Teoretická mechanika
Úlohy ke cvičení
Šikmý vrh Mimozemšťan o hmotě m skáče na povrchu Měsíce. Pomocí aparátu analytické mechaniky vypočtěte co nejobecnější parametrickou křivku popisující jeho pohyb. (12. října 2020)
Zahradní houpačka Na obrázku vidíme zahradní houpačku. Vypočtěte pohybové rovnice hmotných bodů na koncích a určete podmínku rovno-
Kladkostroj Zařízení se skládá ze dvou kladek: první kladky, pevně uchycené ke stropu, a druhé volné kladky pohybující se vertikálně. Kladky samotné jsou nehmotné. Pod volnou kladkou je umístěn hmotný bod í?i2. Přes kladky je nataženo vlákno konstantní délky l na jehož konci je hmotný bod m\. Vypočtěte zrychlení obou hmotných bodů v homogenním gravitačním poli. Nápověda: změní-li se poloha m\ o Ay, pak poloha rri2 bude změněna o ^Ay jako důsledek dvou pohyblivých konců vlákna. (26. října 2020)
Harmonický oscilátor S uvážením zákonů zachování nalezněte funkci popisující časovou závislost polohy harmonického oscilátoru: Zjistěte které veličiny se zachovávají, vypočtěte zobecněnou energii, převeďte problém na diferenciální rovnici prvního řádu, a vyřešte ji. Interpretujte výsledek. Nepoužívejte Euler-Lagrangeovu rovnici. (2. listopadu 2020)
váhy. (19. října 2020)
Třetí Keplerův zákon Dokažte, že třetí Keplerův zákon s užitím reduko-
vané hmotnosti pro Slunce a Zemi
T
i/ms + i/Me, a k = GMqM®:
lze zapsat ve tvaru a3 = T2 ve kterém a vyjadřujeme v astronomických jednotkách a t v rocích. Dále spočtěte vzdálenost středu Slunce od středu soustavy Slunce - Země v poloměrech Slunce Rq. (9. listopadu 2020)
Hamiltonian relativistické částice Lagrangián částice o klidové hmotě m a pohybující se rychlostí v ^ c srovnatelnou s rychlostí světla jest
L
-mc
Najděte zobecněnou hybnost a Hamiltonian takové částice. Vypočtěte aproximaci obou veličin pro v « c. (16. listopadu 2020)
Pohyb po šroubovici Částice o hmotě m se v gravitačním poli pohybuje podél šroubovice z = k9 s konstantním poloměrem r = konst., kde k je konstanta a z vertikální souřadnice. Z lagrangiánu nalezněte hamiltonian, sestavte hamiltonovy rovnice, tyto rovice vyřešte. Ukažte, že pro r     0, z = -g. (23. listopadu 2020)
Ve výtahu částice s hmotou m se nachází ve výtahu přičemž se může pohybovat pouze ve směru osy z. Výtah je urychlován s konstantním zrychlením a. Nalezněte hamiltonian pro případ, že se celý systém nachází v homogenním gravitačním poli se zrychlením g. Komentujte zachování energie. Ukažte, že při jisté hodnotě a se může částice pohybovat jako volná částice. (30. listopadu 2020)
Sférické kyvadlo je tvořeno závažím o hmotě m na niti konstantní délky l, které se může bez odporu kývat vertikálně, a zároveň opisovat horizontální elipsu. Sestavte Lagrangián systému, vypočtěte Euler-Lagrange rovnice, též sestavte Hamiltonán a Hamiltonovy rovnice. Zjistěte, které fyzikální veličiny se při pohybu zachovávají. (7. prosince 2020)
A	
	
	
m