Programování F1400 + F1400a: Počítání s čísly
Programování F1400 + F1400a
doc. RNDr. Petr Mikulík, Ph.D.
podzimní semestr 2020
1/2 = 0 ?
1/2 = 0.5 ?
1.0/2 = 0.5
1/2.0 = 0.5
1.0/2.0 = 0.5
1./2. = 0.5
2020 = 2.020 × 103
= 2 × 103
+ 2 × 101
= 111111001002
= 210
+ 29
+ 28
+ 27
+ 26
+ 25
+ 22
=
�
1 +
1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
16
+
1
32
+
1
256
�
× 210
Programování F1400 + F1400a Programování F1400 + F1400a: Počítání s čísly
Zobrazení celých čísel v (digitálním) počítači
Číselné soustavy: Dvojková soustava (binární, cifry 0 a 1), osmičková
(oktalová, 0–7), desítková (dekadická, 0–9), šestnáctková (hexadecimální,
0–9 a A–F)
Reprezentace čísel v počítači: digitální počítač počítá ve dvojkové
soustavě, čísla v ní musíme reprezentovat pomocí nějakého systému
(konvence)
Čísla bez znaménka (unsigned)
Čísla se znaménkem (signed)
Omezený rozsah při počítání, možnost přetečení (overflow) – nelze
zobrazit příliš velké číslo (v absolutní hodnotě), nebo podtečení
(underflow) – nejmenší číslo po zmenšení zkolabuje (záporné na kladné)
Rozsahy: bit 1 b, byte 1 B, word 2 B, short 2 B, integer (např. nyní
typicky 4 B), long integer (např. nyní typicky 8 B)
Programování F1400 + F1400a Programování F1400 + F1400a: Počítání s čísly
1 0 0 0 0 0 0 1
+- 0 0 0 0 0 0 1
-------------------
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
0 0 0 0 0 0 0 1
-------------------
0 0 0 0 0 0 0 0
Zobrazení reálných čísel v počítači
Zápis reálných čísel – desetinný tvar:
12.34, +12.34, −123.456, −0.001234
Pozor na národní konvence při zápisu či zobrazení: desetinná tečka
versus desetinná čárka; problémy při přenositelnosti
Zápis čísla v exponencielním tvaru (desítková soustava):
znaménko mantisa E znaménko exponent
100 = 10E1= 1e2 = +1E+2 0.012 = 0.12E-1 = 1.2e-2 = 12E-3
Reprezentace počítačem v binární soustavě:
mantisa je reálné číslo v intervalu [1;2), exponent je dvojkový
±1.xxx × 2yyy
= (−1)s
×
�
1 +
...�
n=1
bn 2−n
�
× 2e−1023
IEEE 754 Floating-Point Standard (Standard IEEE pro dvojkovou aritmetiku
v pohyblivé řádové čárce):
4 B = 1+23+8 b float (jednoduchá přesnost, single precision)
8 B = 1+52+11 b double (dvojitá přesnost)
16 B = 1+112+15 b long double (čtyřnásobná přesnost)
Poznámka: exponent 000. . . 000 a 111. . . 111 je rezervovaný pro ±0, ±Inf, NaN
Mimo standard např. Pascal v DOSu: 6 B real
Programování F1400 + F1400a Programování F1400 + F1400a: Počítání s čísly
+1.3456 10^-18
+- 1 1 1 1 +- 11
0.0000 exponent 0
9.9999 exponent 0
1.0000 exponent 1
1 1 1 1
Matematické operátory
Unární operátory: +, −
Binární operátory: 1 + 2, 3 − 4, 4 ∗ 6,
Pozor při dělení celých čísel, např. 9/3 vs 9.0/3.0: Jsou definičním
oborem reálná nebo celá čísla?! Jaký má být obor hodnot? Počítač neví,
co vy chcete, aby mu vyšlo: 1/2 = 0 nebo 1.0/2.0 = 0.5
Celočíselné dělení, 3/2=1: C, C++, gnuplot, . . .
Reálná čísla, 3/2=1.5: GNU Octave, Matlab, . . .
Matoucí – Python2: 3/2=1, ale Python3: 3/2=1.5
Zbytek po dělení – modulo: 9 % 2 nebo mod(9,2)
Pozn.: používá se na test parity čísla, tj. sudé/liché číslo, mod(x,2)=0 či 1
Ternární operátor: (podmínka) ? výsledekPravda : výsledekNepravda
Příklad: x = (4 > 6) ? 1 : 42 → x vyjde 42
Úloha: jak použijete ternární operátor na test parity čísla x či na výpočet
absolutní hodnoty čísla x?
Dále logické unární, logické binární, . . . operátory.
Programování F1400 + F1400a Programování F1400 + F1400a: Počítání s čísly
Matematické funkce
Základní, běžné funkce
odmocnina
√
x . . . sqrt(x),
absolutní hodnota |x| . . . fabs(x) nebo abs(x),
exponenciela a logaritmus ex . . . exp(x), ln x . . . log(x) (přirozený),
případně dekadický log10(x)
Zaokrouhlování �x� . . . floor(x), �x� . . . ceil(x), celočíselná část
. . . trunc(x), round(x), int(x)
Umocnění 23 se zapíše jako 2ˆ3 nebo 2**3 nebo pow(2,3);
otázka do cvičení: jak se spočítá 4.57.3?
Goniometrické funkce sin(x), cos(x), acos(x), asin(x), atan(x), atan2(y,x)
(rozlišení kvadrantů hodnot inverzní funkce); výpočet obvykle v radiánech,
nikoliv ve stupních
Pokročilé funkce (vlastní numerické implementace nebo knihovny funkcí)
sinc, Besselovy funkce, gamma funkce, (inverzní) chybová funkce,
Hermiteovy polynomy, . . .
Programování F1400 + F1400a Programování F1400 + F1400a: Počítání s čísly
Zobrazení komplexních čísel v počítači
Komplexní číslo je uspořádaná dvojice reálných čísel (reálná a imaginární
složka) se specifickými pravidly pro počítání
Různé programovací jazyky reprezentují zápisy a zobrazení komplexních
čísel různě: uspořádaná dvojice, nebo pomocí symbolu i nebo j, např.
{1,2} + {2.0,3.0} nebo 1+2i + 2+3i nebo 1+2j + 2+3j
Různé programovací jazyky reprezentují zápisy a zobrazení komplexních
čísel různě – např.:
uspořádaná dvojice, např. {1,2} + {2.0,3.0}
pomocí symbolu i nebo j, např. 1+2i + 2+3i nebo 1+2j + 2+3j
Zkuste si nechat spočítat sqrt(-1) a uvidíte, co vyjde.
Pro výpočty by měly fungovat stejné operátory a funkce jako pro reálná
čísla, ideálně i stejně nazvané funkce, někdy ovšem s prefixem c (complex)
Programování F1400 + F1400a Programování F1400 + F1400a: Počítání s čísly
Jak na nedefinovanou funkci?
Nemá-li programovací jazyk definovanou nějakou funkci, kterou
potřebujeme, musíme ji vyjádřit pomocí těch definovaných, nebo pomocí
řady, iterace, numerického integrálu, apod.
Příklad: chceme spočítat α = arcsin x, ale je k dispozici pouze výpočet
funkce arccos.
α = arcsin x → sin α = x → sin2
α = x2
→
1 − cos2
α = x2
→ cos2
α = 1 − x2
→
cos α =
�
1 − x2 → α = arccos
�
1 − x2
Ovšem pozor na definiční obor a znaménko výsledku. Správně:
α = sign x · arccos
�
1 − x2
Domácí úloha: vyjádřete β = arcsin x a γ = arccos x pomocí funkce
arctan x.
Programování F1400 + F1400a Programování F1400 + F1400a: Počítání s čísly