F3060 Kmity, vlny, optika - cvičení podzim 2020 D. Hemzal hemzalOphysics.muni.cz A. KMITY 0.0 Uvažujte malé těleso o hmotnosti m, zavesené na nehmotné pružině o tuhosti k. Souřadnice x necht směřuje svisle vzhůru, stranový pohyb neuvažujte. Určete protažení pružiny způsobené tíhovým polem g Země. [Ax = — mg/k] 0.1 Ukažte, že hmotný bod podrobený konzervativní síle bude v přiblížení malých výchylek vykonávat harmonické oscilace kolem rovnovážné polohy xq; uvažujte jednorozměrný případ. Frekvenci kmitů určete (Nápověda: využijte skutečnosti, že konzervativní síly lze vždy vyjádřit pomocí potenciálu.) ^ = -gradU, U' (x0) = 0; uř = 1. Volné kmity. Uvažujte malé těleso o hmotnosti m připevněné k nehmotné pružině o tuhosti |^ k, která je na druhém pole Země zanedbejte k, která je na druhém konci pevně uchycena. Uvažujte pouze pohyb ve směru pružiny, tíhové |__/yy^__rpp|j • Sestavte pohybovou rovnici uvažovaného oscilátoru se započtením odporu prostředí (F0=— fix, /3>0). Pohybovou rovnici řešte s využitím ansatzu x=exp(Aí) a pro /3=0 nalezněte její obecné řešení a stanovte frekvenci ujq netlumených kmitů. Ai,2 = ——-5 x=Asm(woí+0o), w0 = Yť% • Diskutujte možné typy pohybu závaží a porovnejte frekvenci kmitů ujt podkriticky tlumeného závaží s případem oscilátoru netlumeného. ŕ j32 — 4mk<0: ujt0); tan0 = , A2 =x\ + % 1.2 U netlumených kmitů s frekvencí 25 Hz byla v čase íi = 0 s pozorována výchylka xi = 56 mm a v čase Í2 = 10 ms výchylka x^ =—33 mm. Určete amplitudu kmitů a fázovou konstantu (fázi v í=0 s). [Acos(a;í+30o30'),A=65 mm] 1.3 Malé závaží o hmotnosti to=100 g je zavěšeno na pružině o tuhosti A;=20 N/m. Celá soustava je umístěna v odporujícím prostředí se silou odporu F0 =—bx, b=í Ns/m. Nalezněte výchylku a rychlost závaží v čase í=0.05 s, víte-li, že na počátku mělo závaží výchylku x(0) = 20 mm a bylo v klidu. 1.5 Matematické kyvadlo. Uvažujte malé závaží o hmotnosti m zavěšené na nehmotném pevném lanku délky l v tíhovém poli g Země. Pro případ volného pohybu závaží ve svislé rovině nalezněte pohybovou rovnici pro úhlovou výchylku ip kyvadla. Nalezněte frekvenci kyvadla v aproximaci malých výchylek. ip+ jsmip=0; u2=j 1.6* Parametrické oscilace. Ukažte, že houpačku je možné rozhoupat (vhodným) kýváním nohou. Konkrétně uvažujte model matematického kyvadla s časově závislou frekvencí vlastních kmitů x+uj2(í + hcos^ft)x= 0: zvedání a spouštění nohou periodicky mění polohu těžiště a tím délku závěsu; tento efekt lze shrnout do uvedené periodické modulace vlastní frekvence houpačky. Uvažujte modulaci s malou hloubkou, /i0), tíhové pole Země zanedbejte. Těleso necht je podrobeno budící síle Fsin(fží). • Ukažte, že pro t—>oo hraje roli pouze partikulární řešení soustavy. • Předpokládejte partikulární řešení ve tvaru yp=J4sin(fží+<í>) a určete jeho volné konstanty A, <í>. A=__-F]m-=Mn^=_mUL 1jv • Nalezněte rezonanční frekvenci fžr, tedy frekvenci, při které těleso dosahuje největších výchylek pro dané F; velikost AmSíX rezonanční amplitudy vypočtěte. • Načrtněte závislost A(íl) pro dvě různé hodnoty a na vodorovné ose vyznačte vztah fžr, ujt a cjo- Jako pomocnou veličinu pro konstrukci grafu určete pološířku ÍI1/2 z podmínky A(Sl1/2)=Amax/2. 2.1 Závaží se pohybuje pod vlivem potenciálu V(x)=VoCosh(x/a), kde Vq a a jsou konstanty. Nalezněte rovnovážnou polohu xq závaží a ukažte, že frekvence malých kmitů kolem této polohy se shoduje s frekvencí volných kmitů závaží, připevněného na pružinu o tuhosti Vq/o2. [x0 = 0] 2.2* Uvažujte tlumený oscilátor buzený obecnou periodickou silou F(ť). Rozviňte F(ť) do Fourierovy řady a s využitím linearity pohybové rovnice ukažte, že jejím řešením je trajektorie x(t) =^2j (aj Cj (ť) + f3j s j (t)), kde aj a /3j jsou konstanty a Cj a s j jsou (po řadě) řešení rovnic s pravými stranami obsahujícími cos(ujjt) a sin(wjí). 3. Složené kmity. Uvažujte nezávislé oscilace x=Axs'm(ujxt+(j)x), y=Ays'm(ujyt+(j)y) v rovině xy. • Vyloučením času z obou rovnic nalezněte možné polarizační stavy světla, víte-li, že Maxwellovy rovnice připouští nejobecněji řešení ujx=ujv; bez újmy na obecnosti předpokládejte (py = 0. • Nalezněte obecnou rovnici Lissajousovy křivky pro případ soudělných frekvencí ujx=2ujy; bez újmy na obecnosti předpokládejte (py = 0. Diskutujte speciální případy 4>x = 0 a ^>x=ir/2 ve zjednodušeném případě Ax=Ay = í. _(*)Mi-s$I-s*(i-2£W=o"r**. 3.1* Chaos. Nalezněte rovnice popisující pohyb dvojitého kyvadla. Pro jednoduchost předpokládejte spojená dvě identická matematická kyvadla, umožňující pouze rovinný pohyb. Získané rovnice nemají analytické řešení - pohyb koncového bodu je chaotický, jak se lze přesvědčit numerickou simulací. 4. Vázané kmity. Uvažujte sadu N stejných malých závaží o hmotnosti k k k m, spojených lineárně identickými nehmotnými pružinami o tuhosti k; _AAA Jp^LAAA Jp^LAAA předpokládejte pohyb pouze ve směru pružin. Počátky souřadnic x[i], popisujících výchylky jednotlivých závaží umístěte do rovnovážných poloh příslušných závaží. • Pro N=3 sestavte pohybové rovnice soustavy pro případ, že koncová závaží jsou a) volná, b) uchycena k pevným stěnám dvěma dalšími pružinami týchž vlastností, c) podrobena periodické okrajové podmínce x[i+3]=x[i]. 2 1 1 \ r2 1 mx=fc | 1 —2 1 x,mx=/j 1 —2 1 • Sestavte pohybové rovnice předchozího příkladu s využitím potenciálu ^2 -1 1 1 -2 1 1 -1, U=l-k(x[\]-x[2]f+l-k(x[2]-x[ 1. 2 + -^[3]-x[l])2 • Za předpokladu N=2 a pružného uchycení koncových závaží k vnějším pevným stěnám vyřešte pohybové rovnice využitím ansatzu x[i]=Aiexp(\t); nalezněte přípustné frekvence kmitů soustavy a jim odpovídající výchylky závaží. [bj2 = k/m,A1=A2; Lj2 = 3k/m,A1 = -A2] 4.1* Pohybové rovnice soustavy N hmotných bodů s hmotnostmi rrii v aproximaci elastického pole vedou na zobecněný problém vlastních hodnot Kx=AMx, dim.ftT=dimM=3-/V, kde K je matice silových konstant a M je matice hmotností (diagonální matice se ztrojenými hmotnostmi). Ukažte, že pohybové rovnice lze převést na standardní problém vlastních hodnot Kq=Aq transformací q^ = •^MjjXj . 5. Aplikace 5.1 RLC obvod. Sestavte druhý Kirchhofův zákon pro RLC obvod, buzený střídavým napětím — Č7ocos(u;t). • Ukažte, že časová závislost průběhu proudu v RLC obvodu odpovídá tlumenému buzenému oscilátoru. Které ze součástek jsou zodpovědné zá útlum v idealizovaném a reálném RLC obvodu? Ur = RI,Ui = LÍ,Uc=Q/C • Nalezněte vztah pro vlastní frekvenci RLC obvodu a určete její hodnotu pro praktický příklad: 400 závitů měděného drátu o průměru 0.063 mm na magnetické pásce 4mm x 13mm (L=450 /iH), kondenzátor 47 pF a odpor 1,5 kil. u0 = l/y/LČ,f=l 094 kHz • Využitím předpokladu I=As'm(ujt+Q) řešte rovnici RLC obvodu a vysvětlete, jak může být RLC obvod použit coby přijímací anténa radiového vysílání. A = U„/ \ 1 ujL — - -R2, tan<í> = R ujL — - 5.2 Molekuly. • Určete tuhost vazby intersticiálního kyslíku 160 v křemíku, víte-li že vibruje na frekvenci /= 33,2 THz. Na jaké frekvenci bude vibrovat ve stejné pozici izotop 180, předpokládáme-li, že tuhost vazby se nezmění? fc=1156 kg s-2,a;i8/a;i6 = V/879 • Potenciální energie HC1 má průběh V(r)= B AlTEnr S využitím příkladu 0.0 odhadněte vlnočet l/A vibrací této molekuly. Rovnovážná délka vazby H-Cl je í*o = 0,13 nm, pro výpočet použijte redukovanou hmotnost /i molekuly. [y'(r0)=0:S=r§e2/(367re0),a;2=y"(r0)//i:l/A=3790/cm] 5.2* Torzní kmity. 3