F3060 Kmity, vlny, optika - cvičení podzim 2021 D. Hemzal hemzal@physics.muni.cz C. OPTIKA Maxwellovy rovnice v elektroneutrálním nemagnetickém mediu: V • E = ——V • P V • b = 0 „ b 9e ap , V X - = S0— + — + Jfree. fi0 Ot Ot 1. Mawellovy rovnice. Uvažujte Maxwellovy rovnice v prostředí s polarizací P a volným proudem J free ■ • Ukažte, že vlnová rovnice je důsledkem platnosti Faradayova a Ampérova zákona (s využitím zákona Gaussova). • Rovinná vlna. Ukažte, že E(r,í) = EoCos(kr—ujť) je řešením vakuové vlnové rovnice. Z Gaussova zákona v případě izotropního dielektrika (V-P = 0) ukažte, že Eo_Lk a z Faradayova zákona dopočítej te B (r, ŕ) = B o cos (kr—ujt). B0 = ^kxE0,E_LB_Lk_LE • Susceptibilita. Pro speciální případ izotropního dielektrika (Jfree=0, V-P=0) řešte vlnovou rovnici s využitím předpokladu E,P«exp(i(kr — wí)). [P0 (w) =e0x(^)E0 M :k=(u/c) jl+x\ • Index lomu. Zavedte (komplexní) index lomu n+ÍK prostřednictvím vlnočtu k=nuj/c a zjistěte dopad jeho reálné a imaginární části na šířící se rovinnou vlnu E=Eoexp(i(ujt—kx)). [E=Eq exp (—2tt k/Ao ) cos (ujt — 2imx/Ao) ] 1.1 Dielektrická funkce. Nalezněte vzájemné transformační vztahy mezi relativní permitivitou eT +ie; = + l a indexem lomu n+ÍK. i ■ \2 22 o 2 kl+Ree ,2 lei—Ree £r+i£i = (n+iK)z:er=nz —Kz,£i = 2nK,nz= 1 1 2-,fc = ' 1 2- 1.2* Debyeův rozklad. Uvažujte rozklad A u0 + -ui As - I u2 exp ( -ý kde forma zavedení malého parametru A reflektuje představu rychle se měnící fáze oproti mnohem pomaleji se měnící amplitudě; všechny složky u j v rozvoji amplitudy i fázový člen ip (nazývaný často eikonál) závisí na souřadnicích i čase. Dosadte uvedený rozvoj do vakuové vlnové rovnice a získejte rovnice jednotlivých aproximací (podle řádu A). Ukažte, že vlnovou rovnici lze tímto způsobem vyřešit řád po řádu. A~2: (V-0)2 — c2-02 = O rovnice eikonálu,A-1: V(2oVV>) — c2(I0ip) =0 rovnice pro přenos intenzity /0 = luo 2. Materiálová prostředí. 2.1 Lorentzův model pro dielektrika. Pro pohyb elektronů o náboji —e v látce předpokládejte model tlumeného oscilátoru (Ft =—mejx) řízeného elastickou silou F=—Kx a buzeného lokálním elektrickým polem; pro jednoduchost předpokládejte, že lokální pole je přímo rovno dopadající světelné vlně i?oexp(i(a;í—kr)). Sestavte pohybovou rovnici pro elektron a nalezněte amplitudu jeho kmitů za předpokladu, že x=xoexp(i(a;í—kr)). 1 2.2 Drudeho model pro kovy. 3. Fermatův princip postuluje, že mezi dvěma pevně zadanými body se světlo šíří tak, aby celková doba jeho šíření byla minimální. • Optická dráha S je v homogenním prostředí definována jakou součin indexu lomu n tohoto prostředí a vzdálenosti d, kteou v něm světlo urazilo (ne nutně přímočaře), S=nd. Při přechodu mezi prostředími je optická dráha aditivní, S=Si+S2 + ... Ukažte, že Fermatův princip je ekvivalentní požadavku minimální optické dráhy během šíření světla. U = - c/n, • Ukažte, že v homogenním prostředí se Fermatův princip (pro optickou dráhu) redukuje na podmínku přímočarého světla. [n=konst] • Z Fermatova principu pro optickou dráhu vyvodte pro lom paprsku na rovinném rozhraní dvou homogenních prostředí (n, n') Snellův zákon. Úhly paprsků (a, a') určujte vzhledem k normále k rozhraní. Nalezněte paraxiální aproximaci (a,a'—tO) Snellova zákona. [nsinoí=n'sinQí', na=n'a'] • Ukažte, že při vhodně zvolené znaménkové konvenci pro odražené světlo (n'<0, a'<0) lze ze Snellova zákona odvodit též zákon odrazu. [a' = — a] 3.1* Huygensův-Fresnelův princip. Ukažte, že pro monochromatický bodový zdroj o vlnové délce A je možné velikost pole generovaného ve zvoleném bodě spočítat prostřednictvím bodových příspěvků pocházejících z libovolné zvolené vlnoplochy, podmínkou postupu že však je projevení tzv. faktoru sklonu K{x), závisejícího na úhlu Xi P°d kterým vlnoplochu pozorujeme; hodnotu faktoru sklonu odvodte pro zjednodušený případ x=0. [K(0)=i/\] 4. Maticový formalizmus. Uvažujte osově souměrný optický systém, ve kterém paprsek v prostředí o indexu lomu n popíšete pomocí jeho vzdálenosti h od optické osy a směrem šíření s. Vektor s rozložte do složek podél optické osy (sz) a kolmo k optické ose (sx) a předpokládejte |s|=n. Při výpočtech dodržujte standardní znaménkové konvence. (h'\ • Ukažte, že v paraxiální aproximaci je možné závislost koncového stavu paprsku \gi\ na stavu počátečním (J^^J vyjádřit maticově: pro šíření o osový interval délky d v homogenním prostředí o indexu lomu n a pro lom na rozhraní o poloměru křivosti r mezi prostředími o indexech lomu n a n' příslušné matice nalezněte. 1 d/n^j ^ R-= ^ ^ ^ ,(p= — (n—n')/r je mohutnost lomivého rozhraní • V daném místě podél optické osy představuje (j^^J obecný paprsek. Navrhněte speciální volbu parametrů pro význačné typy světelných svazků. /konst\ . / h \ , /konst\ , , \ s\ ohnisko, IjjQjjg^.) rovnobežný svazek, 1^^^.) konkrétní paprsek • Uvažujte obecný optický systém popsaný maticí M= ^a obklopený prostředími o indexech lomu n a n'. Nalezněte podmínku, za které bude systém pracovat jako zobrazující (převádět bodové předměty na bodové obrazy). Využijte skutečnosti, že detT=detR=l. ti nezávisí na sx: c=-a|--d|-6í|7-,T'MT=|'^ 1//?) ' ^ Je zvětšení 2 4.1 Čočka. Nalezněte matici <í> tlusté čočky (tloušťka t, index lomu ni,), oddělující prostředí s indexem lomu n a n' a její speciální případy: tlustou čočku ponořenou do prostředí, tenkou čočku a tenkou čočku ponořenou do prostředí. Nalezněte ohniskové vzdálenosti tenké čočky a určete polohu hlavních rovin v tlusté čočce, mají-li pro její ohniskové vzdálenosti platit formálně stejné výrazy jako u čočky tenké. Lpi^m íJ^^n^j ,f=fi + f2-fif2t/mj=-n/(f,f=n'/(f 4.2 Lupa. Nalezněte zvětšení poskytované lupou o mohutnosti /^akomod /^neakomod 1] 4.3 Mikroskop. Mikroskop je optická soustava dvou spojných čoček - objektivu s mohutností n2) • Pro neabsorbující prostředí nalezněte Brewsterův úhel dopadu 9^, kdy je odražené světlo zcela polarizováno. tan#b = ^^-Rp = 0 • Nalezněte koeficient odrazivosti R v případě (skoro) kolmého dopadu světla na rozhraní a z podmínky R+T=l také koeficient propustnosti T. Ukažte, že získané vztahy nezávisí na polarizaci dopadajícího světla ani na pořadí prostředí. R= (ni-n2)2 T= 4nin2 (ni+n2) ' (n1+n2) 3 6. Interference. Uvažujte planparalelní desku touštky d a indexu lomu n', vnořenou do prostředí o indexu lomu n. Předpokládejte, že na desku dopadá světlo intenzity Iq pod obecným úhlem dopadu a že na stěnách desky dochází k násobným odrazům. Pro jednoduchost na obou rozhraních předpokládejte koeficient odrazu R a koeficient propustnosti T. • ukažte, že paprsky vystupující z desky jsou rovnoběžné s dopadajícím paprskem nezávisle na úhlu dopadu světla • určete intenzity několika prvních prošlých i odražených paprsků 6.1 V rámci konkrétního výpočtu dále předpokládejte skleněnou destičku (n' = 1.5) ponořenou do vzduchu (n=l) a skoro kolmý dopad světla. S použitím příslušně zjednodušených Fresnelových vztahů vypočtěte celkovou prošlou (Jt) a odraženou (Jr) intenzitu světla včetně násobných odrazů a ověřte, že jejich součet je roven I0. ' 2n> ' t_T+^ 0 6.2 Řešte stejný příklad interferenčně: předpokládejte, že deska je navíc tenká a započtěte i fázové členy. 7. Difrakce. 7.0 Youngův experiment. Uvažujte neprůhledný terčík se dvěma úzkými rovnoběžnými štěrbinami, vzdálenými d. Na terčík kolmo dopadá rovinná monochromatická vlna (z dalekého monochromatického bodového zdroje). Určete rozložení světla na stínítku rovnoběžném s terčíkem ve vzdálenosti l po směru letu světla; úlohu řešte jako ID příklad. 7.1 Fraunhoferova difrakce. Předpokládejte difrakci na rovinném terčíku s obecným otvorem S. Zdrojem světla je bodový monochromatický zářič S, centrovaný před terčíkem ve vzdálenosti a a difrakci pozorujeme v bodě P(£,r]) na rovinném stínítku rovnoběžném s terčíkem ve vzdálenosti b za ním po směru letu světla. Za zjednodušujícího předpokladu konstantní intenzity světla na terčíku je difrakční příspěvek ip(P) v bodě P, plynoucí z Huygensova-Fresnelova principu, roven yj(P) = A j j SQiXQP exP(iM - k(SQ + QP)])dE, kde K{x) = '\/\ je faktor sklonu a A je amplituda zdroje. • Nalezněte vyjádření difrakčního integrálu v lineární aproximaci terčíkových souřadnic Q(x,y); vzdálenosti Q P aproximujte konstantní vzdáleností r0 = Q0P ke středu Q0 otvoru terčíku. ' zČ+z/tA _ i ip(P)=Au exp [ik——— dS, Au = ^—rexp[i[ujt-k(a+r0 r0 J Xab 7.1 S využitím Fraunhoferova integrálu vypočtěte difrakci na centrovaném obdélníkovém otvoru o velikosti pxq. Určete polohy maxim a šířku centrálního maxima. ý(£,v)=Anpqsmc^0^j sine (^^j , Ipq=^* 7.2 S využitím Fraunhoferova integrálu spočtěte Youngův experiment realističtěji jako difrakci na centrované dvojici totožných obdélníkových otvorů o velikosti pxq, vzdálených od sebe o d>p podél osy x. [l(tv)=4IPqcos2(kda/2r0)] 7.4 Mřížkový faktor. Demonstrujte, že při difrakci na pravidelně se opakujících otvorech stejného tvaru se výsledná intenzita ve Fraunhoferově přiblížení dá počítat jako součin difrakce na jednom z otvorů (otvorový faktor) a funkce závisející na rozložení otvorů na terčíku (mřížkový faktor). Pro jednoduchost vyjděte z předchozího příkladu a uvažujte M ekvidistantně vzdálených obdélníkových otvorů o velikosti pxq. 4 sin(Ä;íiM^/2ro) sm(kd£ j'Ír q) ) 2 I(Lv)=Ipg ^2exp(-ikdm£,/r0) =I} m—l 7.3 Difrakce na kruhovém otvoru. Přejděte na terčíku a stínítku do polárních souřadnic a vypočtěte difrakci na centrovaném kruhovém otvoru o poloměru R. 8.1 Podle Gullstrandova-Le Grandova modelu oka má rohovka tloušťku 0.55 mm a index lomu 1.3771. Určete dobu, za kterou projde rohovkou tam a zpět (po odrazu od zadní stěny) signál a) ultrazvuku (i>=1500 m/s), b) světelný. 8.2 Dvojlom. Předpokládejte planparalelní desku vyrobenou z křemene, indexy lomu řádného a mimořádného paprsku v křemení jsou po řadě nD = 1.544 a ne = 1.553. Uvažujte kolmo dopadající světlo a vypočtěte fázový rozdíl řádného a mimořádného paprsku při průchodu deskou tloušťky L a • určete nej menší tloušťku desky, při které se bude chovat jako čtvrt vinná (způsobí fázový rozdíl ■k/1 mezi řádným a mimořádným paprskem a tedy změní dopadající lineární polarizaci světla na kruhovou) a jako půlvlnná (způsobí fázový rozdíl tt a změní orientaci lineárně polarizovaného světla na kolmou) • zjistěte, jaké tloušťky desky jsou k dispozcici, má-li půlvnná destička mít tloušťku kolem 1 mm. 8.2* Antireflexní vrstva. Předpokládejte tlustou planparalelní desku o indexu lomu n\, na které je nanesena tenká vrstva materiálu o indexu lomu n^. Pro světlo dopadající kolmo ze strany tenké vrstvy určete celkovou intenzitu Jt prošlého světla deskou; uvažujte násobné odrazy pouze uvnitř tenké vrstvy, fázové členy však zanedbejte. Určete ri2, které množství prošlého světla maximalizuje a porovnejte získanou hodnotu s příkladem 6.1 samotné desky. 8. Aplikace. 0 5