F3060 Kmity, vlny, optika - cvičení podzim 2020
D. Hemzal hemzalOphysics.muni.cz
k
ID řetízek identických atomů interagujících elasticky vždy pouze s nejbližšími sousedy lze aproximovat sadou stejných malých závaží o hmotnosti to, spojených lineárně identickými nehmotnými pružinami o tuhosti k. Rovnovážná vzdálenost sousedních závaží necht je a, výchylky x[j] jednotlivých závaží uvažujte od jejich rovnovážných poloh. Předpokládejte pohyb pouze ve směru pružin (zanedbejte tíhové působení
m
m
• Předpokládejte periodické okrajové podmínky (délka opakujícího se motivu řetízku je Na) a specifikujte jejich vliv na předpokládaný tvar řešení x[j]^T^. Nalezněte disperzní relaci pro vlnu v tomto řetízku.
Zapišme nejprve pohybové rovnice pro všechna závaží x[j] v aproximaci harmonických výchylek:
V maticovém zápisu
K j < N
j = N
-mu2x[j] = -k(x\j] - x[j - 1]) - k(x\j] - x[j + 1])
-muj2x[l] = -k(x[l] - x[N]^j - k(x[l] - z[2]) -muj2x[N] = -k(x[N] - x[N - 1]) - k(x[N] - x[l]
-muj
x[j-l] x[j + l]
/-2 1
k
-2 1 1 -2 1
V i
1 \ / x[l] \
x[j-l] x[j + l]
2j V x[N] J
1
F3060 Kmity, vlny, optika - cvičení podzim 2020
D. Hemzal hemzalOphysics.muni.cz
k
ID řetízek identických atomů interagujících elasticky vždy pouze s nejbližšími sousedy lze aproximovat sadou stejných malých závaží o hmotnosti to, spojených lineárně identickými nehmotnými pružinami o tuhosti k. Rovnovážná vzdálenost sousedních závaží necht je a, výchylky x[j] jednotlivých závaží uvažujte od jejich rovnovážných poloh. Předpokládejte pohyb pouze ve směru pružin (zanedbejte tíhové působení
m
m
• Předpokládejte periodické okrajové podmínky (délka opakujícího se motivu řetízku je Na) a specifikujte jejich vliv na předpokládaný tvar řešení x[j]^T^. Nalezněte disperzní relaci pro vlnu v tomto řetízku.
Zaveďme do pohybových rovnice předpoklad x[j]=T^:
K j < N : -mio2rj = kTj~l - 2krj + krj+1
r\ AT r\
j = 1 : —mu t = kr   — 2kr + kr
j = N: -muj2TN = kr*'1 - 2krN + kr1
Rovnice budou řešitelné, pokud riV = l, kde r je skalár. Řešením podmínky jsou (komplexní) odmocniny z jedničky:
Tn = exp(27rin/A^)
a zpětným dosazením
neboli
a po uprave
m 0
-mujn = k exp(—27rin/N) — 2k + kex.p(27rin/N)
exp(-27rin/A0 + exp(27rm/AT)  = 2 (1 - cos(27rn/AT))
LOn — 2u)r
sin
/7rn\
2
F3060 Kmity, vlny, optika - cvičení podzim 2020
D. Hemzal hemzalOphysics.muni.cz
k
ID řetízek identických atomů interagujících elasticky vždy pouze s nejbližšími sousedy lze aproximovat sadou stejných malých závaží o hmotnosti to, spojených lineárně identickými nehmotnými pružinami o tuhosti k. Rovnovážná vzdálenost sousedních závaží necht je a, výchylky x[j] jednotlivých závaží uvažujte od jejich rovnovážných poloh. Předpokládejte pohyb pouze ve směru pružin (zanedbejte tíhové působení
m
m
• Předpokládejte periodické okrajové podmínky (délka opakujícího se motivu řetízku je Na) a specifikujte jejich vliv na předpokládaný tvar řešení x[j]^T^. Nalezněte disperzní relaci pro vlnu v tomto řetízku.
Co se stane, když budeme jako periodickou volit různou délku l=Na řetízku?
/7rn\
2wr
sin (irq)
kde q
Můžeme ovšem také psát
2io,
Dn — liúr
sin (kna)
7T
kde     kn = — q a
Celá výchylka j-tého závažíčka je potom
xn[j] - r^exp(iwť) = Aexp[(knai + Unr>