Lineární algebra v GNU Octave a Matlab
Programování F1400 + F1400a
doc. RNDr. Petr Mikulík, Ph.D.
podzimní semestr 2020
Programování F1400 + F1400a Lineární algebra v GNU Octave a Matlab
Programy pro numerickou a symbolickou matematiku
Svobodné programy pro numerickou matematiku: GNU Octave,
SciLab, R (statistika), . . .
Komerční programy pro numerickou matematiku: Matlab, IDL,
Mathematica, MathCAD, . . .
Pro symbolické výpočty: svobodná Maxima, komerční Maple
Matlab: cca od roku 1983, komerční software firmy MathWorks.
Web: http://www.mathworks.com/products/matlab/
Platba nejen za základní program, ale též za různé balíčky (toolboxy),
např. pro ODE, splajny, . . .
MU: síťová multilicence
GNU Octave: cca od roku 1993, svobodný software; postupná tendence
k plné kompatibilitě s Matlabem (ne vždy ideální)
Web: http://www.octave.org
K dispozici (zdarma a legálně) pro všechny operační systémy (Unix,
Linux, Mac, MS Windows, OS/2, Android, . . . ).
Též online webové verze, např. http://octave-online.net nebo
http://rextester.com/l/octave_online_compiler
Programování F1400 + F1400a Lineární algebra v GNU Octave a Matlab
Spuštění GNU Octave a Matlab: ikona či příkazová řádka
Spuštění ikonou programu, nebo z příkazové řádky:
Spuštění s GUI: octave --gui, bez GUI: octave
Spuštění s GUI: matlab, bez GUI: matlab -nodesktop
Jenom spuštění výpočtu (programu): octave soubor.m
GUI: terminál s příkazy, okna s grafem, seznam proměnných, aj.
Programování F1400 + F1400a Lineární algebra v GNU Octave a Matlab
GNU Octave jako kalkulačka pro skaláry (reálná čísla)
Výpočty výrazů:
octave> 1+2*pi
ans = 7.2832
octave> format long; 1+2*pi
ans = 7.28318530717959
octave> format short; 1+2*pi
ans = 7.2832
octave> format rat; 1+2*pi
ans = 823/113
Formátování výstupu jako v C – Matlab pouze fprintf(), Octave
fprintf() i printf()
octave> fprintf(’Eulerovo cislo %.16f, odmocnina %g\n’, exp(1.0), sqrt(6.25))
Eulerovo cislo je 2.7182818284590451, odmocnina je 2.5
Použití automatické proměnné ans s poslední vypočtenou hodnotou:
octave> 8*64
ans = 512
octave> ans*16
ans = 8192
Výrazy s proměnnými, čárka vs středník pro potlačení výstupu:
octave> a=sin(pi/3), b=cos(pi/3); c=a/b-tan(pi/3)
a = 0.866025403784439
c = 0
Programování F1400 + F1400a Lineární algebra v GNU Octave a Matlab
GNU Octave jako kalkulačka pro komplexní čísla
Výrazy s komplexními čísly – zadání pomocí znaku i nebo j za číslem:
octave> format short
octave> 1+2*pi + 3i + sqrt(-1)
ans = 7.2832 + 4.0000i
octave> 1+2*pi + 3j + sqrt(-1)
ans = 7.2832 + 4.0000i
octave> ans*2
ans = 14.5664 + 8.0000i
octave> exp(1j*pi), exp(1j*pi/2)
ans = -1.0000e+00 + 1.2246e-16i
ans = 6.1232e-17 + 1.0000e+00i
Reálná a imaginární složka, komplexně sdružené číslo:
octave> a=1+2j, real(a), imag(a)
a = 1 + 2i
ans = 1
ans = 2
octave> conj(a), a’
ans = 1 - 2i
ans = 1 - 2i
Programování F1400 + F1400a Lineární algebra v GNU Octave a Matlab
GNU Octave jako kalkulačka pro vektory
Zadání řádkových vektorů – výčtem prvků (oddělovačem je mezera nebo
čárka), rozsahem s krokem nebo počtem dělení:
octave> a=[1 2 3 4], b=[10:0.5:11.5]
a =
1 2 3 4
b =
10.000 10.500 11.000 11.500
octave> c = linspace(1.0, 2.0, 5)
c =
1.0000 1.2500 1.5000 1.7500 2.0000
octave> d = logspace(-2,+2,5)
d =
1.0000e-02 1.0000e-01 1.0000e+00 1.0000e+01 1.0000e+02
Vektorový a skalární součin, úhel mezi vektory, délka vektoru:
octave> cross(1:3, -3:-1:-5) % vektorovy soucin - cross product
ans =
2.0000e+00 -4.0000e+00 2.0000e+00
octave> dot(a,b) % skalarni soucin - dot product
ans = 110
octave> acos( dot(a,b) / (norm(a) * norm(b)) ) * 180/pi
ans = 21.118
octave> a=[1 2 3]; norm(a), norm(a)**2 % norma vektoru je jeho delka
ans = 3.7417
ans = 14.000Programování F1400 + F1400a Lineární algebra v GNU Octave a Matlab
Řádkové vs sloupcové vektory
Zadání sloupcového vektoru – výčtem s odřádkováním středníky nebo
transpozicí řádkového vektoru:
octave> a = [1 2 3 4] % nebo a = [1, 2, 3, 4]
a =
1 2 3 4
octave> a1 = [1; 2; 3; 4]
a1 =
1
2
3
4
octave> a2 = a’ % nebo a2 = [1 2 3 4]’
a2 =
1
2
3
4
Poznámka: transpozice vektoru s komplexními čísly též provede
komplexní sdružení, bez něj je třeba použít funkci transpose().
Programování F1400 + F1400a Lineární algebra v GNU Octave a Matlab
Vytváření různých matic
octave> a = [1 2; 3 4] ... zadaná
a = výčtem
1 2 prvků
3 4
octave> b = hilb(4) ... Hilbertova
b = matice
1.00000 0.50000 0.33333 0.25000
0.50000 0.33333 0.25000 0.20000
0.33333 0.25000 0.20000 0.16667
0.25000 0.20000 0.16667 0.14286
octave> c = magic(4) ... magický
c = čtverec
16 2 3 13
5 11 10 8
9 7 6 12
4 14 15 1
octave> c = pascal(4) ... Pascalova
c = matice
1 1 1 1
1 2 3 4
1 3 6 10
1 4 10 20
octave> c1 = zeros(2,4), c2 = ones(1,5)
c1 =
0 0 0 0 ... nulová matice
0 0 0 0
c2 =
1 1 1 1 1 ... pouze jedničky
octave> c1=0.5+zeros(2,4), c2=4*ones(1,5)
c1 =
0.50000 0.50000 0.50000 0.50000
0.50000 0.50000 0.50000 0.50000
c2 =
4 4 4 4 4
octave> c3 = eye(3), c4 = rand(3)
c3 =
1 0 0 ... jednotková matice
0 1 0
0 0 1
c4 = ... náhodná matice
0.0011806 0.7808150 0.3504223
0.7956658 0.3569909 0.7034885
0.8786757 0.7556389 0.7293366
Programování F1400 + F1400a Lineární algebra v GNU Octave a Matlab
Maticová algebra, základní maticové operace
octave> a, b=a’, a+b
a =
1 2
3 4
b = % transponovaná matice
1 3
2 4
ans =
2 5 % součet matic
5 8
octave> 2*a
2 4
6 8
octave> a*b, a.*b
ans =
5 11 % maticový součin
11 25
ans =
1 6 % součin po prvcích
6 16
octave> det(a), rank(a), inv(a), a*inv(a)
ans = -2 % determinant matice
ans = 2 % hodnost (angl. rank) matice
ans =
-2.00000 1.00000 % inverzní matice
1.50000 -0.50000
ans =
1.00000 0.00000 % test výpočtu inv. mat.
0.00000 1.00000
octave> a ./ b, a/b, a*inv(b)
ans =
1.00000 0.66667 % podíl prvků matic
1.50000 1.00000
ans =
0.00000 0.50000 % podíl matic a/b
-2.00000 2.50000
ans =
0.00000 0.50000 % podíl matic a*inv(b)
-2.00000 2.50000
Programování F1400 + F1400a Lineární algebra v GNU Octave a Matlab
Soustavy rovnic, vlastní hodnoty a vlastní vektory
Řešení soustavy rovnic:
A · x = b
octave> a=[1 2; 3 4], b=[1; 2]
a =
1 2
3 4
b =
1
2
octave> x = a \ b
ans =
0.00000
0.50000
octave> a*x - b
ans =
0
0
Vlastní hodnoty (eigenvalues) a vektory matice:
Av = λv, (A − λE)v = 0, |A − λE| = 0
octave> [u,v] = eig(a)
u =
-0.82456 -0.41597
0.56577 -0.90938
v =
Diagonal Matrix
-0.37228 0
0 5.37228
octave> det(a-v(1,1)*eye(2)), det(a-v(2,2)*eye(2))
ans = 0
ans = 0
octave> k=1; a*u(:,k) - v(k,k)*u(:,k)
ans =
0
0
octave> k=2; a*u(:,k) - v(k,k)*u(:,k)
ans =
0
0
Programování F1400 + F1400a Lineární algebra v GNU Octave a Matlab
Dění na obrazovce
Záznam dění veškerých vstupů a výstupů na obrazovce lze automatický
kopírovat do souboru příkazem
diary
Příkazy se zadávají na příkazové řádce interpretru, lze je editovat (šipky
vlevo a vpravo, totéž s Ctrl). Historii příkazů lze procházet (šipky
nahoru, dolů) a rychle vyvolávat (Ctrl-R), či ji celou vypsat příkazem
history
Dlouhé výstupy na obrazovce je možné nechat stránkovat (vzpomeňte na
rouru s programy more a less):
a=1:1000
more on; a
more off; a
Skriptování – soubory se skripty (programy): příkazy napíšeme do
souboru s příponou .m, např. test1.m, a ten pak z příkazové řádky
zavoláme jménem souboru nebo příkazem source():
test1
source(’test1.m’)
Programování F1400 + F1400a Lineární algebra v GNU Octave a Matlab
Čtení a zápis dat
Načtení matice ze souboru – nejjednodušší (pouze matice nebo sloupec
čísel, řádky začínající znakem # nebo % se přeskakují):
load data.dat
mat1 = load(’data.dat’)
Načtení matice ze souboru – nejjednodušší a nejrychlejší a též i pro
obrázky či jiné typy dat:
a=importdata(’data.dat’);
obr=importdata(’domecek.png’);
zvuk=importdata(’test.mp3’);
Zápis matice do souboru – nejjednodušší:
save data.dat matA b c
save -text data.dat matA b c
save -binary data.mat matA b c
Poznámka: Pokročilý způsob čtení souboru – nastavení hlavičky
souboru, oddělovače sloupců, typů údajů ve sloupcích:
textread(), textscan(), nebo dlmread()
Poznámka: Pokročilé způsoby čtení a zápisu – syntaxe jako v Céčku:
fopen(); fscanf(), fgetl(), fgets(), fread(); fclose()
fopen(); fprintf(), fputs(), fwrite(); fclose()
Programování F1400 + F1400a Lineární algebra v GNU Octave a Matlab
Kreslení grafů ve 2D
Vykreslení grafu funkce – nejdříve rozsah a krok (vzorkování) rozsahu,
pak výpočet, poté vykreslení:
x = -20:0.5:20; % nebo linspace(-20,20,41)
y1 = x.*x;
plot(x,y1)
Kreslení grafů více funkcí a nastavení grafu (popisky, osy, . . . ):
x = -20:0.5:20; % nebo linspace(-20,20,41)
y1 = x.*x;
y2 = 50-x.*x;
plot(x,y1, x,y2)
title(’paraboly’)
xlabel(’x [mm]’); ylabel(’výška [mm]’)
grid on
legend(’funkce x^2’, ’funkce 50-x^2’)
xlim([-10 10]); ylim([0 100])
Typy, barvy a velikosti čar a bodů
kreslených křivek:
plot(x,y1)
plot(x,y1, ’b--’, x,y2, ’r-.’)
plot(x,y1, ’g-’, ’LineWidth’,2, x,y2, ’r*’, ’MarkerSize’,3)
Programování F1400 + F1400a Lineární algebra v GNU Octave a Matlab
Vykreslování grafů
Více oken s grafy současně:
figure; plot(sqrt(1:100)); figure; plot(-10:10)
figure(1); plot(1:100); figure(2); plot(-10:10)
Postupné př(e,i)kreslování do jednoho obrázku:
clf(); hold on;
plot(sqrt(0:64)); plot(10-sqrt(1:81));
hold off
Tisk grafu do souboru (formáty pdf, postscript, svg, png, . . . ):
print -dpdf fig.pdf
print -deps2 -tight fig1.eps
print -depsc2 -tight fig2.eps
print -dsvg fig.svg
print -dpng "-S800,600" fig.png
Technická poznámka – GNU Octave: lze zvolit vykreslování grafů skrze gnuplot, knihovnu qt
nebo knihovnu fltk:
available_graphics_toolkits ... vypise se: fltk gnuplot qt
plot(sqrt(0:81))
graphics_toolkit
... zavřít okno s grafikou ...
graphics_toolkit gnuplot ... zmena zobrazovaciho systemu
plot(sqrt(0:81))
Programování F1400 + F1400a Lineární algebra v GNU Octave a Matlab
Kreslení grafů ve 3D
Mapa (image) – pohled na plochu shora:
sombrero();
peaks(20); colorbar;
a=1./hilb(30);
imagesc(a); colorbar
colormap(autumn); colorbar
colormap(1-gray); colorbar
colormap(jet); colorbar
help colormap nebo doc colormap
Drátový graf (mesh), reliéf (surface), vrstevnice (contours):
a=sombrero(); % nebo a=peaks();
mesh(a)
surf(a)
surf(a); shading flat
surf(a); shading interp
axis([0 20 0 10])
axis([0 20 0 10 -10 40])
contour(a); meshc(a); surfc(a)
Poznámka: Pokročilé – generování matice souřadnic x, y pomocí meshgrid(),
repmat(), aj.
Programování F1400 + F1400a Lineární algebra v GNU Octave a Matlab