F3060 Kmity, vlny, optika - cvičení podzim 2020
D. Hemzal hemzalOphysics.muni.cz
Vlnová rovnice.  Uvažujte nekonečný řetízek stejných malých závaží o hmotnosti ^ m, spojených lineárně identickými nehmotnými pružinami o tuhosti k. Rovnovážná     /\AA   r-\ A vzdálenost sousedních závaží necht je a, a předpokládejte pohyb pouze ve směru      VVV V pružin.  Pole výchylek jednotlivých závaží z jejich rovnovážných poloh popište spojitou veličinou u(x).
k
m
m
• Sestavte pohybové rovnice pro j-té závaží a ukažte, že za předpokladu a—>0 tyto pohybové rovnice přechází v rovnici vlnovou.
Pojďme se podívat na Taylorův rozvoj spojité funkce u(x) v okolí bodu íc0,
u(x) = u(x0) + u(x0)(x - x0) + —u"(xo)(x - x0)2 + ... ^ + ^ (x - x0)k+1,
zde se zbytkem v Lagrangeově tvaru, kde £ leží mezi x a xq. Přepišme rozvoj s označením x=xq-\t£ do podoby
1
u(xo + e) = u(xo) + u'(xq)£ H—-u"{xq)£2 + 0(e3),
2 ■
a přidejme ještě obdobný rozvoj opačným směrem,
u(xo — e) = u(xo) — u'{xq)£ + —u"{xq)£2 + 0(e3),
1
F3060 Kmity, vlny, optika - cvičení podzim 2020
D. Hemzal hemzalOphysics.muni.cz
Vlnová rovnice.  Uvažujte nekonečný řetízek stejných malých závaží o hmotnosti ^ m, spojených lineárně identickými nehmotnými pružinami o tuhosti k. Rovnovážná     /\AA   r-\ A vzdálenost sousedních závaží necht je a, a předpokládejte pohyb pouze ve směru      VVV V pružin.  Pole výchylek jednotlivých závaží z jejich rovnovážných poloh popište spojitou veličinou u(x).
k
m
m
• Sestavte pohybové rovnice pro j-té závaží a ukažte, že za předpokladu a—>0 tyto pohybové rovnice přechází v rovnici vlnovou.
u{xq + e) = u{xq) + u'{xq)£ H—-u"{xq)£2 + 0(e3),
2 ■
1
u(xo — e) = u(xo) — u'(xq)£ H—-u"{xq)£2 + 0(e3),
2 ■
Za předpokladu, že výchylky jednotlivých závaží jsou známy, můžeme tyto dvě rovnice využít k diskretizovanému vyjádření derivací. Vyloučením členů s druhou derivací dostáváme
\    u{xq + £) - u{xq - £) 2 ■ - --h Ole .
u ix0/
2e
Tomuto vzorci se říká dvoubodová centrální^první derivace. Pokud naopak vyloučíme členy s první derivací, dostáváme
u(xq + e) — 2u(xq) + u(xq — e)
u"(x0]
+ 0 e)
Tomuto vztahu se říká dvoubodová centrální druhá derivace. Obdobným způsobem se hledají n-bodové k-té derivace.
2
F3060 Kmity, vlny, optika - cvičení podzim 2020
D. Hemzal hemzalOphysics.muni.cz
Vlnová rovnice.  Uvažujte nekonečný řetízek stejných malých závaží o hmotnosti C C k
m, spojených lineárně identickými nehmotnými pružinami o tuhosti k. Rovnovážná AAA r\ A A A   r\ AAA
vzdálenost sousedních závaží necht je a, a předpokládejte pohyb pouze ve směru V V V V V V ^C^C   V V V
p>ružín.  Pole výchylek jednotlivých závaží z jejich rovnovážných poloh popište spojitou veličinou u(x).
m
m
• Sestavte pohybové rovnice pro j-té závaží a ukažte, že za předpokladu a—>0 tyto pohybové rovnice přechází v rovnici vlnovou.
///   x     u(x0 + e) - 2u(x0) + u(x0 - e)
u (xo) =-5--h Ole)
ez
Vratme se k pohybové rovnici na obecném místě homogenního řetízku,
j : mx[j] = —k(^x[j] — x[j — l]j — k(x[j] — x[j + 1]^ = kx[j — 1] — 2kx[j] + kx[j + 1].
Není těžké tuto rovnici přepsat pomocí diskretizované druhé derivace,
O (a3) : mú(x[j]) = ku(x[j])"a2,
a po přechodu ke spojité souřadnici x
ú — v u =0,
kde v = a\Jk/m má jednotku m.s 1 a význam rychlosti šíření fáze podél řetízku.
3