F3060 Kmity, vlny, optika - cvičení podzim 2020
D. Hemzal hemzalOphysics.muni.cz
4. Vázané kmity. Uvažujte sadu TV stejných malých závaží o hmotnosti to, spojených       k k k
lineárně identickými nehmotnými pružinami o tuhosti A;; předpokládejte pohyb pouze      in   i-1 a»a   i-1 in
ve směru pružin.  Počátky souřadnic x [i], popisujících výchylky jednotlivých závaží      VVV~Í^P VVV~1^P VVV~
umístěte do rovnovážných poloh příslušných závaží.
Zapišme nejprve pohybové rovnice pro obecné závaží x[i]: toto závaží je ze dvou stran drženo pružinami ke svým sousedům, takže dostáváme
mx = — k(^x[i] — x[i — 1]^ — k(^x[i] — x[i + 1]^ mx = kx[i — 1] — 2kx[i] + kx[i + 1]
V maticovém zápisu
/
m
x[i — l]
x [i] x[i + l]
\ (
= k
V
/
1-2 1
1-2 1
1-2 1
V
/
x[i — 1]
x[i] x[i + l]
\
I
Předpokládejme harmonické výchylky, potom
1    muj2/k — 2
\
muj2/k — 2 1
1 muř jk-2 1
/
7
x[i — 1]
x[i] x[i+l]
v
= 0
/
A co okrajové podmínky";
1
F3060 Kmity, vlny, optika - cvičení podzim 2020
D. Hemzal hemzalOphysics.muni.cz
4. Vázané kmity. Uvažujte sadu TV stejných malých závaží o hmotnosti to, spojených       k k k
lineárně identickými nehmotnými pružinami o tuhosti A;; předpokládejte pohyb pouze in   i-1 a»a   i-1 in
ve směru pružin.  Počátky souřadnic x [i], popisujících výchylky jednotlivých závaží VVV~Í^P VVV~1^P VVV~
umístěte do rovnovážných poloh příslušných závaží.
uchycené závaží
volný konec
periodická podmínka
mx[l] = -kx[l]-k(x[l]-x[2]} mx[l] = -k(x[l]-x[2]}        mx[N] = -k(x[N]-x[N-l]}-k(x[N] —aľ[l])
a/nebo
a/nebo
a zároveň
mx [N] = -k (x [N]-x[N-lf)-kx[N]    mx[N] = -k(x[N]-x[N-lf)        mx[l] = -k(x[l]-x[N]^-k(x[l]-x [2]
/   -2 1
1-2 1
\
-2 1 1 -2/
/-l 1
1-2 1
\
-2 1
V
■1 /
(-2 1 1-2 1
1\
-2 1 1 -2/
2
F3060 Kmity, vlny, optika - cvičení podzim 2020
D. Hemzal hemzalOphysics.muni.cz
4. Vázané kmity. Uvažujte sadu TV stejných malých závaží o hmotnosti to, spojených       k k k
lineárně identickými nehmotnými pružinami o tuhosti A;; předpokládejte pohyb pouze in   i-1 a»a   i-1 in
ve směru pružin.  Počátky souřadnic x [i], popisujících výchylky jednotlivých závaží VVV~Í^P VVV~1^P VVV~
umístěte do rovnovážných poloh příslušných závaží.
Předpokládejme pro určitost soustavu dvou tělísek s pevnými konci.
W/fc-2
'x[l]\ _
mu2/k-2j \x[2]
0
Jedná se o homogenní soustavu, bude tedy mít pouze triviální řešení (při regulární matici soustavy), nebo nekonečně mnoho řešení (při singulární matici soustavy). Podmínkou singulárnosti je nulovost determinantu,
muj2/k — 2 1
1 muj2/k-2 1
[muj2/k - 2)2 - 1 = 0
Získanou podmínku je nejlépe upravit pomocí rozdílu čtverců a obdržet frekvence kmitů
k
ui = \l —
m
3k V m
Výchylky závažíček v jednotlivých případech získáme dosazením získaných frekvencí do pohybových rovnic:
x\ = x2
x\ = — x2
Jak dopadne řešení stejné soustavy při ostatních typech okrajových podmínek?
F3060 Kmity, vlny, optika - cvičení podzim 2020
D. Hemzal hemzalOphysics.muni.cz
4. Vázané kmity. Uvažujte sadu TV stejných malých závaží o hmotnosti to, spojených |^ lineárně identickými nehmotnými pružinami o tuhosti k; předpokládejte pohyb pouze
niiuai ne lueiiuuKymi iieiimuurymi pi uzmami u luiiusu k,, pieupuKiauejit; punyu puuzt;       ni    i-1   a » a    i-1   a a a
ve směru pružin.  Počátky souřadnic x[i], popisujících výchylky jednotlivých závaží      VVV~Í^P VVV~1^PVVV~
umístěte do rovnovážných poloh příslušných závaží.
Pro soustavu dvou tělísek:
uchycená závaží
ímuj2/k-2 1
l       1 muř jk-2
volné konce
( muj2/k-1 1
y     1 muj2/k-l/
periodická podmínka
ímu2/k-2 2 \
V      2 mL02/k-2j
u=^k/m    x[l]=x[2] lú=0    x[l]=x[2] lú=0 x[1]=x[2]
uj=y/3k/m    x[l] = -x[2]    uj=^/2k/m    x[l] = -x[2]    uj = 2yrk/m    x[l] = -x[2]
4