F3060 Kmity, vlny, optika - cvičení podzim 2020
D. Hemzal hemzalOphysics.muni.cz
1. Volné kmity. Uvažujte malé těleso o hmotnosti m připevněné k nehmotné pružině o tuhosti k a klidové |^ délce čo, která je na druhém konci pevně uchycena. Uvažujte pouze pohyb ve směru pružiny, tíhové pole ^ A A A Země zanedbejte. |   VVV
m
Vyjdeme z první impulzové věty pro hmotný bod
dp
a z definice hybnosti p=mv:
mv + mv = Fi.
i
Pro soustavy, které nemění svou hmotnost, m=0 pak obdržíme II. Newtonův zákon
mx = Fi,
i
svazující pohyb částice s výslednicí sil, působící na tělísko.
1
1. Volné kmity. Uvažujte malé těleso o hmotnosti m pripevnené k nehmotné pružině o tuhosti k a klidové |^ délce Iq, která je na druhém konci pevně uchycena. Uvažujte pouze pohyb ve směru pružiny, tíhové pole Země zanedbejte.
m
Jaké síly se podílí na výslednici?
Odporová síla: F0 = —/3x.
mx
|->MA-H
m
0
F = — kx
X
□ □
F = -k(l-l0)
pro 1 = Iq+x se vracíme k předchozímu
2
1. Volné kmity. Uvažujte malé těleso o hmotnosti m připevněné k nehmotné pružině o tuhosti k a klidové délce Iq, která je na druhém konci pevně uchycena. Uvažujte pouze pohyb ve směru pružiny, tíhové pole Země zanedbejte.
Sloučením známých sil obdržíme
neboli
mx = — kx — (3x,
mx + fix + kx = 0.
Jedná se o lineární diferenciální ročnici druhého řádu, rozřešíme ji s využitím vhodného ansatzu.
x=ex.p(Xt): x=Xx, x=X2x
odkud
s kořeny
exp(Ač) [toA2 + fiX + k] =0,
A2 + ^A+ - = 0
m m
Ai,
J_± fi2 k 2m    V 4m2 m
x=ex.p(icot):
x=iux, x=—ux
exp(ia;t) [—mu2 + i{3u) + k\ = 0,
odkud
2        P k
uj2 + -i—uj--= 0
m m
s kořeny
. fi        k fi2
2m     V m 4m2
a tedy u\ = kjm.
3
1. Volné kmity. Uvažujte malé těleso o hmotnosti m připevněné k nehmotné pružině o tuhosti k a klidové délce l0, která je na druhém konci pevně uchycena. Uvažujte pouze pohyb ve směru pružiny, tíhové pole Země zanedbejte.
Již víme, že
neboli
■  P   ^        2 2      , /
Wl'2 = 125í±VWo    S?' "0=*/™,
^1,2 = 17;— =t cjt, kde u;T = u0--
■2m"11 T      0 4m2'
Zpětné dosazení, x=exp(iajt):
x = exp ^2"^) [^exp (ííjtí) + Bex.p (—kj-rt)] , kde i,5 G C.
Výchylka ovšem musí být reálná, komplexními čísly si jen pomáháme: xeR^B=A\ zvolíme A=Xexp(i<£), V,0eR:
f-j3\
x = Vexp -—t   cosÍojtč + </>)■ V 2m /
4