F3060 Kmity, vlny, optika - cvičení podzim 2020
D. Hemzal hemzalOphysics.muni.cz
2. Nucené kmity. Uvažujte malé těleso o hmotnosti to, zavesené na nehmotné pružině o tuhosti k. Souřadnice x necht směřuje svisle vzhůru, stranový pohyb neuvažujte. Uvažujte odpor prostředí (-F0dp = — (3x, /3>0), tíhové pole Země zanedbejte. Těleso necht je podrobeno budící síle Fsin(flt).
Vyjdeme z II. Newtonova zákona pro tlumené závaží:
kde poslední člen odpovídá budící síle; rovnici si přepíšeme do tvaru
m'x + (5x + kx = F sin(íží).
Předpokládejme nyní, že celkové hledané řešení x se skládá z řešení x^ homogenní rovnice a partikulárního řešení xp odpovídajícího pravé straně, x=Xh+xp. Dosazením dostáváme
(mxh. + (3xh. + kxh) + (mxp + f3xv + kxp) = F sin(ížt)
První závorka jez podstaty věci nulová, takže zůstává
mxp + ftxp + kxp = Fsin(flt).
Poznámka: Jelikož se homogenní řešení zatlumuje {(5: t—>oc^>Xh—^0), v ustáleném stavu bude hrát roli pouze partikulární řešení.
mx =
1
2. Nucené kmity. Uvažujte malé těleso o hmotnosti to, zavěšené na nehmotné pružině o tuhosti k. Souřadnice x necht směřuje svisle vzhůru, stranový pohyb neuvažujte. Uvažujte odpor prostředí (F0dp = — [3x, /3>0), tíhové pole Země zanedbejte. Těleso necht je podrobeno budící síle Fsin(ížŕ).
Pokusíme se nyní nalézt partikulární řešení:
mxp + fixp + kxp = Fsin(ržt). Zvolme xp=Asm(Qt+§). Dosazením získáme algebraickou rovnici
F
[—toÍí + k] sm(M + $) +     cos(m + $) = — sin(ítt) Levou stranu lze převést na goniometrickou identitu pro sinus součtu dvou úhlů,
^(52VL2 + {k- mQ2)2 odkud
k — mQ2
y/(32n2 + (k - mVL2)2
sin(ftč + $) +
V//?2^2 + (jfc - TOÍ72)2
cos(fží + $)
= — sin(fit).
\//32^2 + (A; - toí!2)2 sin \ Qt + $ + are tan
fc — toíž2 / A
F
— sin(fží).
2
2. Nucené kmity. Uvažujte malé těleso o hmotnosti to, zavěšené na nehmotné pružině o tuhosti k. Souřadnice x necht směřuje svisle vzhůru, stranový pohyb neuvažujte. Uvažujte odpor prostředí (Fodp = -(3x, /3>0), tíhové pole Země zanedbejte. Těleso necht je podrobeno budící síle Fsin(fží).
Nyní zbývá již jen porovnat levou a pravou stranu. Rovnice
y//32n2 + (k-mQ2)2sm Ult + $ + arctan fe_^^2) = \ sin(m)-
bude rozřešena, pokud
$ +arctan=0 a -A = + {k - mQ2)2.
k — rrúV A
Drobnými úpravami
(30,/m A F/m
tan $ = —n ' ^ a        A =
. / —— + (w0 - n )
v to
Povšimněme si, že obě veličiny závisí na budící frekvenci.
3