grade	
  E	
  
“TheoreGcian”	
  –	
  “Si]er”	
  +	
  take	
  theoreGcal	
  part	
  of	
  
the	
  exam	
  (will	
  include	
  symmetry	
  and	
  equaGons)	
  =>	
  
best	
  possible	
  grade	
  B	
  
“Crystallographer”	
  –	
  “TheoreGcian”	
  +	
  extra	
  part	
  of	
  
exam	
  that	
  will	
  include	
  quesGons	
  related	
  to	
  input	
  to	
  
crystallographic	
  and	
  cryo-­‐EM	
  programs	
  and	
  
interpretaGon	
  of	
  program	
  outputs	
  
Not	
  part	
  of	
  this	
  course:	
  
•  Computer	
  literacy	
  (linux,	
  terminal,	
  shell	
  
environment)	
  –	
  mental	
  overload	
  by	
  using	
  
computer.	
  (Observed	
  in	
  my	
  group.)	
  
•  PracGcal	
  exercises	
  will	
  be	
  demonstraGons	
  
because	
  of	
  Gme	
  constrains	
  	
  
•  Install	
  programs	
  on	
  your	
  computer.	
  Try	
  solving	
  
structures.	
  (You	
  will	
  never	
  have	
  more	
  Gme	
  
than	
  now.)	
  
Johannes	
  Kepler	
  (1571-­‐1630)	
  
Why	
  do	
  single	
  snowflakes,	
  before	
  they	
  become	
  entangled	
  
with	
  other	
  snowflakes,	
  always	
  fall	
  with	
  six	
  corners?	
  	
  Why	
  
do	
  snowflakes	
  not	
  fall	
  with	
  five	
  corners	
  or	
  with	
  seven?	
  
Niels	
  Stensen	
  (1638-­‐1686)	
  
Although	
  crystals	
  of	
  quartz	
  and	
  hemaGte	
  appear	
  in	
  a	
  great	
  
variety	
  of	
  shapes	
  and	
  sizes,	
  the	
  same	
  interfacial	
  angles	
  
persisted	
  in	
  every	
  specimen.	
  “Law	
  of	
  Constancy	
  of	
  Angles”	
  
René	
  Just	
  Haüy	
  (1743-­‐1822)	
  
“Law	
  of	
  Constancy	
  of	
  Angles”	
  
René	
  Just	
  Haüy	
  (1743-­‐1822)	
  
“Law	
  of	
  Constancy	
  of	
  Angles”	
  
15	
  
History	
  of	
  fundamental	
  discoveries	
  
WILHELM	
  CONRAD	
  RÖNTGEN	
  
(1845-­‐1923)	
  
•  1901	
  Nobel	
  Laureate	
  in	
  Physics	
  
	
  discovery	
  of	
  the	
  remarkable	
  rays	
  
subsequently	
  named	
  aBer	
  him	
  
MAX	
  VON	
  LAUE	
  	
  
(1879-­‐1960)	
  
•  1914	
  Nobel	
  Laureate	
  in	
  Physics	
  
	
  for	
  his	
  discovery	
  of	
  the	
  diffracDon	
  of	
  X-­‐
rays	
  by	
  crystals	
  
Friedrich	
  and	
  Knipping	
  	
  
Wavelength	
  and	
  diffracGon	
  
Waves	
  
Coherent	
  beam	
  
AddiGon	
  of	
  waves	
  
ParGcles	
  &	
  waves	
  
DiffracGon	
  of	
  light	
  
DiffracGon	
  of	
  light	
  
Wavelength	
  and	
  diffracGon	
  
Wavelength	
  comparison	
  of	
  X-­‐rays	
  and	
  visible	
  light	
  
38λ	
  
Crystallizing	
  a	
  Protein	
  
Protein	
  expression	
  and	
  purificaGon	
  
1.	
  Expression	
  &	
  purificaGon	
   2.	
  CrystallizaGon	
  
3.	
  DiffracGon	
  data	
   4.	
  Solve	
  structure	
  
3.	
  cryo-­‐EM	
  data	
   4.	
  ReconstrucGon	
  
2.	
  Grid	
  preparaGon	
  1.	
  Expression	
  &	
  purificaGon	
  
Vapor-­‐diffusion	
  
Batch	
  and	
  microbatch	
  
Microdialysis	
  
Protein	
  crystallizaGon	
  phase	
  diagram	
  
Preparing	
  crystals	
  for	
  diffracGon	
  
experiment	
  
Diffractometer	
  with	
  goniometer	
  
Diffractometer	
  with	
  goniometer	
  
SIR	
  WILLIAM	
  HENRY	
  BRAGG	
  (1862-­‐1942)	
  
SIR	
  WILLIAM	
  LAWRENCE	
  BRAGG	
  (1890-­‐1971)	
  	
  
•  1915	
  Nobel	
  Laureates	
  in	
  Physics	
  
	
  	
  	
  for	
  the	
  analysis	
  of	
  crystal	
  structure	
  by	
  means	
  
of	
  X-­‐rays	
  
nλ = 2d sinθ
nλ = 2d sinθ
Bragg’s law:
There is NO PHASE DIFFERENCE if the path
differences are equal to whole number multiplies of
wavelength (λ)
w
sinθ = w/d
2w = nλ
nλ = 2d sinθ
Bragg’s law:
sinθ = w/d
2w = nλ
There is NO PHASE DIFFERENCE if the path
differences are equal to prime number multiplies of
wavelength (λ)
w
X-­‐ray	
  sources	
  and	
  detectors	
  
X-­‐ray	
  sources	
  
	
  -­‐	
  sealed	
  X-­‐ray	
  tubes	
  
	
  -­‐	
  synchrotrons	
  
Spectrum	
  of	
  
copper	
  anode	
  
Synchrotron	
  
-­‐  Bending	
  magnet	
  
-­‐  Wavelength	
  shiwer	
  
-­‐  Wiggler	
  
-­‐  Undulator	
  
X-­‐ray	
  detectors	
  
Single	
  photon	
  counter	
  
Film	
  
Image	
  plates	
  
Area	
  detectors:	
  
	
  -­‐	
  CCDs	
  
	
  -­‐	
  Direct	
  X-­‐rays	
  detectors	
  -­‐	
  Pilatus	
  
Crystals	
  
René	
  Just	
  Haüy	
  (1743-­‐1822)	
  
“Law	
  of	
  Constancy	
  of	
  Angles”	
  
René	
  Just	
  Haüy	
  (1743-­‐1822)	
  
“Law	
  of	
  Constancy	
  of	
  Angles”	
  
Make	
  a	
  drawing	
  –	
  sub	
  divisions	
  for	
  different	
  angles	
  
Laxce	
  planes	
  and	
  Indices	
  
Laxce	
  planes	
  distance	
  d	
  
(h, k, l)
Unit	
  cell	
  choice	
  /	
  selecGon	
  
q 	
  Space	
  Laxces	
  
q 	
  Crystal	
  Structures	
  
q 	
  Symmetry,	
  Point	
  Groups	
  and	
  Space	
  Groups	
  
GEOMETRY OF CRYSTALS
Acknowledgments:	
  Prof.	
  Rajesh	
  Prasad	
  for	
  a	
  lot	
  of	
  things	
  
Crystal	
  =	
  Laxce	
  +	
  MoGf	
  
MoGf	
  or	
  basis:	
  	
  
	
  an	
  atom	
  or	
  a	
  group	
  of	
  atoms	
  associated	
  with	
  each	
  laxce	
  point	
  
The	
  language	
  of	
  crystallography	
  is	
  one	
  succinctness	
  
An	
  array	
  of	
  points	
  such	
  that	
  every	
  point	
  has	
  iden%cal	
  
surroundings	
  
	
  
u In	
  Euclidean	
  space	
  ⇒	
  infinite	
  array	
  
	
  
u 	
  We	
  can	
  have	
  1D,	
  2D	
  or	
  3D	
  arrays	
  (laHces)	
  
Space	
  Laxce	
  
TranslaGonally	
  periodic	
  arrangement	
  of	
  points	
  in	
  space	
  is	
  called	
  a	
  laxce	
  
or	
  
• • • • • • • • • • • • • • • • •
• • • • • • • • • • • • • • • • •
• • • • • • • • • • • • • • • • •
• • • • • • • • • • • • • • • • •
• • • • • • • • • • • • • • • • •
• • • • • • • • • • • • • • • • •
• • • • • • • • • • • • • • • • •
• • • • • • • • • • • • • • • • •
• • • • • • • • • • • • • • • • •
• • • • • • • • • • • • • • • • •
A	
  2D	
  laxce	
  
a
!
b
!
TranslaGonally	
  periodic	
  arrangement	
  
of	
  moKfs	
  
Crystal	
  
TranslaGonally	
  periodic	
  arrangement	
  of	
  
points	
  
LaHce	
  
Laxce	
  Ø	
  the	
  underlying	
  periodicity	
  of	
  the	
  crystal	
  
Basis	
  	
  	
  Ø	
  atom	
  or	
  group	
  of	
  atoms	
  associated	
  with	
  each	
  laxce	
  points	
  
Laxce	
  Ø	
  how	
  to	
  repeat	
  
MoGf	
  	
  	
  Ø	
  what	
  to	
  repeat	
  
Crystal	
  =	
  Laxce	
  +	
  MoGf	
  
+	
   À	
  
Laxce	
  
MoGf	
  
À	
   À	
   À	
   À	
   À	
   À	
   À	
  
À	
   À	
   À	
   À	
   À	
   À	
   À	
  
À	
   À	
   À	
   À	
   À	
   À	
   À	
  
À	
   À	
   À	
   À	
   À	
   À	
   À	
  
À	
   À	
   À	
   À	
   À	
   À	
   À	
  
À	
   À	
   À	
   À	
   À	
   À	
   À	
  
À	
   À	
   À	
   À	
   À	
   À	
   À	
  
À	
   À	
   À	
   À	
   À	
   À	
   À	
  
Crystal	
  
=	
  
Courtesy	
  Dr.	
  Rajesh	
  Prasad	
  
§ 	
  A	
  cell	
  is	
  a	
  finite	
  representaGon	
  of	
  the	
  infinite	
  laxce	
  
§ 	
  A	
  cell	
  is	
  a	
  parallelogram	
  (2D)	
  or	
  a	
  parallelopiped	
  (3D)	
  with	
  laxce	
  
	
  	
  points	
  at	
  their	
  corners.	
  
§ 	
  If	
  the	
  laxce	
  points	
  are	
  only	
  at	
  the	
  corners,	
  the	
  cell	
  is	
  primiGve.	
  
§ 	
  If	
  there	
  are	
  laxce	
  points	
  in	
  the	
  cell	
  other	
  than	
  the	
  corners,	
  the	
  cell	
  
	
  	
  is	
  nonprimiGve.	
  
Cells	
  
Instead	
  of	
  drawing	
  the	
  whole	
  structure	
  I	
  can	
  draw	
  a	
  representaGve	
  part	
  
and	
  specify	
  the	
  repeGGon	
  pa]ern	
  
PrimiGve	
  
cell	
  
PrimiGve	
  
cell	
  
NonprimiGve	
  cell	
  
Courtesy	
  Dr.	
  Rajesh	
  Prasad	
  
PrimiGve	
  
cell	
  
PrimiGve	
  
cell	
  
NonprimiGve	
  cell	
  
Double	
  
Triple	
  
Symmetry	
  of	
  the	
  LaHce	
  or	
  the	
  crystal	
  is	
  not	
  altered	
  by	
  our	
  choice	
  of	
  unit	
  cell!!	
  
PrimiGve	
  	
  
cell	
  
NonprimiGve	
  cell	
  
4-­‐	
  fold	
  axes	
  
Centred	
  square	
  laxce	
  =	
  Simple/primiGve	
  square	
  laxce	
  
Shortest	
  laxce	
  translaGon	
  vector	
  ]	
  ½	
  [11]	
  
a	
  
b	
  
NonprimiGve	
  cell	
  
PrimiGve	
  	
  
cell	
  
Lower	
  symmetry	
  than	
  the	
  laxce	
  	
  
	
  ]	
  usually	
  not	
  chosen	
  
Maintains	
  the	
  symmetry	
  of	
  the	
  laxce	
  
	
  ]	
  the	
  usual	
  choice	
  
2-­‐	
  fold	
  axes	
  
Centred	
  rectangular	
  laxce	
  
	
  
	
  
Centred	
  rectangular	
  laxce	
   Simple	
  rectangular	
  Crystal	
  
Shortest	
  laxce	
  translaGon	
  vector	
  ]	
  [10]	
  
Not	
  a	
  cell	
  
PrimiGve	
  	
  
cell	
  
MOTIF	
  
Courtesy	
  Dr.	
  Rajesh	
  Prasad	
  
q  In	
  order	
  to	
  define	
  translaGons	
  in	
  3-­‐d	
  space,	
  we	
  need	
  3	
  non-­‐coplanar	
  
vectors	
  
q  ConvenGonally,	
  the	
  fundamental	
  translaGon	
  vector	
  is	
  taken	
  from	
  
one	
  laxce	
  point	
  to	
  the	
  next	
  in	
  the	
  chosen	
  direcGon	
  
q  With	
  the	
  help	
  of	
  these	
  three	
  vectors,	
  it	
  is	
  possible	
  to	
  construct	
  a	
  
parallelopiped	
  called	
  a	
  CELL	
  
Cells-­‐	
  3D	
  
This	
  was	
  the	
  end	
  in	
  2015	
  
PrimiKve	
  unit	
  cell	
  
For	
  each	
  crystal	
  structure	
  there	
  is	
  a	
  convenDonal	
  unit	
  cell,	
  usually	
  chosen	
  to	
  make	
  
the	
  resulGng	
  laxce	
  as	
  symmetric	
  as	
  possible.	
  However,	
  the	
  convenGonal	
  unit	
  cell	
  
is	
  not	
  always	
  the	
  smallest	
  possible	
  choice.	
  A	
  primiKve	
  unit	
  cell	
  of	
  a	
  parGcular	
  
crystal	
  structure	
  is	
  the	
  smallest	
  possible	
  unit	
  cell	
  one	
  can	
  construct	
  such	
  that,	
  
when	
  Gled,	
  it	
  completely	
  fills	
  space.	
  
PrimiGve	
  	
  
cell	
  
Non-­‐primiGve	
  
centered	
  cell	
  
4-­‐	
  fold	
  axes	
  
a	
  
b	
  
q 	
  If	
  an	
  object	
  is	
  brought	
  into	
  self-­‐coincidence	
  awer	
  some	
  
operaGon	
  it	
  said	
  to	
  possess	
  symmetry	
  with	
  respect	
  to	
  that	
  
operaGon.	
  
SYMMETRY	
  
Unit	
  cell	
  choice	
  /	
  selecGon	
  
1.	
  The	
  axis	
  system	
  should	
  be	
  right-­‐handed.	
  	
  
2.	
  The	
  basis	
  vectors	
  should	
  coincide	
  as	
  much	
  as	
  possible	
  with	
  direcGons	
  of	
  highest	
  
symmetry	
  (SecGon	
  3.2).	
  	
  
3.	
  The	
  cell	
  taken	
  should	
  be	
  the	
  smallest	
  one	
  that	
  saGsfies	
  condiGon	
  2.	
  This	
  condiGon	
  
someGmes	
  leads	
  to	
  the	
  preference	
  of	
  a	
  face-­‐centered	
  (A,	
  B,	
  C,	
  or	
  F)	
  or	
  a	
  body-­‐
centered	
  (I)	
  cell	
  over	
  a	
  primiGve	
  (P)	
  smallest	
  cell	
  (Figure	
  3.9).	
  PrimiGve	
  cells	
  have	
  only	
  
one	
  laxce	
  point	
  per	
  unit	
  cell,	
  whereas	
  nonprimiGve	
  cells	
  contain	
  two	
  or	
  more	
  laxce	
  
points	
  per	
  unit	
  cell.	
  These	
  cells	
  are	
  designated	
  A,	
  B,	
  or	
  C	
  if	
  one	
  of	
  the	
  faces	
  of	
  the	
  cell	
  is	
  
centered:	
  It	
  has	
  extra	
  laxce	
  points	
  on	
  opposite	
  faces	
  of	
  the	
  unit	
  cell,	
  respecGvely,	
  on	
  
the	
  bc	
  (A),	
  ac	
  (B),	
  or	
  ab	
  (C)	
  faces.	
  If	
  all	
  faces	
  are	
  centered,	
  the	
  designaGon	
  is	
  F	
  (Figure	
  
3.9).	
  	
  
4.	
  Of	
  all	
  laxce	
  vectors,	
  none	
  is	
  shorter	
  than	
  a.	
  	
  
5.	
  Of	
  those	
  not	
  directed	
  along	
  a,	
  none	
  is	
  shorter	
  than	
  b.	
  	
  
6.	
  Of	
  those	
  not	
  lying	
  in	
  the	
  a,	
  b	
  plane	
  none	
  is	
  shorter	
  than	
  c.	
  	
  
7.	
  The	
  three	
  angles	
  between	
  the	
  basis	
  vectors	
  a,	
  b,	
  and	
  c	
  are	
  either	
  all	
  acute	
  (<90◦)	
  	
  
or	
  all	
  obtuse	
  (≥90◦).	
  	
  
Unit	
  cell	
  selecGon	
  
Handedness	
  of	
  axis	
  system	
  
Bravais	
  LaHce	
  
A	
  laHce	
  is	
  a	
  set	
  of	
  points	
  constructed	
  by	
  translaGng	
  a	
  single	
  
point	
  in	
  discrete	
  steps	
  by	
  a	
  set	
  of	
  basis	
  vectors.	
  In	
  three	
  
dimensions,	
  there	
  are	
  14	
  unique	
  Bravais	
  laxces	
  (disDnct	
  
from	
  one	
  another	
  in	
  that	
  they	
  have	
  different	
  space	
  groups)	
  
in	
  three	
  dimensions.	
  All	
  crystalline	
  materials	
  recognized	
  Gll	
  
now	
  fit	
  in	
  one	
  of	
  these	
  arrangements.	
  	
  
or	
  
In	
  geometry	
  and	
  crystallography,	
  a	
  Bravais	
  laHce	
  is	
  an	
  
infinite	
  set	
  of	
  points	
  generated	
  by	
  a	
  set	
  of	
  discrete	
  
translaGon	
  operaGons.	
  	
  
Arrangement	
  of	
  laxce	
  points	
  in	
  the	
  unit	
  cell	
  
	
  &	
  No.	
  of	
  Laxce	
  points	
  /	
  cell	
  
Position of lattice points
Effective number of Lattice
points / cell
1 P 8 Corners = 8 x (1/8) = 1
2 I
8 Corners
+
1 body centre
= 1 (for corners) + 1 (BC)
3 F
8 Corners
+
6 face centres
= 1 (for corners) + 6 x (1/2)
= 4
4
A/
B/
C
8 corners
+
2 centres of opposite faces
= 1 (for corners) + 2x(1/2)
= 2
14	
  Bravais	
  laHces	
  divided	
  into	
  seven	
  crystal	
  
systems	
  
Crystal system Bravais lattices
1.  Cubic P I F
2.  Tetragonal P I
3.  Orthorhombic P I F C
4.  Hexagonal P
5.  Trigonal P
6.  Monoclinic P C
7.  Triclinic P
Courtesy	
  Dr.	
  Rajesh	
  Prasad	
  
The	
  following	
  4	
  things	
  are	
  different	
  
Symmetry	
  of	
  the	
  
MoGf	
  
Crystal	
  
Laxce	
  
Unit	
  Cell	
  
Eumorphic	
  crystal	
  (equilibrium	
  shape	
  and	
  
growth	
  shape	
  of	
  the	
  crystal)	
  
The	
  shape	
  of	
  the	
  crystal	
  corresponds	
  to	
  the	
  point	
  
group	
  symmetry	
  of	
  the	
  crystal	
  
THE	
  7	
  CRYSTAL	
  SYSTEMS	
  
1.  Cubic	
  Crystals	
  	
  
	
  a	
  =	
  b=	
  c	
  
α	
  =	
  β	
  =	
  γ	
  =	
  90º	
  
	
  
•  Simple	
  Cubic	
  (P)	
  
•  Body	
  Centred	
  Cubic	
  (I)	
  –	
  BCC	
  
•  Face	
  Centred	
  Cubic	
  (F)	
  -­‐	
  FCC	
  
Fluorite	
  
Octahedron	
  
Pyrite	
  
Cube	
  
m
2
3
m
4
432,,3m3m,423,groupsPoint ⇒
[1]	
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[2]	
  L.E.	
  Muir,	
  Interfacial	
  Phenomenon	
  in	
  Metals,	
  Addison-­‐Wesley	
  Publ.	
  co.	
  
[1]	
   [1]	
  Garnet	
  
Dodecahedron	
  
[1]	
  
Vapor	
  grown	
  NiO	
  crystal	
  
[2]	
  
Tetrakaidecahedron	
  
(Truncated	
  Octahedron)	
  
2.  Tetragonal	
  Crystals	
  
	
  a	
  =	
  b	
  ≠	
  c 	
  	
  
α	
  =	
  β	
  =	
  γ	
  =	
  90º	
  
	
  
•  Simple	
  Tetragonal	
  
•  Body	
  Centred	
  Tetragonal	
  
	
   m
2
m
2
m
4
2m,44mm,422,,
m
4
,44,groupsPoint ⇒
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[1]	
   [1]	
   [1]	
  
Zircon	
  
3.  Orthorhombic	
  Crystals	
  
	
  a	
  ≠	
  b	
  ≠	
  c 	
  	
  
α	
  =	
  β	
  =	
  γ	
  =	
  90º	
  
	
  
•  Simple	
  Orthorhombic	
  
•  Body	
  Centred	
  Orthorhombic	
  
•  Face	
  Centred	
  Orthorhombic	
  
•  End	
  Centred	
  Orthorhombic	
  
m
2
m
2
m
2
2mm,222,groupsPoint ⇒
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Topaz	
  
[1]	
  
[1]	
  
4.  Hexagonal	
  Crystals	
  
	
  a	
  =	
  b	
  ≠	
  c 	
  	
  
α	
  =	
  β	
  =	
  90º	
  	
  	
  	
  γ	
  =	
  120º	
  	
  
	
  
•  Simple	
  Hexagonal	
  
m
2
m
2
m
6
m2,66mm,622,,
m
6
,66,groupsPoint ⇒
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[1]	
   Corundum	
  
5.	
  Rhombohedral	
  Crystals	
  
	
  a	
  =	
  b	
  =	
  c 	
  	
  
α	
  =	
  β	
  =	
  γ	
  	
  ≠	
  90º	
  
•  Rhombohedral	
  (simple)	
  
m
2
33m,32,,33,groupsPoint ⇒
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Tourmaline	
  
[1]	
   [1]	
  
6.  Monoclinic	
  Crystals	
  
	
  a	
  ≠	
  b	
  ≠	
  c 	
  	
  
α	
  =	
  γ	
  =	
  90º	
  ≠	
  β	
  
•  Simple	
  Monoclinic	
  
•  End	
  Centred	
  (base	
  centered)	
  Monoclinic	
  (A/C)	
  
m
2
,22,groupsPoint ⇒
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Kunzite	
  
[1]	
  
7.	
  Triclinic	
  Crystals	
  
	
  a	
  ≠	
  b	
  ≠	
  c 	
  	
  
α	
  	
  ≠	
  γ	
  	
  ≠	
  β	
  	
  
•  Simple	
  Triclinic	
  
11,groupsPoint ⇒
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Amazonite	
  
[1]	
  
14	
  Bravais	
  laxces	
  
230	
  space	
  groups	
  
Explain	
  general	
  and	
  special	
  posiGon	
  
Explain	
  crystallographic	
  asymmetric	
  unit