F3060 Kmity, vlny, optika - cvičení podzim 2020
D. Hemzal hemzalOphysics.muni.cz
1.1 Nalezněte všechny větve disperzní relace pro ID řetízek střídajících se atomů o dvou různých k         k k
hmotnostech m a M; tuhost všech vazeb uvažujte     vzdálenost sousedních atomů stejné _/yy^—o-Jyy^—Q-Jyy^
hmotnosti necht je a.   Pro výchylky x\j], X[j] v subřetízcích atomů stejné hmotnosti pp |V| předpokládejte řešení ve tvaru x\j],X\j](xex.p(i[ujt-\-kaj]).
• Předpokládejte periodické okrajové podmínky (délka opakujícího se motivu řetízku je Na) a specifikujte jejich vliv na předpokládaný tvar řešení x[j]^T^. Nalezněte disperzní relaci pro vlny v tomto řetízku.
Co se stane, když se řetízek bude skládat z pravidelného střídání dvou závaží různé hmotnosti
?
K j < N
- Lo2mx [j] = -k{x [j]-X[j-l])-k[x[j]-X[j]) -Lo2MX[j] = -k(x[j]-x[j])-k(x[j]-x[j + l]
j = N
-io2mx[l] = -k(x[l] - X[N]) - k(x[l] --lo2MX[N] = -k(x[N] - x[N]^j -k(x[N] - x[l^j
Předpokládejme x\j]=ur^, X\j] = Ur^, přičemž rN = l. Tímto předpokladem okrajové podmínky rozřešíme a zbývá nám soustava pro dvě neznámé funkce
co2m ~k~
L02M
k
u = -2u+ Uir'1 + 1) U = -2U + u(1 + t)
1
F3060 Kmity, vlny, optika - cvičení podzim 2020
1.1 Nalezněte všechny větve disperzní relace pro ID řetízek střídajících se atomů o dvou různých
hmotnostech m a M; tuhost všech vazeb uvažujte k, vzdálenost sousedních atomů stejné —/yy^—q—/yy^—/y hmotnosti necht je a.   Pro výchylky x\j], X[j] v subřetízcích atomů stejné hmotnosti pp |V|
předpokládejte řešení ve tvaru x\j],X\j](xex.p(i[ujt-\-kaj]).
• Předpokládejte periodické okrajové podmínky (délka opakujícího se motivu řetízku je Na) a specifikujte jejich vliv na předpokládaný tvar řešení x[j]^T^. Nalezněte disperzní relaci pro vlny v tomto řetízku.
Předchozí soustavu lze zapsat maticově,
(
uj2m/k — 2 l+exp(27rm/AT)
l+exp(-27rin/AT) uřMjk-2
= 0
jejíž netriviální řešení vyžaduje singulární matici:
(u2m/k - 2)(co2M/k - 2) - (2 + 2cos(27rn/a0) = 0
odkud dostáváme dvě větve disperzní relace
k
>
2